資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
8．5.3　平面與平面平行
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀圖感知，了解空間中平面與平面的平行關(guān)系． 2．歸納出平面與平面平行的判定定理并加以證明． 1.數(shù)學(xué)抽象、直觀想象：平面與平面平行的判定定理的理解． 2．邏輯推理：利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理證明平行關(guān)系．
第1課時(shí)　平面與平面平行的判定
知識(shí)點(diǎn)　平面與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
圖形語(yǔ)言
(1)該定理簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行，則面面平行”．
(2)定理中“兩條直線(xiàn)相交”是必不可少的．
　已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　)
A．平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面β平行
B．平面α內(nèi)有兩條直線(xiàn)與平面β平行
C．平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)平行
D．平面α與平面β不相交
【解析】　選項(xiàng)A，C不正確，因?yàn)閮蓚€(gè)平面可能相交；選項(xiàng)B不正確，因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的這兩條直線(xiàn)必須相交才能得到平面α與平面β平行；選項(xiàng)D正確，因?yàn)閮蓚€(gè)平面(不重合)的位置關(guān)系只有相交與平行兩種，又因?yàn)閮蓚€(gè)平面不相交，所以這兩個(gè)平面必定平行．故選D．
【答案】　D
(1)在判定兩個(gè)平面是否平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線(xiàn)”這個(gè)條件，線(xiàn)不在多，相交就行．
(2)借助于常見(jiàn)幾何體(如正方體)進(jìn)行分析．
設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線(xiàn)且m α，m∥β，若使α∥β成立，則需增加的條件是(　　)
A．n是直線(xiàn)且n α，n∥β
B．n，m是異面直線(xiàn)且n∥β
C．n，m是相交直線(xiàn)且n α，n∥β
D．n，m是平行直線(xiàn)且n α，n∥β
解析：選C．要使α∥β成立，需要其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，n，m是相交直線(xiàn)且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面與平面平行的判定定理可得α∥β.故選C．
考點(diǎn)　平面與平面平行的判定
　如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，AP的中點(diǎn)，證明：平面GFE∥平面PCB.
【證明】　因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，AC，AP的中點(diǎn)，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因?yàn)镋F，GF 平面PCB，BC，CP 平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，EF，GF 平面GFE，
所以平面GFE∥平面PCB.
　如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面AD1C∥平面BPQ.
【證明】　因?yàn)镈1QCD，
ABCD，所以D1QAB，
所以四邊形D1QBA為平行四邊形，
所以D1A∥QB.
因?yàn)镼，P分別為C1D1，CC1的中點(diǎn)，
所以QP∥D1C.
因?yàn)镈1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
所以平面AD1C∥平面BPQ.
平面與平面平行的判定方法
(1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．
(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面．
(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行，平面α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與平面β內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行，則α∥β.
(4)利用平面平行的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，B1C1，BB1的中點(diǎn)．求證：平面A1GH∥平面AEF.
證明：連接BC1(圖略)，
因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，
所以GH∥BC1，EF∥BC1，所以GH∥EF，
又EF 平面AEF，GH 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)镚，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，所以A1G∥AE，
又AE 平面AEF，A1G 平面AEF，
所以A1G∥平面AEF.
因?yàn)锳1G∩GH＝G，且A1G，GH 平面A1GH，
所以平面A1GH∥平面AEF.
1．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，直線(xiàn)a α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B．a(chǎn) α，a∥β，α，β可以相交，不平行；由面面平行的定義可知，若α∥β且a α，則a∥β.故p是q的必要不充分條件．故選B．
2．在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
解析：選D．由長(zhǎng)方體的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.故選D．
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為BD的中點(diǎn)，P是DD1的中點(diǎn)，Q是CC1的中點(diǎn)，求證：平面D1BQ∥平面PAO.
證明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，易得QB∥PA.
因?yàn)镼B 平面PAO，PA 平面PAO，所以QB∥平面PAO.
因?yàn)镻，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.因?yàn)镈1B∩QB＝B，且D1B，QB 平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．下列命題中正確的是(　　)
A．一個(gè)平面內(nèi)三條直線(xiàn)都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行
B．如果一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
C．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面一定相互平行
D．如果一個(gè)平面內(nèi)有幾條直線(xiàn)都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行
解析：選B．如果一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，即兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行，故選B．
2．已知a，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題：
① α∥β； ② α∥β；
③ a∥α； ④ a∥β.
其中正確的是(　　)
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
解析：選C．①α與β有可能相交；②正確；③有可能a α；④有可能a β.故選C．
3．經(jīng)過(guò)平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行平面可以作(　　)
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．0個(gè)或1個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)
解析：選C．連接平面外的兩點(diǎn)的直線(xiàn)，當(dāng)該直線(xiàn)與平面平行時(shí)，過(guò)該直線(xiàn)的平行平面有1個(gè)，當(dāng)該直線(xiàn)與平面相交時(shí)，過(guò)該直線(xiàn)的平行平面有0個(gè)．
4．如圖，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不確定
解析：選A．因?yàn)镋1和F1分別是A1B1和C1D1的中點(diǎn)，所以A1D1∥E1F1.又因?yàn)锳1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又因?yàn)镋1和E分別是A1B1和AB的中點(diǎn)，所以A1E1∥BE，且A1E1＝BE，所以四邊形A1EBE1是平行四邊形，所以A1E∥BE1.又因?yàn)锳1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.因?yàn)锳1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
5．在正方體EFGH-E1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是(　　)
A．平面E1FG1與平面EGH1 B．平面FHG1與平面F1H1G
C．平面F1H1H與平面FHE1 D．平面E1HG1與平面EH1G
解析：選A．如圖，因?yàn)镋G∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
所以EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可證H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
6．(多選)如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，則在原四棱錐中(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB
解析：選ABC．把平面展開(kāi)圖還原為四棱錐如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，所以EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H在同一平面．
因?yàn)镋H∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.
同理可證EF∥平面ABCD，
又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)锳B∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故選項(xiàng)B，C正確；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱錐的四個(gè)側(cè)面，則它們兩兩相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
7．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線(xiàn)a，在β內(nèi)總存在直線(xiàn)b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________．(填“平行”或“相交”)
解析：若α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線(xiàn)a，設(shè)a∩l＝A，對(duì)于β內(nèi)的任意直線(xiàn)b，若b過(guò)點(diǎn)A，則a與b相交，若b不過(guò)點(diǎn)A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線(xiàn)b∥a，矛盾．故α∥β.
答案：平行
8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置關(guān)系為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)锳B1∥C1D，AD1∥BC1，AB1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，AB1∩AD1＝A，C1D 平面BC1D，BC1 平面BC1D，C1D∩BC1＝C1，由面面平行的判定定理我們易得平面AB1D1∥平面BC1D.
答案：平行
9．如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形，BDEF是矩形，求證：平面BCF∥平面AED.
證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BC∥AD.因?yàn)锽C 平面ADE，AD 平面ADE，所以BC∥平面ADE.又因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，所以BF∥DE.因?yàn)锽F 平面ADE，DE 平面ADE，所以BF∥平面ADE.因?yàn)锽C 平面BCF，BF 平面BCF，BC∩BF＝B，所以平面BCF∥平面AED.
[B　能力提升]
10．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是________．
解析：如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，EF，則平面A1EF∥平面PBC1.
在△A1EF中，
A1F＝A1E＝，EF＝2，
S△A1EF＝×2×＝，
連接EC，CF，平面A1EF即為平面A1ECF，
從而所得截面面積為2S△A1EF＝2.
答案：2
11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上，且BP＝BD1.
則以下四個(gè)說(shuō)法：
①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)；④平面MNQ∥平面APC.
其中說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào))
解析：①中，由題意得MN∥AC，連接AM，CN(圖略)，得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN 平面APC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；
②中，將平面APC延展，可知AN在平面APC上，
因?yàn)锳N∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；
③中，由①得A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)是正確的；
④中，直線(xiàn)AP延長(zhǎng)到M，則M既在平面MNQ內(nèi)，又在平面APC內(nèi)，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．
答案：②③
12．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)．求證：平面EFG∥平面BDD1B1.
證明：如圖所示，連接SB，SD.
因?yàn)镕，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.
又因?yàn)镾D 平面BDD1B1，F(xiàn)G 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
同理可證EG∥平面BDD1B1，
又因?yàn)镋G，F(xiàn)G 平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
[C　拓展沖刺]
13．在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，點(diǎn)D在A1B1上，且AA1∥BD，點(diǎn)M是△A1B1C1內(nèi)(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面BDM∥平面A1ACC1，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(　　)
A．△A1B1C1邊界的一部分 B．一個(gè)點(diǎn)
C．線(xiàn)段的一部分 D．圓的一部分
解析：選C．如圖，過(guò)D作DE∥A1C1交B1C1于點(diǎn)E，連接BE，因?yàn)锽D∥AA1，BD 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，
所以BD∥平面A1ACC1，
同理DE∥平面A1ACC1，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈DE(M不與D重合，否則沒(méi)有平面BDM)，故選C．
14．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AC1，A1C1的中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥面BCC1B1；
(2)在線(xiàn)段BC1上是否存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB1A1，證明你的結(jié)論．
解：(1)證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AC1，A1C1的中點(diǎn)，所以EF∥A1A.
因?yàn)锽1B∥A1A，所以EF∥B1B.
又因?yàn)镋F 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，
所以EF∥平面BCC1B1.
(2)存在．理由如下：取BC1中點(diǎn)為G，連接GE，GF，又因?yàn)镋為AC1的中點(diǎn)，所以GE∥AB.
因?yàn)镋G 平面A1B1BA，AB 平面A1B1BA，
所以EG∥平面ABB1A1.
同理可證：EF∥平面ABB1A1.
又因?yàn)镋F∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1.
所以在線(xiàn)段BC1上存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB1A1.
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8．5　空間直線(xiàn)、平面的平行
8.5.3　平面與平面平行
第八章　立體幾何初步
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀圖感知，了解空間中平面與平面的平行關(guān)系． 2．歸納出平面與平面平行的判定定理并加以證明． 1.數(shù)學(xué)抽象、直觀想象：平面與平面平行的判定定理的理解．
2．邏輯推理：利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理證明平行關(guān)系．
第1課時(shí)　平面與平面平行的判定
01
必備知識(shí)　落實(shí)
知識(shí)點(diǎn)　平面與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條__________與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 __________________________________ β∥α
圖形語(yǔ)言
相交直線(xiàn)
a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
(1)該定理簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行，則面面平行”．
(2)定理中“兩條直線(xiàn)相交”是必不可少的．
　　　已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　)
A．平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面β平行
B．平面α內(nèi)有兩條直線(xiàn)與平面β平行
C．平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)平行
D．平面α與平面β不相交
√
【解析】　選項(xiàng)A，C不正確，因?yàn)閮蓚€(gè)平面可能相交；
選項(xiàng)B不正確，因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的這兩條直線(xiàn)必須相交才能得到平面α與平面β平行；
選項(xiàng)D正確，因?yàn)閮蓚€(gè)平面(不重合)的位置關(guān)系只有相交與平行兩種，又因?yàn)閮蓚€(gè)平面不相交，所以這兩個(gè)平面必定平行．故選D．
(1)在判定兩個(gè)平面是否平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線(xiàn)”這個(gè)條件，線(xiàn)不在多，相交就行．
(2)借助于常見(jiàn)幾何體(如正方體)進(jìn)行分析．
　　　　　設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線(xiàn)且m α，m∥β，若使α∥β成立，則需增加的條件是(　　)
A．n是直線(xiàn)且n α，n∥β
B．n，m是異面直線(xiàn)且n∥β
C．n，m是相交直線(xiàn)且n α，n∥β
D．n，m是平行直線(xiàn)且n α，n∥β
解析：要使α∥β成立，需要其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，n，m是相交直線(xiàn)且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面與平面平行的判定定理可得α∥β.故選C．
√
02
關(guān)鍵能力　提升
考點(diǎn)　平面與平面平行的判定
　　　如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，
AC，AP的中點(diǎn)，證明：平面GFE∥平面PCB.
【證明】　因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，AC，AP的中點(diǎn)，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因?yàn)镋F，GF 平面PCB，BC，CP 平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，EF，GF 平面GFE，
所以平面GFE∥平面PCB.
　　　如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD
是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，
求證：平面AD1C∥平面BPQ.
因?yàn)镼，P分別為C1D1，CC1的中點(diǎn)，
所以QP∥D1C.
因?yàn)镈1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
所以平面AD1C∥平面BPQ.
平面與平面平行的判定方法
(1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．
(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面．
(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行，平面α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與平面β內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行，則α∥β.
(4)利用平面平行的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
　　　　　如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，
E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，B1C1，BB1的中點(diǎn)．
求證：平面A1GH∥平面AEF.
證明：連接BC1(圖略)，
因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，
所以GH∥BC1，EF∥BC1，所以GH∥EF，
又EF 平面AEF，GH 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)镚，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，所以A1G∥AE，
又AE 平面AEF，A1G 平面AEF，
所以A1G∥平面AEF.
因?yàn)锳1G∩GH＝G，且A1G，GH 平面A1GH，
所以平面A1GH∥平面AEF.
03
課堂鞏固　自測(cè)
1．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，直線(xiàn)a α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：a α，a∥β，α，β可以相交，不平行；由面面平行的定義可知，若α∥β且a α，則a∥β.故p是q的必要不充分條件．故選B．
√
2．在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
解析：由長(zhǎng)方體的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.故選D．
√
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為BD的中點(diǎn)，P是DD1的中點(diǎn)，Q是CC1的中點(diǎn)，求證：平面D1BQ∥平面PAO.
證明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由Q為CC1的中點(diǎn)，
P為DD1的中點(diǎn)，易得QB∥PA.
因?yàn)镼B 平面PAO，PA 平面PAO，所以QB∥平面PAO.
因?yàn)镻，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.因?yàn)镈1B∩QB＝B，且D1B，QB 平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.
04
課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．下列命題中正確的是(　　)
A．一個(gè)平面內(nèi)三條直線(xiàn)都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行
B．如果一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
C．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面一定相互平行
D．如果一個(gè)平面內(nèi)有幾條直線(xiàn)都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行
解析：如果一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，即兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行，故選B．
√
2．已知a，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題：
① α∥β； ② α∥β；

③ a∥α； ④ a∥β.
其中正確的是(　　)
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
α∥c
β∥c
α∥c
a∥c
α∥γ
β∥γ
a∥γ
β∥γ
√
解析：①α與β有可能相交；
②正確；
③有可能a α；
④有可能a β.故選C．
3．經(jīng)過(guò)平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行平面可以作(　　)
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．0個(gè)或1個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)
解析：連接平面外的兩點(diǎn)的直線(xiàn)，當(dāng)該直線(xiàn)與平面平行時(shí)，過(guò)該直線(xiàn)的平行平面有1個(gè)，當(dāng)該直線(xiàn)與平面相交時(shí)，過(guò)該直線(xiàn)的平行平面有0個(gè)．
√
4．如圖，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1
的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則平面EFD1A1與平面
BCF1E1的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不確定
√
解析：因?yàn)镋1和F1分別是A1B1和C1D1的中點(diǎn)，所以A1D1∥E1F1.又因?yàn)锳1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又因?yàn)镋1和E分別是A1B1和AB的中點(diǎn)，所以A1E1∥BE，且A1E1＝BE，所以四邊形A1EBE1是平行四邊形，所以A1E∥BE1.又因?yàn)锳1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.因?yàn)锳1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
5．在正方體EFGH-E1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是(　　)
A．平面E1FG1與平面EGH1 B．平面FHG1與平面F1H1G
C．平面F1H1H與平面FHE1 D．平面E1HG1與平面EH1G
解析：如圖，因?yàn)镋G∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
所以EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可證H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
√
6．(多選)如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為
正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，
則在原四棱錐中(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB
√
√
√
解析：把平面展開(kāi)圖還原為四棱錐如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，所以EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H在同一平面．
因?yàn)镋H∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.
同理可證EF∥平面ABCD，
又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)锳B∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故選項(xiàng)B，C正確；
平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱錐的四個(gè)側(cè)面，則它們兩兩相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
7．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線(xiàn)a，在β內(nèi)總存在直線(xiàn)b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________．(填“平行”或“相交”)
解析：若α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線(xiàn)a，設(shè)a∩l＝A，對(duì)于β內(nèi)的任意直線(xiàn)b，若b過(guò)點(diǎn)A，則a與b相交，若b不過(guò)點(diǎn)A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線(xiàn)b∥a，矛盾．故α∥β.
答案：平行
8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置關(guān)系為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)锳B1∥C1D，AD1∥BC1，AB1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，AB1∩AD1＝A，C1D 平面BC1D，BC1 平面BC1D，C1D∩BC1＝C1，由面面平行的判定定理我們易得平面AB1D1∥平面BC1D.
答案：平行
9．如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形，BDEF是矩
形，求證：平面BCF∥平面AED.
證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BC∥AD.因?yàn)锽C 平面ADE，AD 平面ADE，所以BC∥平面ADE.又因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，所以BF∥DE.因?yàn)锽F 平面ADE，DE 平面ADE，所以BF∥平面ADE.因?yàn)锽C 平面BCF，BF 平面BCF，BC∩BF＝B，所以平面BCF∥平面AED.
[B　能力提升]
10．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是________．
解析：①中，由題意得MN∥AC，連接AM，CN(圖略)，得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN 平面APC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；
②中，將平面APC延展，可知AN在平面APC上，
因?yàn)锳N∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；
③中，由①得A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)是正確的；
④中，直線(xiàn)AP延長(zhǎng)到M，則M既在平面MNQ內(nèi)，又在平面APC內(nèi)，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．
答案：②③
12．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的
中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)．
求證：平面EFG∥平面BDD1B1.
證明：如圖所示，連接SB，SD.
因?yàn)镕，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.
又因?yàn)镾D 平面BDD1B1，F(xiàn)G 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1.
同理可證EG∥平面BDD1B1，
又因?yàn)镋G，F(xiàn)G 平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
[C　拓展沖刺]
13．在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，點(diǎn)D在A1B1上，且AA1∥BD，點(diǎn)M是△A1B1C1內(nèi)(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面BDM∥平面A1ACC1，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(　　)
A．△A1B1C1邊界的一部分 B．一個(gè)點(diǎn)
C．線(xiàn)段的一部分 D．圓的一部分
√
解析：如圖，過(guò)D作DE∥A1C1交B1C1于點(diǎn)E，連接BE，因?yàn)锽D∥AA1，BD 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，
所以BD∥平面A1ACC1，
同理DE∥平面A1ACC1，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈DE(M不與D重合，否則沒(méi)有平面BDM)，故選C．
14．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段
AC1，A1C1的中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥面BCC1B1；
證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AC1，A1C1的中點(diǎn)，
所以EF∥A1A.
因?yàn)锽1B∥A1A，所以EF∥B1B.
又因?yàn)镋F 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，
所以EF∥平面BCC1B1.
(2)在線(xiàn)段BC1上是否存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB1A1，證明你的結(jié)論．
解：存在．理由如下：取BC1中點(diǎn)為G，連接GE，GF，
又因?yàn)镋為AC1的中點(diǎn)，所以GE∥AB.
因?yàn)镋G 平面A1B1BA，AB 平面A1B1BA，
所以EG∥平面ABB1A1.
同理可證：EF∥平面ABB1A1.
又因?yàn)镋F∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1.
所以在線(xiàn)段BC1上存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB1A1.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
8．5.3　平面與平面平行
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀圖感知，了解空間中平面與平面的平行關(guān)系． 2．歸納出平面與平面平行的判定定理并加以證明． 1.數(shù)學(xué)抽象、直觀想象：平面與平面平行的判定定理的理解． 2．邏輯推理：利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理證明平行關(guān)系．
第1課時(shí)　平面與平面平行的判定
知識(shí)點(diǎn)　平面與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
圖形語(yǔ)言
(1)該定理簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行，則面面平行”．
(2)定理中“兩條直線(xiàn)相交”是必不可少的．
　已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　)
A．平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面β平行
B．平面α內(nèi)有兩條直線(xiàn)與平面β平行
C．平面α內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)平行
D．平面α與平面β不相交
(1)在判定兩個(gè)平面是否平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線(xiàn)”這個(gè)條件，線(xiàn)不在多，相交就行．
(2)借助于常見(jiàn)幾何體(如正方體)進(jìn)行分析．
設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線(xiàn)且m α，m∥β，若使α∥β成立，則需增加的條件是(　　)
A．n是直線(xiàn)且n α，n∥β
B．n，m是異面直線(xiàn)且n∥β
C．n，m是相交直線(xiàn)且n α，n∥β
D．n，m是平行直線(xiàn)且n α，n∥β
考點(diǎn)　平面與平面平行的判定
　如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，AP的中點(diǎn)，證明：平面GFE∥平面PCB.
　如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面AD1C∥平面BPQ.
平面與平面平行的判定方法
(1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．
(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面．
(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行，平面α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與平面β內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行，則α∥β.
(4)利用平面平行的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，B1C1，BB1的中點(diǎn)．求證：平面A1GH∥平面AEF.
1．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，直線(xiàn)a α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為BD的中點(diǎn)，P是DD1的中點(diǎn)，Q是CC1的中點(diǎn)，求證：平面D1BQ∥平面PAO.
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．下列命題中正確的是(　　)
A．一個(gè)平面內(nèi)三條直線(xiàn)都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行
B．如果一個(gè)平面內(nèi)所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
C．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面一定相互平行
D．如果一個(gè)平面內(nèi)有幾條直線(xiàn)都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行
2．已知a，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題：
① α∥β； ② α∥β；
③ a∥α； ④ a∥β.
其中正確的是(　　)
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
3．經(jīng)過(guò)平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行平面可以作(　　)
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．0個(gè)或1個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)
4．如圖，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不確定
5．在正方體EFGH-E1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是(　　)
A．平面E1FG1與平面EGH1 B．平面FHG1與平面F1H1G
C．平面F1H1H與平面FHE1 D．平面E1HG1與平面EH1G
6．(多選)如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，則在原四棱錐中(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB
7．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線(xiàn)a，在β內(nèi)總存在直線(xiàn)b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________．(填“平行”或“相交”)
8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置關(guān)系為_(kāi)_______．
9．如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形，BDEF是矩形，求證：平面BCF∥平面AED.
[B　能力提升]
10．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是________．
11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上，且BP＝BD1.
則以下四個(gè)說(shuō)法：
①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)；④平面MNQ∥平面APC.
其中說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào))
12．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn)．求證：平面EFG∥平面BDD1B1.
[C　拓展沖刺]
13．在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，點(diǎn)D在A1B1上，且AA1∥BD，點(diǎn)M是△A1B1C1內(nèi)(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面BDM∥平面A1ACC1，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(　　)
A．△A1B1C1邊界的一部分 B．一個(gè)點(diǎn)
C．線(xiàn)段的一部分 D．圓的一部分
14．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段AC1，A1C1的中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥面BCC1B1；
(2)在線(xiàn)段BC1上是否存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB1A1，證明你的結(jié)論．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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