資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第2課時　直線與平面垂直(二)
知識點一　直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用
(1)在證明與垂直相關(guān)的平行問題時，可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理，利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直，關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面．
(2)注意線面垂直性質(zhì)定理的推論的應(yīng)用，利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，或?qū)⒋怪标P(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系．
1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，垂足為B，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則有(　　)
A．B1B⊥l　　　　　　 B．B1B∥l
C．B1B與l異面 D．B1B與l相交
2.如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a β，a⊥AB.求證：a∥l.
知識點二　空間距離
1．直線與平面的距離
一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．
2．平面與平面的距離
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．
　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，求A1B1到平面D1EF的距離．
空間中距離的轉(zhuǎn)化
(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的某一點到平面的距離．
(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．
(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．
1．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________．
2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為，平面AB1D1到平面BC1D的距離為________．
考點　直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
　已知斜邊為AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖．
(1)求證：EF⊥PB；
(2)若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.
線線、線面垂直問題的解題策略
(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面；
(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來．
如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
證明：(1)BE⊥平面EB1C1；
(2)B1E⊥EC.
1．已知平面α∥平面β，a是直線，則“a⊥α”是“a⊥β”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面．下列說法正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n α，則m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，則m∥n D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α
3．在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為________．
4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.
[A　基礎(chǔ)達標(biāo)]
1．已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則l，m的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．不確定
2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，則點C到平面BDD1B1的距離為(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
3．如圖，在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，則AD＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直
B．過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直
C．過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行
D．過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直
5．(多選)設(shè)m，n為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，下列命題正確的是(　　)
A．若m∥α且n α，則m∥n B．若m⊥α且n⊥α，則m∥n
C．若m∥α且m∥β，則α∥β D．若m⊥α且m⊥β，則α∥β
6.(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
7.如圖，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．
8．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F(xiàn)∈B1D1，且EF⊥AB，則EF與AA1的位置關(guān)系是________．
9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為________；
平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為________．
10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.
[B　能力提升]
11．在三棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足為O，且PA＝PB＝PC，則點O一定是△ABC的(　　)
A．內(nèi)心 B．外心
C．重心 D．垂心
12．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
13．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1與DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．
14．如圖，已知AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為的中點，點P為圓柱上底面圓O1上一點，PA⊥平面ABC，PA＝AB，過點A作AE⊥PC，交PC于點E.
(1)求證：AE⊥PB；
(2)若點C到平面PAB的距離為1，求圓柱OO1的表面積．
[C　拓展沖刺]
15．(多選)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，H為EF的中點，分別沿AE，EF，F(xiàn)A將△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于點O，構(gòu)成四面體A-OEF，連接AH，則在四面體A-OEF中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．AO⊥平面EOF B．AH⊥平面EOF
C．AO⊥EF D．AF⊥OE
16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.
(1)求證：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在點H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點H的位置；若不存在，說明理由．
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8．6　空間直線、平面的垂直
8．6.2　直線與平面垂直
第2課時　直線與平面垂直(二)
第八章　立體幾何初步
01
必備知識　落實
平行
a∥b
　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【證明】　因為AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因為AD＝AP，E是PD的中點，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用
(1)在證明與垂直相關(guān)的平行問題時，可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理，利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直，關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面．
(2)注意線面垂直性質(zhì)定理的推論的應(yīng)用，利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，或?qū)⒋怪标P(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系．
1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，垂足為B，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則有(　　)
A．B1B⊥l　　　　　　 B．B1B∥l
C．B1B與l異面 D．B1B與l相交
解析：因為B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，則l∥B1B.
√
2.如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，
垂足為B，直線a β，a⊥AB.求證：a∥l.
證明：因為EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.
因為EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.
知識點二　空間距離
1．直線與平面的距離
一條直線與一個平面平行時，這條直線上__________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．
2．平面與平面的距離
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的__________到另一個平面的距離都______，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．
任意一點
任意一點
相等
　　　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)
分別為棱AA1，BB1的中點，求A1B1到平面D1EF的距離．
【解】　因為E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，
所以A1B1∥EF，又EF 平面D1EF，
所以A1B1∥平面D1EF，所以A1B1到平面D1EF的距離即為A1到平面D1EF的距離，設(shè)該距離為h.
空間中距離的轉(zhuǎn)化
(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的某一點到平面的距離．
(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．
(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．
1．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________．
解析：如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂
線，垂足分別為A1，M1，B1.
則由線面垂直的性質(zhì)可知，
AA1∥MM1∥BB1，
四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1為其中位線，所以MM1＝4.
答案：4
02
關(guān)鍵能力　提升
考點　直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
　　　已知斜邊為AB的直角三角形ABC，PA⊥平面
ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖．
(1)求證：EF⊥PB；
【證明】　因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為△ABC為斜邊為AB的直角三角形，
所以BC⊥AC.因為PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因為AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
PC，BC 平面PBC，
所以AF⊥平面PBC.
因為PB 平面PBC，所以AF⊥PB.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
AE，AF 平面AEF，
所以PB⊥平面AEF.又EF 平面AEF，
所以EF⊥PB.
(2)若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.
【證明】　由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
線線、線面垂直問題的解題策略
(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面；
(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來．
　　　　　如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是
正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
證明：(1)BE⊥平面EB1C1；
證明：因為ABCD-A1B1C1D1是長方體，
所以B1C1⊥側(cè)面A1B1BA，
又BE 平面A1B1BA，所以BE⊥B1C1，又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)B1E⊥EC.
證明：由(1)得BE⊥平面EB1C1，所以BE⊥EB1，
又因為CB⊥平面ABB1A1，
所以B1E⊥BC，且BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，
所以B1E⊥平面BCE.
所以B1E⊥EC.
03
課堂鞏固　自測
1．已知平面α∥平面β，a是直線，則“a⊥α”是“a⊥β”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
√
2．已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面．下列說法正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n α，則m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，則m∥n D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α
解析：由題可知， 若m∥α，n∥α，則m與n平行、相交或異面， 故A錯誤；
若m⊥α，n α，則m⊥n，故B正確；
若m⊥α，n∥α，則m⊥n，故C錯誤；
若m∥α，m⊥n，則n∥α或n⊥α，或n與α相交或n α，故D錯誤．
√
3．在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且點A1到平面ABCD的距離為4，所以所求距離為4.
答案：4
4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形
ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.
證明：因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因為AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因為AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因為l⊥平面PCD，所以l∥AE.
04
課后達標(biāo)　檢測
[A　基礎(chǔ)達標(biāo)]
1．已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則l，m的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．不確定
解析：依題意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，所以l∥m.
√
√
√
4．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直
B．過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直
C．過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行
D．過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直
解析：由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知A，B，C正確；
D錯誤，過直線外一點作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直．
√
√
√
5．(多選)設(shè)m，n為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，下列命題正確的是(　　)
A．若m∥α且n α，則m∥n B．若m⊥α且n⊥α，則m∥n
C．若m∥α且m∥β，則α∥β D．若m⊥α且m⊥β，則α∥β
√
√
解析：A：若m∥α且n α，則m，n可能平行或異面，故A錯誤；
B：若m⊥α且n⊥α，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；
C：若m∥α且m∥β，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得α與β可能平行也可能相交，故C錯誤；
D：若m⊥α且m⊥β，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確．故選BD．
6.(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論
中正確的是(　　)
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
解析：PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正確；
√
√
√
7.如圖，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．
解析：因為AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以AF∥DE.
因為AF＝DE，所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
8．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F(xiàn)∈B1D1，且EF⊥AB，則EF與AA1的位置關(guān)系是________．
解析：如圖，因為AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于
平面BB1D1D，
所以EF與BB1不相交，所以EF∥BB1，
又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
答案：平行
9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為________；
平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為________．
解析：如圖，在長方體中，因為AB∥平面A1B1C1D1，點A到
平面A1B1C1D1的距離就是AB到平面A1B1C1D1的距離，因為
AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距離為AA1＝2；AB⊥平面
ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距離為AB＝4.
答案：2　4
10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.
證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.
又因為CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
[B　能力提升]
11．在三棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足為O，且PA＝PB＝PC，則點O一定是△ABC的(　　)
A．內(nèi)心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：如圖所示，分別連接OA，OB，OC，因為PO⊥平面
ABC，可得PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又因為PA＝PB＝
PC，利用勾股定理，可得OA＝OB＝OC，所以點O一定是
△ABC的外心．故選B．
√
12．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是(　　)
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：因為EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F(xiàn)，H，G四點共面．因為EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，因為GH 平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B．
√
13．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，
AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1
上的動點，AB1與DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，
則線段B1F的長為________．
(2)若點C到平面PAB的距離為1，求圓柱OO1的表面積．
[C　拓展沖刺]
15．(多選)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為
BC，CD的中點，H為EF的中點，分別沿AE，EF，
FA將△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重
合于點O，構(gòu)成四面體A-OEF，連接AH，則在四面體A-OEF中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．AO⊥平面EOF B．AH⊥平面EOF
C．AO⊥EF D．AF⊥OE
√
√
√
解析：易知AO⊥OE，AO⊥OF，OE∩OF＝O，所以AO⊥平面EOF，故A正確，B錯誤；
因為EF 平面EOF，所以AO⊥EF，故C正確；
同理可得OE⊥平面AOF，因為AF 平面AOF，所以O(shè)E⊥AF，故D正確．故選ACD．
16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.
(1)求證：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在點H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點H的位置；若不存在，說明理由．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第2課時　直線與平面垂直(二)
知識點一　直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
【證明】　因為AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因為AD＝AP，E是PD的中點，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用
(1)在證明與垂直相關(guān)的平行問題時，可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理，利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直，關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面．
(2)注意線面垂直性質(zhì)定理的推論的應(yīng)用，利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，或?qū)⒋怪标P(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系．
1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，垂足為B，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則有(　　)
A．B1B⊥l　　　　　　 B．B1B∥l
C．B1B與l異面 D．B1B與l相交
解析：選B．因為B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，則l∥B1B.
2.如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a β，a⊥AB.求證：a∥l.
證明：因為EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.
因為EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.
知識點二　空間距離
1．直線與平面的距離
一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．
2．平面與平面的距離
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．
　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，求A1B1到平面D1EF的距離．
【解】　因為E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，所以A1B1∥EF，又EF 平面D1EF，
所以A1B1∥平面D1EF，所以A1B1到平面D1EF的距離即為A1到平面D1EF的距離，設(shè)該距離為h.
連接A1F(圖略).由VA-DEF＝VF-ADE，得××1××h＝××1××1，所以h＝.
所以A1B1到平面D1EF的距離為.
空間中距離的轉(zhuǎn)化
(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的某一點到平面的距離．
(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．
(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展(分割)，以方便求底面積和高．
1．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________．
解析：如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1.
則由線面垂直的性質(zhì)可知，
AA1∥MM1∥BB1，
四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，
MM1為其中位線，所以MM1＝4.
答案：4
2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為，平面AB1D1到平面BC1D的距離為________．
解析：由題意知兩平面平行，所以原問題等價于求解點C1到平面AB1D1的距離h，由等體積法可得VC-ABD＝VA-BCD，即××22×sin 60°·h＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距離為.
答案：
考點　直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
　已知斜邊為AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖．
(1)求證：EF⊥PB；
(2)若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.
【證明】　(1)因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為△ABC為斜邊為AB的直角三角形，
所以BC⊥AC.因為PA∩AC＝A，
PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因為AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
PC，BC 平面PBC，
所以AF⊥平面PBC.
因為PB 平面PBC，所以AF⊥PB.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
AE，AF 平面AEF，
所以PB⊥平面AEF.又EF 平面AEF，
所以EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
線線、線面垂直問題的解題策略
(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面；
(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來．
如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
證明：(1)BE⊥平面EB1C1；
(2)B1E⊥EC.
證明：(1)因為ABCD-A1B1C1D1是長方體，
所以B1C1⊥側(cè)面A1B1BA，
又BE 平面A1B1BA，所以BE⊥B1C1，又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1 平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)得BE⊥平面EB1C1，所以BE⊥EB1，
又因為CB⊥平面ABB1A1，
所以B1E⊥BC，且BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，
所以B1E⊥平面BCE.
所以B1E⊥EC.
1．已知平面α∥平面β，a是直線，則“a⊥α”是“a⊥β”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案：C
2．已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面．下列說法正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n α，則m⊥n
C．若m⊥α，n∥α，則m∥n D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α
解析：選B．由題可知， 若m∥α，n∥α，則m與n平行、相交或異面， 故A錯誤；若m⊥α，n α，則m⊥n，故B正確；若m⊥α，n∥α，則m⊥n，故C錯誤；若m∥α，m⊥n，則n∥α或n⊥α，或n與α相交或n α，故D錯誤．
3．在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且點A1到平面ABCD的距離為4，所以所求距離為4.
答案：4
4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.
證明：因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因為AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因為AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因為l⊥平面PCD，所以l∥AE.
[A　基礎(chǔ)達標(biāo)]
1．已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則l，m的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．不確定
解析：選C．依題意知l⊥平面ABC，m⊥平面ABC，所以l∥m.
2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，則點C到平面BDD1B1的距離為(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
解析：選B．如圖，連接AC，DB交于點O，
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
可得
AC⊥平面BDD1B1，
所以點C到平面BDD1B1的距離為CO，
CO＝AC＝.
3．如圖，在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，則AD＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：選C．因為BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，
所以BD＝＝，
又AB⊥平面BCD，BD 平面BCD，
所以AB⊥BD，因此AD＝＝.
故選C．
4．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直
B．過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直
C．過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行
D．過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直
解析：選ABC．由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知A，B，C正確；D錯誤，過直線外一點作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直．
5．(多選)設(shè)m，n為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，下列命題正確的是(　　)
A．若m∥α且n α，則m∥n B．若m⊥α且n⊥α，則m∥n
C．若m∥α且m∥β，則α∥β D．若m⊥α且m⊥β，則α∥β
解析：選BD．A：若m∥α且n α，則m，n可能平行或異面，故A錯誤；B：若m⊥α且n⊥α，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；C：若m∥α且m∥β，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得α與β可能平行也可能相交，故C錯誤；D：若m⊥α且m⊥β，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確．故選BD．
6.(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
解析：選ABD．PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正確；
BC⊥平面PAB BC⊥PB.
故A正確；同理B正確；C不正確．
7.如圖，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．
解析：因為AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.
因為AF＝DE，所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
8．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F(xiàn)∈B1D1，且EF⊥AB，則EF與AA1的位置關(guān)系是________．
解析：如圖，因為AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，
所以EF與BB1不相交，所以EF∥BB1，
又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
答案：平行
9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為________；
平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為________．
解析：如圖，在長方體中，因為AB∥平面A1B1C1D1，點A到平面A1B1C1D1的距離就是AB到平面A1B1C1D1的距離，因為AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距離為AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距離為AB＝4.
答案：2　4
10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.
證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因為CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
[B　能力提升]
11．在三棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足為O，且PA＝PB＝PC，則點O一定是△ABC的(　　)
A．內(nèi)心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：選B．如圖所示，分別連接OA，OB，OC，因為PO⊥平面ABC，可得PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又因為PA＝PB＝PC，利用勾股定理，可得OA＝OB＝OC，所以點O一定是△ABC的外心．故選B．
12．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
解析：選B．因為EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F(xiàn)，H，G四點共面．因為EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，因為GH 平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B．
13．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1與DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．
解析：當(dāng)AB1⊥平面C1DF時，AB1⊥DF，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥A1B1，AB1⊥DF，且∠AB1A1＝∠DB1E，故∠B1AA1＝∠FDB1.
所以tan ∠B1AA1＝tan ∠FDB1，即＝，
所以B1F＝＝＝.
答案：
14．如圖，已知AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為的中點，點P為圓柱上底面圓O1上一點，PA⊥平面ABC，PA＝AB，過點A作AE⊥PC，交PC于點E.
(1)求證：AE⊥PB；
(2)若點C到平面PAB的距離為1，求圓柱OO1的表面積．
解：(1)證明：因為AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為的中點，所以BC⊥AC，因為PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因為AE 平面PAC，所以BC⊥AE，又因為AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，因為PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
(2)因為點C到平面PAB的距離為1且C為的中點，所以PA＝AB＝2，所以圓柱OO1的表面積為S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
[C　拓展沖刺]
15．(多選)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，H為EF的中點，分別沿AE，EF，F(xiàn)A將△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于點O，構(gòu)成四面體A-OEF，連接AH，則在四面體A-OEF中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．AO⊥平面EOF B．AH⊥平面EOF
C．AO⊥EF D．AF⊥OE
解析：選ACD．易知AO⊥OE，AO⊥OF，OE∩OF＝O，所以AO⊥平面EOF，故A正確，B錯誤；因為EF 平面EOF，所以AO⊥EF，故C正確；同理可得OE⊥平面AOF，因為AF 平面AOF，所以O(shè)E⊥AF，故D正確．故選ACD．
16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2.
(1)求證：CD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在點H，使得AH⊥平面PCD？若存在，確定點H的位置；若不存在，說明理由．
解：(1)證明：由題意，可得CD＝AC＝，又AD＝2.
所以AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD，
又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因為PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)存在．過點A作AH⊥PC，垂足為H，
由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，
所以AH⊥平面PCD，
因為在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，PC＝，
＝，
解得PH＝，
所以PH＝PC，即在棱PC上存在點H，
且PH＝PC，使得AH⊥平面PCD.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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