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6.3.5 數量積的坐標運算 學案(原卷版+解析版)

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6.3.5 數量積的坐標運算 學案(原卷版+解析版)

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6.3.5數量積的坐標運算
1.了解數量積的坐標運算推導;
2.根據向量的坐標計算向量的模、夾角及判定兩個向量垂直;
一、平面向量的數量積與兩向量垂直的坐標表示
設向量,
(1)數量積:兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和,即
(2)向量垂直:
二、平面向量的模與夾角的坐標表示
(1)向量的模:設,則
(2)兩點間的距離公式:若,則
(3)向量的夾角公式:設兩非零向量,a與b的夾角為θ,則
考點01簡單數量積坐標運算
1.已知向量,,則( )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【分析】根據向量運算的坐標表示求得正確答案.
【詳解】.
故選:A
2.在四邊形中,四個頂點A,B,C,D的坐標分別是,,,,E,F分別為的中點,則( )
A.10 B.12 C.14 D.16
【答案】A
【分析】利用中點坐標公式以及向量的坐標表示進行數量積運算.
【詳解】由題意,
則,,
.
故選:A
3.已知向量,,則( )
A. B.1或2 C.或2 D.或
【答案】B
【分析】根據向量數量積的坐標運算公式,準確計算,即可求解.
【詳解】由題意,向量,
得,
所以.
即,解得或,
故選:B.
4.已知向量,,,則( ).
A. B.-2 C.10 D.
【答案】B
【分析】根據向量數量積的坐標運算可得結果.
【詳解】因為,,
所以,即,
故選:B.
5.已知向量,,,則 .
【答案】
【分析】根據向量,分別表示出題目中向量的坐標,列出方程計算即可.
【詳解】,,
,,,

,解得.
故答案為:.
考點02模的坐標運算
6.已知向量,,若,則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據向量平行坐標表示求出,再應用模長公式求解即可.
【詳解】向量,,,
.
故選:B.
7.已知向量,,若不超過3,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據平面向量的坐標表示和幾何意義可得,解之即可求解.
【詳解】由題意知,,
所以,得,
即,解得,
即實數m的取值范圍為.
故選:B
8.(多選)已知向量,若,則等于( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2
【答案】CD
【分析】根據向量的坐標運算,求出,,由,求出的值,判斷選項.
【詳解】,,
,,
又,,
解得或.
故選:CD
9.已知向量,若,則實數的一個可能取值為 .(答案不唯一)
【答案】0(答案不唯一,只需即可)
【分析】方法一,首先求得向量的坐標,再代入向量模的運算公式,即可求解;
方法二,首先代入向量數量積公式,化簡后再代入坐標公式,即可求解.
【詳解】方法一:因為,所以.
又因為,所以,解得.
方法二:因為,所以,即,
故,解得1.
所以的一個可能取值為0.(答案不唯一,只需即可)
故答案為:(答案不唯一,只需即可)
10.已知平面向量,,且,則 .
【答案】
【分析】根據,求出,從而得到,求出模長.
【詳解】由,得,即.
整理得,解得,
所以,所以,故.
故答案為:
11.平面直角坐標系中,,為坐標原點.
(1)令,若向量,求實數的值;
(2)若點,求的最小值.
【答案】(1)或
(2)5
【分析】(1)利用向量線性運算的坐標表示和向量模的坐標運算,求實數的值;
(2)利用向量模的坐標運算和函數的單調性,求的最小值.
【詳解】(1),
所以,
由得,
解得:或.
(2)因為,
所以,
因為,均為單調遞增函數,
所以當時,,
即的最小值為5.
考點03夾角的坐標運算
12.已知平面向量,,,則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據向量數量積的坐標運算求得,根據向量夾角公式求得正確答案.
【詳解】因為,所以,得.
所以,,所以,,,
所以.
又,所以與的夾角為.
故選:B
13.已知向量,,若與的夾角為鈍角,則的取值范圍可以是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根據數量積,結合共線即可求解.
【詳解】∵與的夾角為鈍角,∴,即.
當時,,解得,
當時,,此時反向共線,
∴的取值范圍是.
故選:D
14.已知,則夾角的余弦值為 .
【答案】
【分析】直接運用向量的坐標運算公式即可.
【詳解】由題意得,,
.
故答案為:
15.向量,,在正方形網格(每個小正方形的邊長為1)中的位置如圖所示,若向量與共線,則與夾角的余弦值為
【答案】/
【分析】建立平面直角坐標系,運用平面兩向量共線的坐標公式及夾角公式求解即可.
【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系,
則,,,
所以,
又因為向量與共線,所以,
所以,則,,
所以.
故答案為:.
16.已知向量,,若非零向量滿足,則取最小值時,的坐標為 .
【答案】
【分析】設,根據已知列出關系式,代入坐標整理得出.表示出,根據二次函數的性質,即可得出最值,求出答案.
【詳解】設,
則由,得,所以,
所以,即,化得.
又,
所以.
當時,取得最小值,
此時,即.
故答案為:.
17.已知向量,.
(1)求的坐標與;
(2)求向量與的夾角的余弦值.
【答案】(1),5
(2)
【分析】(1)根據平面向量坐標運算公式和模的計算公式計算即可;
(2)利用平面向量數量積的公式計算即可.
【詳解】(1),

.
(2),

.
考點04向量垂直的坐標運算
18.已知向量,則( )
A.// B.//
C. D.
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐標運算結合條件逐項判斷即可.
【詳解】易知,而,
顯然,故成立,則//不成立,故A錯誤,D正確,
而,顯然,,
則,//不成立,故BC錯誤.
故選:D
19.已知向量,,,則實數的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據題意,求得,結合向量垂直的坐標表示,列出方程,即可求解.
【詳解】由向量,,可得,
因為,所以,解得.
故選:A.
20.已知向量,,若與的夾角的余弦值為,且,則可以是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由與的夾角的余弦值,利用向量數量積求出的值,由,,求出的坐標特征即可.
【詳解】向量,,若與的夾角的余弦值為,
則有,解得,則有,
設,由,則有,解得,B選項符合.
故選:B
21.已知向量,,若,則 .
【答案】
【分析】運用平面向量垂直及減法、數乘、數量積坐標運算即可.
【詳解】因為,,所以,
因為,所以,
解得.
故答案為:.
22.已知,.
(1)若,且、、三點共線,求的值.
(2)當實數為何值時,與垂直?
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據題意,由、、C三點共線,可得與共線,列出方程即可得到的值;
(2)根據題意,由平面向量垂直的坐標運算,代入公式,即可得到結果.
【詳解】(1)由題意可得,,
且、、三點共線,則可得,
即,
解得;
(2)由題意可得,,
因為與垂直,則可得,
解得.
考點05投影向量的坐標運算
23.已知平面向量,則向量在向量上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根據向量在向量上的投影向量公式:計算即得.
【詳解】根據平面向量的投影向量的規定可得: 向量在向量上的投影向量為:,即,
因,則,,則向量在向量上的投影向量為:.
故選:D.
24.已知向量,則 在上的投影向量為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根據條件,利用投影向量的定義即可求出結果.
【詳解】因為,得到,
所以在上的投影向量為,
故選:B.
25.已知向量,則在上的投影向量為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】先求出的坐標,然后利用投影向量的公式求解即可.
【詳解】由已知,
則在上的投影向量為.
故選:D.
26.已知向量在向量上的投影向量,且,則 .
【答案】
【分析】由題意設,結合,求出,再根據投影向量的定義,列式計算,即可求得答案.
【詳解】由題意知向量在向量上的投影向量為,
設,由,得,
故,即,
故,
故答案為:
27.已知平面向量,,向量,在單位向量上的投影向量分別為,,且,則可以是( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】設,由為單位向量可得,再結合投影向量的概念、向量坐標運算以及題設所給的條件可得,從而解得與的值,即可得解.
【詳解】設,由為單位向量可得,,
因為向量,在單位向量上的投影向量分別為,,
所以,,即,,
因為,,
所以,,
又因為,
所以,即,
因為,
所以與不同時為0,即,則,
所以,
所以或.
故選:C
考點06與三角函數結合的數量積
28.已知,,,,若,則的值為( )
A. B.或 C. D.或
【答案】B
【分析】由向量的運算和三角函數即可得的值.
【詳解】,,


因為,
所以,,
即,顯然,
所以,,
又,所以或.
故選:B
29.(多選)在平面直角坐標系中,已知,,則下列結論正確的是( )
A.的取值范圍是
B.當時,在方向上的投影數量的取值范圍是
C.的最大值是
D.若,且,則最大值為2
【答案】ACD
【分析】根據向量的坐標運算與余弦函數的性質可判斷A;根據投影數量的概念與三角恒等變換、正弦型三角函數的性質結合即可得取值范圍,可判斷B;由向量的三角不等式可判斷C;根據向量的三角不等式與均值不等式即可求最值可判斷D.
【詳解】,A正確;
當時,在方向上的投影數量為:
其中,所以,又或,所以,B錯誤;
由于,當,向量反向共線時等號成立,C正確;
因為,所以,當且僅當同向共線且時等號成立,D正確.
故選:ACD.
30.(多選)已知,,,,下列結論正確的是( )
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,且,均為銳角,則
【答案】ABD
【分析】利用平面向量的坐標表示及誘導公式、同角三角函數的關系、余弦的和角公式計算即可.
【詳解】由題意可知:,,,
對于A項,若,則,,故A對;
對于B項,若,則,故B對;
對于C項,易知:,,
若,則,
故C錯;
對于D項,,則,
則,平方相加得,∴,故D對,
故選:ABD.
31.(多選)已知向量,,以下結論正確的是( )
A.若,,則
B.若,則
C.若,,則
D.若,,則
【答案】BD
【分析】由向量垂直、平行、數量積、模長的坐標表示列方程或不等式,結合三角恒等變換及正余弦型函數的性質求值或范圍,判斷各項正誤.
【詳解】A:若,則,,則,
所以,錯;
B:若,則,而,對;
C:若,則,故,,則或,
所以或,錯;
D:若,則,可得,,
所以,故,對;
故選:BD
32.(多選)已知向量,,則下列命題正確的是( )
A.存在,使得
B.當時,與垂直
C.對任意,都有
D.當時,與方向上的投影為
【答案】BD
【分析】A由向量平行坐標表示及倍角正弦公式得即可判斷;B由向量垂直的坐標表示得即可判斷;C根據向量模長的坐標表示,結合特殊值判斷;D由向量數量積的坐標表示得,兩邊平方并利用同角三角函數關系求得,最后由投影數量的求法判斷.
【詳解】A:若,則,即,所以不存在這樣的,故錯誤;
B:若,則,即,得,故正確;
C:,,當時,,故錯誤;
D:,兩邊平方得,即,
故,解得,則,即,
設與的夾角為,在方向上的投影為,故正確,
故選:BD
33.已知向量.
(1)求證:;
(2)若存在不為0的實數和,使,滿足,試求此時的最小值.
【答案】(1)證明見解析;
(2).
【分析】(1)根據向量數量積的坐標運算,結合誘導公式化簡,計算即可;
(2)由,求得關系,結合二次函數的最值,即可求得結果.
【詳解】(1).

故.
(2)顯然,

故可得,
即,,

所以當時,取得最小值.
34.已知向量,,.
(1)求向量的模的最大值;
(2)設,且,求的值.
【答案】(1)2
(2)或.
【分析】(1)根據平面向量加法的坐標運算和模長公式可求出結果;
(2)根據推出,結合可求出結果.
【詳解】(1)因為向量,,所以,
則,
因為,所以,
所以,
所以向量的模的最大值為2.
(2)因為,所以,又由,,
得,
因為,所以,
所以,
化簡得,代入,
得,得,
解得或.
考點07利用坐標求數量積的最值范圍
35.已知是邊長為1的正的邊上的動點,為的中點,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】可取AC的中點為O,然后以點O為原點,直線AC為x軸,建立平面直角坐標系,從而根據條件可得出,并設,從而可得出,根據x的范圍,配方即可求出的最大值和最小值,從而得出取值范圍.
【詳解】解:取AC的中點O,以O為原點,直線AC為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,
則:,設,

,且,
時,取最小值;時,取最大值,
∴的取值范圍是,
故選:A.
36.如圖,在長方形 中,,點 P 滿足,其中,則的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系,寫出點的坐標,得到,,從而求出,求出最值.
【詳解】以為坐標原點,所在直線分別為軸,建立平面直角坐標系,
則,設,
因為,所以,即,
故,,
則,
則,
因為,所以,,
故.
故選:B
37.已知是邊長為2的正六邊形的一個頂點,則的最小和最大值分別是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】在正六邊形中建立直角坐標系,求得各頂點的坐標,根據數量積的坐標運算計算即可.
【詳解】由題意,在邊長為2的正六邊形中,建立如圖所示坐標系,
則,,,,,,
則,,,
,,,
,,
,,
顯然為最大值,為最小值,
故選:C.
38.如圖,在等腰梯形中,是線段上一點,且,動點在以為圓心,1為半徑的圓上,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】過點作,垂足為,以為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,利用,通過坐標運算和數量積的定義來求解最值.
【詳解】過點作,垂足為,
以為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,
則,
則,
其中,

當,即同向時,取最大值,
所以的最大值為.
故選:C.
39.已知點在的斜邊上(包含端點),若,,則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系,設,利用向量數量積的坐標運算可將所求數量積表示為關于的一次函數的形式,結合的范圍可求得結果.
【詳解】以為坐標原點,正方向為軸正方向,可建立如圖所示平面直角坐標系,
則,,,,,
設,則,,
,又,
,即的取值范圍為.
故答案為:.
40.如圖,在邊長為4的正方形中,點是正方形外接圓上任意一點,則的取值范圍是 .

【答案】
【分析】以正方形的中心為原點建立平面直角坐標系,設以軸非負半軸為始邊,為終邊的角為,根據三角函數定義寫出點M的坐標,然后利用平面向量數量積的坐標表示,結合余弦函數的有界性可得.
【詳解】以正方形的中心為原點建立平面直角坐標系如圖所示,
則點,,,
設以軸非負半軸為始邊,為終邊的角為,
易知外接圓的半徑為,
所以點,則,
所以,
因為,所以.
即的取值范圍為.
故答案為:

基礎過關練
1.已知向量,滿足,,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用向量減法和數量積的坐標表示求解即可.
【詳解】設,則由題意可得,
解得,
所以,
故選:D
2.已知,則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據給定條件,利用數量積的運算律求出,再求出夾角即得.
【詳解】由,得,而,則,
于是,則,而,
所以與的夾角為.
故選:A
3.已知向量,,且,則( )
A.2 B.3 C.4 D.
【答案】A
【分析】由求出,從而可求解.
【詳解】由,,所以,
因為,所以,得,
所以,故A正確.
故選:A.
4.已知向量,向量,向量,若與共線,,則( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根據向量共線以及垂直的坐標表示,列出關于的方程組,求解即可.
【詳解】因為與共線,所以,解得.
又,所以,解得,所以,所以.
故選:C.
5.(多選)已知,則( )
A.若,則
B.若,則
C.的最小值為
D.若向量與向量的夾角為鈍角,則的取值范圍為
【答案】ABC
【分析】根據向量平行的坐標公式即可判斷A;根據向量垂直的坐標公式即可判斷B;根據向量的模的坐標公式結合二次函數的性質即可判斷C;由向量與向量的夾角為鈍角,可得且不共線,進而可判斷D.
【詳解】對于A,若,則,解得,故A正確;
對于B,若,則,解得,故B正確;
對于C,,
則,
當時,,故C正確;
對于D,因為向量與向量的夾角為鈍角,
所以且不共線,
由,得,
由得,
所以的取值范圍為,故D錯誤.
故選:ABC.
6.(多選)已知向量則下列說法正確的是( )
A.
B.,的夾角為
C.在上的投影向量的坐標為(,)
D.在上的投影向量的坐標為(,)
【答案】ACD
【分析】根據兩個向量垂直的充要條件,將垂直關系轉化成數量積為0,即可判斷A;根據夾角的坐標公式即可求解B;根據投影向量的求解即可求解C,D.
【詳解】由,可知,
對于A.,所以,故,故A對.
對于B,設 為,的夾角,則 所以,的夾角為 ,故B錯.
對于C, 在上的投影向量為 ,故C對.
對于D, 在上的投影向量為 ,故D對.
故選:ACD
7.已知平面向量,,,則和夾角的余弦值為 .
【答案】/
【分析】分析可知,求出的值,可得出向量的坐標,再利用平面向量數量積的坐標運算可求得和夾角的余弦值.
【詳解】因為平面向量,,,則,解得,
所以,,則,
所以,.
故答案為:.
8.在中,,,,為所在平面內的動點,且,則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先建立平面直角坐標系,然后結合平面向量數量積的運算及三角函數值域的求法求解即可.
【詳解】以C為坐標原點,分別以CB、CA所在直線為x、y軸建立平面直角坐標系,

則,,,
為所在平面內的動點,且,點在為以C為圓心2為半徑的圓上,
設,,則,

其中,
由,所以的取值范圍是.
故答案為:.
9.已知,其中,則 .
【答案】1
【分析】結合誘導公式及向量的平方等于模的平方即可求.
【詳解】,
則.
故答案為:1
10.已知.
(1)若//,求的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)根據向量平行的坐標表示,結合同角三角函數關系求得,再求齊次式的值即可;
(2)根據向量垂直的坐標表示,求得,再根據其與的關系即可求得結果.
【詳解】(1),//,

(2),
又,故,則,故,
.
11.已知平面向量,,,且,
(1)若,且,求向量的坐標;
(2)若,求在方向的投影向量(用坐標表示).
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)設,利用平面向量的共線定理及坐標表示即可求解;
(2)利用平面向量數量積的坐標表示求解在方向的投影向量即可.
【詳解】(1)設,
因為,且,
所以,解得或,
所以或.
(2)在方向的投影向量為.
12.已知向量,,是同一平面內的三個向量,且.
(1)若||=2,且,求;
(2)若,且與互相垂直,求λ.
【答案】(1)或;
(2)λ=1或-1
【分析】(1)先設,根據題意有求解;
(2)根據,得,,然后根據與互相垂直求解.
【詳解】(1)設,依題意得,
解得或,
即或.
(2)因為,

因為 與 互相垂直,
所以,
即(2+2λ)(2λ-2)+(λ+1)(λ-1)=0,
解得λ=1或-1.
能力提升練
1.已知平面向量,,若是直角三角形,則的取值是( )
A.2 B. C.2或7 D.2或5
【答案】C
【分析】先求出,再分別以三個點為直角頂點分類討論,結合向量垂直的坐標公式計算即可.
【詳解】,,則,
當是直角頂點時:,;
當是直角頂點時:,無解;
當是直角頂點時:,;
綜上所述:或.
故選:C.
2.已知向量,滿足,,則( )
A. B. C.2 D.1
【答案】C
【分析】根據即可列式求解.
【詳解】因為向量,滿足,
所以,,
又因為,
故,
所以.
故選:C.
3.已知向量,其中,則下列命題正確的是( )
A.在上的投影向量為
B.最大值為
C.若則
D.若,則
【答案】C
【分析】根據投影向量的定義求得在上的投影向量判斷A,求出向量的模,由函數性質得最小值判斷B,計算,根據其正負確定的范圍,然后判斷的正負,從而判斷CD.
【詳解】對A,,
在上的投影向量為,A錯誤;
對B,,

所以時,取得最小值,B錯誤;
對C,,,則,
則,C正確;
對D,,,無法判斷的符號,D錯誤.
故選:C.
4.(多選)已知,,其中,則以下結論正確的是( )
A.若,則
B.若,則或
C.若,則
D.若,則
【答案】BCD
【分析】對于A,由得,得或或,故A不正確;
對于B,由得,得或,故B正確;
對于C,根據平面向量數量積的運算律求出,故C正確;
對于D,根據平面向量數量積的運算律求出,故D正確.
【詳解】對于A,若,則,則,
因為,所以,則或或,故A不正確;
對于B,若,則,則,
因為,所以,所以或,
所以或,故B正確;
對于C,,則
,故C正確;
對于D,若,則,則,則,即,所以,故D正確.
故選:BCD.
十、填空題
5.△ABC中,AC = BC,∠BAC = ,D為BC中點,E為AB中點,M為線段CE上動點,= 4,則| AC | = ;的最小值為 .
【答案】 4
【分析】根據即可條件可判斷出△ABC為等邊三角形,再根據向量的數量積運算公式展開題中式子即可算出三角形邊長,最后根據三角形邊長建立平面直角坐標系將各點表示出來運用向量的坐標運算即可得出答案.
【詳解】空1:由題可知△ABC為等邊三角形,,
解得,因此;
空2:如圖,設,,,其中,
,,,
當時,,即為的最小值.
故答案為:4;.
6.直角坐標系和斜坐標系都是法國數學家笛卡爾發明的.設,是平面內相交成角的兩條數軸,,分別是與x,y軸正方向同向的單位向量.若,則把有序數對叫做向量在斜坐標系下的坐標.設,.
(1)若,則 ;
(2)若,則 .
【答案】 /
【分析】(1)根據定義將向量化為,然后由數量積的性質可得;
(2)根據定義將向量化為,,然后由數量積定義和性質列方程可得.
【詳解】(1)因為,所以
若,則,
所以;
(2)因為,,所以,,
若,則,
所以,即,
因為,所以.
故答案為:;.
7.在平面直角坐標系中,已知點,,
(1)求的值;
(2)是坐標平面上的點,,,求的最小值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】(1)先求出,再根據模長公式可求出結果;
(2)先求出,再根據模長公式以及二次函數知識可得結果.
【詳解】(1)因為,,所以,
故.
因為,所以.
(2),


因為,所以當時,取得最小值為.
8.已知向量,,設.
(1)若,求的值;
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再向右平移個單位長度,得到函數的圖象,若函數在上有零點,求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據數量積的坐標表示結合三角恒等變換可得的表達式,結合可得,利用誘導公式化簡求值,即得答案.
(2)根據三角函數圖像的變換規律可得的表達式,結合x的范圍求得的值域,即可求得答案.
【詳解】(1)由題意得

由,得,即,
故.
(2)由題意得,
因為,故,
所以,故,
故函數在上有零點時,實數的取值范圍為.6.3.5數量積的坐標運算
1.了解數量積的坐標運算推導;
2.根據向量的坐標計算向量的模、夾角及判定兩個向量垂直;
一、平面向量的數量積與兩向量垂直的坐標表示
設向量,
(1)數量積:兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和,即
(2)向量垂直:
二、平面向量的模與夾角的坐標表示
(1)向量的模:設,則
(2)兩點間的距離公式:若,則
(3)向量的夾角公式:設兩非零向量,a與b的夾角為θ,則
考點01簡單數量積坐標運算
1.已知向量,,則( )
A. B.1 C. D.2
2.在四邊形中,四個頂點A,B,C,D的坐標分別是,,,,E,F分別為的中點,則( )
A.10 B.12 C.14 D.16
3.已知向量,,則( )
A. B.1或2 C.或2 D.或
4.已知向量,,,則( ).
A. B.-2 C.10 D.
5.已知向量,,,則 .
考點02模的坐標運算
6.已知向量,,若,則( )
A. B. C. D.
7.已知向量,,若不超過3,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
8.(多選)已知向量,若,則等于( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2
9.已知向量,若,則實數的一個可能取值為 .(答案不唯一)
10.已知平面向量,,且,則 .
11.平面直角坐標系中,,為坐標原點.
(1)令,若向量,求實數的值;
(2)若點,求的最小值.
考點03夾角的坐標運算
12.已知平面向量,,,則與的夾角為( )
A. B. C. D.
13.已知向量,,若與的夾角為鈍角,則的取值范圍可以是( )
A. B. C. D.
14.已知,則夾角的余弦值為 .
15.向量,,在正方形網格(每個小正方形的邊長為1)中的位置如圖所示,若向量與共線,則與夾角的余弦值為
16.已知向量,,若非零向量滿足,則取最小值時,的坐標為 .
17.已知向量,.
(1)求的坐標與;
(2)求向量與的夾角的余弦值.
考點04向量垂直的坐標運算
18.已知向量,則( )
A.// B.//
C. D.
19.已知向量,,,則實數的值為( )
A. B. C. D.
20.已知向量,,若與的夾角的余弦值為,且,則可以是( )
A. B. C. D.
21.已知向量,,若,則 .
22.已知,.
(1)若,且、、三點共線,求的值.
(2)當實數為何值時,與垂直?
考點05投影向量的坐標運算
23.已知平面向量,則向量在向量上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
24.已知向量,則 在上的投影向量為( )
A. B.
C. D.
25.已知向量,則在上的投影向量為( )
A. B.
C. D.
26.已知向量在向量上的投影向量,且,則 .
27.已知平面向量,,向量,在單位向量上的投影向量分別為,,且,則可以是( ).
A. B.
C. D.
考點06與三角函數結合的數量積
28.已知,,,,若,則的值為( )
A. B.或 C. D.或
29.(多選)在平面直角坐標系中,已知,,則下列結論正確的是( )
A.的取值范圍是
B.當時,在方向上的投影數量的取值范圍是
C.的最大值是
D.若,且,則最大值為2
30.(多選)已知,,,,下列結論正確的是( )
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,且,均為銳角,則
31.(多選)已知向量,,以下結論正確的是( )
A.若,,則
B.若,則
C.若,,則
D.若,,則
32.(多選)已知向量,,則下列命題正確的是( )
A.存在,使得
B.當時,與垂直
C.對任意,都有
D.當時,與方向上的投影為
33.已知向量.
(1)求證:;
(2)若存在不為0的實數和,使,滿足,試求此時的最小值.
34.已知向量,,.
(1)求向量的模的最大值;
(2)設,且,求的值.
考點07利用坐標求數量積的最值范圍
35.已知是邊長為1的正的邊上的動點,為的中點,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
36.如圖,在長方形 中,,點 P 滿足,其中,則的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
37.已知是邊長為2的正六邊形的一個頂點,則的最小和最大值分別是( )
A. B. C. D.
38.如圖,在等腰梯形中,是線段上一點,且,動點在以為圓心,1為半徑的圓上,則的最大值為( )
A. B. C. D.
39.已知點在的斜邊上(包含端點),若,,則的取值范圍為 .
40.如圖,在邊長為4的正方形中,點是正方形外接圓上任意一點,則的取值范圍是 .

基礎過關練
1.已知向量,滿足,,則( )
A. B. C. D.
2.已知,則與的夾角為( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,且,則( )
A.2 B.3 C.4 D.
4.已知向量,向量,向量,若與共線,,則( )
A. B.
C. D.
5.(多選)已知,則( )
A.若,則
B.若,則
C.的最小值為
D.若向量與向量的夾角為鈍角,則的取值范圍為
6.(多選)已知向量則下列說法正確的是( )
A.
B.,的夾角為
C.在上的投影向量的坐標為(,)
D.在上的投影向量的坐標為(,)
7.已知平面向量,,,則和夾角的余弦值為 .
8.在中,,,,為所在平面內的動點,且,則的取值范圍是 .
9.已知,其中,則 .
10.已知.
(1)若//,求的值;
(2)若,求的值.
11.已知平面向量,,,且,
(1)若,且,求向量的坐標;
(2)若,求在方向的投影向量(用坐標表示).
12.已知向量,,是同一平面內的三個向量,且.
(1)若||=2,且,求;
(2)若,且與互相垂直,求λ.
能力提升練
1.已知平面向量,,若是直角三角形,則的取值是( )
A.2 B. C.2或7 D.2或5
2.已知向量,滿足,,則( )
A. B. C.2 D.1
3.已知向量,其中,則下列命題正確的是( )
A.在上的投影向量為
B.最大值為
C.若則
D.若,則
4.(多選)已知,,其中,則以下結論正確的是( )
A.若,則
B.若,則或
C.若,則
D.若,則
5.△ABC中,AC = BC,∠BAC = ,D為BC中點,E為AB中點,M為線段CE上動點,= 4,則| AC | = ;的最小值為 .
6.直角坐標系和斜坐標系都是法國數學家笛卡爾發明的.設,是平面內相交成角的兩條數軸,,分別是與x,y軸正方向同向的單位向量.若,則把有序數對叫做向量在斜坐標系下的坐標.設,.
(1)若,則 ;
(2)若,則 .
7.在平面直角坐標系中,已知點,,
(1)求的值;
(2)是坐標平面上的點,,,求的最小值.
8.已知向量,,設.
(1)若,求的值;
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再向右平移個單位長度,得到函數的圖象,若函數在上有零點,求實數的取值范圍.

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