資源簡介

(共57張PPT)
8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8．4.1　平　面
第八章　立體幾何初步
學習指導 核心素養
1.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面． 2．了解關于平面的三個基本事實(公理)和推論． 1.數學抽象、直觀想象：平面的概念、平面的表示．
2．邏輯推理：理解及應用三個基本事實及推論．
01
必備知識　落實
知識點一　平面的基本概念
1．平面的概念
幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是向四周__________的．
無限延展
2．平面的畫法及表示法
我們常用矩形的直觀圖，即_____________表示平面．
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向，如圖①；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向，如圖②.



圖①的平面可表示為_______、_____________、_________或_________．
平行四邊形
平面α
平面ABCD
平面AC
平面BD

(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量．
(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．

1.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　)
A．平面MN B．平面NQ
C．平面α D．平面MNPQ
解析：不能用相鄰兩個頂點示．
√
2．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．平面是處處平的面
B．平面是無限延展的
C．平面的形狀是平行四邊形
D．一個平面的厚度可以是0.001 cm
解析：平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，A，B兩種說法是正確的；
C，D兩種說法是錯誤的．
√
√
知識點二　點、線、面之間的關系及符號表示
A是點，l，m是直線，α，β是平面．
∈

∈



　 　用符號表示下列語句，并畫出圖形．
(1)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．
【解】　用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如圖1.


圖1
(2)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B．
【解】　用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖2.



圖2
三種語言的轉換方法
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．
　　　 　 如圖所示，用符號語言可表述為(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：由圖知平面α與平面β相交于直線m，直線n在α內，直線m與n相交于A點．故A成立．
√
知識點三　平面的基本事實及推論
1.三個基本事實
基本事實 文字語言 圖形語言 符號語言
基本 事實1 過_____一條直線上的三個點，__________一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事實2 如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α _______
不在
有且只有
兩個點
l α
基本事實 文字語言 圖形語言 符號語言
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的__________ P∈α，且P∈β
_______，且_______
公共直線
α∩β＝l
P∈l
2.基本事實的推論
文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線___一點，有且只有一個平面 A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過兩條_____直線，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過兩條_____直線，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
外
相交
平行

1．下列說法正確的是(　　)
A．三點可以確定一個平面
B．空間中兩條直線能確定一個平面
C．共點的三條直線確定一個平面
D．三角形和梯形都可以表示一個平面
√
解析：不共線的三點有且僅有一個平面，故A錯誤；
只有平行或相交的兩條直線才能確定一個平面，故B錯誤；
當三條直線相交于一點時，可以確定三個平面，例如三棱錐的三條側棱，故C錯誤；
三角形和梯形是平面圖形，可以用來表示平面，故D正確．
2．兩兩平行的三條直線最多可以確定________個平面．
3
02
關鍵能力　提升
考點一　點、線共面問題
　 　求證：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．
【證明】　如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
方法一(納入平面法)：
因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α.
因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因為l2 α，所以B∈α.
同理可證C∈α.
又因為B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直線l1，l2，l3在同一平面內．
方法二(輔助平面法)：
因為l1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個平面α.
因為l2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個平面β.
因為A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因為A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內．
所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內．
證明點、線共面的常用方法
(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內．
(2)同一法：先證明一些元素在一個平面內，再證明另一些元素在另一個平面內，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內．
　　 　　 已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．
證明：如圖所示．由已知a∥b，
所以過a，b有且只有一個平面α.
設a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l α.即過a，b，l有且只有一個平面．
考點二　點共線、線共點問題
　 　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M.求證：點D，A，M三點共線．
【證明】　因為D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA．
同理M∈平面ABCD，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立．
所以點D，A，M三點共線．
(1)證明三點共線的方法


(2)證明三線共點的步驟



　　　 　 已知三個平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過同一點．
證明：因為α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因為直線a與直線b不平行，
所以a，b必相交．
如圖所示，設a∩b＝P，則P∈a，P∈B．
因為a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因為α∩β＝c，所以P∈c，即交線c也經過點P，
所以，a，b，c三條直線必過同一點．
03
課堂鞏固　自測
√
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3
√
√
1
2
3
解析：由點與平面、直線與平面、平面與平面的畫法可知A，C，D對，
B選項直線應畫在平行四邊形里面．故選ACD．
√
2．能確定一個平面的條件是(　　)
A．空間三個點 B．一個點和一條直線
C．無數個點 D．兩條相交直線
解析：不在同一條直線上的三個點可確定一個平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確．
1
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3
3．如圖所示，△ABC的三個頂點在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點共線．
證明：因為AP∩AR＝A，所以直線AP與直線AR確定平面APR.
又因為AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因為B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因為Q∈BC，所以Q∈平面APR，
又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三點共線．
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04
課后達標　檢測
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[A　基礎達標]
1．如果直線a 平面α，直線b 平面α,M∈a,N∈b，M∈l，N∈l，則(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：因為M∈a，a α，所以M∈α，
又因為N∈b，b α，
所以N∈α，又M，N∈l，所以l α，
所以A正確，B錯誤．
l∩α＝l，所以C，D錯誤．
√
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2．下列命題中真命題的個數是(　　)
①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在①中，由不共線的三點確定一個平面，得三角形是一個平面圖形，故①為真命題；在②③中，若這四條邊不在同一平面內，例如空間四邊形，則該四邊形不是平面圖形，所以②③為假命題；在④中，圓是平面圖形，所以④為真命題；故選B．
√
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3．如圖，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B l，C∈β，C l，直線AB∩l＝D，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過(　　)
A．點A
B．點B
C．點C，但不過點D
D．點C和點D
解析：根據基本事實3判定點C和點D既在平面β內又在平面γ內，故在β與γ的交線上．故選D．
√
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4．如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面(　　)
A．沒有其他公共點
B．僅有這一個公共點
C．僅有兩個公共點
D．有無數個公共點
解析：根據基本事實3可知，兩個不重合的平面若有一個公共點，則這兩個平面有且只有一條經過該點的公共直線．
√
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5．交于一點的三條直線可以確定平面的個數是(　　)
A．三個
B．兩個
C．一個或兩個
D．一個或三個
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解析：如圖，a，b，c是三條不同的直線，a∩b＝P，a，b確定平面α，且點P∈c，


若c在平面α內，則直線a，b，c確定一個平面，
若c不在平面α內，則直線a，c確定一個平面，b，c確定一個平面，于是得直線a，b，c確定三個平面，所以交于一點的三條直線可以確定平面的個數是一個或三個，故選D．
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6．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點
B．經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面
C．經過兩條相交直線，有且只有一個平面
D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合
√
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解析：A．平面與平面相交于一條直線，因此它們有無限個公共點，A錯誤；
B．經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面，B正確；
C．經過兩條相交直線，有且只有一個平面，C正確；
D．不共線的三點確定一個平面，D正確．故選BCD．
7．若點Q在直線b上，b在平面α內，則Q，b，α之間的關系可記作________．
解析：因為點Q(元素)在直線b(集合)上，所以Q∈B．又因為直線b(集合)在平面α(集合)內，所以b α.所以Q∈b α.
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Q∈b α
8．設平面α與平面β相交于l，直線a α，直線b β，a∩b＝M，則M________l.
解析：因為a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.
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∈
9．已知空間四點中無任何三點共線，那么這四點可以確定平面的個數是________．
解析：其中三個點可確定唯一的平面，當第四個點在此平面內時，可確定1個平面，當第四個點不在此平面內時，則可確定4個平面．
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1或4
10．如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點．

(1)求作直線AB與平面α的交點P；
解：連接DE并延長，交AB的延長

線于點P，則點P為直線AB與平面α的交點．如圖．
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(2)求證：D，E，P三點共線．
證明：因為D∈AC，E∈BC，所以DE 平面ABC，因為D∈α，E∈α，所以DE α，所以DE為平面α與平面ABC的交線，又P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC，且P∈α，所以P在平面α與平面ABC的交線DE上，所以D，E，P三點共線．
√
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[B　能力提升]
11．空間中四點A，B，C，D共面但不共線，那么這四點中(　　)
A．必有三點共線 B．必有三點不共線
C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線
解析：若AB∥CD，則AB，CD共面，但A，B，C，D任何三點都不共線，故排除A，C；
若直線l與直線外一點A在同一平面內，且B，C，D三點在直線l上，則B，C，D三點共線，所以排除D．故選B．
12．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是(　　)
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
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√
√
解析：連接A1C1，AC(圖略)，
則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.
所以三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，
所以A，B，C均正確，D不正確．
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13．如圖，設不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個平面內，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三線共點．
證明：不妨設AB≠A1B1，則四邊形AA1B1B為梯形，
所以AA1與BB1相交，設其交點為S，則S∈AA1，S∈BB1.
因為BB1 平面BCC1B1，所以S∈平面BCC1B1.
同理可證，S∈平面ACC1A1，
所以點S在平面BCC1B1與平面ACC1A1的交線上，
即S∈CC1，
所以AA1，BB1，CC1三線共點．
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解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，延長C1M交CD的延長線于點P，延長C1N交CB的延長線于點Q，連接PQ交AD于點E，AB于點F，連接NF，ME，則正方體過點M，N，C1的截面圖形是五邊形，故選C．

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(2)直線FH，EG，AC共點．
證明：由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四邊形EFHG是梯形．設兩腰EG，FH相交于一點T.
因為EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD．又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直線EG，FH，AC相交于一點T.
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15中小學教育資源及組卷應用平臺
8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8．4.1　平　面
學習指導 核心素養
1.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面． 2．了解關于平面的三個基本事實(公理)和推論． 1.數學抽象、直觀想象：平面的概念、平面的表示． 2．邏輯推理：理解及應用三個基本事實及推論．
知識點一　平面的基本概念
1．平面的概念
幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是向四周無限延展的．
2．平面的畫法及表示法
我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向，如圖①；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向，如圖②.
圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量．
(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．
1.
如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　)
A.平面MN B．平面NQ
C.平面α D．平面MNPQ
解析：選A.不能用相鄰兩個頂點表示．
2．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A.平面是處處平的面
B.平面是無限延展的
C.平面的形狀是平行四邊形
D.一個平面的厚度可以是0.001 cm
解析：選AB.平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，A，B兩種說法是正確的；C，D兩種說法是錯誤的．
知識點二　點、線、面之間的關系及符號表示
A是點，l，m是直線，α，β是平面．
文字語言 符號語言 圖形語言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α內 A∈α
A在α外 A α
l在α內 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
　用符號表示下列語句，并畫出圖形．
(1)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．
(2)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.
【解】　(1)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如圖1.
圖1
(2)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖2.
圖2
三種語言的轉換方法
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．,
如圖所示，用符號語言可表述為(　　)
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：選A.由圖知平面α與平面β相交于直線m，直線n在α內，直線m與n相交于A點．故A成立．
知識點三　平面的基本事實及推論
1.三個基本事實,
基本 事實 文字語言 圖形語言 符號語言
基本 事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.基本事實的推論,
文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
1．下列說法正確的是(　　)
A．三點可以確定一個平面
B．空間中兩條直線能確定一個平面
C．共點的三條直線確定一個平面
D．三角形和梯形都可以表示一個平面
解析：選D.不共線的三點有且僅有一個平面，故A錯誤；只有平行或相交的兩條直線才能確定一個平面，故B錯誤；當三條直線相交于一點時，可以確定三個平面，例如三棱錐的三條側棱，故C錯誤；三角形和梯形是平面圖形，可以用來表示平面，故D正確．
2．兩兩平行的三條直線最多可以確定________個平面．
答案：3
考點一　點、線共面問題
　求證：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．
【證明】　
如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
方法一(納入平面法)：
因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α.
因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因為l2 α，所以B∈α.
同理可證C∈α.
又因為B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直線l1，l2，l3在同一平面內．
方法二(輔助平面法)：
因為l1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個平面α.
因為l2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個平面β.
因為A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因為A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內．
所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內．
證明點、線共面的常用方法
(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內．
(2)同一法：先證明一些元素在一個平面內，再證明另一些元素在另一個平面內，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內．
已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．
證明：如圖所示．由已知a∥b，
所以過a，b有且只有一個平面α.
設a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l α.即過a，b，l有且只有一個平面．
考點二　點共線、線共點問題
　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M.求證：點D，A，M三點共線．
【證明】　因為D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面ABCD，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立．
所以點D，A，M三點共線．
(1)證明三點共線的方法
(2)證明三線共點的步驟
已知三個平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過同一點．
證明：因為α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因為直線a與直線b不平行，
所以a，b必相交．
如圖所示，設a∩b＝P，則P∈a，P∈b.
因為a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因為α∩β＝c，所以P∈c，即交線c也經過點P，
所以，a，b，c三條直線必過同一點．
1．(多選)下圖中圖形的畫法正確的是(　　)
A．點A在平面α內
B．直線l在平面α內
C．直線l交平面α于點P
D．三個平面兩兩相交
解析：選ACD.由點與平面、直線與平面、平面與平面的畫法可知A，C，D對，B選項直線應畫在平行四邊形里面．故選ACD.
2．能確定一個平面的條件是(　　)
A．空間三個點 B．一個點和一條直線
C．無數個點 D．兩條相交直線
解析：選D.不在同一條直線上的三個點可確定一個平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確．
3．如圖所示，△ABC的三個頂點在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點共線．
證明：因為AP∩AR＝A，所以直線AP與直線AR確定平面APR.
又因為AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因為B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因為Q∈BC，所以Q∈平面APR，
又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三點共線．
[A　基礎達標]
1．如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：選A.因為M∈a，a α，所以M∈α，
又因為N∈b，b α，
所以N∈α，
又M，N∈l，所以l α，
所以A正確，B錯誤．
l∩α＝l，所以C，D錯誤．
2．下列命題中真命題的個數是(　　)
①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B.在①中，由不共線的三點確定一個平面，得三角形是一個平面圖形，故①為真命題；在②③中，若這四條邊不在同一平面內，例如空間四邊形，則該四邊形不是平面圖形，所以②③為假命題；在④中，圓是平面圖形，所以④為真命題；故選B.
3．如圖，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B l，C∈β，C l，直線AB∩l＝D，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過(　　)
A．點A
B．點B
C．點C，但不過點D
D．點C和點D
解析：選D.根據基本事實3判定點C和點D既在平面β內又在平面γ內，故在β與γ的交線上．故選D.
4．如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面(　　)
A．沒有其他公共點
B．僅有這一個公共點
C．僅有兩個公共點
D．有無數個公共點
解析：選D.根據基本事實3可知，兩個不重合的平面若有一個公共點，則這兩個平面有且只有一條經過該點的公共直線．
5．交于一點的三條直線可以確定平面的個數是(　　)
A．三個
B．兩個
C．一個或兩個
D．一個或三個
解析：選D.如圖，a，b，c是三條不同的直線，a∩b＝P，a，b確定平面α，且點P∈c，
若c在平面α內，則直線a，b，c確定一個平面，
若c不在平面α內，則直線a，c確定一個平面，b，c確定一個平面，于是得直線a，b，c確定三個平面，所以交于一點的三條直線可以確定平面的個數是一個或三個，故選D.
6．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點
B．經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面
C．經過兩條相交直線，有且只有一個平面
D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合
解析：選BCD.A.平面與平面相交于一條直線，因此它們有無限個公共點，A錯誤；B.經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面，B正確；C.經過兩條相交直線，有且只有一個平面，C正確；D.不共線的三點確定一個平面，D正確．故選BCD.
7．若點Q在直線b上，b在平面α內，則Q，b，α之間的關系可記作________．
解析：因為點Q(元素)在直線b(集合)上，所以Q∈b.又因為直線b(集合)在平面α(集合)內，所以b α.所以Q∈b α.
答案：Q∈b α
8．設平面α與平面β相交于l，直線a α，直線b β，a∩b＝M，則M________l.
解析：因為a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
9．已知空間四點中無任何三點共線，那么這四點可以確定平面的個數是________．
解析：其中三個點可確定唯一的平面，當第四個點在此平面內時，可確定1個平面，當第四個點不在此平面內時，則可確定4個平面．
答案：1或4
10．如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點．
(1)求作直線AB與平面α的交點P；
(2)求證：D，E，P三點共線．
解：(1)連接DE并延長，交AB的延長
線于點P，則點P為直線AB與平面α的交點．如圖．
(2)證明：因為D∈AC，E∈BC，所以DE 平面ABC，因為D∈α，E∈α，所以DE α，所以DE為平面α與平面ABC的交線，又P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC，且P∈α，所以P在平面α與平面ABC的交線DE上，所以D，E，P三點共線．
[B　能力提升]
11．空間中四點A，B，C，D共面但不共線，那么這四點中(　　)
A．必有三點共線 B．必有三點不共線
C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線
解析：選B.若AB∥CD，則AB，CD共面，但A，B，C，D任何三點都不共線，故排除A，C；若直線l與直線外一點A在同一平面內，且B，C，D三點在直線l上，則B，C，D三點共線，所以排除D.故選B.
12．(多選)如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是(　　)
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
解析：選ABC.連接A1C1，AC(圖略)，
則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.
所以三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，
所以A，B，C均正確，D不正確．
13．如圖，設不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個平面內，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三線共點．
證明：不妨設AB≠A1B1，則四邊形AA1B1B為梯形，
所以AA1與BB1相交，設其交點為S，則S∈AA1，S∈BB1.
因為BB1 平面BCC1B1，所以S∈平面BCC1B1.
同理可證，S∈平面ACC1A1，
所以點S在平面BCC1B1與平面ACC1A1的交線上，
即S∈CC1，
所以AA1，BB1，CC1三線共點．
[C　拓展沖刺]
14．在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體過點M，N，C1的截面圖形是(　　)
A．三角形 B．四邊形
C．五邊形 D．六邊形
解析：選C.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，延長C1M交CD的延長線于點P，延長C1N交CB的延長線于點Q，連接PQ交AD于點E，AB于點F，連接NF，ME，則正方體過點M，N，C1的截面圖形是五邊形，故選C.
15．已知空間四邊形ABCD(如圖所示)中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證：
(1)E，F，H，G四點共面；
(2)直線FH，EG，AC共點．
證明：
(1)連接EF，GH.因為E，F分別是AB，AD的中點，所以EF綉BD.因為G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.所以GH綉BD.
所以EF∥GH.所以E，F，H，G四點共面．
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四邊形EFHG是梯形．設兩腰EG，FH相交于一點T.
因為EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直線EG，FH，AC相交于一點T.
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8．4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8．4.1　平　面
學習指導 核心素養
1.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面． 2．了解關于平面的三個基本事實(公理)和推論． 1.數學抽象、直觀想象：平面的概念、平面的表示． 2．邏輯推理：理解及應用三個基本事實及推論．
知識點一　平面的基本概念
1．平面的概念
幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是向四周無限延展的．
2．平面的畫法及表示法
我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向，如圖①；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向，如圖②.
圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量．
(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．
1.
如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　)
A.平面MN B．平面NQ
C.平面α D．平面MNPQ
2．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A.平面是處處平的面
B.平面是無限延展的
C.平面的形狀是平行四邊形
D.一個平面的厚度可以是0.001 cm
知識點二　點、線、面之間的關系及符號表示
A是點，l，m是直線，α，β是平面．
文字語言 符號語言 圖形語言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α內 A∈α
A在α外 A α
l在α內 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
　用符號表示下列語句，并畫出圖形．
(1)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．
(2)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.
三種語言的轉換方法
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．,
如圖所示，用符號語言可表述為(　　)
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
知識點三　平面的基本事實及推論
1.三個基本事實,
基本 事實 文字語言 圖形語言 符號語言
基本 事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2.基本事實的推論,
文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 A l 有且只有一個平面α，使A∈α，l α
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面 a∩b＝P 有且只有一個平面α，使a α，b α
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面 a∥b 有且只有一個平面α，使a α，b α
1．下列說法正確的是(　　)
A．三點可以確定一個平面
B．空間中兩條直線能確定一個平面
C．共點的三條直線確定一個平面
D．三角形和梯形都可以表示一個平面
2．兩兩平行的三條直線最多可以確定________個平面．
考點一　點、線共面問題
　求證：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．
證明點、線共面的常用方法
(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內．
(2)同一法：先證明一些元素在一個平面內，再證明另一些元素在另一個平面內，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內．
已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．
考點二　點共線、線共點問題
　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M.求證：點D，A，M三點共線．
(1)證明三點共線的方法
(2)證明三線共點的步驟
已知三個平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過同一點．
1．(多選)下圖中圖形的畫法正確的是(　　)
A．點A在平面α內
B．直線l在平面α內
C．直線l交平面α于點P
D．三個平面兩兩相交
2．能確定一個平面的條件是(　　)
A．空間三個點 B．一個點和一條直線
C．無數個點 D．兩條相交直線
3．如圖所示，△ABC的三個頂點在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點共線．
[A　基礎達標]
1．如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
2．下列命題中真命題的個數是(　　)
①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如圖，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，A，B l，C∈β，C l，直線AB∩l＝D，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過(　　)
A．點A
B．點B
C．點C，但不過點D
D．點C和點D
4．如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面(　　)
A．沒有其他公共點
B．僅有這一個公共點
C．僅有兩個公共點
D．有無數個公共點
5．交于一點的三條直線可以確定平面的個數是(　　)
A．三個
B．兩個
C．一個或兩個
D．一個或三個
6．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點
B．經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面
C．經過兩條相交直線，有且只有一個平面
D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合
7．若點Q在直線b上，b在平面α內，則Q，b，α之間的關系可記作________．
8．設平面α與平面β相交于l，直線a α，直線b β，a∩b＝M，則M________l.
9．已知空間四點中無任何三點共線，那么這四點可以確定平面的個數是________．
10．如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點．
(1)求作直線AB與平面α的交點P；
(2)求證：D，E，P三點共線．
[B　能力提升]
11．空間中四點A，B，C，D共面但不共線，那么這四點中(　　)
A．必有三點共線 B．必有三點不共線
C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線
12．(多選)如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是(　　)
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
13．如圖，設不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個平面內，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三線共點．
[C　拓展沖刺]
14．在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體過點M，N，C1的截面圖形是(　　)
A．三角形 B．四邊形
C．五邊形 D．六邊形
15．已知空間四邊形ABCD(如圖所示)中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證：
(1)E，F，H，G四點共面；
(2)直線FH，EG，AC共點．
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