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6.4.1+6.4.2平面幾何、物理的向量應用 學案(原卷版+解析版)

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6.4.1+6.4.2平面幾何、物理的向量應用 學案(原卷版+解析版)

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6.4.1~6.4.2平面幾何、物理的向量應用
1.通過向量方法解決平面幾何問題,例:幾何的垂直、平行、夾角等問題;
2.通過用向量的方法解決力學問題及其他物理問題.
一、向量在幾何中的應用
1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”.
①建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題.
②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題.
③把運算結果“翻譯”成幾何關系.
2.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路
(1)向量的線性運算法的四個步驟:①選取基底;②用基底表示相關向量;
③利用向量的線性運算或數量積找到相應關系;④把計算所得結果轉化為幾何問題.
(2)向量的坐標運算法的四個步驟:①建立適當的平面直角坐標系;②把相關向量坐標化;
③用向量的坐標運算找到相應關系;④利用向量關系回答幾何問題.
二、向量在物理中的應用
(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加減法運算體現在一些物理量的合成和分解上.
(3)動量是向量的數乘運算.
(4)功是力與位移的數量積.
用向量解決物理問題的一般步驟
(1)問題的轉化:把物理問題轉化為數學問題.
(2)模型的建立:建立以向量為主體的數學模型.
(3)參數的獲得:求出數學模型的有關解——理論參數值.
(4)問題的答案:回到問題的初始狀態,解釋相關的物理現象.
考點01 向量在物理中的應用
1.一物體在力的作用下,由點移動到點.已知,則對該物體所做的功為(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據數量積的坐標表示計算可得.
【詳解】由,,所以,又,
∴對物體做的功.
故選:B.
2.如圖為某種禮物降落傘的示意圖,其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質量為,每根繩子的拉力大小相同,則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度取)最接近( )

A. B. C. D.
【答案】A
【分析】設每根繩子上的拉力大小為T,根據平衡條件列式求解即可.
【詳解】設每根繩子上的拉力大小為T,則根據平衡條件可得,,
解得.
所以降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小約為1.41N.
故選:A.
3.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包,假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,且與的夾角為,下列結論中正確的是( )

A.越小越省力,越大越費力 B.的范圍為
C.當時, D.當時,
【答案】AC
【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解即可得.
【詳解】對A:根據題意,得,
所以,
解得,因為時,單調遞減,
所以越小越省力,越大越費力,故A正確;
對B:由題意知的取值范圍是,故B錯誤;
對C:因為,所以當時,,
所以,故C正確;
對D:因為,所以當時,,
所以,故D錯誤.
故選:AC.
4.(多選)三名學生拉同一個可移動物體,當處于平衡狀態時,所用的力分別用表示.若, 的夾角是,則下列說法正確的是( )
A.
B.
C.夾角的余弦值為
D.夾角的余弦值為得
【答案】BC
【分析】根據,然后利用數量積的運算律及模的運算公式求解,再由及數量積的運算公式求解即可.
【詳解】由已知可知:,
所以.
設的夾角為,由,得,
所以,得解.
故選:BC
5.如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度,一艘船從點出發航行到河對岸,船航行速度的大小為,水流速度的大小為,設和的夾角為.
(1)當多大時,船能垂直到達對岸?
(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?
【答案】(1)
(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間不是最短,理由見解析.
【分析】(1)由題意,且與垂直,即,根據數量積的定義即可求解;
(2)設船航行到對岸所需的時間為,則,比較和兩種情況即可求解.
【詳解】(1)解:船垂直到達對岸,即且與垂直,即,
所以,即,
所以,解得;
(2)解:設船航行到對岸所需的時間為,則,
所以當時,船的航行時間最短為,
而當船垂直到達對岸時,由(1)知,
所需時間,,
故當船垂直到達對岸時,航行所需時間不是最短.
6.飛機從A地按北偏西的方向飛行到達B地,再從B地按南偏東的方向飛行到達C地,求該飛機飛行的路程和位移.
【答案】位移大小為(方向在A地的東偏北),路程
【分析】根據題意作出圖形,由位移的合成及三角形的知識即可求解.
【詳解】如圖所示,表示飛機從A地按北偏西方向飛行到B地的位移,則.
表示飛機從B地按南偏東方向飛行到C地的位移,則.
所以該飛機飛行的路程為.
表示飛機從A地到C地的位移,在中,,
且,則為等邊三角形,
所以,則.
所以該飛機飛行的位移的大小為,方向在A地的東偏北.
考點02 證明線段垂直
7.已知平面四邊形的四條邊,,,的中點依次為E,F,G,H,且,則四邊形一定為( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形
【答案】C
【分析】由中位線定理可得四邊形為平行四邊形,結合已知以及,化簡整理得,即,進一步即可得解.
【詳解】
由題意結合中位線定理可得,,
所以,即四邊形為平行四邊形.




,即,即,
所以,又,所以,
同理由中位線定理可得,所以,
故四邊形為矩形.
故選:C.
8.已知的三個頂點分別是,,,則的形狀是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用向量數量積的坐標表示即可求得,由模長公式計算可得,即可得出結論.
【詳解】易知,
可得,即,且,
所以可得的形狀是直角三角形.
故選:B
9.四邊形中,,,則這個四邊形是( )
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形
【答案】A
【分析】由可得,且,即四邊形為平行四邊形,又,即四邊形為菱形,即得解
【詳解】由題意,
即,且
故四邊形為平行四邊形


即四邊形為菱形
故選:A
10.用向量方法證明:菱形的兩條對角線互相垂直.
【答案】證明見詳解
【分析】根據向量的線性運算結合數量積分析證明.
【詳解】對于菱形,可知,即,
因為,
可得,則,
所以菱形的兩條對角線互相垂直.
11.如圖,正方形ABCD的邊長為a, E是AB的中點,F是BC的中點,求證:DE⊥AF.
【答案】證明見解析
【分析】利用平面向量加法、數乘的幾何意義有·=·,根據數量積的運算律,線段的位置、數量關系可得·=0,即可證結論.
【詳解】∵·=·=2-2,而,
∴·=0,
∴⊥,即DE⊥AF.
考點03 求線段長度
12.在中,點D是邊的中點,,,,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由平面向量的數量積與模的關系計算即可.
【詳解】如圖所示,由題意可得:

即,解之得.
故選:A
13.已知,,三點共圓,,且點,,滿足,若,則點到點的距離的最大值為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】應用平面向量基本定理結合圖形特征,解決距離和最大.
【詳解】作出圖形如圖所示,取線段的中點.
因為,
所以,故,故點在以為圓心,為半徑的圓上,
則點到點的距離.
設,,所在圓的圓心為,
則當,,三點共線,即點在線段上,時,取到最大值,
此時為等邊三角形,故,則點到點的距離的最大值為.
故選:D.
14.已知的夾角為,則三角形的邊上中線的長為 .
【答案】
【分析】設D為的中點,則,再由向量數量積的運算性質求解即可.
【詳解】設D為的中點,則,
所以,
所以,
所以.
故答案為:
15.已知兩點分別是四邊形的邊的中點,且,,,,則線段的長為是
【答案】
【分析】作,交于點,可知;利用向量線性運算可得到,根據,由向量數量積的定義和運算律可求解得到.
【詳解】作,交于點,則,
,則;
,,
又,,,


故答案為:.
16.如圖,在中,.
(1)求的長;
(2)求的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)確定,,,,計算得到答案.
(2),,計算得到答案.
【詳解】(1);

,故,
.
(2),
.
考點04 求線段夾角
17.在中,,,,,,CN與BM交于點P,則的值為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】將三角形放到直角坐標系當中,利用坐標法求向量夾角,即可求解.
【詳解】解:建立如圖直角坐標系,則,
得,
所以,
故選:D.
18.如圖,正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點,F是BC邊上靠近點B的三等分點,AF與DE交于M,則 .

【答案】
【分析】先利用向量的線性運算表示,,然后數量積求解夾角余弦值即可.
【詳解】設,,則,
,又,,
所以
.
故答案為:
19.如圖,在中,已知,,,且.求.
【答案】
【分析】根據向量線性運算結合已知可得故,,平方后利用數量積的運算法則求得,再利用向量的夾角公式即可求得答案.
【詳解】由題意得,的夾角為,
,則,
又,所以,
故,同理
于是



.
20.在中,已知,,,和邊上的兩條中線,相交于點,則的余弦值為
【答案】/
【分析】由已知結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解.
【詳解】
由已知得即為向量與的夾角.
因為M、N分別是,邊上的中點,
所以,.
又因為,
所以

,
,
所以.
故答案為:
21.在梯形中,,且,,分別為線段和的中點,若,,用,表示 .若,則余弦值的最小值為 .
【答案】
【分析】空(1)使用向量線性運算求解即可;
空(2)以與為基底,用數量積的形式表示出,再由基本不等式求解即可.
【詳解】
如圖,由已知,
.
∴.
設,即與的夾角為,

若,則,
∴,
又∵,,∴由基本不等式,
∴.
當且僅當,即時,等號成立.
故答案為:,.
【點睛】關鍵點睛:解決本題第2空的關鍵,是用以為夾角的兩個向量作為基底,將垂直關系轉化為數量積的形式,再借助基本不等式求解.
考點05 判斷多邊形形狀
22.在中,若,則的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用平面向量的數量積運算律計算即可.
【詳解】由題意可知,
所以,即的形狀是直角三角形.
故選:C
23.是所在平面內一點,滿足,則的形狀是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
【答案】C
【分析】由已知條件可得出,等式兩邊平方可得出,即可得出結論.
【詳解】因為,
由可得,
可得,整理可得,,
所以,為直角三角形.
故選:C.
24.已知滿足 (其中是常數),則的形狀一定是
A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【答案】C
【詳解】分析:由題意結合向量的運算法則和平面幾何的結論確定△ABC的形狀即可.
詳解:如圖所示,在邊(或取延長線)上取點,使得,在邊(或取延長線)上取點,使得,
由題意結合平面向量的運算法則可知:,,
而,據此可得:,從而:,
結合平面幾何知識可知:,而,故.
即△ABC為等腰三角形.
本題選擇C選項.
點睛:用平面向量解決平面幾何問題時,有兩種方法:基向量法和坐標系法,利用基向量的時候需要針對具體的題目選擇合適的基向量,建立平面直角坐標系時一般利用已知的垂直關系,或使較多的點落在坐標軸上,這樣便于迅速解題.
25.在四邊形中,,則四邊形的形狀是 .
【答案】矩形
【分析】根據向量數量積可得垂直,根據向量相等可證平行.
【詳解】由可知,進而,
由可得且,所以四邊形為矩形,
故答案為:矩形
26.若為所在平面內任意一點,且滿足,則的形狀為 .(填:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形)
【答案】等腰三角形
【分析】取的中點,根據平面向量的線性運算計算,從而,于是.
【詳解】取中點,連接,
則,
又,





的形狀是等腰三角形.
故答案為:等腰三角形.
考點06 求平面幾何的最值范圍問題
27.如圖,已知正方形的邊長為4,若動點在以為直徑的半圓上(正方形內部,含邊界),則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據已知條件及極化恒等式,結合向量的線性運算即可求解.
【詳解】取的中點,連接,如圖所示,
所以的取值范圍是,即,
又由,
所以.
故選:B.
28.已知圓的半徑為1,過圓外一點作一條切線與圓相切于點,,為圓上一個動點,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】方法一:建立合適的坐標系,設,根據余弦函數的范圍即可得到數量積范圍;方法二:根據數量積與投影向量之間的關系進行轉化即可.
【詳解】方法一:不妨設圓心,,,,
所以,
因為,
所以.
方法二:如圖,過圓心作,且與圓交于點M,N,連接,,
過M,N分別作,,垂足分別為G,H,過作,垂足為,
則在方向上的投影向量為,
則,,
又,所以.
故選:B.

29.是邊長為2的正方形邊界或內部一點,且,則的最大值是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【分析】建立坐標系,求出點的坐標,利用向量數量積的坐標公式進行求解即可.
【詳解】以B為坐標原點,以BC方向為軸正方向,以BA方向為軸正方向建立坐標系,

則,設,,,
則,
因為,則,
則,
故當,時取得最大值為5.
另解:令,則為中點,為中點,則,
所以,當為中點時取等.
故選:C
30.如圖,在平面四邊形中,為等邊三角形,當點在對角線上運動時,的最小值為( )

A. B.-1
C. D.2
【答案】A
【分析】利用向量加法運算及數量積定義得,然后利用二次函數求解最值即可,
【詳解】由題意,,,
,所以,
所以,即平分,
由可得

所以當時,有最小值為.
故選:A
31.在中,,,點M,N分別為邊AB,AC上的動點,且,點D為斜邊BC的中點,則的最小值為( )
A.0 B.4 C. D.
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標系,設出,表達出,利用三角換元求出最小值.
【詳解】以所在直線分別為軸,建立平面直角坐標系,
則,設,
因為,則,且,故,
所以,
令,則,
則,
因為,所以,,
故,
所以的最小值為,當且僅當時取得.

故選:D
32.在矩形中,,,,,過M點作交于N點,若E,F分別是和上動點,且,則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據題意建立平面直角坐標系,利用坐標表示向量,計算的最小值.
【詳解】由題意,建立平面直角坐標系,如圖所示:
過點作,垂足為,則,,
由,,可設,,,則,,由,
所以,,,
所以,
當時,取得最小值為.
故答案為:.
33.在長方形中,,,點P為長方形內部的動點,且,當最小時, .
【答案】/
【分析】如圖,以為原點,所在的直線分別為軸,建立平面直角坐標系,設,由可得點在以為圓心,1為半徑的半圓上,由此可得當共線時,最小,從而可求出點的坐標,進而可求出.
【詳解】如圖,以為原點,所在的直線分別為軸,建立平面直角坐標系,則

設,則,,
因為,所以,即,
所以點在以為圓心,1為半徑的半圓上,
所以當共線時,最小,
過作于,因為,,所以,
因為,所以,所以,
所以,
所以,
故答案為:

基礎過關練
1.在中,,則的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定
【答案】B
【分析】由,可得,分析即得解
【詳解】由題意,
,又
為鈍角
則的形狀是鈍角三角形
故選:B
2.設表示“向東走10km”,表示“向南走5km”,則所表示的意義為( )
A.向東南走 B.向西南走
C.向東南走 D.向西南走
【答案】A
【分析】利用向量加法的可交換性與意義即可得解.
【詳解】因為表示“向東走10km”,表示“向南走5km”,
所以所表示的意義為“向東走10km”,再“向南走10km”,
等價于向東南走.
故選:A.
3.在平行四邊形ABCD中,M、N分別在BC、CD上,且滿足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,則△AMN的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
【答案】C
【分析】由圖猜測AN與MN垂直,故驗證是否為零即可.
【詳解】∵
.
∴,
∴是直角三角形.
故選:C.
4.已知點M為外接圓O上的任意一點,,則的最大值為( )
A.1 B. C. D.
【答案】B
【分析】根據向量數量積的幾何意義,結合圖形即可求解.
【詳解】設外接圓的半徑為,由正弦定理得,
故.
所以,
當過點圓上一點作平行于的圓的切線時,此時最大,
由于到的距離為,所以的最大值為
故選:B
5.(多選)如圖放置的邊長為1的正方形的頂點分別在軸、軸正半軸上(含原點)上滑動,則的值可能是( )
A.1 B.
C.2 D.
【答案】AC
【分析】令,由邊長為1的正方形的頂點、分別在軸、軸正半軸上,可得出,的坐標,由此可以表示出兩個向量,由坐標運算即可求解.
【詳解】如圖令,由于故,,
如圖,,故,,
故,
同理可求得,即,
,,

故選:AC
6.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.下列結論中正確的是( )
A.越大越費力,越小越省力 B.的取值范圍為
C.當時, D.當時,
【答案】AD
【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解.
【詳解】對于A,根據題意,得,所以,
解得,因為時,單調遞減,所以越大越費力,越小越省力,故A正確;
對于B,由題意知的取值范圍是,故B錯誤;
對于C,因為,所以當時,,所以,故C錯誤;
對于D,因為,所以當時,,所以,故D正確.
故選:AD.
7.已知是邊長為1的等邊三角形,點O是所在平面上的任意一點,則向量的模為 .
【答案】
【分析】根據平面向量的線性運算以及平面向量數量積的運算律可求出結果.
【詳解】因為是邊長為1的等邊三角形,所以,,
所以,
所以
.
故答案為:
8.如圖,在直角梯形中,,,,E為的中點,若,則 , .
【答案】
【分析】以D為原點,邊所在直線為x軸,邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系,利用向量坐標運算性質、平面向量基本定理即可得出.
【詳解】以D為原點,邊所在直線為x軸,邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系.
不妨設,則,,,,,
,,,
∵,
∴,
∴,解得,
故答案為:;.
【點睛】本題考查了向量坐標運算性質、向量基本定理、方程解法,考查了推理能與計算能力,屬于基礎題.
9.伴隨著國內經濟的持續增長,人民的生活水平也相應有所提升,其中旅游業帶來的消費是居民消費領域增長最快的,因此挖掘特色景區,營造文化氛圍尤為重要.某景區的部分道路如圖所示,,,,,要建設一條從點到點的空中長廊,則 .
【答案】
【解析】根據題中條件,先得到,,利用向量數量積的運算法則,計算,即可求出結果.
【詳解】由題可知,所以,
由可得,

又,,

所以,則.
故答案為:.
10.用向量的方法證明如圖,在中,點E,F分別是AD和DC邊的中點,BE,BF分別交AC于點R,T.你能發現AR,RT,TC之間的關系嗎?

【答案】,理由見解析
【分析】根據向量基本定理得到,結合三點共線,求出,同理可證出,得到結論.
【詳解】因為四邊形為平行四邊形,所以,
設,
因為是的中點,所以,
故,
又因為三點共線,
可設,即,
即,
故,相加可得,解得,
故,
同理可證,
故可知為的三等分點,
故.
11.如圖,在傾角為、高m的斜面上,質量為5kg的物體沿斜面下滑,物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍,N/kg.求物體由斜面頂端滑到底端的過程中,物體所受各力對物體所做的功,(參考數據,).
【答案】答案見解析
【分析】首先分析物體的受力,再計算各個力所做的功.
【詳解】物體受三個力,重力,斜面對物體的支持力,摩擦力,
且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力,則重力與位移之間的夾角,
則重力對物體做的功,
支持力與位移方向垂直,做功為,
摩擦力與位移方向相反,對物體做功


12.如圖,已知與的夾角為,,,,,與相交于點.
(1)求;
(2)求與的夾角的余弦值.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根據題意,分析可得,由數量積的運算性質計算可得答案;
(2)根據題意,設與的夾角為,則與的夾角也是,分析有,求出、的值,由向量夾角公式計算可得答案.
【詳解】(1)根據題意,,即是的中點,則,
則,則;
(2)設與的夾角為,則與的夾角也是,

則,

則.
能力提升練
1.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.給出以下結論:
①越大越費力,越小越省力;②的范圍為;
③當時,;④當時,.
其中正確結論的序號是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】B
【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解.
【詳解】對于②,當時,故無法抬動物體,故②錯誤;
對于①,根據題意,得,所以,
解得,因為時,單調遞減,所以越大越費力,越小越省力,故①正確;
對于③,因為,所以當時,,所以,故③錯誤;
對于④,因為,所以當時,,所以,故④正確.
故選:B.
2.已知中,,,則此三角形為(  )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據即可得為等腰三角形,又因為可知,所以為等邊三角形.
【詳解】如下圖所示:

設M為AC中點,則,
所以,即為等腰三角形,
又,所以,
即,
所以,可得,
綜上可知三角形為等邊三角形.
故選:B.
3.已知點為正所在平面上一點,且滿足,若的面積與的面積比值為,則的值為( )
A. B.
C.2 D.3
【答案】B
【分析】如圖,分別是對應邊的中點,對所給的向量等式進行變形,根據變化后的條件得到,由于正三角形,結合題目中的面積關系得到,,由面積之比,分所成的比,從而得出的值.
【詳解】,

如圖,,分別是對應邊的中點,
由平行四邊形法則知,,
故,
在正三角形中,


且三角形與三角形的底邊相等,面積之比為,
所以,得.
故選:B
4.(多選)若正方形,O為所在平面內一點,且,則下列說法正確的是( )
A.可以表示平面內任意一個向量
B.若,則O在直線BD上
C.若,,則
D.若,則
【答案】ABD
【分析】A由平面向量基本定理判斷;B由向量共線的推論判斷;C利用向量加法、數乘等線性運算用表示出;D由題設可得,若為中點,則,即可判斷.
【詳解】A:由題意,又,以為基底的坐標系中,
根據平面向量基本定理易知可以表示平面內任意一個向量,對;
B:由向量共線的推論知:,則O在直線BD上,對;
C:由題設,則,
所以,錯;
D:由,則,
若為中點,則,即且,如下圖示,
所以,對.
故選:ABD
5.在平面四邊形中,,則 ; .
【答案】
【分析】根據求出B的大小,從而可判斷△ABC的形狀,從而求出;再求出,從而求出∠ACD的大小,再根據即可求出.
【詳解】∵,
又,故,
∵,故,
∴為等邊三角形,則;
∵,∴,又,∴,
得,
∴,
根據以上分析作圖如下:
則∠BCD=150°,


故答案為:1;
6.在等腰梯形ABCD中,已知,,,,動點E和F分別在線段BC和DC上,且,,則的最小值為 .
【答案】
【分析】由題意可得,,進一步化為,再利用條件以及基本不等式,求得它的最小值.
【詳解】由題意,,,
所以,,
又動點和分別在線段和上,且,,所以,解得,

當且僅當時,即時取等號,故的最小值為,
故答案為:.
7.如圖,在中,已知,,點在上,且,點是的中點,連接,相交于點.
(1)求線段,的長;
(2)求的余弦值.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)由,,根據向量數量積的運算即可求解;
(2)由與的夾角即為,利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】(1)解:由題意,,,
又,
所以,
,即,
=

,即;
(2)解:,
==,
與的夾角即為,
.
8.在△ABC中,已知,,,,Q為線段CA延長線上的一點,且.
(1)當且,設PQ與AB交于點M,求線段CM的長;
(2)若,求t的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)用表示,結合向量的模公式,即可求得本題答案;
(2)結合題目條件和向量積的公式,逐步化簡,可得到,然后分離變量,利用函數的單調性即可求得本題答案.
【詳解】(1)因為且,所以是的中點,是的中點,則M是的重心,
設,
所以,

(2)因為,,
所以,



由,得:,
所以,因為,,
所以,,
令,則在單調遞減,所以當時,有最大值-3.6.4.1~6.4.2平面幾何、物理的向量應用
1.通過向量方法解決平面幾何問題,例:幾何的垂直、平行、夾角等問題;
2.通過用向量的方法解決力學問題及其他物理問題.
一、向量在幾何中的應用
1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”.
①建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題.
②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題.
③把運算結果“翻譯”成幾何關系.
2.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路
(1)向量的線性運算法的四個步驟:①選取基底;②用基底表示相關向量;
③利用向量的線性運算或數量積找到相應關系;④把計算所得結果轉化為幾何問題.
(2)向量的坐標運算法的四個步驟:①建立適當的平面直角坐標系;②把相關向量坐標化;
③用向量的坐標運算找到相應關系;④利用向量關系回答幾何問題.
二、向量在物理中的應用
(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加減法運算體現在一些物理量的合成和分解上.
(3)動量是向量的數乘運算.
(4)功是力與位移的數量積.
用向量解決物理問題的一般步驟
(1)問題的轉化:把物理問題轉化為數學問題.
(2)模型的建立:建立以向量為主體的數學模型.
(3)參數的獲得:求出數學模型的有關解——理論參數值.
(4)問題的答案:回到問題的初始狀態,解釋相關的物理現象.
考點01 向量在物理中的應用
1.一物體在力的作用下,由點移動到點.已知,則對該物體所做的功為(  )
A. B. C. D.
2.如圖為某種禮物降落傘的示意圖,其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質量為,每根繩子的拉力大小相同,則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度取)最接近( )

A. B. C. D.
3.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包,假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,且與的夾角為,下列結論中正確的是( )

A.越小越省力,越大越費力 B.的范圍為
C.當時, D.當時,
4.(多選)三名學生拉同一個可移動物體,當處于平衡狀態時,所用的力分別用表示.若, 的夾角是,則下列說法正確的是( )
A.
B.
C.夾角的余弦值為
D.夾角的余弦值為得
5.如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度,一艘船從點出發航行到河對岸,船航行速度的大小為,水流速度的大小為,設和的夾角為.
(1)當多大時,船能垂直到達對岸?
(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?
6.飛機從A地按北偏西的方向飛行到達B地,再從B地按南偏東的方向飛行到達C地,求該飛機飛行的路程和位移.
考點02 證明線段垂直
7.已知平面四邊形的四條邊,,,的中點依次為E,F,G,H,且,則四邊形一定為( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形
8.已知的三個頂點分別是,,,則的形狀是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
9.四邊形中,,,則這個四邊形是( )
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形
10.用向量方法證明:菱形的兩條對角線互相垂直.
11.如圖,正方形ABCD的邊長為a, E是AB的中點,F是BC的中點,求證:DE⊥AF.
考點03 求線段長度
12.在中,點D是邊的中點,,,,則的值為( )
A. B. C. D.
13.已知,,三點共圓,,且點,,滿足,若,則點到點的距離的最大值為( )
A. B.
C. D.
14.已知的夾角為,則三角形的邊上中線的長為 .
15.已知兩點分別是四邊形的邊的中點,且,,,,則線段的長為是
16.如圖,在中,.
(1)求的長;
(2)求的長.
考點04 求線段夾角
17.在中,,,,,,CN與BM交于點P,則的值為( )
A. B.
C. D.
18.如圖,正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點,F是BC邊上靠近點B的三等分點,AF與DE交于M,則 .

19.如圖,在中,已知,,,且.求.
20.在中,已知,,,和邊上的兩條中線,相交于點,則的余弦值為
21.在梯形中,,且,,分別為線段和的中點,若,,用,表示 .若,則余弦值的最小值為 .
考點05 判斷多邊形形狀
22.在中,若,則的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
23.是所在平面內一點,滿足,則的形狀是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
24.已知滿足 (其中是常數),則的形狀一定是
A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
25.在四邊形中,,則四邊形的形狀是 .
26.若為所在平面內任意一點,且滿足,則的形狀為 .(填:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形)
考點06 求平面幾何的最值范圍問題
27.如圖,已知正方形的邊長為4,若動點在以為直徑的半圓上(正方形內部,含邊界),則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
28.已知圓的半徑為1,過圓外一點作一條切線與圓相切于點,,為圓上一個動點,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
29.是邊長為2的正方形邊界或內部一點,且,則的最大值是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
30.如圖,在平面四邊形中,為等邊三角形,當點在對角線上運動時,的最小值為( )

A. B.-1
C. D.2
31.在中,,,點M,N分別為邊AB,AC上的動點,且,點D為斜邊BC的中點,則的最小值為( )
A.0 B.4 C. D.
32.在矩形中,,,,,過M點作交于N點,若E,F分別是和上動點,且,則的最小值為 .
33.在長方形中,,,點P為長方形內部的動點,且,當最小時, .
基礎過關練
1.在中,,則的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定
2.設表示“向東走10km”,表示“向南走5km”,則所表示的意義為( )
A.向東南走 B.向西南走
C.向東南走 D.向西南走
3.在平行四邊形ABCD中,M、N分別在BC、CD上,且滿足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,則△AMN的形狀是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4.已知點M為外接圓O上的任意一點,,則的最大值為( )
A.1 B. C. D.
5.(多選)如圖放置的邊長為1的正方形的頂點分別在軸、軸正半軸上(含原點)上滑動,則的值可能是( )
A.1 B.
C.2 D.
6.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.下列結論中正確的是( )
A.越大越費力,越小越省力 B.的取值范圍為
C.當時, D.當時,
7.已知是邊長為1的等邊三角形,點O是所在平面上的任意一點,則向量的模為 .
8.如圖,在直角梯形中,,,,E為的中點,若,則 , .
9.伴隨著國內經濟的持續增長,人民的生活水平也相應有所提升,其中旅游業帶來的消費是居民消費領域增長最快的,因此挖掘特色景區,營造文化氛圍尤為重要.某景區的部分道路如圖所示,,,,,要建設一條從點到點的空中長廊,則 .
10.用向量的方法證明如圖,在中,點E,F分別是AD和DC邊的中點,BE,BF分別交AC于點R,T.你能發現AR,RT,TC之間的關系嗎?

11.如圖,在傾角為、高m的斜面上,質量為5kg的物體沿斜面下滑,物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍,N/kg.求物體由斜面頂端滑到底端的過程中,物體所受各力對物體所做的功,(參考數據,).
12.如圖,已知與的夾角為,,,,,與相交于點.
(1)求;
(2)求與的夾角的余弦值.
能力提升練
1.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.給出以下結論:
①越大越費力,越小越省力;②的范圍為;
③當時,;④當時,.
其中正確結論的序號是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
2.已知中,,,則此三角形為(  )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
3.已知點為正所在平面上一點,且滿足,若的面積與的面積比值為,則的值為( )
A. B.
C.2 D.3
4.(多選)若正方形,O為所在平面內一點,且,則下列說法正確的是( )
A.可以表示平面內任意一個向量
B.若,則O在直線BD上
C.若,,則
D.若,則
5.在平面四邊形中,,則 ; .
6.在等腰梯形ABCD中,已知,,,,動點E和F分別在線段BC和DC上,且,,則的最小值為 .
7.如圖,在中,已知,,點在上,且,點是的中點,連接,相交于點.
(1)求線段,的長;
(2)求的余弦值.
8.在△ABC中,已知,,,,Q為線段CA延長線上的一點,且.
(1)當且,設PQ與AB交于點M,求線段CM的長;
(2)若,求t的最大值.

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