資源簡介 6.4.1~6.4.2平面幾何、物理的向量應用1.通過向量方法解決平面幾何問題,例:幾何的垂直、平行、夾角等問題;2.通過用向量的方法解決力學問題及其他物理問題.一、向量在幾何中的應用1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”.①建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題.②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題.③把運算結果“翻譯”成幾何關系.2.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運算法的四個步驟:①選取基底;②用基底表示相關向量;③利用向量的線性運算或數量積找到相應關系;④把計算所得結果轉化為幾何問題.(2)向量的坐標運算法的四個步驟:①建立適當的平面直角坐標系;②把相關向量坐標化;③用向量的坐標運算找到相應關系;④利用向量關系回答幾何問題.二、向量在物理中的應用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加減法運算體現在一些物理量的合成和分解上.(3)動量是向量的數乘運算.(4)功是力與位移的數量積.用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉化:把物理問題轉化為數學問題.(2)模型的建立:建立以向量為主體的數學模型.(3)參數的獲得:求出數學模型的有關解——理論參數值.(4)問題的答案:回到問題的初始狀態,解釋相關的物理現象.考點01 向量在物理中的應用1.一物體在力的作用下,由點移動到點.已知,則對該物體所做的功為( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根據數量積的坐標表示計算可得.【詳解】由,,所以,又,∴對物體做的功.故選:B.2.如圖為某種禮物降落傘的示意圖,其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質量為,每根繩子的拉力大小相同,則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度取)最接近( ) A. B. C. D.【答案】A【分析】設每根繩子上的拉力大小為T,根據平衡條件列式求解即可.【詳解】設每根繩子上的拉力大小為T,則根據平衡條件可得,,解得.所以降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小約為1.41N.故選:A.3.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包,假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,且與的夾角為,下列結論中正確的是( ) A.越小越省力,越大越費力 B.的范圍為C.當時, D.當時,【答案】AC【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解即可得.【詳解】對A:根據題意,得,所以,解得,因為時,單調遞減,所以越小越省力,越大越費力,故A正確;對B:由題意知的取值范圍是,故B錯誤;對C:因為,所以當時,,所以,故C正確;對D:因為,所以當時,,所以,故D錯誤.故選:AC.4.(多選)三名學生拉同一個可移動物體,當處于平衡狀態時,所用的力分別用表示.若, 的夾角是,則下列說法正確的是( )A.B.C.夾角的余弦值為D.夾角的余弦值為得【答案】BC【分析】根據,然后利用數量積的運算律及模的運算公式求解,再由及數量積的運算公式求解即可.【詳解】由已知可知:,所以.設的夾角為,由,得,所以,得解.故選:BC5.如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度,一艘船從點出發航行到河對岸,船航行速度的大小為,水流速度的大小為,設和的夾角為.(1)當多大時,船能垂直到達對岸?(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?【答案】(1)(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間不是最短,理由見解析.【分析】(1)由題意,且與垂直,即,根據數量積的定義即可求解;(2)設船航行到對岸所需的時間為,則,比較和兩種情況即可求解.【詳解】(1)解:船垂直到達對岸,即且與垂直,即,所以,即,所以,解得;(2)解:設船航行到對岸所需的時間為,則,所以當時,船的航行時間最短為,而當船垂直到達對岸時,由(1)知,所需時間,,故當船垂直到達對岸時,航行所需時間不是最短.6.飛機從A地按北偏西的方向飛行到達B地,再從B地按南偏東的方向飛行到達C地,求該飛機飛行的路程和位移.【答案】位移大小為(方向在A地的東偏北),路程【分析】根據題意作出圖形,由位移的合成及三角形的知識即可求解.【詳解】如圖所示,表示飛機從A地按北偏西方向飛行到B地的位移,則.表示飛機從B地按南偏東方向飛行到C地的位移,則.所以該飛機飛行的路程為.表示飛機從A地到C地的位移,在中,,且,則為等邊三角形,所以,則.所以該飛機飛行的位移的大小為,方向在A地的東偏北.考點02 證明線段垂直7.已知平面四邊形的四條邊,,,的中點依次為E,F,G,H,且,則四邊形一定為( )A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形【答案】C【分析】由中位線定理可得四邊形為平行四邊形,結合已知以及,化簡整理得,即,進一步即可得解.【詳解】 由題意結合中位線定理可得,,所以,即四邊形為平行四邊形.,,,,,即,即,所以,又,所以,同理由中位線定理可得,所以,故四邊形為矩形.故選:C.8.已知的三個頂點分別是,,,則的形狀是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【分析】利用向量數量積的坐標表示即可求得,由模長公式計算可得,即可得出結論.【詳解】易知,可得,即,且,所以可得的形狀是直角三角形.故選:B9.四邊形中,,,則這個四邊形是( )A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形【答案】A【分析】由可得,且,即四邊形為平行四邊形,又,即四邊形為菱形,即得解【詳解】由題意,即,且故四邊形為平行四邊形又故即四邊形為菱形故選:A10.用向量方法證明:菱形的兩條對角線互相垂直.【答案】證明見詳解【分析】根據向量的線性運算結合數量積分析證明.【詳解】對于菱形,可知,即,因為,可得,則,所以菱形的兩條對角線互相垂直.11.如圖,正方形ABCD的邊長為a, E是AB的中點,F是BC的中點,求證:DE⊥AF.【答案】證明見解析【分析】利用平面向量加法、數乘的幾何意義有·=·,根據數量積的運算律,線段的位置、數量關系可得·=0,即可證結論.【詳解】∵·=·=2-2,而,∴·=0,∴⊥,即DE⊥AF.考點03 求線段長度12.在中,點D是邊的中點,,,,則的值為( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由平面向量的數量積與模的關系計算即可.【詳解】如圖所示,由題意可得:,即,解之得.故選:A13.已知,,三點共圓,,且點,,滿足,若,則點到點的距離的最大值為( )A. B.C. D.【答案】D【分析】應用平面向量基本定理結合圖形特征,解決距離和最大.【詳解】作出圖形如圖所示,取線段的中點.因為,所以,故,故點在以為圓心,為半徑的圓上,則點到點的距離.設,,所在圓的圓心為,則當,,三點共線,即點在線段上,時,取到最大值,此時為等邊三角形,故,則點到點的距離的最大值為.故選:D.14.已知的夾角為,則三角形的邊上中線的長為 .【答案】【分析】設D為的中點,則,再由向量數量積的運算性質求解即可.【詳解】設D為的中點,則,所以,所以,所以.故答案為:15.已知兩點分別是四邊形的邊的中點,且,,,,則線段的長為是【答案】【分析】作,交于點,可知;利用向量線性運算可得到,根據,由向量數量積的定義和運算律可求解得到.【詳解】作,交于點,則,,則;,,又,,,,,故答案為:.16.如圖,在中,.(1)求的長;(2)求的長.【答案】(1)(2)【分析】(1)確定,,,,計算得到答案.(2),,計算得到答案.【詳解】(1);,,故,.(2),.考點04 求線段夾角17.在中,,,,,,CN與BM交于點P,則的值為( )A. B.C. D.【答案】D【分析】將三角形放到直角坐標系當中,利用坐標法求向量夾角,即可求解.【詳解】解:建立如圖直角坐標系,則,得,所以,故選:D.18.如圖,正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點,F是BC邊上靠近點B的三等分點,AF與DE交于M,則 . 【答案】【分析】先利用向量的線性運算表示,,然后數量積求解夾角余弦值即可.【詳解】設,,則,,又,,所以.故答案為:19.如圖,在中,已知,,,且.求.【答案】【分析】根據向量線性運算結合已知可得故,,平方后利用數量積的運算法則求得,再利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意得,的夾角為,,則,又,所以,故,同理于是,,,.20.在中,已知,,,和邊上的兩條中線,相交于點,則的余弦值為【答案】/【分析】由已知結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解.【詳解】由已知得即為向量與的夾角.因為M、N分別是,邊上的中點,所以,.又因為,所以,,,所以.故答案為:21.在梯形中,,且,,分別為線段和的中點,若,,用,表示 .若,則余弦值的最小值為 .【答案】【分析】空(1)使用向量線性運算求解即可;空(2)以與為基底,用數量積的形式表示出,再由基本不等式求解即可.【詳解】如圖,由已知,.∴.設,即與的夾角為,,若,則,∴,又∵,,∴由基本不等式,∴.當且僅當,即時,等號成立.故答案為:,.【點睛】關鍵點睛:解決本題第2空的關鍵,是用以為夾角的兩個向量作為基底,將垂直關系轉化為數量積的形式,再借助基本不等式求解.考點05 判斷多邊形形狀22.在中,若,則的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【分析】利用平面向量的數量積運算律計算即可.【詳解】由題意可知,所以,即的形狀是直角三角形.故選:C23.是所在平面內一點,滿足,則的形狀是( )A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】C【分析】由已知條件可得出,等式兩邊平方可得出,即可得出結論.【詳解】因為,由可得,可得,整理可得,,所以,為直角三角形.故選:C.24.已知滿足 (其中是常數),則的形狀一定是A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】C【詳解】分析:由題意結合向量的運算法則和平面幾何的結論確定△ABC的形狀即可.詳解:如圖所示,在邊(或取延長線)上取點,使得,在邊(或取延長線)上取點,使得,由題意結合平面向量的運算法則可知:,,而,據此可得:,從而:,結合平面幾何知識可知:,而,故.即△ABC為等腰三角形.本題選擇C選項.點睛:用平面向量解決平面幾何問題時,有兩種方法:基向量法和坐標系法,利用基向量的時候需要針對具體的題目選擇合適的基向量,建立平面直角坐標系時一般利用已知的垂直關系,或使較多的點落在坐標軸上,這樣便于迅速解題.25.在四邊形中,,則四邊形的形狀是 .【答案】矩形【分析】根據向量數量積可得垂直,根據向量相等可證平行.【詳解】由可知,進而,由可得且,所以四邊形為矩形,故答案為:矩形26.若為所在平面內任意一點,且滿足,則的形狀為 .(填:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形)【答案】等腰三角形【分析】取的中點,根據平面向量的線性運算計算,從而,于是.【詳解】取中點,連接,則,又,,,,;;的形狀是等腰三角形.故答案為:等腰三角形.考點06 求平面幾何的最值范圍問題27.如圖,已知正方形的邊長為4,若動點在以為直徑的半圓上(正方形內部,含邊界),則的取值范圍為( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根據已知條件及極化恒等式,結合向量的線性運算即可求解.【詳解】取的中點,連接,如圖所示,所以的取值范圍是,即,又由,所以.故選:B.28.已知圓的半徑為1,過圓外一點作一條切線與圓相切于點,,為圓上一個動點,則的取值范圍為( )A. B. C. D.【答案】B【分析】方法一:建立合適的坐標系,設,根據余弦函數的范圍即可得到數量積范圍;方法二:根據數量積與投影向量之間的關系進行轉化即可.【詳解】方法一:不妨設圓心,,,,所以,因為,所以.方法二:如圖,過圓心作,且與圓交于點M,N,連接,,過M,N分別作,,垂足分別為G,H,過作,垂足為,則在方向上的投影向量為,則,,又,所以.故選:B. 29.是邊長為2的正方形邊界或內部一點,且,則的最大值是( )A.2 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】建立坐標系,求出點的坐標,利用向量數量積的坐標公式進行求解即可.【詳解】以B為坐標原點,以BC方向為軸正方向,以BA方向為軸正方向建立坐標系, 則,設,,,則,因為,則,則,故當,時取得最大值為5.另解:令,則為中點,為中點,則,所以,當為中點時取等.故選:C30.如圖,在平面四邊形中,為等邊三角形,當點在對角線上運動時,的最小值為( ) A. B.-1C. D.2【答案】A【分析】利用向量加法運算及數量積定義得,然后利用二次函數求解最值即可,【詳解】由題意,,,,所以,所以,即平分,由可得,所以當時,有最小值為.故選:A31.在中,,,點M,N分別為邊AB,AC上的動點,且,點D為斜邊BC的中點,則的最小值為( )A.0 B.4 C. D.【答案】D【分析】建立平面直角坐標系,設出,表達出,利用三角換元求出最小值.【詳解】以所在直線分別為軸,建立平面直角坐標系,則,設,因為,則,且,故,所以,令,則,則,因為,所以,,故,所以的最小值為,當且僅當時取得. 故選:D32.在矩形中,,,,,過M點作交于N點,若E,F分別是和上動點,且,則的最小值為 .【答案】【分析】根據題意建立平面直角坐標系,利用坐標表示向量,計算的最小值.【詳解】由題意,建立平面直角坐標系,如圖所示:過點作,垂足為,則,,由,,可設,,,則,,由,所以,,,所以,當時,取得最小值為.故答案為:.33.在長方形中,,,點P為長方形內部的動點,且,當最小時, .【答案】/【分析】如圖,以為原點,所在的直線分別為軸,建立平面直角坐標系,設,由可得點在以為圓心,1為半徑的半圓上,由此可得當共線時,最小,從而可求出點的坐標,進而可求出.【詳解】如圖,以為原點,所在的直線分別為軸,建立平面直角坐標系,則,設,則,,因為,所以,即,所以點在以為圓心,1為半徑的半圓上,所以當共線時,最小,過作于,因為,,所以,因為,所以,所以,所以,所以,故答案為: 基礎過關練1.在中,,則的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定【答案】B【分析】由,可得,分析即得解【詳解】由題意,,又為鈍角則的形狀是鈍角三角形故選:B2.設表示“向東走10km”,表示“向南走5km”,則所表示的意義為( )A.向東南走 B.向西南走C.向東南走 D.向西南走【答案】A【分析】利用向量加法的可交換性與意義即可得解.【詳解】因為表示“向東走10km”,表示“向南走5km”,所以所表示的意義為“向東走10km”,再“向南走10km”,等價于向東南走.故選:A.3.在平行四邊形ABCD中,M、N分別在BC、CD上,且滿足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,則△AMN的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【答案】C【分析】由圖猜測AN與MN垂直,故驗證是否為零即可.【詳解】∵.∴,∴是直角三角形.故選:C.4.已知點M為外接圓O上的任意一點,,則的最大值為( )A.1 B. C. D.【答案】B【分析】根據向量數量積的幾何意義,結合圖形即可求解.【詳解】設外接圓的半徑為,由正弦定理得,故.所以,當過點圓上一點作平行于的圓的切線時,此時最大,由于到的距離為,所以的最大值為故選:B5.(多選)如圖放置的邊長為1的正方形的頂點分別在軸、軸正半軸上(含原點)上滑動,則的值可能是( )A.1 B.C.2 D.【答案】AC【分析】令,由邊長為1的正方形的頂點、分別在軸、軸正半軸上,可得出,的坐標,由此可以表示出兩個向量,由坐標運算即可求解.【詳解】如圖令,由于故,,如圖,,故,,故,同理可求得,即,,,,故選:AC6.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.下列結論中正確的是( )A.越大越費力,越小越省力 B.的取值范圍為C.當時, D.當時,【答案】AD【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解.【詳解】對于A,根據題意,得,所以,解得,因為時,單調遞減,所以越大越費力,越小越省力,故A正確;對于B,由題意知的取值范圍是,故B錯誤;對于C,因為,所以當時,,所以,故C錯誤;對于D,因為,所以當時,,所以,故D正確.故選:AD.7.已知是邊長為1的等邊三角形,點O是所在平面上的任意一點,則向量的模為 .【答案】【分析】根據平面向量的線性運算以及平面向量數量積的運算律可求出結果.【詳解】因為是邊長為1的等邊三角形,所以,,所以,所以.故答案為:8.如圖,在直角梯形中,,,,E為的中點,若,則 , .【答案】【分析】以D為原點,邊所在直線為x軸,邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系,利用向量坐標運算性質、平面向量基本定理即可得出.【詳解】以D為原點,邊所在直線為x軸,邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系.不妨設,則,,,,,,,,∵,∴,∴,解得,故答案為:;.【點睛】本題考查了向量坐標運算性質、向量基本定理、方程解法,考查了推理能與計算能力,屬于基礎題.9.伴隨著國內經濟的持續增長,人民的生活水平也相應有所提升,其中旅游業帶來的消費是居民消費領域增長最快的,因此挖掘特色景區,營造文化氛圍尤為重要.某景區的部分道路如圖所示,,,,,要建設一條從點到點的空中長廊,則 .【答案】【解析】根據題中條件,先得到,,利用向量數量積的運算法則,計算,即可求出結果.【詳解】由題可知,所以,由可得,,又,,,所以,則.故答案為:.10.用向量的方法證明如圖,在中,點E,F分別是AD和DC邊的中點,BE,BF分別交AC于點R,T.你能發現AR,RT,TC之間的關系嗎? 【答案】,理由見解析【分析】根據向量基本定理得到,結合三點共線,求出,同理可證出,得到結論.【詳解】因為四邊形為平行四邊形,所以,設,因為是的中點,所以,故,又因為三點共線,可設,即,即,故,相加可得,解得,故,同理可證,故可知為的三等分點,故.11.如圖,在傾角為、高m的斜面上,質量為5kg的物體沿斜面下滑,物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍,N/kg.求物體由斜面頂端滑到底端的過程中,物體所受各力對物體所做的功,(參考數據,).【答案】答案見解析【分析】首先分析物體的受力,再計算各個力所做的功.【詳解】物體受三個力,重力,斜面對物體的支持力,摩擦力,且重力可分解為沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力,則重力與位移之間的夾角,則重力對物體做的功,支持力與位移方向垂直,做功為,摩擦力與位移方向相反,對物體做功. 12.如圖,已知與的夾角為,,,,,與相交于點.(1)求;(2)求與的夾角的余弦值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據題意,分析可得,由數量積的運算性質計算可得答案;(2)根據題意,設與的夾角為,則與的夾角也是,分析有,求出、的值,由向量夾角公式計算可得答案.【詳解】(1)根據題意,,即是的中點,則,則,則;(2)設與的夾角為,則與的夾角也是,,則,,則.能力提升練1.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.給出以下結論:①越大越費力,越小越省力;②的范圍為;③當時,;④當時,.其中正確結論的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【分析】利用平面向量的加法運算以及模長、數量積公式進行求解.【詳解】對于②,當時,故無法抬動物體,故②錯誤;對于①,根據題意,得,所以,解得,因為時,單調遞減,所以越大越費力,越小越省力,故①正確;對于③,因為,所以當時,,所以,故③錯誤;對于④,因為,所以當時,,所以,故④正確.故選:B.2.已知中,,,則此三角形為( )A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【分析】根據即可得為等腰三角形,又因為可知,所以為等邊三角形.【詳解】如下圖所示: 設M為AC中點,則,所以,即為等腰三角形,又,所以,即,所以,可得,綜上可知三角形為等邊三角形.故選:B.3.已知點為正所在平面上一點,且滿足,若的面積與的面積比值為,則的值為( )A. B.C.2 D.3【答案】B【分析】如圖,分別是對應邊的中點,對所給的向量等式進行變形,根據變化后的條件得到,由于正三角形,結合題目中的面積關系得到,,由面積之比,分所成的比,從而得出的值.【詳解】,.如圖,,分別是對應邊的中點,由平行四邊形法則知,,故,在正三角形中,,,且三角形與三角形的底邊相等,面積之比為,所以,得.故選:B4.(多選)若正方形,O為所在平面內一點,且,則下列說法正確的是( )A.可以表示平面內任意一個向量B.若,則O在直線BD上C.若,,則D.若,則【答案】ABD【分析】A由平面向量基本定理判斷;B由向量共線的推論判斷;C利用向量加法、數乘等線性運算用表示出;D由題設可得,若為中點,則,即可判斷.【詳解】A:由題意,又,以為基底的坐標系中,根據平面向量基本定理易知可以表示平面內任意一個向量,對;B:由向量共線的推論知:,則O在直線BD上,對;C:由題設,則,所以,錯;D:由,則,若為中點,則,即且,如下圖示,所以,對.故選:ABD5.在平面四邊形中,,則 ; .【答案】【分析】根據求出B的大小,從而可判斷△ABC的形狀,從而求出;再求出,從而求出∠ACD的大小,再根據即可求出.【詳解】∵,又,故,∵,故,∴為等邊三角形,則;∵,∴,又,∴,得,∴,根據以上分析作圖如下:則∠BCD=150°,則.故答案為:1;6.在等腰梯形ABCD中,已知,,,,動點E和F分別在線段BC和DC上,且,,則的最小值為 .【答案】【分析】由題意可得,,進一步化為,再利用條件以及基本不等式,求得它的最小值.【詳解】由題意,,,所以,,又動點和分別在線段和上,且,,所以,解得,,當且僅當時,即時取等號,故的最小值為,故答案為:.7.如圖,在中,已知,,點在上,且,點是的中點,連接,相交于點.(1)求線段,的長;(2)求的余弦值.【答案】(1),(2)【分析】(1)由,,根據向量數量積的運算即可求解;(2)由與的夾角即為,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】(1)解:由題意,,,又,所以,,即, =,,即;(2)解:,==, 與的夾角即為,.8.在△ABC中,已知,,,,Q為線段CA延長線上的一點,且.(1)當且,設PQ與AB交于點M,求線段CM的長;(2)若,求t的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)用表示,結合向量的模公式,即可求得本題答案;(2)結合題目條件和向量積的公式,逐步化簡,可得到,然后分離變量,利用函數的單調性即可求得本題答案.【詳解】(1)因為且,所以是的中點,是的中點,則M是的重心,設,所以,;(2)因為,,所以,,,,由,得:,所以,因為,,所以,,令,則在單調遞減,所以當時,有最大值-3.6.4.1~6.4.2平面幾何、物理的向量應用1.通過向量方法解決平面幾何問題,例:幾何的垂直、平行、夾角等問題;2.通過用向量的方法解決力學問題及其他物理問題.一、向量在幾何中的應用1.用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟”.①建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題.②通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題.③把運算結果“翻譯”成幾何關系.2.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運算法的四個步驟:①選取基底;②用基底表示相關向量;③利用向量的線性運算或數量積找到相應關系;④把計算所得結果轉化為幾何問題.(2)向量的坐標運算法的四個步驟:①建立適當的平面直角坐標系;②把相關向量坐標化;③用向量的坐標運算找到相應關系;④利用向量關系回答幾何問題.二、向量在物理中的應用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加減法運算體現在一些物理量的合成和分解上.(3)動量是向量的數乘運算.(4)功是力與位移的數量積.用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉化:把物理問題轉化為數學問題.(2)模型的建立:建立以向量為主體的數學模型.(3)參數的獲得:求出數學模型的有關解——理論參數值.(4)問題的答案:回到問題的初始狀態,解釋相關的物理現象.考點01 向量在物理中的應用1.一物體在力的作用下,由點移動到點.已知,則對該物體所做的功為( )A. B. C. D.2.如圖為某種禮物降落傘的示意圖,其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質量為,每根繩子的拉力大小相同,則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度取)最接近( ) A. B. C. D.3.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包,假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,且與的夾角為,下列結論中正確的是( ) A.越小越省力,越大越費力 B.的范圍為C.當時, D.當時,4.(多選)三名學生拉同一個可移動物體,當處于平衡狀態時,所用的力分別用表示.若, 的夾角是,則下列說法正確的是( )A.B.C.夾角的余弦值為D.夾角的余弦值為得5.如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度,一艘船從點出發航行到河對岸,船航行速度的大小為,水流速度的大小為,設和的夾角為.(1)當多大時,船能垂直到達對岸?(2)當船垂直到達對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?6.飛機從A地按北偏西的方向飛行到達B地,再從B地按南偏東的方向飛行到達C地,求該飛機飛行的路程和位移.考點02 證明線段垂直7.已知平面四邊形的四條邊,,,的中點依次為E,F,G,H,且,則四邊形一定為( )A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形8.已知的三個頂點分別是,,,則的形狀是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形9.四邊形中,,,則這個四邊形是( )A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形10.用向量方法證明:菱形的兩條對角線互相垂直.11.如圖,正方形ABCD的邊長為a, E是AB的中點,F是BC的中點,求證:DE⊥AF.考點03 求線段長度12.在中,點D是邊的中點,,,,則的值為( )A. B. C. D.13.已知,,三點共圓,,且點,,滿足,若,則點到點的距離的最大值為( )A. B.C. D.14.已知的夾角為,則三角形的邊上中線的長為 .15.已知兩點分別是四邊形的邊的中點,且,,,,則線段的長為是16.如圖,在中,.(1)求的長;(2)求的長.考點04 求線段夾角17.在中,,,,,,CN與BM交于點P,則的值為( )A. B.C. D.18.如圖,正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點,F是BC邊上靠近點B的三等分點,AF與DE交于M,則 . 19.如圖,在中,已知,,,且.求.20.在中,已知,,,和邊上的兩條中線,相交于點,則的余弦值為21.在梯形中,,且,,分別為線段和的中點,若,,用,表示 .若,則余弦值的最小值為 .考點05 判斷多邊形形狀22.在中,若,則的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形23.是所在平面內一點,滿足,則的形狀是( )A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形24.已知滿足 (其中是常數),則的形狀一定是A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形25.在四邊形中,,則四邊形的形狀是 .26.若為所在平面內任意一點,且滿足,則的形狀為 .(填:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形)考點06 求平面幾何的最值范圍問題27.如圖,已知正方形的邊長為4,若動點在以為直徑的半圓上(正方形內部,含邊界),則的取值范圍為( )A. B. C. D.28.已知圓的半徑為1,過圓外一點作一條切線與圓相切于點,,為圓上一個動點,則的取值范圍為( )A. B. C. D.29.是邊長為2的正方形邊界或內部一點,且,則的最大值是( )A.2 B.4 C.5 D.630.如圖,在平面四邊形中,為等邊三角形,當點在對角線上運動時,的最小值為( ) A. B.-1C. D.231.在中,,,點M,N分別為邊AB,AC上的動點,且,點D為斜邊BC的中點,則的最小值為( )A.0 B.4 C. D.32.在矩形中,,,,,過M點作交于N點,若E,F分別是和上動點,且,則的最小值為 .33.在長方形中,,,點P為長方形內部的動點,且,當最小時, .基礎過關練1.在中,,則的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定2.設表示“向東走10km”,表示“向南走5km”,則所表示的意義為( )A.向東南走 B.向西南走C.向東南走 D.向西南走3.在平行四邊形ABCD中,M、N分別在BC、CD上,且滿足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,則△AMN的形狀是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形4.已知點M為外接圓O上的任意一點,,則的最大值為( )A.1 B. C. D.5.(多選)如圖放置的邊長為1的正方形的頂點分別在軸、軸正半軸上(含原點)上滑動,則的值可能是( )A.1 B.C.2 D.6.(多選)在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.下列結論中正確的是( )A.越大越費力,越小越省力 B.的取值范圍為C.當時, D.當時,7.已知是邊長為1的等邊三角形,點O是所在平面上的任意一點,則向量的模為 .8.如圖,在直角梯形中,,,,E為的中點,若,則 , .9.伴隨著國內經濟的持續增長,人民的生活水平也相應有所提升,其中旅游業帶來的消費是居民消費領域增長最快的,因此挖掘特色景區,營造文化氛圍尤為重要.某景區的部分道路如圖所示,,,,,要建設一條從點到點的空中長廊,則 .10.用向量的方法證明如圖,在中,點E,F分別是AD和DC邊的中點,BE,BF分別交AC于點R,T.你能發現AR,RT,TC之間的關系嗎? 11.如圖,在傾角為、高m的斜面上,質量為5kg的物體沿斜面下滑,物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍,N/kg.求物體由斜面頂端滑到底端的過程中,物體所受各力對物體所做的功,(參考數據,).12.如圖,已知與的夾角為,,,,,與相交于點.(1)求;(2)求與的夾角的余弦值.能力提升練1.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.給出以下結論:①越大越費力,越小越省力;②的范圍為;③當時,;④當時,.其中正確結論的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④2.已知中,,,則此三角形為( )A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形3.已知點為正所在平面上一點,且滿足,若的面積與的面積比值為,則的值為( )A. B.C.2 D.34.(多選)若正方形,O為所在平面內一點,且,則下列說法正確的是( )A.可以表示平面內任意一個向量B.若,則O在直線BD上C.若,,則D.若,則5.在平面四邊形中,,則 ; .6.在等腰梯形ABCD中,已知,,,,動點E和F分別在線段BC和DC上,且,,則的最小值為 .7.如圖,在中,已知,,點在上,且,點是的中點,連接,相交于點.(1)求線段,的長;(2)求的余弦值.8.在△ABC中,已知,,,,Q為線段CA延長線上的一點,且.(1)當且,設PQ與AB交于點M,求線段CM的長;(2)若,求t的最大值. 展開更多...... 收起↑ 資源列表 6.4.1~6.4.2平面幾何、物理的向量應用(六大考點)(原卷版).docx 6.4.1~6.4.2平面幾何、物理的向量應用(六大考點)(解析版).docx 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫