資源簡介

(共55張PPT)
8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第八章　立體幾何初步
學習指導 核心素養
1.知道圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式． 2．能用表面積和體積公式解決簡單的實際問題． 直觀想象、數學運算：利用公式計算圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積．
01
必備知識　落實
知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 底面積：S底＝______
側面積：S側＝2πrl
表面積：S＝___________________
圓錐 底面積：S底＝______
側面積：S側＝πrl
表面積：S＝_________________
πr2
2πr(r＋l)
πr2
πr(r＋l)
圓臺 上底面面積：S上底＝________
下底面面積：S下底＝______
側面積：S側＝______________
表面積：S＝______________________
πr′2
πr2
πl(r＋r′)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
　 　(1)若圓錐的高為3，底面半徑為4，則此圓錐的表面積為(　　)
A．40π B．36π
C．26π D．20π
【解析】　圓錐的母線l＝　　　　＝5，所以圓錐的表面積為π×42＋π×4×5＝36π.故選B．
√
(2)若圓臺的上、下底面半徑分別為2，6，且側面面積等于兩底面面積之和，則圓臺的母線長為________，表面積為________．
【解析】　設圓臺的母線長為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，
所以該圓臺的母線長為5.
圓臺的表面積為
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62
＝40π＋4π＋36π＝80π.
5
80π

圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
(1)得到空間幾何體的展開圖；
(2)依次求出各個平面圖形的面積；
(3)將各平面圖形的面積相加．
√
知識點二　圓柱、圓錐、圓臺的體積
V圓柱＝________(r是底面半徑，h是高)，
V圓錐＝_____________(r是底面半徑，h是高)，
V圓臺＝_______________________(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高).
πr2h
√

圓柱、圓錐、圓臺的體積求法
(1)直接法：根據幾何體的結構特征，確定底面積和高，代入體積公式直接求出；
(2)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積；
(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，先求再去．
　　　 　 如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為(　　)
A．5π B．6π
C．20π D．10π
解析：用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.
√
知識點三　球的表面積和體積
表面積：S球＝________．
體積：V球＝__________．
4πR2
√

(1)球的表面積和體積的求解關鍵
因為球的表面積和體積都與球的半徑有關，所以在解答這類問題時，設法求出球的半徑是解題的關鍵．
(2)球的截面問題的解題技巧
①有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的問題．
②解題時要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
√
02
課堂鞏固　自測
√
1.已知圓柱的底面半徑r＝1，母線長l與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為(　　)
A．6π B．8π
C．9π D．10π
解析：因為圓柱的表面積為2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圓柱的表面積為6π.故選A．
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3．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：設圓臺的高為h，由題意知V＝ π(12＋1×2＋22)h＝7π，故h＝3.
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03
課后達標　檢測
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2．已知圓柱OO′的母線長l＝4 cm，表面積為42π cm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝(　　)
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
解析：圓柱OO′的側面積為2πrl＝8πr(cm2)，兩底面面積之和為2×πr2＝2πr2(cm2)，所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，所以圓柱的底面半徑為3 cm.
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6．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的表面積為________.
解析：由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝πr2＝π，S側＝2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S側＝6π.
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6π
7．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．
解析：設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr，解得r＝1，即圓錐的底面直徑為2.
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8.圓柱形容器內盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的鐵球(球的
半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的鐵球(如圖所
示)，則鐵球的半徑是________cm.
解析：設鐵球的半徑為r cm，由題意得πr2×8＝πr2×6r－ πr3×3，解得r＝4.
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9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．

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[B　能力提升]
10．如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1 cm和底面半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體．當這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20 cm，當這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為(　　)
A．29 cm B．30 cm
C．32 cm D．48 cm
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解析：在題圖(2)和題圖(3)中，瓶子上部沒有液體的部分容積相等，設這個簡單幾何體的總高度為h cm，則有π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得h＝29.
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12．(多選)如圖所示，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，過點C作CD⊥AB，垂足為D，下列說法正確的是(　　)
A．以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側
面積為15 π
B．以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36π
C．以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25π
D．以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π
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[C　拓展沖刺]
14．(多選)沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的 (細管長度忽略不計).假設該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則以下結論正確的是(　　)
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15.如圖，“中國天眼”是我國具有自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設球冠底的半徑為r，球冠的高為h，球冠底面圓周長為C．
(1)求球冠所在球的半徑R(結果用h，r表示)；
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15中小學教育資源及組卷應用平臺
8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
學習指導 核心素養
1.知道圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式． 2．能用表面積和體積公式解決簡單的實際問題． 直觀想象、數學運算：利用公式計算圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積．
知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 底面積：S底＝πr2 側面積：S側＝2πrl 表面積：S＝2πr(r＋l)
圓錐 底面積：S底＝πr2 側面積：S側＝πrl 表面積：S＝πr(r＋l)
圓臺 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側面積：S側＝πl(r＋r′) 表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
側面積公式間的關系
S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π(r＋r′)lS圓錐側＝πrl.
　(1)若圓錐的高為3，底面半徑為4，則此圓錐的表面積為(　　)
A．40π B．36π
C．26π D．20π
(2)若圓臺的上、下底面半徑分別為2，6，且側面面積等于兩底面面積之和，則圓臺的母線長為________，表面積為________．
【解析】　(1)圓錐的母線l＝＝5，所以圓錐的表面積為π×42＋π×4×5＝36π.故選B.
(2)設圓臺的母線長為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，
所以該圓臺的母線長為5.
圓臺的表面積為
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62
＝40π＋4π＋36π＝80π.
【答案】　(1)B　(2)5　80π
圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
(1)得到空間幾何體的展開圖；
(2)依次求出各個平面圖形的面積；
(3)將各平面圖形的面積相加．
若一個圓柱的軸截面是面積為9的正方形，則這個圓柱的側面積為(　　)
A.9π B．12π
C.π D．π
解析：選A.由于圓柱的軸截面是面積為9的正方形，則h＝2r＝3，所以圓柱的側面積為2πr·h＝9π.
知識點二　圓柱、圓錐、圓臺的體積
V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，
V圓錐＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，
V圓臺＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高).
體積公式間的關系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
　(1)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是16π，則圓錐的體積是(　　)
A. B．
C.64π D．128π
(2)已知一圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為3，截得此圓臺的圓錐的高為6，則此圓臺的體積為__________．
【解析】　(1)作圓錐的軸截面，如圖所示，
由題意知，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
設圓錐的高為h，底面半徑為r，
則h＝r，PB＝r.
由S側＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π，所以r＝4.則h＝4.
故圓錐的體積V圓錐＝πr2h＝.
(2)作出圓臺的軸截面，如圖，
設圓臺的高為h，則＝，解得h＝2，所以圓臺的體積V＝π(22＋2×3＋32)×2＝π.
【答案】　(1)A　(2)π
圓柱、圓錐、圓臺的體積求法
(1)直接法：根據幾何體的結構特征，確定底面積和高，代入體積公式直接求出；
(2)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積；
(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，先求再去．
如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為(　　)
A.5π B．6π
C.20π D．10π
解析：選D.
用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.
知識點三　球的表面積和體積
表面積：S球＝4πR2．
體積：V球＝πR3．
　用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為(　　)
A. B．
C．8π D．
【解析】　設球的半徑為R，則截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為S＝π()2＝(R2－1)π＝π，所以R2＝2，所以球的表面積S＝4πR2＝8π.故選C.
【答案】　C
(1)球的表面積和體積的求解關鍵
因為球的表面積和體積都與球的半徑有關，所以在解答這類問題時，設法求出球的半徑是解題的關鍵．
(2)球的截面問題的解題技巧
①有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的問題．
②解題時要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
1．球的體積是，則此球的表面積是(　　)
A.12π B．16π
C. D．
解析：選B.設球的半徑為R，所以πR3＝π，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π.
2．兩個球的半徑相差 1，表面積之差為 28π，則它們的體積之和為________．
解析：設大、小兩球半徑分別為 R，r，
則
所以
所以體積之和為 πR3＋πr3＝.
答案：
1.已知圓柱的底面半徑r＝1，母線長l與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為(　　)
A．6π B．8π
C．9π D．10π
解析：選A.因為圓柱的表面積為2πr2＋2πrl，r＝1，l＝2，所以圓柱的表面積為6π.故選A.
2．若球的大圓面積擴大為原來的2倍，球的體積擴大為原來的(　　)
A.8倍 B．4倍
C.2倍 D．2倍
解析：選C.球的大圓面積擴大為原來的2倍，則球的半徑擴大為原來的倍，所以球的體積擴大為原來的2倍．
3．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為(　　)
A.3 B．4
C.5 D．6
解析：選A.設圓臺的高為h，由題意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，故h＝3.
4．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．
解：設圓錐的底面半徑為r，母線為l，
則2πr＝l，得l＝6r.
又S圓錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圓錐的高h＝＝5，
V＝πr2h＝π××5＝π.
[A　基礎達標]
1．若球的體積與其表面積數值相等，則球的半徑等于(　　)
A． B．1
C.2 D．3
解析：選D.設球的半徑為R，則4πR2＝πR3，所以R＝3.　
2．已知圓柱OO′的母線長l＝4 cm，表面積為42π cm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝(　　)
A.3 cm B．4 cm
C.5 cm D．6 cm
解析：選A.圓柱OO′的側面積為2πrl＝8πr(cm2)，兩底面面積之和為2×πr2＝2πr2(cm2)，所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，所以圓柱的底面半徑為3 cm.
3．若圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則其體積是(　　)
A.24π B．24
C.3π D．3
解析：選C.設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，由底面周長為2πr＝6π，得r＝3，所以h＝＝.由圓錐的體積公式可得V＝πr2h＝3π.
4．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B．
C.2π D．4π
解析：選B.
繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合，等體積的圓錐，如圖所示．每一個圓錐的底面半徑和高都為，故所求幾何體的體積V＝2××2π×＝.
5．(多選)圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，它的側面展開圖扇環的圓心角為180°，則圓臺的(　　)
A.母線長是20
B.表面積是1 100π
C.高是10
D.軸截面為等腰梯形
解析：選ABD.圓臺的軸截面是等腰梯形，D正確；設圓臺母線長為l，又圓臺側面展開圖圓心角是180°，即π，所以l＝＝20，A正確；表面積為S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，B正確；高h＝＝10，C錯誤，故選ABD.
6．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的表面積為________.
解析：由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝πr2＝π，S側＝2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S側＝6π.
答案：6π
7．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．
解析：設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr，解得r＝1，即圓錐的底面直徑為2.
答案：2
8.
圓柱形容器內盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的鐵球(如圖所示)，則鐵球的半徑是________cm.
解析：設鐵球的半徑為r cm，由題意得πr2×8＝πr2×6r－πr3×3，解得r＝4.
答案：4
9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．
解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，
該組合體的體積V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
[B　能力提升]
10．如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1 cm和底面半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體．當這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20 cm，當這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為(　　)
A.29 cm B．30 cm
C.32 cm D．48 cm
解析：選A.在題圖(2)和題圖(3)中，瓶子上部沒有液體的部分容積相等，設這個簡單幾何體的總高度為h cm，則有π×12×(h－20)＝π×32×(h－28)，解得h＝29.
11．(2022·高考全國卷甲)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2π，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若＝2，則＝(　　)
A. B．2
C. D．
解析：選C.因為甲、乙兩個圓錐的母線長相等，所以結合＝2可知，甲、乙兩個圓錐側面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設兩個圓錐的母線長為l＝3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個圓錐的側面展開圖剛好可以拼成一個周長為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝＝，h2＝＝2，所以＝＝＝.故選C.
12．(多選)
如圖所示，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，過點C作CD⊥AB，垂足為D，下列說法正確的是(　　)
A.以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為15 π
B.以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36π
C.以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25π
D.以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π
解析：選AD.以BC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為3，母線長為5，高為4的圓錐，所以側面積為π×3×5＝15π，體積為×π×32×4＝12π，所以A正確，B錯誤；以AC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為4，母線長為5，高為3的圓錐，側面積為π×4×5＝20π，體積為×π×42×3＝16π，所以C錯誤，D正確．故選AD.
13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該四棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的表面積．
解：如圖，設球心為O，球的半徑為r，EF為正四棱錐的高，
則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
所以該球的表面積為4πr2＝4π×＝π.
[C　拓展沖刺]
14．(多選)
沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計).假設該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則以下結論正確的是(　　)
A.沙漏中的細沙體積為 cm3
B.沙漏的體積是128 π cm3
C.細沙全部漏入下部容器后形成的錐形沙堆的高度約為2.4 cm
D.該沙漏的一個沙時大約是1 565秒(π≈3.14)
解析：選AC.根據圓錐的截面圖可知，細沙在上部容器時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑r＝×4＝(cm)，所以沙漏中細沙的體積V＝×πr2×＝××＝(cm3)，A正確；
沙漏的體積V＝2××π×42×8＝π(cm3)，B錯誤；
設細沙流入下部容器后的高度為h1，
根據細沙體積不變可知＝×π×42×h1＝h1，所以h1≈2.4 cm，C正確；
因為細沙的體積為cm3，沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，所以一個沙時為≈1 985(秒)，D錯誤．故選AC.
15.
如圖，“中國天眼”是我國具有自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設球冠底的半徑為r，球冠的高為h，球冠底面圓周長為C.
(1)求球冠所在球的半徑R(結果用h，r表示)；
(2)已知球冠表面積公式為S＝2πRh，當S＝65 000π，C＝500π時，求的值及球冠所在球的表面積．
解：
(1)如圖，點O是球冠所在球面的球心，點O1是球冠底面圓圓心，點A是球冠底面圓周上的一點，線段O1B是球冠的高，依題意，OB垂直于球冠底面，顯然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝OO＋O1A2，
即R2＝(R－h)2＋r2，
整理化簡得R＝，
所以球冠所在球的半徑R＝.
(2)因球冠底面圓周長C＝500π，則r＝＝250，
又球冠表面積公式為S＝2πRh，且S＝65 000π，
則h＝＝，
由(1)知R＝，
即65 000＝＋2502，
解得R＝650，
于是得＝＝，球O的表面積為4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，所以的值是，球冠所在球的表面積是1 690 000π.
與球相關的“切”“接”問題
類型一　幾何體的外接球
　(1)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．
(2)一個圓臺的軸截面的面積為6，上、下底面的半徑分別為1，2，則該幾何體外接球的體積為________．
【解析】　(1)依題意得，長方體的體對角線長為＝，
記長方體的外接球的半徑為R，
則有R＝，因此球O的表面積為4πR2＝14π.
(2)設圓臺的高為h，由軸截面的面積為6，
得＝6，解得h＝2，
設該圓臺外接球的半徑為R，
由題意得 ＋＝2，
解得R＝，
所以該幾何體外接球的體積為
πR3＝π×＝π.
【答案】　(1)14π　(2)π
處理球的“接”問題的策略
把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．
類型二　幾何體的內切球
　(1)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面積S1和球的表面積S2之比為________．
(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為，那么這個正三棱柱的體積為________．
【解析】　
(1)畫出軸截面如圖所示，設球的半徑為r，則OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，所以CB＝PC＝r，PB＝2r，所以圓錐的側面積S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面積S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.
(2)設球的半徑為R，由R3＝，得R＝1.因為球與正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直徑2，正三棱柱的底面三角形的內切圓的半徑等于球的半徑1.設正三棱柱的底面三角形的邊長為a，則a×sin ×＝1，所以a＝2，所以這個正三棱柱的體積V＝×(2)2×2＝6.
【答案】　(1)3∶2　(2)6
(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內切問題主要是指球內切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．
(2)解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
1．已知正方體的內切球的體積是π，則正方體的棱長為(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：選A.設正方體的棱長為a，其內切球的半徑為R，則a＝2R，又πR3＝π，所以R3＝2，所以R＝，所以a＝2.
2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B.
如圖，O為外接球球心，母線BB1長度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑R＝OB＝＝，所以外接球體積V＝π()3＝.故選B.
3．如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________．
解析：設球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以＝＝.
答案：
4．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為 a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．
解析：
由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為 a.
如圖，P 為三棱柱上底面的中心，O 為球心，
易知 AP＝×a＝a，OP＝a，
所以球的半徑 R＝ OA 滿足R2＝＋＝a2，
故 S球＝4πR2＝πa2.
答案：πa2
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8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
學習指導 核心素養
1.知道圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式． 2．能用表面積和體積公式解決簡單的實際問題． 直觀想象、數學運算：利用公式計算圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積．
知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 底面積：S底＝πr2 側面積：S側＝2πrl 表面積：S＝2πr(r＋l)
圓錐 底面積：S底＝πr2 側面積：S側＝πrl 表面積：S＝πr(r＋l)
圓臺 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側面積：S側＝πl(r＋r′) 表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
側面積公式間的關系
S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π(r＋r′)lS圓錐側＝πrl.
　(1)若圓錐的高為3，底面半徑為4，則此圓錐的表面積為(　　)
A．40π B．36π
C．26π D．20π
(2)若圓臺的上、下底面半徑分別為2，6，且側面面積等于兩底面面積之和，則圓臺的母線長為________，表面積為________．
圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
(1)得到空間幾何體的展開圖；
(2)依次求出各個平面圖形的面積；
(3)將各平面圖形的面積相加．
若一個圓柱的軸截面是面積為9的正方形，則這個圓柱的側面積為(　　)
A.9π B．12π
C.π D．π
知識點二　圓柱、圓錐、圓臺的體積
V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，
V圓錐＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，
V圓臺＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高).
體積公式間的關系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
　(1)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是16π，則圓錐的體積是(　　)
A. B．
C.64π D．128π
(2)已知一圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為3，截得此圓臺的圓錐的高為6，則此圓臺的體積為__________．
圓柱、圓錐、圓臺的體積求法
(1)直接法：根據幾何體的結構特征，確定底面積和高，代入體積公式直接求出；
(2)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積；
(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，先求再去．
如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為(　　)
A.5π B．6π
C.20π D．10π
知識點三　球的表面積和體積
表面積：S球＝4πR2．
體積：V球＝πR3．
　用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為(　　)
A. B．
C．8π D．
(1)球的表面積和體積的求解關鍵
因為球的表面積和體積都與球的半徑有關，所以在解答這類問題時，設法求出球的半徑是解題的關鍵．
(2)球的截面問題的解題技巧
①有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的問題．
②解題時要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
1．球的體積是，則此球的表面積是(　　)
A.12π B．16π
C. D．
2．兩個球的半徑相差 1，表面積之差為 28π，則它們的體積之和為________．
1.已知圓柱的底面半徑r＝1，母線長l與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為(　　)
A．6π B．8π
C．9π D．10π
2．若球的大圓面積擴大為原來的2倍，球的體積擴大為原來的(　　)
A.8倍 B．4倍
C.2倍 D．2倍
3．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為(　　)
A.3 B．4
C.5 D．6
4．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．
[A　基礎達標]
1．若球的體積與其表面積數值相等，則球的半徑等于(　　)
A． B．1
C.2 D．3
2．已知圓柱OO′的母線長l＝4 cm，表面積為42π cm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝(　　)
A.3 cm B．4 cm
C.5 cm D．6 cm
3．若圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則其體積是(　　)
A.24π B．24
C.3π D．3
4．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B．
C.2π D．4π
5．(多選)圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，它的側面展開圖扇環的圓心角為180°，則圓臺的(　　)
A.母線長是20
B.表面積是1 100π
C.高是10
D.軸截面為等腰梯形
6．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的表面積為________.
7．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．
8.
圓柱形容器內盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的鐵球(如圖所示)，則鐵球的半徑是________cm.
9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．
[B　能力提升]
10．如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1 cm和底面半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體．當這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20 cm，當這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為(　　)
A.29 cm B．30 cm
C.32 cm D．48 cm
11．(2022·高考全國卷甲)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2π，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若＝2，則＝(　　)
A. B．2
C. D．
12．(多選)
如圖所示，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，過點C作CD⊥AB，垂足為D，下列說法正確的是(　　)
A.以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為15 π
B.以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36π
C.以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25π
D.以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π
13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該四棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的表面積．
[C　拓展沖刺]
14．(多選)
沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計).假設該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則以下結論正確的是(　　)
A.沙漏中的細沙體積為 cm3
B.沙漏的體積是128 π cm3
C.細沙全部漏入下部容器后形成的錐形沙堆的高度約為2.4 cm
D.該沙漏的一個沙時大約是1 565秒(π≈3.14)
15.
如圖，“中國天眼”是我國具有自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設球冠底的半徑為r，球冠的高為h，球冠底面圓周長為C.
(1)求球冠所在球的半徑R(結果用h，r表示)；
(2)已知球冠表面積公式為S＝2πRh，當S＝65 000π，C＝500π時，求的值及球冠所在球的表面積．
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