資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
8．6.3　平面與平面垂直
學習指導 核心素養(yǎng)
1.借助長方體，通過直觀感知，了解二面角的相關(guān)概念、平面與平面垂直的定義． 2．歸納出平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能利用定理證明一些簡單的問題． 1.數(shù)學抽象、直觀想象：理解二面角的相關(guān)概念、平面與平面垂直的定義． 2．邏輯推理：利用判定定理及性質(zhì)定理推斷線面、面面關(guān)系．
第1課時　平面與平面垂直(一)
知識點一　二面角
1．定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．
2．畫法：
3．記法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角，如圖．
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的大小與垂足在l上的位置無關(guān)．
　如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小．
解決二面角問題的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點．
(2)求二面角大小的步驟
簡稱為“一作二證三求”．
1．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，則二面角D′-AB-D的大小為________．
2．如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．
知識點二　平面與平面垂直
1．面面垂直的定義
定義 一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直
畫法 畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．如圖
記法 α⊥β
2.判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
(1)面面垂直的判定定理可簡記：若線面垂直，則面面垂直．
(2)此定理是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，也是找出一個平面的垂面的依據(jù)．
　(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四邊形ABCD是菱形．求證：平面PAC⊥平面PBD.
(2)如圖，在四面體ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.
證明平面與平面垂直的兩種常用方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：
①找出兩相交平面的平面角；
②證明這個平面角是直角；
③根據(jù)定義判定這兩個相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直，即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是
1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，則α⊥β
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是棱BC的中點，且AB＝AC.求證：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個 B．有2個
C．有無數(shù)個 D．不存在
2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，則二面角C1-AB-C為(　　)
A． B．
C． D．
3．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列一定能使α⊥β成立的條件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β
4．如圖①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高．以AD為折痕將△ABC折起，使∠BDC為直角，如圖②所示，求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
[A　基礎(chǔ)達標]
1．從二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2．下列命題中正確的是(　　)
A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β
B．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥β
C．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥β
D．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β
3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且滿足m⊥α，m∥β，則下列說法一定正確的是(　　)
A．α⊥β B．α∥β
C．若n β，則m∥n D．若n α，則n⊥β
4.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有(　　)
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
5．把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后的△ABC是(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．銳角(非等邊)三角形 D．鈍角三角形
6．如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是________．
8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關(guān)系是________．(填“垂直”或“不垂直”)
9．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，則二面角C1-BD-C的大小為________．
10．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
證明：平面ACD⊥平面ABC.
[B　能力提升]
11．(多選)如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，以下四個命題正確的是(　　)
A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
12．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是________．
13．如圖，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列關(guān)系正確的是________．(填序號)
①平面PAB⊥平面PBC； ②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC.
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點．求證：
(1)直線A1B1∥平面ABD；
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
[C　拓展沖刺]
15．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.
16．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形．
(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
(2)求二面角B1-CD-A的余弦值．
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8．6　空間直線、平面的垂直
8．6.3　平面與平面垂直
第八章　立體幾何初步
學習指導 核心素養(yǎng)
1.借助長方體，通過直觀感知，了解二面角的相關(guān)概念、平面與平面垂直的定義． 2．歸納出平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能利用定理證明一些簡單的問題． 1.數(shù)學抽象、直觀想象：理解二面角的相關(guān)概念、平面與平面垂直的定義．
2．邏輯推理：利用判定定理及性質(zhì)定理推斷線面、面面關(guān)系．
第1課時　平面與平面垂直(一)
01
必備知識　落實
知識點一　二面角
1．定義：從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的____，這兩個半平面叫做二面角的____．
兩個半平面
棱
面
2．畫法：

3．記法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角，如圖．
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的大小與垂足在l上的位置無關(guān)．
　　　如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.
求二面角B-PA-C的大小．
【解】　因為PA⊥平面ABCD，
所以AB⊥PA，AC⊥PA.
所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．
又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小為45°.
解決二面角問題的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點．
(2)求二面角大小的步驟

簡稱為“一作二證三求”．
1．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，則二面角D′-AB-D的大小為____．
解析：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.
答案：45°
2．如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．
知識點二　平面與平面垂直
1．面面垂直的定義
定義 一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直
畫法 畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．如圖
記法 α⊥β
直二面角
垂線
(1)面面垂直的判定定理可簡記：若線面垂直，則面面垂直．
(2)此定理是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，也是找出一個平面的垂面的依據(jù)．
　　　(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四
邊形ABCD是菱形．求證：平面PAC⊥平面PBD.
【證明】　因為PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.
因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因為BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
證明平面與平面垂直的兩種常用方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：
①找出兩相交平面的平面角；
②證明這個平面角是直角；
③根據(jù)定義判定這兩個相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直，即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是
1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，則α⊥β
√
解析：A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正確；易知B正確；
C中，α∥β，仍然可以滿足m⊥n，m α，n β，所以C不正確；
D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正確．故選B．
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是棱BC的中點，
且AB＝AC.求證：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
證明：由題意知BB1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，所以BB1⊥AD.
因為D是BC的中點，
且AB＝AC，所以AD⊥BC.
因為BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.
因為AD 平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BCC1B1.
02
課堂鞏固　自測
1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個 B．有2個
C．有無數(shù)個 D．不存在
解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．
√
√
3．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列一定能使α⊥β成立的條件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β
解析：對于A：α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能平行或垂直，故A錯；
對于B：當α與β相交但不垂直時，也會有b⊥a，b β，故B錯；
對于C：a∥β，a∥α，則α與β相交或平行，故C錯；
對于D，a∥α，a⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正確．
√
4．如圖①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高．以AD為折痕將△ABC折起，使∠BDC為直角，如圖②所示，求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
證明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
03
課后達標　檢測
[A　基礎(chǔ)達標]
1．從二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
解析：由二面角的平面角的定義可知D選項正確．
√
2．下列命題中正確的是(　　)
A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β
B．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥β
C．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥β
D．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β
解析：當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；
由直線與平面垂直的判定定理知，B，D錯，C正確．
√
3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且滿足m⊥α，m∥β，則下列說法一定正確的是(　　)
A．α⊥β B．α∥β
C．若n β，則m∥n D．若n α，則n⊥β
解析：對于A，B，由于m∥β，所以由線面平行的性質(zhì)可知在β內(nèi)有一組線與m平行，而m⊥α，所以在β內(nèi)與m平行的直線垂直于α，所以α⊥β，所以A正確，B錯誤；
對于C，當n β時，m∥n或m，n異面，C不一定正確；
對于D，當n α時，直線n與平面β不一定垂直，所以D錯誤，故選A．
√
4.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么
必有(　　)
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
解析：因為AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故選C．
√
5．把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后的△ABC是(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．銳角(非等邊)三角形 D．鈍角三角形
√
6．如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，
B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，則BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC為A-BB1-C的二面角，因為△ABC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選C．
√
7．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是________．
解析：若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.
答案：60°或120°
8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關(guān)系是________．(填“垂直”或“不垂直”)
解析：如圖，在正方體中，
CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
又BD 平面EBD，
所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
答案：30°
10．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
證明：平面ACD⊥平面ABC.
證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD.從而AD＝CD.
又△ACD為直角三角形，
所以∠ADC＝90°，
取AC的中點O，連接DO，BO，
則DO⊥AC，DO＝AO，
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°，
所以平面ACD⊥平面ABC.
[B　能力提升]
11．(多選)如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，以下四個命題正確的是(　　)
A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
√
√
解析：因為PA 平面MOB，故A錯誤；
因為OM是△PAB的中位線，所以O(shè)M∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC，故B正確；
因為AB是直徑，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C錯誤；
又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正確．故選BD．
12．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是________．
解析：因為PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影
必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心為BC的中點，設(shè)為O，則PO⊥平面ABC，
又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
答案：平面PBC⊥平面ABC
13．如圖，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列關(guān)系正確的是________．(填序號)
①平面PAB⊥平面PBC； ②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC.
解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，則平面PAD⊥平面PAB.分析易知平面PAB與平面PAC，平面PCD均不垂直．
答案：①②
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上
任一點．求證：
(1)直線A1B1∥平面ABD；
證明：由直三棱柱ABC-A1B1C1，得A1B1∥AB.
因為A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
所以直線A1B1∥平面ABD.
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
證明：因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因為AB⊥BC，BB1，BC 平面BCC1B1，
且BB1∩BC＝B.所以AB⊥平面BCC1B1.
又因為AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
[C　拓展沖刺]
15．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.
解析：由題意知△PAB≌△PAD，
所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，
當BM⊥PC時，則有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，
此時PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
16．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形．




(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
證明：因為四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因為AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
(2)求二面角B1-CD-A的余弦值．
解：過點B作BH⊥CD于點H，連接B1H(圖略).
由(1)知BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1為二面角B1-CD-A的平面角．中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
8．6.3　平面與平面垂直
學習指導 核心素養(yǎng)
1.借助長方體，通過直觀感知，了解二面角的相關(guān)概念、平面與平面垂直的定義． 2．歸納出平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能利用定理證明一些簡單的問題． 1.數(shù)學抽象、直觀想象：理解二面角的相關(guān)概念、平面與平面垂直的定義． 2．邏輯推理：利用判定定理及性質(zhì)定理推斷線面、面面關(guān)系．
第1課時　平面與平面垂直(一)
知識點一　二面角
1．定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．
2．畫法：
3．記法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角，如圖．
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的大小與垂足在l上的位置無關(guān)．
　如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小．
【解】　因為PA⊥平面ABCD，
所以AB⊥PA，AC⊥PA.
所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．
又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小為45°.
解決二面角問題的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點．
(2)求二面角大小的步驟
簡稱為“一作二證三求”．
1．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，則二面角D′-AB-D的大小為________．
解析：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.
答案：45°
2．如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．
解：如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角定義知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角．因為AM＝BM＝，AB＝2.所以cos ∠AMB＝＝，即二面角A-CD-B的余弦值為.
知識點二　平面與平面垂直
1．面面垂直的定義
定義 一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直
畫法 畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．如圖
記法 α⊥β
2.判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
(1)面面垂直的判定定理可簡記：若線面垂直，則面面垂直．
(2)此定理是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，也是找出一個平面的垂面的依據(jù)．
　(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四邊形ABCD是菱形．求證：平面PAC⊥平面PBD.
(2)如圖，在四面體ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.
【證明】　(1)因為PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.
因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因為BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
(2)因為△ABD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，則∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．
在△ABD中，AB＝a，
BE＝BD＝a，
所以AE＝ ＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a.
因為AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C為直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
證明平面與平面垂直的兩種常用方法
(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：
①找出兩相交平面的平面角；
②證明這個平面角是直角；
③根據(jù)定義判定這兩個相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直，即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是
1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是(　　)
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，則α⊥β
解析：選B．A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正確；易知B正確；C中，α∥β，仍然可以滿足m⊥n，m α，n β，所以C不正確；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正確．故選B．
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是棱BC的中點，且AB＝AC.求證：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
證明：由題意知BB1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，
所以BB1⊥AD.
因為D是BC的中點，
且AB＝AC，所以AD⊥BC.
因為BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.
因為AD 平面AC1D，
所以平面AC1D⊥平面BCC1B1.
1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個 B．有2個
C．有無數(shù)個 D．不存在
解析：選C．由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．
2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，則二面角C1-AB-C為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選D．由圖可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角，在Rt△C1BC中，tan ∠C1BC＝＝1，又0≤∠C1BC≤π，所以∠C1BC＝.故選D．
3．已知直線a，b與平面α，β，γ，下列一定能使α⊥β成立的條件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a(chǎn)∥β，a∥α D．a(chǎn)∥α，a⊥β
解析：選D．對于A：α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能平行或垂直，故A錯；對于B：當α與β相交但不垂直時，也會有b⊥a，b β，故B錯；對于C：a∥β，a∥α，則α與β相交或平行，故C錯；對于D，a∥α，a⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正確．
4．如圖①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高．以AD為折痕將△ABC折起，使∠BDC為直角，如圖②所示，求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
證明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
[A　基礎(chǔ)達標]
1．從二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
解析：選D．由二面角的平面角的定義可知D選項正確．
2．下列命題中正確的是(　　)
A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β
B．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥β
C．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥β
D．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β
解析：選C．當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B，D錯，C正確．
3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且滿足m⊥α，m∥β，則下列說法一定正確的是(　　)
A．α⊥β B．α∥β
C．若n β，則m∥n D．若n α，則n⊥β
解析：選A．對于A，B，由于m∥β，所以由線面平行的性質(zhì)可知在β內(nèi)有一組線與m平行，而m⊥α，所以在β內(nèi)與m平行的直線垂直于α，所以α⊥β，所以A正確，B錯誤；對于C，當n β時，m∥n或m，n異面，C不一定正確；對于D，當n α時，直線n與平面β不一定垂直，所以D錯誤，故選A．
4.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有(　　)
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
解析：選C．因為AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故選C．
5．把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后的△ABC是(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．銳角(非等邊)三角形 D．鈍角三角形
解析：選A．如圖①，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AC與BD相交于點O，則折成直二面角后如圖②，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，則△ABC是等邊三角形．
6．如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：選C．三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，則BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC為A-BB1-C的二面角，因為△ABC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選C．
7．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是________．
解析：若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.
答案：60°或120°
8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，則平面EBD與平面AA1C1C的位置關(guān)系是________．(填“垂直”或“不垂直”)
解析：如圖，在正方體中，
CC1⊥平面ABCD，
所以CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
又BD 平面EBD，
所以平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
9．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，則二面角C1-BD-C的大小為________．
解析：如圖，取BD中點O，連接OC，OC1，因為AB＝AD＝2，
所以CO⊥BD，CO＝.
因為CD＝BC，所以C1D＝C1B，
所以C1O⊥BD.
所以∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角．
因為tan ∠C1OC＝＝＝，
所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°.
答案：30°
10．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
證明：平面ACD⊥平面ABC.
證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD.從而AD＝CD.
又△ACD為直角三角形，
所以∠ADC＝90°，
取AC的中點O，連接DO，BO，
則DO⊥AC，DO＝AO，
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°，
所以平面ACD⊥平面ABC.
[B　能力提升]
11．(多選)如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，以下四個命題正確的是(　　)
A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC
解析：選BD．因為PA 平面MOB，故A錯誤；因為OM是△PAB的中位線，所以O(shè)M∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC，故B正確；因為AB是直徑，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C錯誤；又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正確．故選BD．
12．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是________．
解析：因為PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心為BC的中點，設(shè)為O，則PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
答案：平面PBC⊥平面ABC
13．如圖，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列關(guān)系正確的是________．(填序號)
①平面PAB⊥平面PBC； ②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC.
解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，則平面PAD⊥平面PAB.分析易知平面PAB與平面PAC，平面PCD均不垂直．
答案：①②
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點．求證：
(1)直線A1B1∥平面ABD；
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
證明：(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1，得A1B1∥AB.
因為A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
所以直線A1B1∥平面ABD.
(2)因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因為AB⊥BC，BB1，BC 平面BCC1B1，
且BB1∩BC＝B.所以AB⊥平面BCC1B1.
又因為AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
[C　拓展沖刺]
15．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.
解析：由題意知△PAB≌△PAD，
所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，
當BM⊥PC時，則有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，
此時PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
16．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形．
(1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
(2)求二面角B1-CD-A的余弦值．
解：(1)證明：因為四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，所以AA1⊥平面ABCD.
因為AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
(2)過點B作BH⊥CD于點H，連接B1H(圖略).
由(1)知BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1為二面角B1-CD-A的平面角．
由等面積法可得BH＝1×2，即BH＝，
所以B1H＝ ＝，
故cos ∠BHB1＝＝.
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