資源簡介

(共50張PPT)
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
第八章　立體幾何初步
學習指導 核心素養
借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義． 1.數學抽象：空間中直線、平面位置關系的定義．
2.直觀想象：用圖形語言表示直線、平面的位置關系．
01
必備知識　落實
知識點一　空間中直線與直線的位置關系
1.異面直線
(1)定義：把不同在__________平面內的兩條直線叫做異面直線．
(2)畫法：(通常用平面襯托)




任何一個

異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．
　 　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：



(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是________；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是________；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是________；
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是________．
平行
異面
相交
異面
【解析】　經探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行．點A1，B，B1在平面A1BB1內，而C不在平面A1BB1內，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．直線D1D與直線D1C相交于點D1.
判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內；
(2)排除法(反證法)：排除兩直線共面(平行或相交)；
(3)重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線和這


個平面內不經過此點的直線是異面直線．如圖，A α，B∈α，l α，B l 直線AB與l是異面直線．
　 　　　 若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行、相交或異面
解析：可借助長方體來判斷．如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面．
√
知識點二　空間中直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有________公共點 有且只有_____公共點 _____公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
無數個
一個
沒有
　 　下列命題中，真命題的個數為(　　)
①若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行；
②若直線在平面外，則直線與平面平行；
③若直線經過平面外的兩點，則直線與平面平行；
④若直線既不在這個平面內又不與這個平面相交，則直線與平面平行．
A．1 B．2
C．3 D．4
√
【解析】　①符合線面平行的定義，故①為真命題；直線在平面外等價于直線與平面平行或相交，故②為假命題；③為假命題，例如：過平面外兩個點A、B的直線(如圖)與平面相交；由②的分析知④為真命題．

直線與平面位置關系的判斷
(1)空間直線與平面位置關系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內，只要證明直線上兩點在平面α內；要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點；要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．
　　　　
1．若直線上有一點在平面外，則下列說法正確的是(　　)
A．直線上所有的點都在平面外
B．直線上有無數個點都在平面外
C．直線上有無數個點都在平面內
D．直線上至少有一個點在平面內
解析：直線上有一點在平面外，則直線不在平面內，故直線上有無數個點都在平面外．
√
2．在如圖所示的正方體ABCD-A′B′C′D′中，
(1)與AB所在直線平行的平面有________個；
解析：與AB所在直線平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；
(2)與A′B所在直線平行的平面有________個．
解析：與A′B所在直線平行的平面只有平面DCC′D′.
2
1
知識點三　空間中平面與平面的位置關系
位置關系 兩個平面平行 兩個平面相交
公共點 _____公共點 有_____個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
沒有
無數
　 　α，β是兩個不重合的平面，下面說法中正確的是(　　)
A．平面α內有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥β
B．平面α內有無數條直線平行于平面β，那么α∥β
C．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α內所有的直線都與平面β平行，那么α∥β
【解析】　A，B都不能保證α，β無公共點，如圖①所示；
C中當a∥α，a∥β時，α與β可能相交，如圖②所示；
只有D說明α，β一定無公共點，即α∥β.
√

兩個平面的位置關系的兩種判斷方法
(1)定義法：仔細分析題目條件，將自然語言轉化為圖形語言，通過圖形借助定義確定兩平面的位置關系．
(2)借助幾何模型判斷：線、面之間的位置關系在長方體(或正方體)中都能體現，所以對于位置關系的判斷要注意利用這一熟悉的圖形找到反例或對應的關系．
　　　　
1．如果兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．無法確定
解析：根據題意作圖，把自然語言轉化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關系，如圖所示．
√
2．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC與其余的面之間有什么位置關系？
解：因為幾何體ABC-A1B1C1為三棱柱，
所以平面ABC與平面A1B1C1平行．
因為平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB，
所以平面ABC與平面ABB1A1相交．
同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
02
課堂鞏固　自測
√
1.異面直線是指(　　)
A．空間中兩條不相交的直線
B．分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C．平面內的一條直線與平面外的一條直線
D．不同在任何一個平面內的兩條直線
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解析：對于A，空間中兩條不相交的直線有兩種可能，
一個是平行(共面)，另一個是異面，所以A應排除；
對于B，分別位于兩個不同平面內的兩條直線，既可能平行也可能相交也可能異面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除；
對于C，如圖中的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應排除；只有D符合定義．
√
2．若直線l∥平面α，直線a α，則(　　)
A．l∥a
B．l與a異面
C．l與a相交
D．l與a沒有公共點
解析：若直線l∥平面α，直線a α，則l∥a或l與a異面，故l與a沒有公共點，故選D．
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√
3．(多選)兩平面α，β平行，a α，則下列四個命題正確的是(　　)
A．a與β內的所有直線平行
B．a與β內無數條直線平行
C．a與β至少有一個公共點
D．a與β沒有公共點
解析：a不是與β內的所有直線平行，而是與β內的無數條直線平行，有一些是異面，A錯誤，B正確；
根據定義，a與β沒有公共點，C錯誤，D正確．
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√
4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線B1D1與長方體的六個面之間的位置關系如何？
解：因為B1∈平面A1B1C1D1，D1∈平面A1B1C1D1，
所以B1D1 平面A1B1C1D1.
因為B1∈平面BB1C1C，D1 平面BB1C1C，
所以直線B1D1∩平面BB1C1C＝B1.
同理直線B1D1與平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交．在平行四邊形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1與BD無公共點，所以B1D1與平面ABCD無公共點，所以B1D1∥平面ABCD．
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03
課后達標　檢測
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[A　基礎達標]
1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(　　)
A．一條直線不相交
B．兩條直線不相交
C．無數條直線不相交
D．任意一條直線不相交
解析：直線a∥平面α，則a與α無公共點，與α內的直線當然均無公共點，故與α內任意一條直線不相交．
√
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2．正方體的六個面中相互平行的平面有(　　)
A．2對 B．3對
C．4對 D．5對
解析：由正方體模型可知，六個面中共有3對相對的面互相平行．故選B．
√
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3．已知直線a，b，c，若a，b異面，b∥c，則a，c的位置關系是(　　)
A．異面 B．相交
C．平行或異面 D．相交或異面
解析：如圖所示的正方體：AB和DD1是異面直線，
DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；
AB和DD1是異面直線，DD1∥CC1，AB與CC1是異面直線．
所以兩直線a與b是異面直線，b∥c，則a，c的位置關系是相交或異面．故選D．
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4．“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：若直線l與平面α沒有公共點，那直線l與平面α只能平行，故充分條件成立；若直線l與平面α平行，則直線l與平面α沒有公共點，故必要性也成立，所以“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的充要條件．故選C．
√
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5．(多選)下列結論正確的是(　　)
A．直線a∥平面α，直線b α，則a∥b
B．若a α，b α，則a，b無公共點
C．若a α，則a∥α或a與α相交
D．若a∩α＝A，則a α
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解析：對A，a和b可以異面，故A錯誤；
對B，b α，則b和α可以相交，故b和a可以相交，故B錯誤；
對C，直線在平面外，則直線和平面相交或平行，故C正確；
對D，a∩α＝A說明直線和平面只有一個交點，故D正確，故選CD．
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6．(多選)下列命題中的真命題是(　　)
A．若直線a不在平面α內，則a∥α
B．若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α
C．若l∥α，則直線l與平面α內任何一條直線都沒有公共點
D．平行于同一平面的兩直線可以相交
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解析：A中，直線a也可能與平面α相交，故A是假命題；
B中，直線l與平面α相交時，l上也有無數個點不在平面α內，故B是假命題；
C中，l∥α時，l與α沒有公共點，所以l與α內任何一條直線都沒有公共點，故C是真命題；
D中，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，且A1C1與B1D1相交，故D是真命題．
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7．若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關系是________．
解析：因為點A∈α，B α，C α，
所以平面ABC與平面α有公共點，且不重合，
所以平面ABC與平面α的位置關系是相交．
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相交
8．已知A，B，C，D是空間四個點，且直線AB與CD是兩條異面直線，則直線AC與BD的位置關系是________．(填“平行”或“異面”)
解析：因為AB，CD是兩條異面直線，由異面直線定義可知直線AC與BD必不相交也不平行，一定異面．
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異面
9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關系：
(1)AD1所在直線與平面B1BCC1的位置關系是________；
解析：AD1所在的直線與平面B1BCC1沒有公共點，所以平行．
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________．
解析：平面A1BC1與平面ABCD有公共點B，故相交．
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平行
相交
10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．




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證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因為BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．



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[B　能力提升]
11．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則以下四個結論正確的是(　　)
A．直線AM與CC1是相交直線
B．直線AM與BN是平行直線
C．直線BN與MB1是異面直線
D．直線AM與DD1是異面直線
解析：直線AM與CC1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,故A,B錯誤；
C，D正確．故選CD．
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12．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面，與其中一個側面相交的面共有________個．
解析：六棱柱的兩個底面互相平行，每個側面與其直接相對的側面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共由8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側面平行的面有1個，其余6個面與該側面均為相交的關系．
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13．在四棱錐P-ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對．
解析：以底邊所在直線為準進行考察，因為四邊形ABCD是平面圖形，4條邊在同一平面內，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線．
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14．如圖，平面α，β，γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的位置關系并證明你的結論．
解：a∥b，a∥β.證明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
因為α∥β，a α，b β，
所以a，b無公共點．
又因為a γ且b γ，所以a∥B．
因為α∥β，所以α與β無公共點．
又a α，所以a與β無公共點，所以a∥β.
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[C　拓展沖刺]
15．如圖是一個正方體的展開圖，則在原正方體中(　　)



A．AB∥CD B．AD∥EF
C．CD∥GH D．AB∥GH
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解析：把正方體的展開圖還原成正方體，
得到如圖所示的正方體，
由正方體性質得，
AB與CD相交，AD與EF異面，CD與GH平行，AB與GH異面．
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16．如圖(1)(2)所示，ABCD-A1B1C1D1是正方體，在圖(1)中，E，F分別是D1C1，B1B的中點．試分別畫出圖(1)(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線．




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解：如圖①所示，過點E作EN∥ BB1交CD于點N，連接NB并延長交EF的延長線于點M，連接AM，則AM即為陰影的平面與平面ABCD的交線．



如圖②所示，延長DC，過點C1作C1P∥A1B交DC的延長線于點P，連接BP，則BP即為陰影的平面與平面ABCD的交線．
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16中小學教育資源及組卷應用平臺
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
學習指導 核心素養
借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義． 1.數學抽象：空間中直線、平面位置關系的定義． 2.直觀想象：用圖形語言表示直線、平面的位置關系．
知識點一　空間中直線與直線的位置關系
1.異面直線
(1)定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
(2)畫法：(通常用平面襯托)
2.空間兩條直線的位置關系
異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．
　如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是________；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是________；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是________；
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是________．
判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內；
(2)排除法(反證法)：排除兩直線共面(平行或相交)；
(3)重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線和這
個平面內不經過此點的直線是異面直線．如圖，A α，B∈α，l α，B l 直線AB與l是異面直線．
若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行、相交或異面
知識點二　空間中直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有無數個公共點 有且只有一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
　下列命題中，真命題的個數為(　　)
①若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行；
②若直線在平面外，則直線與平面平行；
③若直線經過平面外的兩點，則直線與平面平行；
④若直線既不在這個平面內又不與這個平面相交，則直線與平面平行．
A．1 B．2
C．3 D．4
直線與平面位置關系的判斷
(1)空間直線與平面位置關系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內，只要證明直線上兩點在平面α內；要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點；要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．
1．若直線上有一點在平面外，則下列說法正確的是(　　)
A．直線上所有的點都在平面外
B．直線上有無數個點都在平面外
C．直線上有無數個點都在平面內
D．直線上至少有一個點在平面內
2．在如圖所示的正方體ABCD A′B′C′D′中，
(1)與AB所在直線平行的平面有________個；
(2)與A′B所在直線平行的平面有________個．
知識點三　空間中平面與平面的位置關系
位置關系 兩個平面平行 兩個平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
　α，β是兩個不重合的平面，下面說法中正確的是(　　)
A．平面α內有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥β
B．平面α內有無數條直線平行于平面β，那么α∥β
C．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α內所有的直線都與平面β平行，那么α∥β
兩個平面的位置關系的兩種判斷方法
(1)定義法：仔細分析題目條件，將自然語言轉化為圖形語言，通過圖形借助定義確定兩平面的位置關系．
(2)借助幾何模型判斷：線、面之間的位置關系在長方體(或正方體)中都能體現，所以對于位置關系的判斷要注意利用這一熟悉的圖形找到反例或對應的關系．
1．如果兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．無法確定
2．如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC與其余的面之間有什么位置關系？
1.異面直線是指(　　)
A．空間中兩條不相交的直線
B．分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C．平面內的一條直線與平面外的一條直線
D．不同在任何一個平面內的兩條直線
2．若直線l∥平面α，直線a α，則(　　)
A．l∥a
B．l與a異面
C．l與a相交
D．l與a沒有公共點
3．(多選)兩平面α，β平行，a α，則下列四個命題正確的是(　　)
A．a與β內的所有直線平行
B．a與β內無數條直線平行
C．a與β至少有一個公共點
D．a與β沒有公共點
4．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，面對角線B1D1與長方體的六個面之間的位置關系如何？
[A　基礎達標]
1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(　　)
A．一條直線不相交
B．兩條直線不相交
C．無數條直線不相交
D．任意一條直線不相交
2．正方體的六個面中相互平行的平面有(　　)
A．2對 B．3對
C．4對 D．5對
3．已知直線a，b，c，若a，b異面，b∥c，則a，c的位置關系是(　　)
A．異面 B．相交
C．平行或異面 D．相交或異面
4．“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．(多選)下列結論正確的是(　　)
A．直線a∥平面α，直線b α，則a∥b
B．若a α，b α，則a，b無公共點
C．若a α，則a∥α或a與α相交
D．若a∩α＝A，則a α
6．(多選)下列命題中的真命題是(　　)
A．若直線a不在平面α內，則a∥α
B．若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α
C．若l∥α，則直線l與平面α內任何一條直線都沒有公共點
D．平行于同一平面的兩直線可以相交
7．若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關系是________．
8．已知A，B，C，D是空間四個點，且直線AB與CD是兩條異面直線，則直線AC與BD的位置關系是________．(填“平行”或“異面”)
9.
如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中判斷下列位置關系：
(1)AD1所在直線與平面B1BCC1的位置關系是________；
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________．
10．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．
[B　能力提升]
11．(多選)如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則以下四個結論正確的是(　　)
A．直線AM與CC1是相交直線
B．直線AM與BN是平行直線
C．直線BN與MB1是異面直線
D．直線AM與DD1是異面直線
12．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面，與其中一個側面相交的面共有________個．
13．在四棱錐P ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對．
14．如圖，平面α，β，γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的位置關系并證明你的結論．
[C　拓展沖刺]
15．如圖是一個正方體的展開圖，則在原正方體中(　　)
A．AB∥CD B．AD∥EF
C．CD∥GH D．AB∥GH
16．如圖(1)(2)所示，ABCD A1B1C1D1是正方體，在圖(1)中，E，F分別是D1C1，B1B的中點．試分別畫出圖(1)(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線．
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8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
學習指導 核心素養
借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義． 1.數學抽象：空間中直線、平面位置關系的定義． 2.直觀想象：用圖形語言表示直線、平面的位置關系．
知識點一　空間中直線與直線的位置關系
1.異面直線
(1)定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
(2)畫法：(通常用平面襯托)
2.空間兩條直線的位置關系
異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．
　如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：
(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是________；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是________；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是________；
(4)直線AB與直線B1C的位置關系是________．
【解析】　經探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行．點A1，B，B1在平面A1BB1內，而C不在平面A1BB1內，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．直線D1D與直線D1C相交于點D1.
【答案】　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面
判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內；
(2)排除法(反證法)：排除兩直線共面(平行或相交)；
(3)重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線和這
個平面內不經過此點的直線是異面直線．如圖，A α，B∈α，l α，B l 直線AB與l是異面直線．
若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行、相交或異面
解析：選D.可借助長方體來判斷．如圖，在長方體ABCD A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面．
知識點二　空間中直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 有無數個公共點 有且只有一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
　下列命題中，真命題的個數為(　　)
①若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行；
②若直線在平面外，則直線與平面平行；
③若直線經過平面外的兩點，則直線與平面平行；
④若直線既不在這個平面內又不與這個平面相交，則直線與平面平行．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　
①符合線面平行的定義，故①為真命題；直線在平面外等價于直線與平面平行或相交，故②為假命題；③為假命題，例如：過平面外兩個點A、B的直線(如圖)與平面相交；由②的分析知④為真命題．
【答案】　B
直線與平面位置關系的判斷
(1)空間直線與平面位置關系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內，只要證明直線上兩點在平面α內；要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點；要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．
1．若直線上有一點在平面外，則下列說法正確的是(　　)
A．直線上所有的點都在平面外
B．直線上有無數個點都在平面外
C．直線上有無數個點都在平面內
D．直線上至少有一個點在平面內
解析：選B.直線上有一點在平面外，則直線不在平面內，故直線上有無數個點都在平面外．
2．在如圖所示的正方體ABCD A′B′C′D′中，
(1)與AB所在直線平行的平面有________個；
(2)與A′B所在直線平行的平面有________個．
解析：(1)與AB所在直線平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；
(2)與A′B所在直線平行的平面只有平面DCC′D′.
答案：(1)2　(2)1
知識點三　空間中平面與平面的位置關系
位置關系 兩個平面平行 兩個平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點(在一條直線上)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
　α，β是兩個不重合的平面，下面說法中正確的是(　　)
A．平面α內有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥β
B．平面α內有無數條直線平行于平面β，那么α∥β
C．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α內所有的直線都與平面β平行，那么α∥β
【解析】　A，B都不能保證α，β無公共點，如圖①所示；C中當a∥α，a∥β時，α與β可能相交，如圖②所示；只有D說明α，β一定無公共點，即α∥β.
【答案】　D
兩個平面的位置關系的兩種判斷方法
(1)定義法：仔細分析題目條件，將自然語言轉化為圖形語言，通過圖形借助定義確定兩平面的位置關系．
(2)借助幾何模型判斷：線、面之間的位置關系在長方體(或正方體)中都能體現，所以對于位置關系的判斷要注意利用這一熟悉的圖形找到反例或對應的關系．
1．如果兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．無法確定
解析：選C.根據題意作圖，把自然語言轉化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關系，如圖所示．
2．如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC與其余的面之間有什么位置關系？
解：因為幾何體ABC A1B1C1為三棱柱，
所以平面ABC與平面A1B1C1平行．
因為平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB，
所以平面ABC與平面ABB1A1相交．
同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．
1.異面直線是指(　　)
A．空間中兩條不相交的直線
B．分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C．平面內的一條直線與平面外的一條直線
D．不同在任何一個平面內的兩條直線
解析：選D.對于A，空間中兩條不相交的直線有兩種可能，一個是平行(共面)，另一個是異面，所以A應排除；對于B，分別位于兩個不同平面內的兩條直線，既可能平行也可能相交也可能異面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除；對于C，如圖中的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應排除；只有D符合定義．
2．若直線l∥平面α，直線a α，則(　　)
A．l∥a
B．l與a異面
C．l與a相交
D．l與a沒有公共點
解析：選D.若直線l∥平面α，直線a α，則l∥a或l與a異面，故l與a沒有公共點，故選D.
3．(多選)兩平面α，β平行，a α，則下列四個命題正確的是(　　)
A．a與β內的所有直線平行
B．a與β內無數條直線平行
C．a與β至少有一個公共點
D．a與β沒有公共點
解析：選BD.a不是與β內的所有直線平行，而是與β內的無數條直線平行，有一些是異面，A錯誤，B正確；根據定義，a與β沒有公共點，C錯誤，D正確．
4．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，面對角線B1D1與長方體的六個面之間的位置關系如何？
解：因為B1∈平面A1B1C1D1，D1∈平面A1B1C1D1，
所以B1D1 平面A1B1C1D1.
因為B1∈平面BB1C1C，D1 平面BB1C1C，
所以直線B1D1∩平面BB1C1C＝B1.
同理直線B1D1與平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交．在平行四邊形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1與BD無公共點，所以B1D1與平面ABCD無公共點，所以B1D1∥平面ABCD.
[A　基礎達標]
1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(　　)
A．一條直線不相交
B．兩條直線不相交
C．無數條直線不相交
D．任意一條直線不相交
解析：選D.直線a∥平面α，則a與α無公共點，與α內的直線當然均無公共點，故與α內任意一條直線不相交．
2．正方體的六個面中相互平行的平面有(　　)
A．2對 B．3對
C．4對 D．5對
解析：選B.由正方體模型可知，六個面中共有3對相對的面互相平行．故選B.
3．已知直線a，b，c，若a，b異面，b∥c，則a，c的位置關系是(　　)
A．異面 B．相交
C．平行或異面 D．相交或異面
解析：選D.如圖所示的正方體：AB和DD1是異面直線，DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；
AB和DD1是異面直線，DD1∥CC1，AB與CC1是異面直線．
所以兩直線a與b是異面直線，b∥c，則a，c的位置關系是相交或異面．故選D.
4．“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選C.若直線l與平面α沒有公共點，那直線l與平面α只能平行，故充分條件成立；若直線l與平面α平行，則直線l與平面α沒有公共點，故必要性也成立，所以“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的充要條件．故選C.
5．(多選)下列結論正確的是(　　)
A．直線a∥平面α，直線b α，則a∥b
B．若a α，b α，則a，b無公共點
C．若a α，則a∥α或a與α相交
D．若a∩α＝A，則a α
解析：選CD.對A，a和b可以異面，故A錯誤；對B，b α，則b和α可以相交，故b和a可以相交，故B錯誤；對C，直線在平面外，則直線和平面相交或平行，故C正確；對D，a∩α＝A說明直線和平面只有一個交點，故D正確，故選CD.
6．(多選)下列命題中的真命題是(　　)
A．若直線a不在平面α內，則a∥α
B．若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α
C．若l∥α，則直線l與平面α內任何一條直線都沒有公共點
D．平行于同一平面的兩直線可以相交
解析：選CD.A中，直線a也可能與平面α相交，故A是假命題；B中，直線l與平面α相交時，l上也有無數個點不在平面α內，故B是假命題；C中，l∥α時，l與α沒有公共點，所以l與α內任何一條直線都沒有公共點，故C是真命題；D中，在長方體ABCD A1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，且A1C1與B1D1相交，故D是真命題．
7．若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關系是________．
解析：因為點A∈α，B α，C α，
所以平面ABC與平面α有公共點，且不重合，
所以平面ABC與平面α的位置關系是相交．
答案：相交
8．已知A，B，C，D是空間四個點，且直線AB與CD是兩條異面直線，則直線AC與BD的位置關系是________．(填“平行”或“異面”)
解析：因為AB，CD是兩條異面直線，由異面直線定義可知直線AC與BD必不相交也不平行，一定異面．
答案：異面
9.
如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中判斷下列位置關系：
(1)AD1所在直線與平面B1BCC1的位置關系是________；
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________．
解析：(1)AD1所在的直線與平面B1BCC1沒有公共點，所以平行．
(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點B，故相交．
答案：(1)平行　(2)相交
10．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．
證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因為BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D 平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．
[B　能力提升]
11．(多選)如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則以下四個結論正確的是(　　)
A．直線AM與CC1是相交直線
B．直線AM與BN是平行直線
C．直線BN與MB1是異面直線
D．直線AM與DD1是異面直線
解析：選CD.直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故A，B錯誤；C，D正確．故選CD.
12．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面，與其中一個側面相交的面共有________個．
解析：六棱柱的兩個底面互相平行，每個側面與其直接相對的側面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共由8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側面平行的面有1個，其余6個面與該側面均為相交的關系．
答案：4　6
13．在四棱錐P ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對．
解析：以底邊所在直線為準進行考察，因為四邊形ABCD是平面圖形，4條邊在同一平面內，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線，所以共有4×2＝8(對)異面直線．
答案：8
14．如圖，平面α，β，γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的位置關系并證明你的結論．
解：a∥b，a∥β.證明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
因為α∥β，a α，b β，
所以a，b無公共點．
又因為a γ且b γ，所以a∥b.
因為α∥β，所以α與β無公共點．
又a α，所以a與β無公共點，所以a∥β.
[C　拓展沖刺]
15．如圖是一個正方體的展開圖，則在原正方體中(　　)
A．AB∥CD B．AD∥EF
C．CD∥GH D．AB∥GH
解析：選C.
把正方體的展開圖還原成正方體，
得到如圖所示的正方體，
由正方體性質得，
AB與CD相交，AD與EF異面，CD與GH平行，AB與GH異面．
16．如圖(1)(2)所示，ABCD A1B1C1D1是正方體，在圖(1)中，E，F分別是D1C1，B1B的中點．試分別畫出圖(1)(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線．
解：如圖①所示，過點E作EN∥ BB1交CD于點N，連接NB并延長交EF的延長線于點M，連接AM，則AM即為陰影的平面與平面ABCD的交線．
如圖②所示，延長DC，過點C1作C1P∥A1B交DC的延長線于點P，連接BP，則BP即為陰影的平面與平面ABCD的交線．
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