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培優(yōu)點2　與球相關的“切”“接”問題
第八章　立體幾何初步
14π

處理球的“接”問題的策略
把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．
3∶2
(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．
(2)解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
√
√
P
I
D
A
C
B
如果是內(nèi)切球；則球心到切點的距離相等
定球心
且為半徑；如果是外接球，則球心到接點
的距離相等且為半徑
選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡
可能的多包含球、兒何體的各種元素以及
作截面
體現(xiàn)這些元素間的關系)，達到空間問題平
面化的目的
求半徑、
根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于球
下結論
半徑的方程，并求解
0
B
1
0
2
0
2
A
T=1
B
0.
2
◆
●
☆
2
1
A
0中小學教育資源及組卷應用平臺
與球相關的“切”“接”問題
類型一　幾何體的外接球
　(1)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．
(2)一個圓臺的軸截面的面積為6，上、下底面的半徑分別為1，2，則該幾何體外接球的體積為________．
【解析】　(1)依題意得，長方體的體對角線長為＝，
記長方體的外接球的半徑為R，
則有R＝，因此球O的表面積為4πR2＝14π.
(2)設圓臺的高為h，由軸截面的面積為6，
得＝6，解得h＝2，
設該圓臺外接球的半徑為R，
由題意得 ＋＝2，
解得R＝，
所以該幾何體外接球的體積為
πR3＝π×＝π.
【答案】　(1)14π　(2)π
處理球的“接”問題的策略
把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．
類型二　幾何體的內(nèi)切球
　(1)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面積S1和球的表面積S2之比為________．
(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為，那么這個正三棱柱的體積為________．
【解析】　
(1)畫出軸截面如圖所示，設球的半徑為r，則OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，所以CB＝PC＝r，PB＝2r，所以圓錐的側面積S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面積S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.
(2)設球的半徑為R，由R3＝，得R＝1.因為球與正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直徑2，正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓的半徑等于球的半徑1.設正三棱柱的底面三角形的邊長為a，則a×sin ×＝1，所以a＝2，所以這個正三棱柱的體積V＝×(2)2×2＝6.
【答案】　(1)3∶2　(2)6
(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．
(2)解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
1．已知正方體的內(nèi)切球的體積是π，則正方體的棱長為(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：選A.設正方體的棱長為a，其內(nèi)切球的半徑為R，則a＝2R，又πR3＝π，所以R3＝2，所以R＝，所以a＝2.
2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B.
如圖，O為外接球球心，母線BB1長度為2，底面半徑r＝O2B＝1，易得外接球半徑R＝OB＝＝，所以外接球體積V＝π()3＝.故選B.
3．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________．
解析：設球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以＝＝.
答案：
4．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為 a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．
解析：
由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為 a.
如圖，P 為三棱柱上底面的中心，O 為球心，
易知 AP＝×a＝a，OP＝a，
所以球的半徑 R＝ OA 滿足R2＝＋＝a2，
故 S球＝4πR2＝πa2.
答案：πa2
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與球相關的“切”“接”問題
類型一　幾何體的外接球
　(1)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________．
(2)一個圓臺的軸截面的面積為6，上、下底面的半徑分別為1，2，則該幾何體外接球的體積為________．
處理球的“接”問題的策略
把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．
類型二　幾何體的內(nèi)切球
　(1)如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側面積S1和球的表面積S2之比為________．
(2)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為，那么這個正三棱柱的體積為________．
(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．
(2)解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
1．已知正方體的內(nèi)切球的體積是π，則正方體的棱長為(　　)
A．2 B．
C． D．
2．已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為(　　)
A． B．
C． D．
3．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________．
4．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為 a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．
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