資源簡介

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8．5　空間直線、平面的平行
8.5.3　平面與平面平行
第2課時　平面與平面平行的性質
第八章　立體幾何初步
01
必備知識　落實
知識點　平面與平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線______
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
圖形語言
平行
a∥b
(1)該定理可簡記：若面面平行，則線線平行．
(2)定理中有兩個條件：①兩個平行平面；②第三個平面和這兩個平面相交，這兩個條件缺一不可．
　　　如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯
形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
【證明】　因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
平面與平面平行的性質定理的解題步驟
1．若平面α∥平面β，l α，則l與β的位置關系是(　　)
A．l與β相交　　　　　　 B．l與β平行
C．l在β內 D．無法判定
解析：因為α∥β，l α，利用面面平行的定義及性質可得l∥β.故選B．
√
2．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，
PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交
點，連接NF，求證：NF∥CM.
證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
02
關鍵能力　提升
考點一　平行關系中的有關計算
　　　如圖，已知平面α∥β，P α，且P β，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．
　　　　　　 (變條件)將本例改為：若點P位于平面 α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．
與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
(1)根據已知的面面平行關系推出線線平行關系．
(2)在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系．
(3)利用所得關系計算求值．
考點二　平行關系的綜合問題
　　　如圖所示，在四棱錐C-ABED中，四邊形ABED是正方
形，點G，F分別是線段EC，BD的中點．
(1)求證：GF∥平面ABC.
證明：由四邊形ABED為正方形可知，連接AE必與BD相交于中點F(圖略)，故GF∥AC.因為GF 平面ABC，AC 平面ABC，所以GF∥平面ABC.
(2)線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由．
【解】　線段BC上存在一點H滿足題意，且點H是BC的中點．
證明如下：取BC中點的H，連接GH，FH(圖略)，由點G，H分別為CE，CB的中點，可得GH∥EB∥AD.
因為AD 平面ACD，GH 平面ACD，所以GH∥平面ACD.
因為GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD.
所以GF∥平面ACD.
又GF∩GH＝G，GF，
GH 平面GFH，所以平面GFH∥平面ACD.
三種平行關系的轉化
要靈活運用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯系、相互轉化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉化．轉化思想是解決這類問題的最有效的方法．
　　　　　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？并證明你的結論．
解：當E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
證明如下：如圖所示，取BB1的中點F，AB的中點E，連接EF，FD，DE.
因為E，F分別為AB，BB1的中點，
所以EF∥AB1.
因為AB1 平面AB1C1，
EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
又在 CBB1C1中，因為D，F分別為CC1，BB1的中點，所以DF∥B1C1.
因為B1C1 平面AB1C1，DF 平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
因為EF∩FD＝F，EF，FD 平面EFD，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因為DE 平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.
03
課堂鞏固　自測
1．已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是(　　)
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行或異面
解析：因為α∥β，所以α與β無公共點，
又m α，n β，
所以m與n無公共點，所以m與n平行或異面．
√
2．如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．不確定
解析：由長方體的性質各對面平行及面面平行的性質定理，易知HG∥EF，EH∥FG，
所以四邊形EFGH為平行四邊形．故選B．
√
3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面
AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點．
04
課后達標　檢測
[A　基礎達標]
1．若平面α∥平面β，直線a α，點M∈β，過點M的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．有且只有一條與a平行的直線
解析：由于α∥β，a α，M∈β，過點M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．
√
2．平面α∥平面β，點A，C在平面α內，點B，D在平面β內，若AB＝CD，則AB，CD的位置關系是(　　)
A．平行　　　　　 B．相交
C．異面 D．以上都有可能
解析：可將AB與CD想象為同高圓臺的母線，顯然相交、平行、異面都有可能．故選D．
√
3．在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面
ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是(　　)
A．異面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因為A1B1∥AB，所以DE∥AB.
√
4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在A1B1上，
且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝
A1F，則AF的長為(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
解析：平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，
所以四邊形A1FBE為平行四邊形，
所以FB＝A1E＝3-1＝2，所以AF＝1.
√
5．如圖，不同在一個平面內的三條平行直線和兩個平行
平面相交，則兩個平行平面內以交點為頂點的兩個三角形
是(　　)
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面積相等的不全等三角形 D．以上結論都不對
解析：由面面平行的性質定理，得AC∥A′C′，又因AA′∥CC′，則四邊形ACC′A′為平行四邊形，所以AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.
√
6．如圖，在多面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，
EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則(　　)
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
√
解析：如圖所示，取DG的中點M，連接AM，FM，則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，所以DE∥FM，且DE＝FM.因為平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM，又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四邊形ABFM是平行四邊形，所以BF∥AM，
又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，
所以BF∥平面ACGD，故選A．
7．直線m，n及平面α，β，γ有下列關系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.
其中一些關系作為條件，另一些關系作為結論，組成一個正確的推理應是________.
解析：因為α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，
由面面平行的性質定理可得m∥n.
答案：①③④ ②
8．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，則CD＝________．
解析：如圖，因為AB∥CD，
所以A，B，C，D四點共面，
因為α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
所以AC∥BD，又AB∥CD，
所以四邊形ABDC為平行四邊形，
所以AB＝CD＝6.
答案：6
9．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，
且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行
四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是__________________．
解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，
平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
所以AB∥A1B1，同理可證CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可證AD∥BC，
所以四邊形ABCD是平行四邊形．
答案：平行四邊形
10．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面
CDD1C1，且AF∥EC1，試判斷四邊形AEC1F的形狀．
解：因為AF∥EC1，則AF，EC1確定一個平面AEC1F，
平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥C1F，
所以四邊形AEC1F是平行四邊形．
[B　能力提升]
11．如圖所示，在棱錐A-BCD中，截面EFG平行于底面，
且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周長是9，則△BCD的周
長為________．
答案：27
12．如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1，D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD所在平面的交線記為l，則l與B1D1的位置關系為________．
解析：如圖所示，連接D1P，B1P，在正方體ABCD-A1B1C1D1
中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1
＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
解：如圖，設N為A1B1的中點，連接MN，AN，AC，CM，
則四邊形MNAC為所求的平面圖形．
因為M，N，E，F均為所在棱的中點，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
[C　拓展沖刺]
14．在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是該正方
體表面及其內部的一動點，且BM∥平面AD1C，則動點M的
軌跡所形成區域的面積是______________________________．
15．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，點E在PD上，
且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)證明：l∥CD；
證明：因為四邊形ABCD為菱形，
所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.
所以AB∥l，所以l∥CD.
(2)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．
連接BM，BF，BD.設BD∩AC＝O，連接OE.
因為四邊形ABCD是菱形，所以O為BD的中點．
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM.
所以BF∥平面AEC.中小學教育資源及組卷應用平臺
第2課時　平面與平面平行的性質
知識點　平面與平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語言
(1)該定理可簡記：若面面平行，則線線平行．
(2)定理中有兩個條件：①兩個平行平面；②第三個平面和這兩個平面相交，這兩個條件缺一不可．
　如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
平面與平面平行的性質定理的解題步驟
1．若平面α∥平面β，l α，則l與β的位置關系是(　　)
A．l與β相交　　　　　　 B．l與β平行
C．l在β內 D．無法判定
2．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.
考點一　平行關系中的有關計算
　如圖，已知平面α∥β，P α，且P β，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．
　(變條件)將本例改為：若點P位于平面 α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．
與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
(1)根據已知的面面平行關系推出線線平行關系．
(2)在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系．
(3)利用所得關系計算求值．
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則＝________．
考點二　平行關系的綜合問題
　如圖所示，在四棱錐C-ABED中，四邊形ABED是正方形，點G，F分別是線段EC，BD的中點．
(1)求證：GF∥平面ABC.
(2)線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由．
三種平行關系的轉化
要靈活運用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯系、相互轉化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉化．轉化思想是解決這類問題的最有效的方法．
如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？并證明你的結論．
1．已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是(　　)
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行或異面
2．如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．不確定
3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點．
[A　基礎達標]
1．若平面α∥平面β，直線a α，點M∈β，過點M的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．有且只有一條與a平行的直線
2．平面α∥平面β，點A，C在平面α內，點B，D在平面β內，若AB＝CD，則AB，CD的位置關系是(　　)
A．平行　　　　　 B．相交
C．異面 D．以上都有可能
3．在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是(　　)
A．異面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，則AF的長為(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
5．如圖，不同在一個平面內的三條平行直線和兩個平行平面相交，則兩個平行平面內以交點為頂點的兩個三角形是(　　)
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面積相等的不全等三角形 D．以上結論都不對
6．如圖，在多面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則(　　)
A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF
7．直線m，n及平面α，β，γ有下列關系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.
其中一些關系作為條件，另一些關系作為結論，組成一個正確的推理應是________.
8．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，則CD＝________．
9．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是_____________________________________________________．
10．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，試判斷四邊形AEC1F的形狀．
[B　能力提升]
11．如圖所示，在棱錐A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周長是9，則△BCD的周長為________．
12．如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1，D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD所在平面的交線記為l，則l與B1D1的位置關系為________．
13．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點E，F，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個平面圖形．在圖中，畫出這個平面圖形，并求這個平面圖形的面積(不必說明畫法與理由).
[C　拓展沖刺]
14．在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是該正方體表面及其內部的一動點，且BM∥平面AD1C，則動點M的軌跡所形成區域的面積是_____________________________________________________．
15．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)證明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．
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第2課時　平面與平面平行的性質
知識點　平面與平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
圖形語言
(1)該定理可簡記：若面面平行，則線線平行．
(2)定理中有兩個條件：①兩個平行平面；②第三個平面和這兩個平面相交，這兩個條件缺一不可．
　如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
【證明】　因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
平面與平面平行的性質定理的解題步驟
1．若平面α∥平面β，l α，則l與β的位置關系是(　　)
A．l與β相交　　　　　　 B．l與β平行
C．l在β內 D．無法判定
解析：選B．因為α∥β，l α，利用面面平行的定義及性質可得l∥β.故選B．
2．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.
證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
考點一　平行關系中的有關計算
　如圖，已知平面α∥β，P α，且P β，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．
【解】　因為AC∩BD＝P，所以經過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以＝，即＝，解得BD＝，故BD的長為.
　(變條件)將本例改為：若點P位于平面 α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．
解：與本例同理，可證得AB∥CD.
所以＝，即＝，解得BD＝24，
故BD長為24.
與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
(1)根據已知的面面平行關系推出線線平行關系．
(2)在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系．
(3)利用所得關系計算求值．
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則＝________．
解析：由題意得平面MNE∥平面ACB1，因為平面BB1C1C∩平面MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，則由面面平行的性質定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因為E為BB1的中點，所以M，N分別為BA，BC的中點，所以MN＝AC，即＝.
答案：
考點二　平行關系的綜合問題
　如圖所示，在四棱錐C-ABED中，四邊形ABED是正方形，點G，F分別是線段EC，BD的中點．
(1)求證：GF∥平面ABC.
(2)線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由．
【解】　(1)證明：由四邊形ABED為正方形可知，連接AE必與BD相交于中點F(圖略)，故GF∥AC.因為GF 平面ABC，AC 平面ABC，所以GF∥平面ABC.
(2)線段BC上存在一點H滿足題意，且點H是BC的中點．
證明如下：取BC中點的H，連接GH，FH(圖略)，由點G，H分別為CE，CB的中點，可得GH∥EB∥AD.
因為AD 平面ACD，GH 平面ACD，
所以GH∥平面ACD.
因為GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD.
所以GF∥平面ACD.
又GF∩GH＝G，GF，GH 平面GFH，
所以平面GFH∥平面ACD.
三種平行關系的轉化
要靈活運用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯系、相互轉化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉化．轉化思想是解決這類問題的最有效的方法．
如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？并證明你的結論．
解：當E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
證明如下：如圖所示，取BB1的中點F，AB的中點E，連接EF，FD，DE.
因為E，F分別為AB，BB1的中點，
所以EF∥AB1.
因為AB1 平面AB1C1，
EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
又在 CBB1C1中，因為D，F分別為CC1，BB1的中點，所以DF∥B1C1.
因為B1C1 平面AB1C1，DF 平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
因為EF∩FD＝F，EF，FD 平面EFD，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因為DE 平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.
1．已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，則直線m與n的關系是(　　)
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行或異面
解析：選D．因為α∥β，所以α與β無公共點，
又m α，n β，
所以m與n無公共點，所以m與n平行或異面．
2．如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．不確定
解析：選B．由長方體的性質各對面平行及面面平行的性質定理，易知HG∥EF，EH∥FG，
所以四邊形EFGH為平行四邊形．故選B．
3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點．
證明：因為平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面ACC1A1∩平面BC1N＝C1N，
所以C1N∥AM.又AC∥A1C1，
所以四邊形ANC1M為平行四邊形．
所以AN＝C1M＝A1C1＝AC.
所以N為AC的中點．
[A　基礎達標]
1．若平面α∥平面β，直線a α，點M∈β，過點M的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．有且只有一條與a平行的直線
解析：選D． 由于α∥β，a α，M∈β，過點M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．
2．平面α∥平面β，點A，C在平面α內，點B，D在平面β內，若AB＝CD，則AB，CD的位置關系是(　　)
A．平行　　　　　 B．相交
C．異面 D．以上都有可能
解析：選D．可將AB與CD想象為同高圓臺的母線，顯然相交、平行、異面都有可能．故選D．
3．在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關系是(　　)
A．異面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：選B．因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因為A1B1∥AB，所以DE∥AB.
4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，則AF的長為(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
解析：選A．平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，
所以A1F∥BE，又A1E∥FB，
所以四邊形A1FBE為平行四邊形，
所以FB＝A1E＝3－1＝2，
所以AF＝1.
5．如圖，不同在一個平面內的三條平行直線和兩個平行平面相交，則兩個平行平面內以交點為頂點的兩個三角形是(　　)
A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形
C．面積相等的不全等三角形 D．以上結論都不對
解析：選B．由面面平行的性質定理，得AC∥A′C′，又因AA′∥CC′，則四邊形ACC′A′為平行四邊形，所以AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.
6．如圖，在多面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則(　　)
A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF
解析：選A．如圖所示，取DG的中點M，連接AM，FM，則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，所以DE∥FM，且DE＝FM.因為平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM，又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四邊形ABFM是平行四邊形，所以BF∥AM，
又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，
所以BF∥平面ACGD，故選A．
7．直線m，n及平面α，β，γ有下列關系：①α∩β＝m；②m∥n；③α∥γ；④β∩γ＝n.
其中一些關系作為條件，另一些關系作為結論，組成一個正確的推理應是________.
解析：因為α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，
由面面平行的性質定理可得m∥n.
答案：①③④ ②
8．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，則CD＝________．
解析：如圖，因為AB∥CD，
所以A，B，C，D四點共面，
因為α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
所以AC∥BD，又AB∥CD，
所以四邊形ABDC為平行四邊形，
所以AB＝CD＝6.
答案：6
9．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是_____________________________________________________．
解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，
平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
所以AB∥A1B1，同理可證CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可證AD∥BC，
所以四邊形ABCD是平行四邊形．
答案：平行四邊形
10．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，試判斷四邊形AEC1F的形狀．
解：因為AF∥EC1，則AF，EC1確定一個平面AEC1F，
平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥C1F，
所以四邊形AEC1F是平行四邊形．
[B　能力提升]
11．如圖所示，在棱錐A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周長是9，則△BCD的周長為________．
解析：因為平面EFG∥平面BCD，平面EFG∩平面ABC＝EG，
平面BCD∩平面ABC＝BC，所以EG∥BC，
所以＝＝，同理＝＝，
所以△EFG與△BDC的周長之比為1∶3，
而△EFG的周長是9，故△BCD的周長為9×3＝27.
答案：27
12．如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點B1，D1與棱AB的中點P的平面與底面ABCD所在平面的交線記為l，則l與B1D1的位置關系為________．
解析：如圖所示，連接D1P，B1P，
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.
答案：平行
13．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點E，F，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個平面圖形．在圖中，畫出這個平面圖形，并求這個平面圖形的面積(不必說明畫法與理由).
解：如圖，設N為A1B1的中點，連接MN，AN，AC，CM，
則四邊形MNAC為所求的平面圖形．
因為M，N，E，F均為所在棱的中點，所以MN∥EF，
又EF 平面DEF，MN 平面DEF，
所以MN∥平面DEF，
又AN∥DE，AN 平面DEF，DE 平面DEF，
所以AN∥平面DEF，
又MN∩AN＝N，MN，AN 平面MNAC，
所以平面MNAC∥平面DEF.
易知MN∥AC，四邊形MNAC為梯形，
且MN＝AC＝2，
過點M作MP⊥AC于點P，
可得MC＝＝2，PC＝＝，
所以MP＝＝，
所以S梯形MNAC＝×(2＋4)×＝6.
[C　拓展沖刺]
14．在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是該正方體表面及其內部的一動點，且BM∥平面AD1C，則動點M的軌跡所形成區域的面積是_____________________________________________________．
解析：如圖，邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點M滿足BM∥平面AD1C，由面面平行的性質定理可得，當BM始終在一個與平面AD1C平行的平面內時，滿足題意，
過B作與平面AD1C平行的平面，
連接A1B，BC1，A1C1，平面A1BC1∥平面AD1C，
所以S△A1BC1＝×2××2＝2.
答案：2
15．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)證明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．
解：(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，
所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.
所以AB∥l，所以l∥CD.
(2)存在．當F是PC的中點時，BF∥平面AEC.
證明如下：如圖，取PC的中點F，PE的中點M，連接FM.
所以FM∥CE.
由M為PE的中點，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，所以E是MD的中點．
連接BM，BF，BD.設BD∩AC＝O，連接OE.
因為四邊形ABCD是菱形，所以O為BD的中點．
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM.
所以BF∥平面AEC.
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