資源簡介

(共57張PPT)
8．6　空間直線、平面的垂直
8．6.3　平面與平面垂直
第2課時　平面與平面垂直(二)
第八章　立體幾何初步
01
必備知識　落實
垂直
a⊥β
面面垂直的性質定理的理解
(1)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．
(2)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．
　　　如圖，點P為四邊形ABCD所在平面外一點，平面PAD
⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點．
求證：(1)PE⊥平面ABCD；
【證明】　因為PA＝PD，E為AD的中點，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD.
(2)平面PBE⊥平面ABCD.
【證明】　由(1)知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
應用面面垂直的性質定理的策略



[注意]　面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．
　　　　　如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求證：VA⊥平面VBC.
證明：因為平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面VAB.
又VA 平面VAB，所以BC⊥VA.
又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA.
又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC.
02
關鍵能力　提升
考點　垂直關系的綜合問題
　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別
是CD和PC的中點．
求證：(1)PA⊥底面ABCD；
【證明】　因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【證明】　由題意知四邊形ABED為矩形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD，
所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直關系的轉化
在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：
　　　　　如圖，邊長為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求證：AM⊥平面EBC；
證明：因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.因為四邊形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)求直線EC與平面ABE所成角的正切值．
解：取AB的中點F，連接CF，EF.
因為EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因為CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
03
課堂鞏固　自測
1．已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結論正確的是(　　)
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
解析：由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A成立；
m與α不一定垂直，C不成立；
l與m平行、相交、異面都可能，所以B，D不成立．
√
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．
√
3．把Rt△ABC沿斜邊上的高CD折起使平面ADC⊥平面
BDC，如圖所示，互相垂直的平面有______對．
解析：由已知得CD⊥AD，CD⊥BD，BD∩AD＝D，
所以CD⊥平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因為平面ADC⊥平面BDC，所以互相垂直的平面有3對．
答案：3
4．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.
證明：因為平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
04
課后達標　檢測
[A　基礎達標]
1．已知m，n，l是直線，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，則直線m與n的位置關系是(　　)
A．異面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：因為α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n，故選C．
√
2．設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
解析：對于選項A，兩平面可能平行也可能相交；
對于選項C，直線l可以在β內也可能平行于β；
對于選項D，直線l可能在β內或平行于β或與β相交．
√
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1(　　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
√
解析：如圖所示，在四邊形ABCD中，因為AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.
因為平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，
又CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故選C．
4．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一點M，作ME⊥AB于點E，則(　　)
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
√
解析：因為M∈平面ABB1A1，E∈AB，
即E∈平面ABB1A1，
所以ME 平面ABB1A1.
又在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，
所以ME⊥平面ABCD.故選A．
√
6.在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥
平面ABC，則△ABC的形狀是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
√
解析：作AE⊥BD于點E，
因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD.又因為BC 平面BCD，
所以AE⊥BC.因為DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.
又因為AE∩DA＝A，所以BC⊥平面ABD.
因為AB 平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選B．
7．已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，則直線a與平面α的位置關系是________．
解析：因為平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，
又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
答案：a α或a∥α
8．如圖所示，在三棱錐P-ABC內，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．
9．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．
[B　能力提升]
11．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，且AC⊥PC，
平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡
是(　　)
A．一條線段
B．一條直線
C．一個圓
D．一個圓，但要去掉兩個點
√
解析：因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因為BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點．故選D．
答案：2
13．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________．(填序號)
解析：共有四個命題：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
對于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，則m與α可平行或相交，故命題錯誤；
對于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，則n與β可平行或相交，故命題錯誤；
對于①③④ ②，因為m⊥n，n⊥β，則m β或m∥β，又因為m⊥α，則α⊥β，故命題正確；
對于②③④ ①，因為m⊥α，α⊥β，則m β或m∥β，又因為n⊥β，則m⊥n，故命題正確．
答案：①③④ ②或②③④ ①
14．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點．求證：
(1)BG⊥平面PAD；
證明：因為四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因為G為AD的中點，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
證明：由(1)可知BG⊥AD，又△PAD為正三角形，
所以PG⊥AD.
因為BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
[C　拓展沖刺]
15．在四面體ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M為AB的中點，則線段CM的長為________．
解析：如圖所示，取BD的中點O，




連接OA，OC，因為AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，所以OA⊥OC.
16．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝
BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分別為AC，
DC，AD的中點．
(1)求證：EF⊥平面BCG；
證明：因為AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
所以△ABC≌△DBC，所以AC＝DC.
因為G為AD的中點，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
因為CG∩BG＝G，CG，BG 平面BCG，所以AD⊥平面BCG.
又E，F分別是AC，CD的中點，所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)求三棱錐D-BCG的體積．
解：在平面ABC內，作AO⊥CB，交CB的延長線于點O，
因為△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
所以AO⊥平面BCD.
因為G為AD的中點，
所以G到平面BCD的距離h是AO長度的一半．中小學教育資源及組卷應用平臺
第2課時　平面與平面垂直(二)
知識點　平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
面面垂直的性質定理的理解
(1)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．
(2)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．
　如圖，點P為四邊形ABCD所在平面外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點．
求證：(1)PE⊥平面ABCD；
(2)平面PBE⊥平面ABCD.
應用面面垂直的性質定理的策略
[注意]　面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．
如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求證：VA⊥平面VBC.
考點　垂直關系的綜合問題
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．
求證：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
垂直關系的轉化
在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：
如圖，邊長為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求證：AM⊥平面EBC；
(2)求直線EC與平面ABE所成角的正切值．
1．已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結論正確的是(　　)
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能
3．把Rt△ABC沿斜邊上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如圖所示，互相垂直的平面有______對．
4．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.
[A　基礎達標]
1．已知m，n，l是直線，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，則直線m與n的位置關系是(　　)
A．異面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
2．設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1(　　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
4．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一點M，作ME⊥AB于點E，則(　　)
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
5．已知在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是邊長為3的等邊三角形，BD＝CD，BD⊥CD，則四面體ABCD的體積為(　　)
A． B．
C． D．
6.在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
7．已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，則直線a與平面α的位置關系是________．
8．如圖所示，在三棱錐P-ABC內，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．　
9．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．
10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求證：平面PAB⊥平面PBD.
[B　能力提升]
11．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是(　　)
A．一條線段 B．一條直線
C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點
12．如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB為軸運動，當平面ADB⊥平面ABC時，CD＝________．
13．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________．(填序號)
14．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點．求證：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
[C　拓展沖刺]
15．在四面體ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M為AB的中點，則線段CM的長為________．
16．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分別為AC，DC，AD的中點．
(1)求證：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱錐D-BCG的體積．
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第2課時　平面與平面垂直(二)
知識點　平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
面面垂直的性質定理的理解
(1)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．
(2)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．
　如圖，點P為四邊形ABCD所在平面外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點．
求證：(1)PE⊥平面ABCD；
(2)平面PBE⊥平面ABCD.
【證明】　(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，
所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
應用面面垂直的性質定理的策略
[注意]　面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．
如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求證：VA⊥平面VBC.
證明：因為平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，
BC 平面ABCD，所以BC⊥平面VAB.
又VA 平面VAB，所以BC⊥VA.
又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA.
又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC.
考點　垂直關系的綜合問題
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．
求證：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【證明】　(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)由題意知四邊形ABED為矩形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.又PD 平面PAD，
所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直關系的轉化
在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：
如圖，邊長為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求證：AM⊥平面EBC；
(2)求直線EC與平面ABE所成角的正切值．
解：(1)證明：因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM 平面ACDE，所以BC⊥AM.因為四邊形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中點F，連接CF，EF.
因為EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
因為CF 平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，所以CF⊥AB.
因為EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即為直線EC與平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan ∠CEF＝＝＝.
1．已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結論正確的是(　　)
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
解析：選A．由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A成立；m與α不一定垂直，C不成立；l與m平行、相交、異面都可能，所以B，D不成立．
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：選D．兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．
3．把Rt△ABC沿斜邊上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如圖所示，互相垂直的平面有______對．
解析：由已知得CD⊥AD，CD⊥BD，BD∩AD＝D，所以CD⊥平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因為平面ADC⊥平面BDC，所以互相垂直的平面有3對．
答案：3
4．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.
證明：因為平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因為∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，
AB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
[A　基礎達標]
1．已知m，n，l是直線，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，則直線m與n的位置關系是(　　)
A．異面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：選C．因為α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n，故選C．
2．設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β
解析：選B．對于選項A，兩平面可能平行也可能相交；對于選項C，直線l可以在β內也可能平行于β；對于選項D，直線l可能在β內或平行于β或與β相交．
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1(　　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
解析：選C．如圖所示，在四邊形ABCD中，因為AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.
因為平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，
又CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故選C．
4．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一點M，作ME⊥AB于點E，則(　　)
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
解析：選A．因為M∈平面ABB1A1，E∈AB，
即E∈平面ABB1A1，
所以ME 平面ABB1A1.
又在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，
所以ME⊥平面ABCD.故選A．
5．已知在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是邊長為3的等邊三角形，BD＝CD，BD⊥CD，則四面體ABCD的體積為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面ABD.又等邊三角形ABD的邊長為3，則S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝.又BD＝CD＝3，故VC-ABD＝CD·S△ABD＝.故選C．
6.在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
解析：選B．作AE⊥BD于點E，
因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.又因為BC 平面BCD，
所以AE⊥BC.因為DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.
又因為AE∩DA＝A，所以BC⊥平面ABD.
因為AB 平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選B．
7．已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，則直線a與平面α的位置關系是________．
解析：因為平面α⊥平面β，所以存在b α，使b⊥β，
又a⊥β，所以a∥b，即a α或a∥α.
答案：a α或a∥α
8．如圖所示，在三棱錐P-ABC內，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．　
解析：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝.
答案：
9．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．
解析：如圖，取CD的中點G，連接MG，NG，因為四邊形ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因為平面ABCD⊥平面DCEF，
且平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG 平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，
可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
答案：
10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求證：平面PAB⊥平面PBD.
證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因為PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因為PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
[B　能力提升]
11．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是(　　)
A．一條線段 B．一條直線
C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點
解析：選D．因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因為BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點．故選D．
12．如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB為軸運動，當平面ADB⊥平面ABC時，CD＝________．
解析：如圖，取AB的中點E，連接DE，CE，
因為△ADB是等邊三角形，
所以DE⊥AB.
當平面ADB⊥平面ABC時，
因為平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，
所以DE⊥平面ABC.又CE 平面ABC，
所以DE⊥CE，由已知可得DE＝，CE＝1，
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
答案：2
13．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題________．(填序號)
解析：共有四個命題：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.
對于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，則m與α可平行或相交，故命題錯誤；
對于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，則n與β可平行或相交，故命題錯誤；
對于①③④ ②，因為m⊥n，n⊥β，則m β或m∥β，又因為m⊥α，則α⊥β，故命題正確；
對于②③④ ①，因為m⊥α，α⊥β，則m β或m∥β，又因為n⊥β，則m⊥n，故命題正確．
答案：①③④ ②或②③④ ①
14．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點．求證：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
證明：(1)因為四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因為G為AD的中點，
所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，
平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，又△PAD為正三角形，
所以PG⊥AD.
因為BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
[C　拓展沖刺]
15．在四面體ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M為AB的中點，則線段CM的長為________．
解析：如圖所示，取BD的中點O，
連接OA，OC，因為AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，所以OA⊥OC.
又AB⊥AD，所以DB＝，
所以OA＝OC＝OB＝.
取OB中點N，連接MN，CN，
所以MN∥OA，所以MN⊥平面BCD.
因為CN 平面BCD，所以MN⊥CN.
因為CN2＝ON2＋OC2＝，
MN2＝＝，
所以CM＝＝.
答案：
16．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分別為AC，DC，AD的中點．
(1)求證：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱錐D-BCG的體積．
解：(1)證明：因為AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
所以△ABC≌△DBC，所以AC＝DC.
因為G為AD的中點，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
因為CG∩BG＝G，CG，BG 平面BCG，
所以AD⊥平面BCG.
又E，F分別是AC，CD的中點，
所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC內，作AO⊥CB，交CB的延長線于點O，
因為△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO 平面ABC，
所以AO⊥平面BCD.
因為G為AD的中點，
所以G到平面BCD的距離h是AO長度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝，
所以h＝.
在△BCD中，S△BCD＝BD·BC·sin ∠DBC＝×2×2×＝.
所以VD-BCG＝VG-BCD＝S△BCD·h＝××＝.
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