資源簡介

(共45張PPT)
8．5　空間直線、平面的平行
8．5.1　直線與直線平行
第八章　立體幾何初步
學習指導 核心素養
1.了解基本事實． 2.理解等角定理，并會用其解決有關問題． 1.數學抽象：基本事實4和等角定理的理解．
2.直觀想象、邏輯推理：應用基本事實4和等角定理證明兩直線的平行．
01
必備知識　落實
知識點一　基本事實4
(1)內容：平行于同一條直線的兩條直線______．這一性質通常叫做平行線的______性．
(2)符號表示： a∥c.
a∥b
b∥c
平行
傳遞
　　　如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為
空間四邊形)中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的
中點．
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形．
證明空間中兩條直線平行的方法
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明．
(2)利用基本事實4，即找到一條直線c，使得a∥c，同時b∥c，由基本事實4得到a∥b.
　　　　　如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，
M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA1C1是梯形．
知識點二　等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角______或______．
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
相等
互補
空間角相等的證明方法
(1)等角定理是較常用的方法，等角定理的結論是相等或互補，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．
(2)轉化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明．
　　　　　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別
為A1C1，AC和AB的中點．求證：∠PNA1＝∠BCM.
證明：因為P，N分別為AB，AC的中點，
所以PN∥BC，①
又因為M，N分別為A1C1，AC的中點，
所以A1M綉NC，所以四邊形A1NCM為平行四邊形，于是A1N∥MC，②
由①②及∠PNA1與∠BCM對應邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
02
課堂鞏固　自測
1．空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行，且α＝60°，則β為(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：根據等角定理可知，β＝60°或120°.故選D．
√
2．如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，
SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
解析：在△MPN中，因為H，G分別為MP，MN的中點，所以HG∥PN，
同理EF∥PN，所以HG∥EF.
√
3．兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形(　　)
A．全等 B．不相似
C．僅有一個角相等 D．相似
解析：由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應相等，故選D．
√
4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中點，
N是B1C1的中點，求證：CM∥A1N.
03
課后達標　檢測
[A　基礎達標]
1．兩等角的一組對應邊平行，則(　　)
A．另一組對應邊平行 B．另一組對應邊不平行
C．另一組對應邊不可能垂直 D．以上都不對
解析：另一組對應邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若兩個角的對應邊平行，則這兩個角相等或互補)的區別．
√
2．已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
解析：因為a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.故選A．
√
3．在三棱錐P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：由題意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
√
4．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結論中正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
解析：OB與O1B1不一定平行，如圖所示，OA∥O1A1，∠AOB＝∠A1O1B1.
√
5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分別是邊AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
解析：如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F分別為AD1，CD1
的中點．由三角形的中位線定理，知EF∥AC，GH∥AC，
所以EF∥GH.故選C．
√
6．(多選)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖)，l 平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列說法可能成立的是(　　)



A．l與AD平行 B．l與AD相交
C．l與AC平行 D．l與BD平行
√
√
解析：假設l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，
知l∥B1C1，
這與l與B1C1不平行矛盾，
所以l與AD不平行．
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l與AD無公共點，故l與AD不相交．
C，D可以成立．
7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上
的點，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是____．
解析：在△ABC中，因為AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又因為BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
8．已知a，b，c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；
③若a 平面α，b 平面β，則a，b一定是異面直線；
④若a，b與c成等角，則a∥b.
其中正確的是________．(填序號)
解析：由基本事實4知①正確；
當a與b相交，b與c相交時，a與c可能相交、平行或異面，故②不正確；
當a 平面α，b 平面β時，a與b可能平行、相交或異面，故③不正確；
當a，b與c成等角時，a與b可能相交、平行，也可能異面，故④不正確．
答案：①
9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正
方形ABCD和A1B1C1D1的對角線．
(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同；
解析：B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同．
答案：∠D1B1C1　
(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反．
解析：B1D1∥DB且方向相反，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反．
答案：∠B1D1A1
10．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AB，
BC的中點，點E1，F1分別是棱A1D1，C1D1的中點．
求證：EE1∥FF1.
[B　能力提升]
11．(多選)(2022·山東滕州高二期中)如圖，在四面體ABCD
中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中
點，則下列說法中正確的是(　　)
A．M，N，P，Q四點共面 B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ D．四邊形MNPQ為梯形
√
√
√
解析：對于A選項，由基本事實4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A正確；
對于B選項，根據等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正確；
對于C選項，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正確；
12．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，
AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是________．
解析：因為在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，
AB∥CD，所以∠A1AB與∠D1DC相等．又由于側面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
13．如圖所示，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，
BC，CD，DA的中點，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH
的周長為________．
答案：6
14．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的
中點．求證：
(1)D1E∥BF；
證明：如圖，取BB1的中點M，連接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因為A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四邊形MBFC1為平行四邊形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
證明：因為D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF與∠A1ED1的對應邊方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
16．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1內有一點P，經過點P作棱BC的平行線，應該怎樣畫？并說明理由．
解：如圖所示，在面A1C1內過點P作直線EF∥B1C1，
交A1B1于點E，交C1D1于點F，則直線EF即為所求．
理由：因為EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.中小學教育資源及組卷應用平臺
8．5　空間直線、平面的平行
8．5.1　直線與直線平行
學習指導 核心素養
1.了解基本事實． 2.理解等角定理，并會用其解決有關問題． 1.數學抽象：基本事實4和等角定理的理解． 2.直觀想象、邏輯推理：應用基本事實4和等角定理證明兩直線的平行．
知識點一　基本事實4
(1)內容：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質通常叫做平行線的傳遞性．
(2)符號表示： a∥c.
　如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點．
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形．
【證明】　(1)因為在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形．
(2)因為在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，
所以EH＝BD.
由(1)知EF＝AC，又AC＝BD，
所以EH＝EF.
又因為四邊形EFGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形．
證明空間中兩條直線平行的方法
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明．
(2)利用基本事實4，即找到一條直線c，使得a∥c，同時b∥c，由基本事實4得到a∥b.
如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA1C1是梯形．
證明：如圖，連接AC，在△ACD中，
因為M，N分別是CD，AD的中點，
所以MN是△ACD的中位線，
所以MN∥AC，且MN＝AC.
由正方體的性質，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥A1C1，
且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
所以四邊形MNA1C1是梯形．
知識點二　等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
　如圖所示，點A1，B1，C1分別是不共面的三條射線OA，OB，OC上的點，且＝＝.求證：△A1B1C1∽△ABC.
【證明】　在△OAB中，因為＝，所以A1B1∥AB.同理可證A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.
空間角相等的證明方法
(1)等角定理是較常用的方法，等角定理的結論是相等或互補，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．
(2)轉化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明．
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點．求證：∠PNA1＝∠BCM.
證明：因為P，N分別為AB，AC的中點，
所以PN∥BC，①
又因為M，N分別為A1C1，AC的中點，
所以A1M綉NC，所以四邊形A1NCM為平行四邊形，于是A1N∥MC，②
由①②及∠PNA1與∠BCM對應邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
1．空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行，且α＝60°，則β為(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：選D．根據等角定理可知，β＝60°或120°.故選D．
2．如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
解析：選A．在△MPN中，因為H，G分別為MP，MN的中點，所以HG∥PN，
同理EF∥PN，所以HG∥EF.
3．兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形(　　)
A．全等 B．不相似
C．僅有一個角相等 D．相似
解析：選D． 由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應相等，故選D．
4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中點，N是B1C1的中點，求證：CM∥A1N.
證明：取A1D1的中點P，連接C1P，MP(圖略)，則A1P＝A1D1.又N為B1C1的中點，B1C1綉A1D1，
所以C1N綉PA1，所以四邊形PA1NC1為平行四邊形，所以A1N∥C1P.
又由PM綉DD1綉CC1，得四邊形PMCC1為平行四邊形，所以C1P∥CM.所以CM∥A1N.
[A　基礎達標]
1．兩等角的一組對應邊平行，則(　　)
A．另一組對應邊平行
B．另一組對應邊不平行
C．另一組對應邊不可能垂直
D．以上都不對
解析：選D．另一組對應邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若兩個角的對應邊平行，則這兩個角相等或互補)的區別．
2．已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
解析：選A． 因為a∥b，b∥c，所以a∥c.又c∥d，所以a∥d.故選A．
3．在三棱錐P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：選D．由題意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
4．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結論中正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
解析：選D．OB與O1B1不一定平行，如圖所示，OA∥O1A1，∠AOB＝∠A1O1B1.
5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分別是邊AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
解析：選C．如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F分別為AD1，CD1的中點．由三角形的中位線定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故選C．
6．(多選)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖)，l 平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列說法可能成立的是(　　)
A．l與AD平行 B．l與AD相交
C．l與AC平行 D．l與BD平行
解析：選CD． 假設l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，
知l∥B1C1，
這與l與B1C1不平行矛盾，
所以l與AD不平行．
又l在上底面中，AD在下底面中，
故l與AD無公共點，故l與AD不相交．
C，D可以成立．
7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是________．
解析：在△ABC中，因為AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又因為BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
8．已知a，b，c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；
③若a 平面α，b 平面β，則a，b一定是異面直線；
④若a，b與c成等角，則a∥b.
其中正確的是________．(填序號)
解析：由基本事實4知①正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可能相交、平行或異面，故②不正確；當a 平面α，b 平面β時，a與b可能平行、相交或異面，故③不正確；當a，b與c成等角時，a與b可能相交、平行，也可能異面，故④不正確．
答案：①
9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線．
(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同；
(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反．
解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同．
(2)B1D1∥DB且方向相反，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1
10．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AB，BC的中點，點E1，F1分別是棱A1D1，C1D1的中點．
求證：EE1∥FF1.
證明：連接EF，E1F1，A1C1，AC，
由長方體ABCD-A1B1C1D1知，
AC綉A1C1，
因為點E，F分別是棱AB，BC的中點，所以由三角形中位線定理得：
EF綉AC，
同理E1F1綉A1C1，
所以EF綉E1F1，則四邊形EFF1E1為平行四邊形，
故EE1∥FF1.
[B　能力提升]
11．(多選)(2022·山東滕州高二期中)如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是(　　)
A．M，N，P，Q四點共面 B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ D．四邊形MNPQ為梯形
解析：選ABC．對于A選項，由基本事實4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A正確；對于B選項，根據等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正確；對于C選項，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正確；由三角形中位線的性質知MQ∥BD，MQ＝BD，NP∥BD，NP＝BD，所以MQ綉NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D不正確．故選ABC．
12．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是________．
解析：因為在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以∠A1AB與∠D1DC相等．又由于側面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相等．
答案：∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
13．如圖所示，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為________．
解析：因為E，H分別是空間四邊形ABCD中的邊AB，DA的中點，所以EH∥BD，且EH＝BD，同理FG∥BD，且FG＝BD.所以EH＝FG＝BD＝1，同理EF＝GH＝AC＝2，所以四邊形EFGH的周長為6.
答案：6
14．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點．求證：
(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
證明：(1)如圖，取BB1的中點M，連接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因為A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四邊形MBFC1為平行四邊形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2)因為D1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF與∠A1ED1的對應邊方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
[C　拓展沖刺]
15．如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且＝＝＝，則＝________．
解析：如題圖，＝＝＝，
可證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，
∠ACB＝∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′，
所以＝，所以＝×＝.
答案：
16．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1內有一點P，經過點P作棱BC的平行線，應該怎樣畫？并說明理由．
解：如圖所示，在面A1C1內過點P作直線EF∥B1C1，
交A1B1于點E，交C1D1于點F，則直線EF即為所求．
理由：因為EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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8．5　空間直線、平面的平行
8．5.1　直線與直線平行
學習指導 核心素養
1.了解基本事實． 2.理解等角定理，并會用其解決有關問題． 1.數學抽象：基本事實4和等角定理的理解． 2.直觀想象、邏輯推理：應用基本事實4和等角定理證明兩直線的平行．
知識點一　基本事實4
(1)內容：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質通常叫做平行線的傳遞性．
(2)符號表示： a∥c.
　如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點．
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形．
證明空間中兩條直線平行的方法
(1)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理等)來證明．
(2)利用基本事實4，即找到一條直線c，使得a∥c，同時b∥c，由基本事實4得到a∥b.
如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA1C1是梯形．
知識點二　等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
　如圖所示，點A1，B1，C1分別是不共面的三條射線OA，OB，OC上的點，且＝＝.求證：△A1B1C1∽△ABC.
空間角相等的證明方法
(1)等角定理是較常用的方法，等角定理的結論是相等或互補，在實際應用時，一般是借助于圖形判斷是相等還是互補，還是兩種情況都有可能．
(2)轉化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明．
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點．求證：∠PNA1＝∠BCM.
1．空間兩個角α，β的兩邊分別對應平行，且α＝60°，則β為(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
2．如圖所示，在三棱錐S-MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或異面
3．兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形(　　)
A．全等 B．不相似
C．僅有一個角相等 D．相似
4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中點，N是B1C1的中點，求證：CM∥A1N.
[A　基礎達標]
1．兩等角的一組對應邊平行，則(　　)
A．另一組對應邊平行
B．另一組對應邊不平行
C．另一組對應邊不可能垂直
D．以上都不對
2．已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
3．在三棱錐P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結論中正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分別是邊AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
6．(多選)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖)，l 平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列說法可能成立的是(　　)
A．l與AD平行 B．l與AD相交
C．l與AC平行 D．l與BD平行
7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是________．
8．已知a，b，c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；
③若a 平面α，b 平面β，則a，b一定是異面直線；
④若a，b與c成等角，則a∥b.
其中正確的是________．(填序號)
9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線．
(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同；
(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反．
10．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AB，BC的中點，點E1，F1分別是棱A1D1，C1D1的中點．
求證：EE1∥FF1.
[B　能力提升]
11．(多選)(2022·山東滕州高二期中)如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是(　　)
A．M，N，P，Q四點共面 B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ D．四邊形MNPQ為梯形
12．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是________．
13．如圖所示，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為________．
14．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點．求證：
(1)D1E∥BF；
(2)∠B1BF＝∠A1ED1.
[C　拓展沖刺]
15．如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且＝＝＝，則＝________．
16．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1內有一點P，經過點P作棱BC的平行線，應該怎樣畫？并說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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