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19.2 平行四邊形 講義(無(wú)答案)

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19.2 平行四邊形 講義(無(wú)答案)

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19.2 平行四邊形
教學(xué)目標(biāo):
掌握平行四邊形的性質(zhì),了解兩條平行線間的距離的概念。
通過(guò)平移與作圖探索并掌握判別四邊形是平行四邊形的條件。
掌握三角形的中位線定理和平行線等分線段的性質(zhì)。
重難點(diǎn):
利用平行四邊形的性質(zhì)求邊的取值范圍或角的度數(shù)。
利用平行四邊形的判定定理判別一個(gè)四邊形是平行四邊形。
利用三角形中位線定理求線段的長(zhǎng)。
知識(shí)點(diǎn)1一:平行四邊形的概念(重點(diǎn),掌握)
平行四邊形的定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形的表示:平行四邊形用符號(hào)“□”表示,平行四邊形ABCD記作□ABCD,讀作“平行四邊形ABCD”,圖形如圖所示。
用幾何語(yǔ)言表示:
①∵AD∥BC,AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形;
②在□ABCD中,AD∥BC,AB∥CD
【知識(shí)拓展】
平行四邊形的概念具有雙重意義:①如果一個(gè)四邊形有兩組對(duì)邊分別平行,那么它必是平行四邊形——平行四邊形的判定;②如果一個(gè)四邊形是平行四邊形,那么其兩組對(duì)邊必定分別平行——平行四邊形的性質(zhì)。
平行四邊形的概念是判定平行四邊形的根本依據(jù),其他判定平行四邊形的方法都可以歸結(jié)到這一概念上來(lái)。
掌握此概念要注意“兩組對(duì)邊分別平行”這一條件,只有一組對(duì)邊平行不能判定四邊形是平行四邊形。
表示平行四邊形時(shí),一般按一定的方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)依次表示各頂點(diǎn),切不可打亂順序。
例1 如圖所示,在□ABCD中,EF∥AB,GH∥AD,EF與GH交于點(diǎn)O,則圖中平行四邊形共有( )
A.7個(gè)
B.8個(gè)
C.9個(gè)
D.11個(gè)
例2.如圖所示,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,則圖中共有 個(gè)平行四邊形。
知識(shí)點(diǎn)二:平行四邊形的性質(zhì)及推論(重點(diǎn),掌握,靈活運(yùn)用)
平行四邊形的性質(zhì)
從邊來(lái)看:平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。
從角來(lái)看:平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)。
從對(duì)角線來(lái)看,平行四邊形的對(duì)角線互相平分,即對(duì)角線的交點(diǎn)是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)。
用幾何語(yǔ)言描述:
如圖所示,在□ABCD中,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC;
∠ABC=∠CDA,∠BAD=∠DCB,∠ABC+∠BAD=180°,
∠ABC+∠BCD=180°,∠ADC+∠BCD=180°,∠ADC+∠BAD=180°;
OA=OC,OB=OD。
平行四邊形的推論
夾在兩條平行線間的線段平行線段相等。
兩條平行線間的距離處處相等(兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離)。
【知識(shí)拓展】(1)平行四邊形的性質(zhì)分別從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面說(shuō)明了平行四邊形的特征,應(yīng)在能夠證明的基礎(chǔ)上理解記憶。
(2)要注意兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離之間的聯(lián)系與區(qū)別。
確定兩條直線間的距離要注意以下幾點(diǎn):①距離是指垂線段的長(zhǎng)度,是大于0的;②平行線的位置確定后,它們之間的距離是定值,不隨垂線段位置的改變而改變;③兩條平行線間的距離處處相等,因此在做平行四邊形的高時(shí),可根據(jù)需要靈活選擇位置。
平行四邊形的面積公式:平行四邊形的面積=底×高,其中任何一邊都可以當(dāng)?shù)祝呤沁@條邊與對(duì)邊之間的距離,即底確定,高也確定。
由于兩條平行線間的距離處處相等,所以同底等高的平行四邊形面積相等。
例1.如圖所示,□ABCD的周長(zhǎng)為20cm,AE平分∠BAD,若CE=2cm,則AB的長(zhǎng)度是( )
10cm B. 8cm C. 6cm D. 4cm
例2.如圖所示,在□ABCD中,AB=6,BC=8。∠BCD的平分線交AD于E,交BA的延長(zhǎng)線于F,則AE+AF的值等于( )
A、2 B、3 C、4 D、6
知識(shí)點(diǎn)三:平行四邊形的判定方法(重點(diǎn),掌握)
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。
對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
【知識(shí)拓展】
平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法,也是其他判定方法的基礎(chǔ)。
以上判定方法應(yīng)按邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面分類記憶,并與平行四邊形的性質(zhì)按邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面對(duì)比記憶,從而將平行四邊形的判定與性質(zhì)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。
判定方法可作為“畫平行四邊形”的依據(jù)。
一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形。
例1.已知:如圖所示,在四邊形ABCD中,AB∥CD,E、F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn),且AE=CF,DF∥BE,求證四邊形ABCD為平行四邊形。
例2.如圖,在□ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。
求證四邊形FBED為平行四邊形;
對(duì)角線AC分別與DE、BF交于點(diǎn)M、N,求證△ABN≌△CDM。
知識(shí)點(diǎn)四:平分線等分線段的性質(zhì)及三角形中位線的定義和定理(重點(diǎn),掌握)
平分線等分線段的性質(zhì)
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等。
經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。
三角形中位線的定義
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。
三角形中位線定理
三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半。
【知識(shí)拓展】(1)平行線等分線段的性質(zhì)是證明三角形中位線定理的依據(jù)。
(2)三角形有三條中位線,每條中位線與第三邊都有對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。
三角形的中位線不同于三角形的中線,應(yīng)從它們的定義加以區(qū)別。
在解題的過(guò)程中,如果出現(xiàn)多條線段的中點(diǎn),常借助輔助線,構(gòu)造三角形的中位線,使解題簡(jiǎn)便。
例1. 如圖所示,點(diǎn)M、N分別是平行四邊形ABCD中AB,CD的中點(diǎn),CM交BD于E,AN交BD于F,求證BE=EF=FD。
例2.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn),EF交AC于點(diǎn)H,則的值為
拓展練習(xí)
1、如圖所示,在平行四邊形ABCD中,若AB=6,AD=10,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求DF的長(zhǎng)。
如圖,在□ABCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E,若
BF=6,AB=5,則AE的長(zhǎng)為( )
A、4 B、6 C、8 D、10
如圖所示,平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,∠DAC=42°,
∠CBD=23°,則∠COD是( )
A、61° B、63° C、65° D、67°
在□ABCD中,AD=BD,BE是AD邊上的高,∠EBD=20°,則∠A的度數(shù)為
如圖所示,在□ABCD中,AE⊥BC,交邊BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CD上一點(diǎn),且DF=BE。過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD,交邊AD于點(diǎn)G。求證DG=DC。
在平行四邊形ABCD中,將△ABC沿AC對(duì)折,使點(diǎn)B落在B丿處,AB丿和CD相交于點(diǎn)O。求證OA=OC。
如圖所示,在□ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上,且BE=CF。求證∠BAE=∠CDF。
如圖,BD是□ABCD的一條對(duì)角線。AE⊥BD于點(diǎn)E,CF⊥BD于點(diǎn)F,求證
∠DAE=∠BCF。
如圖所示,在□ABCD中,∠ABC與∠BCD的平分線BE,CF分別與AD相交于點(diǎn)E、F,BE與CF相交于點(diǎn)G。
求證:BE⊥CF;
AB=3,BC=5,CF=2,求BE的長(zhǎng)。
如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng),交CB的延長(zhǎng)線于F。
求證△ADF≌△BFE;
若DF平分∠ADC,連接CE。試判斷CE與DF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由。
11、如圖所示,□AECF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,DB經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,分別與AE、CF交與點(diǎn)B、D。求證四邊形ABCD是平行四邊形。
12、如圖所示,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,與AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F,GH過(guò)點(diǎn)O,與AB、CD分別相交于點(diǎn)G、H,連接EG、FG、FH、EH。求證四邊形EGFH是平行四邊形。
13、如圖所示,△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,它的三條中位線組成一個(gè)新的△A1B1C1,△A1B1C1的三條中位線組成一個(gè)新的△A2B2C2,,如此下去。
(1)求這個(gè)小三角形的周長(zhǎng).
(2)照上述方法繼續(xù)做下去,到第n次時(shí),這個(gè)小三角形的周長(zhǎng)是多少?
14、如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=8,點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn),則EF= 。
如圖所示,將□ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊,使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D丿處,折痕l交CD邊于點(diǎn)E,連接BE。
求證四邊形BCED丿是平行四邊形。
若BE平分∠ABC,求證AB2=AE2+BE2.
如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使CF=BC,連接CD和EF。
(1)求證:DE=CF;
(2)求EF的長(zhǎng).
在□ABCD中,∠BAD的平分線AE分邊BC為5cm和6cm兩部分,求□ABCD的周長(zhǎng)。
如圖所示,在△ABC中,E、F分別為AC、AB上的點(diǎn),BE、CF相交于點(diǎn)P,求證:AE+AF>PE+PF。
如圖所示,已知△ABC為等邊三角形,D、F分別是BC、AB上的一點(diǎn),且CD=BF,以AD為邊作等邊三角形ADE,四邊形CDEF是平行四邊形嗎?證明你的結(jié)論。當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上何處時(shí),四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°.
綜合檢測(cè)
1.如圖所示,□ABCD對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,則下列說(shuō)法一定正確的是( )
A、AO=OD B、AO⊥OD C、AO=OC D、AO⊥AB
2.如圖所示,在□ABCD中,M是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),若∠A=135°,則∠MCD的度數(shù)是( )
45° B. 55° C. 65° D. 75°
如圖所示,□ABCD中,E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),如果添加一個(gè)條件,使△ABE≌CDF,則添加的條件不能為( )
AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2
如圖所示,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E。∠CBD=90°,
BC=4,BE=ED=3,AC=10,則四邊形ABCD的面積為( )
A.6 B.12 C.20 D.24
6、如圖所示,□ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,已知AD=8,BD=12,AC=6,則△OBC的周長(zhǎng)為( )
A. 13 B. 17 C. 20 D. 26
7、如平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為1:2,則其中較大的內(nèi)角是 度。
如圖所示,在□ABCD中,AB=2cm,AD=4cm,AC⊥BC,則△DBC比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng) cm。
如圖所示,□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),若AD=4cm,則OE的長(zhǎng)為 cm。
我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。
如圖,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),依次連接各邊中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形EFGH.
(1)這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是 _________ ;
(2)請(qǐng)證明你的結(jié)論.
如圖所示,在□ABCD中,∠BCD的平分線與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,BH⊥EC于點(diǎn)H,求證CH=EH。
如圖所示,在平行四邊形ABCD中,∠C=60°,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),BC=2CD。(1)求證四邊形MNCD是平行四邊形;
(2)求證BD=MN。
如圖所示,在□ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,連接AF、CE。
求證AF=CE。
如圖所示,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四邊形BCDE是平行四邊形,E為AC的中點(diǎn),BD平分∠ABC,點(diǎn)F在AB上,且BF=BC,求證:
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
如圖所示,已知四邊形ABDE是平行四邊形,C為邊BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AC、CE,使AB=AC。
求證△BAD≌△ACE;
若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四邊形ABDE的面積.
16、如圖所示,四邊形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是邊CD的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。
(1)求證:四邊形BDFC是平行四邊形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四邊形BDFC的面積.

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