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第四章 三角形及四邊形
第二節(jié) 特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆ 特殊的三角形重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10 分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形性質(zhì)與判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用。在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定，這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。
考點(diǎn)2 垂直平分線的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點(diǎn)3 勾股定理與逆定理及其應(yīng)用 ☆☆
考點(diǎn)4 直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定
1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）。
（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有兩個(gè)角相等，那這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）。
4）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊相等；（2）三個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都是60°；
（3）等邊三角形（邊長(zhǎng)為a）的面積：。
6）等邊三角形的判定：（1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；
（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
■考點(diǎn)二　垂直平分線的性質(zhì)與判定
1）垂直平分線的定理：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。
2）垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
3）垂直平分線的判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。
■考點(diǎn)三　勾股定理與逆定理及其應(yīng)用
1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．
2）勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
■考點(diǎn)四　直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算
1）直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．
2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個(gè)銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
3）直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；（3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）滿足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。
4）直角三角形的面積公式： (其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長(zhǎng))。
■易錯(cuò)提示
1. 等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明確是頂角還是底角，需要分類討論。
2. 如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解。
■考點(diǎn)一　等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定
◇典例1：（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)D在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數(shù)是 ．
【答案】或
【分析】由題意可求出，故可分類討論①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵，，∴．
∵為直角三角形，∴可分類討論：①當(dāng)時(shí)，如圖1，

∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖2，
綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．
【詳解】解：，，
，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的等邊對(duì)等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·新疆·中考真題）如圖，在中，若，，，則 ．

【答案】
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出，再有三角形內(nèi)角和定理及等量代換求解即可．
【詳解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，即，
解得：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合圖形，找出各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
3．（2023·湖北·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，以B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于D、E兩點(diǎn)，并連接．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用“等邊對(duì)等角”求角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及“等邊對(duì)等角”可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得，最后再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵以B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，∴，∴，
∴，∴，
∴．故選：A．
◇典例2：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊的中線，若，，則的長(zhǎng)度為 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵在中，，是邊的中線，∴，，
在中，，，∴，故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，于點(diǎn)，若，則______．
【答案】3
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知是的中點(diǎn)，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點(diǎn)D分別作，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．
【詳解】解：∵是的角平分線，∴，
∴，故選項(xiàng)A、D結(jié)論正確，不符合題意；
又是的角平分線，，
∴，故選項(xiàng)B結(jié)論正確，不符合題意；
由已知條件推不出，故選項(xiàng)C結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可．
3．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．
【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，
此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3＋3＋5＝11（cm），
當(dāng)5是腰時(shí)，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，
此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解
題的關(guān)鍵．
◇典例3：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，交點(diǎn)分別為M、N，連接交于點(diǎn)D，下列說法一定正確的是（　　）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)作圖可知：點(diǎn)在線段的中垂線上，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意，得：點(diǎn)在線段的中垂線上，
∴，∴是等腰三角形；故選項(xiàng)C一定正確，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．熟練掌握中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．
【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；
②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．故共有3個(gè)點(diǎn)，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．
2．（2021·浙江杭州市·中考真題）如圖，在中，的平分線交邊于點(diǎn)，于點(diǎn)．已知，．
（1）求證：．（2）若，求的面積
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)題意證明即可；
（2）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)求得BE、EC的長(zhǎng)，用三角形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）因?yàn)槠椒郑裕裕?br/>又因?yàn)椋裕裕?br/>（2）由題意，得，，所以，
所以的面積為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，正確記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
◇典例4：（2023·山西大同·統(tǒng)考一模）如圖，在等邊三角形中，是中線，延長(zhǎng)至，使，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等邊對(duì)等角求出，得到，再根據(jù)等角對(duì)等邊得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵在等邊三角形中，是中線，∴，，
∵，∴，∴，∴．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．
【詳解】解：∵是等邊的邊上的高，∴，
∵，∴，故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·安徽·中考真題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC，過O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．
【詳解】解：如圖，，，
∴=
== ==，∴，
設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，
則，，
∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，
∴， ，
∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的直線上，
∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OP取得最小值，過O作OE⊥BC于E，
∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE
∵，∴，解得OE=，∴OC=，
∴OP=CP-OC=．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
◇典例5：（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)A，D在異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng) s．

【答案】1
【分析】當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)，如圖，，根據(jù)等邊三角形，是等邊三角形，證明，進(jìn)而可得x的值．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由題意得，，

∵，∴，
∵和是等邊三角形，∴，
∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，解得．故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別以和的速度從點(diǎn)A，C兩點(diǎn)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則下列哪個(gè)t值不能使為直角三角形（ ）．

A．9 B． C． D．1
【答案】D
【分析】將四個(gè)選項(xiàng)分別代入，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)即可判斷．
【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)了，點(diǎn)E動(dòng)了，
∴D，E兩點(diǎn)的位置如圖所示，
，
∴，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，
∴為直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)了，點(diǎn)E動(dòng)了，∴D，E兩點(diǎn)的位置如圖所示，
∴，點(diǎn)D在上，∴點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，
∴為直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)了，點(diǎn)E動(dòng)了，
∴D，E兩點(diǎn)的位置如圖所示，過點(diǎn)A作，

∴，∴．∵，∴．
又∵，∴，
∴，即為直角三角形，故該選項(xiàng)不符合題意；
D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)了，點(diǎn)E動(dòng)了，∴D，E兩點(diǎn)的位置如圖所示，
不能證明為直角三角形，故該選項(xiàng)符合題意．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．將四個(gè)選項(xiàng)分別代入，畫出圖形，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是________．
【答案】 80 ##
【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：
∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，
過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
◇典例6：（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件： ．使得是等邊三角形．
【答案】或或或者
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形的判定即可得到結(jié)論．
【詳解】解：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，
若添加條件：或者，則是等邊三角形；
若添加條件：，則是等邊三角形；
若添加條件：，，，，
，是等邊三角形；
故答案為：或或或者．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若，則的面積是____________．
【答案】
【分析】先證明 是等邊三角形，再證明，再利用直角三角形角對(duì)應(yīng)的邊是斜邊的一般分別求出和，再利用勾股定理求出，從而求得的面積．
【詳解】解：如下圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)O，連接和，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，
∴,，是的角平分線，是，
∴，∴
∵，∴ 是等邊三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴∵
∵，∴∴，,
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明 是等邊三角形是解本題關(guān)鍵．
2．（2022·湖南湘潭·中考真題）（多選題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說法正確的是（ ）
A．是等邊三角形 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】解：由作圖可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，故A選項(xiàng)正確
∵等邊三角形三線合一，由作圖知，CD是線段AB的垂直平分線，∴，故B選項(xiàng)正確，
∴，，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．
【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-基本作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
◇典例7：（2024·福建福州·校考一模）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且．
(1)尺規(guī)作圖：作出將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到（不要求寫作法，但需保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．

【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，連接，即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，， 證明為等邊三角形，證明為直角三角形，得出，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得到的，如圖所示：

（2）解：如圖，連接，∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得到的，
∴，，， ∴為等邊三角形，
∴，，在中，，
∴為直角三角形，且，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·廣東深圳·考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)已知條件得到是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，
，，，，，
以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)，
是等邊三角形，，，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山西太原·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，則的面積與的面積之比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，易證為等邊三角形，從而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理得出，從而得出，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，從而得出
，即可得出答案．
【詳解】解：連接，為等邊三角形

D是的中點(diǎn)，，
的面積與的面積之比為 故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30度角的直角三角形，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)二　垂直平分線的性質(zhì)與判定
◇典例8：（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形區(qū)域是音樂廣場(chǎng)的一部分，現(xiàn)在要在這一區(qū)域內(nèi)建一個(gè)噴泉，要求噴泉到兩條道路，的距離相等，且到入口、的距離相等請(qǐng)確定噴泉的位置．
【答案】見解析
【分析】本題考查了角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法；利用角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法得出P點(diǎn)即可．
【詳解】如圖所示：點(diǎn)即為所求．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，4幅圖中的，，則下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A．圖丙中的基本作圖是過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線
B．在圖甲、圖乙、圖丙中，
C．圖甲中所作的三段弧的半徑是相同的
D．圖丁中
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形逐項(xiàng)做出判斷即可．
【詳解】解：A．圖丙中的基本作圖是過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．甲圖是作，
乙圖中是作線段的垂直平分線，則，則，
丙圖中是過點(diǎn)B作的垂線，則，則，
∴在圖甲、圖乙、圖丙中，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．圖甲中所作的三段弧的半徑是不同的，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D．由圖可知是圓的直徑，由直徑所對(duì)的圓周角是直角可知，故選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查為了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握基本作圖和相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，中，若，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】∵，，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作圖可知，平分，∴，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
B．由作圖可知，MQ是BC的垂直平分線，∴，
∵，∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
C．∵，，∴，
∵，∴，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；
D．∵，，∴；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．
◇典例9：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，作直線，交邊于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作圖可得：為直線的垂直平分線，從而得到，則，再由三角形外角的定義與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由作圖可得：為直線的垂直平分線，
，，
，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E．連接．若，，則的度數(shù)為 ．

【答案】/度
【分析】先在中利用等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用等邊對(duì)等角得出，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，，∴，
∵是的垂直平分線，∴，∴，
又，∴．故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接，則的度數(shù)為_____．
【答案】##50度
【分析】根據(jù)作圖可知，，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，可得
，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：∵在中，，，∴，
由作圖可知是的垂直平分線，，
，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)題意分析得出是的垂直平分線，是解題的關(guān)鍵．
◇典例10：（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．連接．則的長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，通過解直角三角形求出和即可．
【詳解】解：由作法可得垂直平分，，
，．
，，，
，
如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，
，
，，
，，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的作法及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)在上，，為內(nèi)一點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)到的距離為 ．

【答案】1
【分析】首先利用垂直平分線的性質(zhì)得到，利用角平分線，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】如圖所示，

由尺規(guī)作圖痕跡可得，是的垂直平分線，∴，∴，
設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，
由尺規(guī)作圖痕跡可得，是的平分線，
∴點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)P到的距離，即的長(zhǎng)度，∴點(diǎn)到的距離為1．故答案為：1 ．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵．
2．（2022·湖南衡陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長(zhǎng)為_________．
【答案】23
【分析】由作圖可得：是的垂直平分線，可得再利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，
，， 故答案為：23
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)三　勾股定理與逆定理及其應(yīng)用
◇典例11：（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是 尺．

【答案】8，6，10
【分析】設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門高為尺，門寬為尺，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門高為尺，門寬為尺，
根據(jù)題意可得：，解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8，6，10尺，故答案為：8，6，10．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程，正確設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·湖北黃岡·中考真題）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是________（結(jié)果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【分析】2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】∵2m為偶數(shù)，∴設(shè)其股是a，則弦為a+2，
根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，故答案為：m2-1．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為 ．（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】10
【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，
∵底面周長(zhǎng)為，，，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．
3.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，小紅家購(gòu)置了一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的x至少為 （精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】
【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解決實(shí)際問題．
【詳解】解：如圖過點(diǎn)A、B分別作墻的垂線，交于點(diǎn)C，
則，，
在中，，即
∵這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，∴這臺(tái)掃地機(jī)的直徑不小于長(zhǎng)，
即最小時(shí)為，解得：（舍），，
∴圖中的x至少為，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
◇典例14：（2022·湖南永州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．
【答案】3
【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，
則AE=x-1，在Rt AED中，，即，
解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．
【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形變化類，由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，先用勾股定理求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而找到與之間的關(guān)系，依次類推，得出規(guī)律，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∴，同理，，∴，
∴，故選：A．
2．（2023·廣東江門·校考一模）在學(xué)習(xí)完勾股定理后，小芳被“弦圖”深深地吸引了，她也設(shè)計(jì)了一個(gè)類似“弦圖”的圖案（如圖），主體是一個(gè)菱形，把菱形分割成四個(gè)兩兩全等的直角三角形和一個(gè)矩形，這四個(gè)直角三角形中有兩個(gè)是等腰直角三角形，另兩個(gè)三角形的兩直角邊分別是和，那么中間的矩形的面積是_____________．
【答案】##
【分析】由題意可知，，，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求出，，最后根據(jù)矩形的面積公式即可求出中間矩形的面積．
【詳解】如圖，由題意可知，，,
∴，∴．
∵，即，∴，∴
∴，，
∴中間的矩形的面積是．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
◇典例13：（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，，，，則______________．
【答案】或
【分析】畫出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．
【詳解】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示：
過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．
情況二：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：
由情況一知：，，∴．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類討論．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，和都是直角三角形，，，、相交于點(diǎn)，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，證是等腰直角三角形，得，，設(shè)，則，再由勾股定理得，然后求出，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
，，
是等腰直角三角形，，
設(shè)，則，，，
，，
，，故選：D．
2．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G．作射線交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)是 ．

【答案】/
【分析】過H作于Q，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程求解．
【詳解】解：設(shè)，

過H作于Q，在矩形中，，
∴，由作圖得：平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
在中，有，即：，解得：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，∴，
由折疊的性質(zhì)可知，∵，
∴當(dāng)、、B三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，取最小值，最小值即為；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◇典例13：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
【答案】(1)(2)證明見解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）證明是等腰直角三角形即可.
【詳解】（1）解：
（2）證明：連接，

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則，，
，為等腰直角三角形，
∵，∴為等腰直角三角形，
，故
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，過的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長(zhǎng)可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根據(jù)題意可得這條剪痕可能是或邊的中線．分別根據(jù)中線的性質(zhì)以及勾股定理求得，即可求解．
【詳解】解：如圖，中，，，，
，是直角三角形，且．
過的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，與不全等，這條剪痕可能是或邊的中線．
如果這條剪痕是邊的中線，那么，
，，；
如果這條剪痕是邊的中線，那么，
，，；
這條剪痕的長(zhǎng)可能為．故選：C．
■考點(diǎn)四　直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算
◇典例15：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

【答案】//．
【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意可知，矩，欘宣矩，
，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計(jì)算．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角的大面小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：與互余，與互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．
【詳解】由示意圖可知：和都是直角三角形，
，，，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)， ．

【答案】
【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴
∴,故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．
◇典例16：（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．

(1)在斜邊上求作線段，使，連接；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）；(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)圖見詳解；(2)
【分析】（1）以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)O，則問題可求解；
（2）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得，則有，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】（1）解：所作線段如圖所示：

（2）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，即點(diǎn)O為的中點(diǎn)，
∵，∴，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·貴州遵義·中考真題）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求得，進(jìn)而求得，進(jìn)而等面積法即可求解．
【詳解】解：在中，，，，，
設(shè)到的距離為，，，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，
由題意知：平分，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
∴當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．
◇典例17：（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點(diǎn)，則 ．
【答案】5
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再運(yùn)用勾股定理求得AB，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
【詳解】解：如圖：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴
∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=AB=×10=5．故答案為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”成為解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）如圖，在中，為斜邊上的中線，過點(diǎn)D作，連接，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵在中，為斜邊上的中線，，
∴，∵，，∴，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，正確求出是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南永州·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（　　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，
∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形
的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則，可得，由此即可得到．
【詳解】解：∵在等腰中，，，∴，
由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，
∴，∴，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．若，則的面積為（ ）

A．13 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】依據(jù)題意，連接，然后先證明，從而，又由等腰可得，從而在中可以求得，又，從而可得的值，進(jìn)而可以得解．
【詳解】解：如圖，連接．

在中，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，
，，，．
．
，，，．．
又，，．，．
在中，．在中，．
又在中，，．．
．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
3．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，重合），連接，．下列命題中，假命題是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明PD是否是BC的垂直平分線，判斷即可．
【詳解】因?yàn)锳B=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則A是真命題；
因?yàn)镻B=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以AB=AC，則B是真命題；
因?yàn)锳B=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則C是真命題；
因?yàn)镻B=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判斷AP是BC的垂直平分線，所以AB和AC不一定相等，則D是假命題．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三線合一可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)∠EBC＝45°，可得為等腰直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．
【詳解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，，，
∠EBC＝45°，，為等腰直角三角形，
，，則△EBC的面積是．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，．作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【詳解】解：由作圖的過程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，
∵，，∴ △ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則 ．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/
【分析】如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．
【詳解】解：如圖，過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

設(shè)，∵，，∴，
∵，∴，，為等腰直角三角形，
∴，∴，
由勾股定理可得：，整理得：，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；∴；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
7．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為 ．

【答案】或
【分析】分兩種情況當(dāng)在延長(zhǎng)線上和當(dāng)在上討論，畫出圖形，連接，過點(diǎn)作于，利用勾股定理解題即可
【詳解】解：當(dāng)在線段上時(shí)，連接，過點(diǎn)作于，

當(dāng)在線段上時(shí)，，，
，，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，
，，，，
，，
當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，則，

是線段的中點(diǎn)，，，
，，，，
，，，
，，
的長(zhǎng)為或．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·北京中考真題）《淮南子 天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)處的桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)處立一根桿．取的中點(diǎn)，那么直線表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）；
（2）在如圖中，確定了直線表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍瓿扇缦伦C明．
證明：在中，______________，是的中點(diǎn)，
（______________）（填推理的依據(jù)）．
∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，
∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?br/>【答案】（1）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一
【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，然后連接這兩點(diǎn)，與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（2）由題意及等腰三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行作答．
【詳解】解：（1）如圖所示：
（2）證明：在中，，是的中點(diǎn)，
（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）．
∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?br/>故答案為，等腰三角形的三線合一．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．

【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，
在和中，，∴；
（2）∵，為的角平分線，∴
由作圖可得，∴，
∵，為的角平分線，∴，∴
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段的長(zhǎng)為 ；（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明） ．
【答案】(1)(2)畫圖見解析；如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求
【分析】（1）在網(wǎng)格中用勾股定理求解即可；
（2）取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)M，連接；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求，連接，，過點(diǎn)E作網(wǎng)格線，過點(diǎn)G作網(wǎng)格線，由圖可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得和，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得，進(jìn)而得到和，再通過證明即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：；故答案為：．
（2）解：如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求；
連接，，過點(diǎn)E作網(wǎng)格線，過點(diǎn)G作網(wǎng)格線，

由圖可得：∵，，，
∴，∴，，∵，∴，即，
∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴，
∵是等邊三角形，∴，即，∴，即，
∵，，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)Q即為所求；
故答案為：如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，勾股定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．
11．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見解析(2)(3)存在，
【分析】（1）由即可證明；（2）證明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；（3）證明，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意，可知，，．
．即．．
（2）在中，，
．．
，，．
．．
在中，．
（3）由（2）可知，．
當(dāng)最小時(shí)，有的值最小，此時(shí)．
為等腰直角三角形，．
．即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·河北邢臺(tái)·邢臺(tái)三中校考一模）如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不正確的是（ ）
A．由弧②可以判斷出 B．弧③和弧④所在圓的半徑相等
C．由弧①可以判斷出 D．的內(nèi)心和外心都在射線上
【答案】C
【分析】利用基本作圖可對(duì)選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用基本作圖可得到平分，從而可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形的內(nèi)心和外心的定義可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．由弧可得，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．由弧和弧可得到，即弧和弧所在圓的半徑相等，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C．由弧可判斷為的平分線，而由弧不可以判斷出，故C選項(xiàng)正確，符合題意；
D．∵平分，∴的內(nèi)心在射線上，
∵垂直平分，∴的外心在射線上，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心與外心．
2．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖是一把圓規(guī)的平面示意圖，是支撐臂，是旋轉(zhuǎn)臂，已知，使用時(shí)，以點(diǎn)為支撐點(diǎn)，筆芯端點(diǎn)可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)作出圓．若支撐臂與旋轉(zhuǎn)臂的夾角，則圓規(guī)能畫出的圓的半徑長(zhǎng)度為( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作交于點(diǎn)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可表示出．
【詳解】解：作交于點(diǎn)，
，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，
，，，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．兩名同學(xué)提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如圖1，①分別作，的垂直平分線，交于點(diǎn)P； ②選擇，，． 如圖2，①以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E； ②連接，．
對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（ ）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出結(jié)論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可判斷和的特征，然后根據(jù)等腰三角形的判定說明即可得到答案.
【詳解】解：∵點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，
∴（垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等），
同理，得，∴，∴都是等腰三角形．連接，
∵，∴．
∵，∴，∴，
∴是頂角為的等腰三角形．
∵，∴，∴是頂角為的等腰三角形．
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴是頂角為的等腰三角形，故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】先求出，再求出，根據(jù)所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，∴，
∵，為線段的垂直平分線，∴，
∴，∴，
在中，，∴．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練利用相應(yīng)的定理進(jìn)行推理．
5．（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由題意推出，在中，，即可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵，，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）在中，比較與的大小關(guān)系時(shí)，小明同學(xué)用圓規(guī)設(shè)計(jì)了如圖的方案，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧，分別交，于點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)為 ．

【答案】/
【分析】連接，根據(jù)題意可得：，先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出，從而可得是等邊三角形，進(jìn)而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：連接，

由題意得：，，，，
是等邊三角形，，，
，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為 ．
【答案】/106度
【分析】由作圖可知，是的垂直平分線，則為的中點(diǎn)，如圖，連接，則，，，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由作圖可知，是的垂直平分線，∴為的中點(diǎn)，如圖，連接，
∵，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，
∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則的周長(zhǎng)為 ______．
【答案】
【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出、根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵，是角平分線，∴，
在中，，∴，
由勾股定理得：，∵的垂直平分線交于點(diǎn)F，∴，
∴的垂直，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為的外心，過點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點(diǎn)．（1）若，則的度數(shù)為 ；
（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，則的周長(zhǎng)為 ．

【答案】
【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，從而有，，由三角形內(nèi)角和定理，從而由可求得結(jié)果；
（2）連接，由已知可得點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，則可得；再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，，最后可求得周長(zhǎng)的值．
【詳解】（1）∵點(diǎn)O為中的外心，，，∴、是的垂直平分線，
∴，，∴，，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴；故答案為：；
（2）連接，∵是邊的垂直平分線，是邊的垂直平分線，
∴，，∴，∴點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，
∵，∴，∵，，
∴的周長(zhǎng)．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵．
10．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)為射線上的定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），作線段的垂直平分線，分別交，于C，D，連接，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：；
(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段，和的關(guān)系，并證明．
【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析 (2)或
【分析】（1）先逐步根據(jù)提示畫圖，再證明，設(shè)，證明，可得，從而可得答案；
（2）如圖，過F作于H，證明，，，可得，，，證明，，可得，從而可得結(jié)論，同理可得當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)的結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，補(bǔ)全圖形如下：

∵，，∴，，∴設(shè)，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，而，∴．
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過F作于H，
∵，，∴，，
∵，∴，
∴，，，∴，

∵，∴，∴，，∴，
∵，∴，，∴，
∴．
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，過F作于H，
同理可得：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．
11．（2022·福建泉州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在與中，，與相交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)連接，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為M，線段的中點(diǎn)分別為N，直線與相交于點(diǎn)F．求證：F，N，E，M四點(diǎn)共線．

【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，得出，則可證出結(jié)論；（2）連接，，，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得為的垂直平分線，平分，平分，由，為的垂直平分線，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，∴；
（2）證明：連接，，，

∵，∴，，∴，
又∵為的中點(diǎn)，則∴為的垂直平分線，平分，
∵，∴為的垂直平分線，∴E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
∵，，∴，
∵N為的中點(diǎn)，∴平分，
∵平分，∴N在上，∴F，N，E，M四點(diǎn)共線．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：線段及射線．
求作：等腰，使得點(diǎn)C在射線上．

作法一：如圖1，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接．
作法二：如圖2．
①在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)E，連接；
②以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于點(diǎn)F；
③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；
④作射線交射線于點(diǎn)C．
作法三：如圖3，
①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P，Q；
②作直線，交射線于點(diǎn)C，連接．根據(jù)以上三種作法，填空：
由作法一可知：______，
∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依據(jù)）．
∴是等腰三角形．
由作法三可知；是線段的______．
∴（__________________）（填推理依據(jù)）．
∴是等腰三角形．
【答案】；；等角對(duì)等邊；垂直平分線；線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
【分析】由作法一可知，由作法二可知：，由作法三可知；是線段的垂直平分線．根據(jù)作圖結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．
由作法二可知：，
∴（等邊對(duì)等角）∴是等腰三角形．
由作法三可知；是線段的垂直平分線．
∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）
【點(diǎn)睛】本題考查了作線段，作一個(gè)角等于已知角，作垂直平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（　　）

A．56 B． C． D．
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)至，使，連接，過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證，得，，再證，得，，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，進(jìn)而求出，再利用即可解決問題．
【詳解】解：延長(zhǎng)至，使，連接，過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：為的中點(diǎn)，，

在和中，，，
，，，，
，，，，
，，
，，
在和中，，，
，，
，，，
，，在中，，，
，，，
，，，
，，，
，，
，，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】①③④
【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正確；∴，
∴，，故③正確；
∵，，，
∴，；故②錯(cuò)誤；∴，
∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，故④正確；故答案為①③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在、上分別截取、，使，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，，則的長(zhǎng)為________．

【答案】/
【分析】根據(jù)題干條件可得，所以≌，得到，又證明得≌，，所以≌，；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，列雙勾股方程解得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)∽，即可求出答案．
【詳解】解：由題意可得，≌，，,
，、是等腰直角三角形，；
連接、,≌，，連接，
，，≌，，，
又，，≌，，
連接、，，，≌，，
設(shè)，，，，
，，，
，，
得，，解得（舍），，，，，
又∽，，，故答案是．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等，勾股定理的運(yùn)用，三角形相似計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，利用條件推理證明、列出雙勾股方程計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為 ．

【答案】或或
【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，
當(dāng)時(shí)，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；
當(dāng)時(shí)，，，
由三角形的外角性質(zhì)得，解得；
當(dāng)時(shí)，，∴，
由三角形的外角性質(zhì)得，解得；
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴；

綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先求出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，當(dāng)時(shí)，，即，
，，是等邊三角形，，
，，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
同理可得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
歸納類推得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（為正整數(shù)），
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
6．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在邊，上，滿足，與交于點(diǎn)F．
(1)求的度數(shù)；(2)以C為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，連接．①依題意補(bǔ)全圖形；②若，求k的值．

【答案】(1)(2)①見解析；②
【分析】（1）證明，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可；
（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使，連接，證明，得出，，證明，得出，延長(zhǎng)至點(diǎn)P使得，連接，，證明，得出，，說明為等邊三角形，得出，根據(jù)，得出，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，∴，∴，
∴．
（2）解：①如圖所示：

②延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使，連接，如圖所示：
∵N是的中點(diǎn)，∴，
在和中，∴，
∴，，∴，∴，
∵為等邊三角形，∴，
∵繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，
延長(zhǎng)至點(diǎn)P使得，連接，，由（1）可知，，
∴為等邊三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，
∴，，∴為等邊三角形，
∴，∵，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．
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第四章 三角形及四邊形
第二節(jié) 特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆ 特殊的三角形重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10 分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形性質(zhì)與判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用。在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定，這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。
考點(diǎn)2 垂直平分線的性質(zhì)與判定 ☆☆
考點(diǎn)3 勾股定理與逆定理及其應(yīng)用 ☆☆
考點(diǎn)4 直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定
1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“ ”）。
（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)稱“ ”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有兩個(gè)角相等，那這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“ ”）。
4）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊 ；（2）三個(gè)內(nèi)角都 ，且每個(gè)內(nèi)角都是 ；
（3）等邊三角形（邊長(zhǎng)為a）的面積： 。
6）等邊三角形的判定：（1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；
（2）有一個(gè)角是60°的 三角形是等邊三角形。
■考點(diǎn)二　垂直平分線的性質(zhì)與判定
1）垂直平分線的定理：經(jīng)過線段的 并且 于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。
2）垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段 相等。
3）垂直平分線的判定：到一條線段 的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。
■考點(diǎn)三　勾股定理與逆定理及其應(yīng)用
1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．
2）勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
■考點(diǎn)四　直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算
1）直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．
2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個(gè)銳角 ；（2）直角三角形斜邊上的中線等于 ；（3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于 。
3）直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；（3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）滿足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。
4）直角三角形的面積公式： (其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長(zhǎng))。
■易錯(cuò)提示
1. 等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明確是頂角還是底角，需要分類討論。
2. 如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解。
■考點(diǎn)一　等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定
◇典例1：（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)D在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數(shù)是 ．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·新疆·中考真題）如圖，在中，若，，，則 ．

3．（2023·湖北·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，以B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于D、E兩點(diǎn)，并連接．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊的中線，若，，則的長(zhǎng)度為 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，于點(diǎn)，若，則______．
2．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點(diǎn)D分別作，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
◇典例3：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，交點(diǎn)分別為M、N，連接交于點(diǎn)D，下列說法一定正確的是（　　）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·浙江杭州市·中考真題）如圖，在中，的平分線交邊于點(diǎn)，于點(diǎn)．已知，．（1）求證：．（2）若，求的面積
◇典例4：（2023·山西大同·統(tǒng)考一模）如圖，在等邊三角形中，是中線，延長(zhǎng)至，使，求證：．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·安徽·中考真題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)A，D在異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng) s．

◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別以和的速度從點(diǎn)A，C兩點(diǎn)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則下列哪個(gè)t值不能使為直角三角形（ ）．

A．9 B． C． D．1
2．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是________．
◇典例6：（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件： ．使得是等邊三角形．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若，則的面積是____________．
2．（2022·湖南湘潭·中考真題）（多選題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說法正確的是（ ）
A．是等邊三角形 B． C． D．
◇典例7：（2024·福建福州·校考一模）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且．
(1)尺規(guī)作圖：作出將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到（不要求寫作法，但需保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．

◆變式訓(xùn)練
1.（2023·廣東深圳·考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·山西太原·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，則的面積與的面積之比為（ ）

A． B． C． D．
■考點(diǎn)二　垂直平分線的性質(zhì)與判定
◇典例8：（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形區(qū)域是音樂廣場(chǎng)的一部分，現(xiàn)在要在這一區(qū)域內(nèi)建一個(gè)噴泉，要求噴泉到兩條道路，的距離相等，且到入口、的距離相等請(qǐng)確定噴泉的位置．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，4幅圖中的，，則下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A．圖丙中的基本作圖是過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線
B．在圖甲、圖乙、圖丙中，
C．圖甲中所作的三段弧的半徑是相同的
D．圖丁中
2．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，中，若，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例9：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，作直線，交邊于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E．連接．若，，則的度數(shù)為 ．

2．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接，則的度數(shù)為_____．
◇典例10：（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．連接．則的長(zhǎng)為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)在上，，為內(nèi)一點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)到的距離為 ．

2．（2022·湖南衡陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長(zhǎng)為_________．
■考點(diǎn)三　勾股定理與逆定理及其應(yīng)用
◇典例11：（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是 尺．

◆變式訓(xùn)練
1．（2022·湖北黃岡·中考真題）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是________（結(jié)果用含m的式子表示）．
2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為 ．（杯壁厚度不計(jì)）

3.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，小紅家購(gòu)置了一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的x至少為 （精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：）．

◇典例14：（2022·湖南永州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·廣東江門·校考一模）在學(xué)習(xí)完勾股定理后，小芳被“弦圖”深深地吸引了，她也設(shè)計(jì)了一個(gè)類似“弦圖”的圖案（如圖），主體是一個(gè)菱形，把菱形分割成四個(gè)兩兩全等的直角三角形和一個(gè)矩形，這四個(gè)直角三角形中有兩個(gè)是等腰直角三角形，另兩個(gè)三角形的兩直角邊分別是和，那么中間的矩形的面積是_____________．
◇典例13：（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，，，，則______________．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，和都是直角三角形，，，、相交于點(diǎn)，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．
2．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G．作射線交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)是 ．

3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為 ．

◇典例13：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
主題：制作無蓋正方體形紙盒； 素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，過的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長(zhǎng)可能為（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)四　直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算
◇典例15：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

◆變式訓(xùn)練
1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角的大面小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)， ．

◇典例16：（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．

(1)在斜邊上求作線段，使，連接；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）；(2)若，求的長(zhǎng)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·貴州遵義·中考真題）如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是 ．
◇典例17：（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點(diǎn)，則 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）如圖，在中，為斜邊上的中線，過點(diǎn)D作，連接，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·湖南永州·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（　　　）
A． B． C．2 D．4
1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．若，則的面積為（ ）

A．13 B． C．8 D．
3．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，重合），連接，．下列命題中，假命題是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
4．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
5．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，．作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
6．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則 ．（結(jié)果保留根號(hào)）

7．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為 ．

8．（2021·北京中考真題）《淮南子 天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)處的桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)處立一根桿．取的中點(diǎn)，那么直線表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）；
（2）在如圖中，確定了直線表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍瓿扇缦伦C明．
證明：在中，______________，是的中點(diǎn)，
（______________）（填推理的依據(jù)）．
∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?br/>9．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．

10．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．（1）線段的長(zhǎng)為 ；（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明） ．

11．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
1．（2023·河北邢臺(tái)·邢臺(tái)三中校考一模）如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不正確的是（ ）
A．由弧②可以判斷出 B．弧③和弧④所在圓的半徑相等
C．由弧①可以判斷出 D．的內(nèi)心和外心都在射線上

2．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖是一把圓規(guī)的平面示意圖，是支撐臂，是旋轉(zhuǎn)臂，已知，使用時(shí)，以點(diǎn)為支撐點(diǎn)，筆芯端點(diǎn)可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)作出圓．若支撐臂與旋轉(zhuǎn)臂的夾角，則圓規(guī)能畫出的圓的半徑長(zhǎng)度為( )
A． B． C． D．
3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．兩名同學(xué)提供了如下方案：
方案Ⅰ 方案Ⅱ
如圖1，①分別作，的垂直平分線，交于點(diǎn)P； ②選擇，，． 如圖2，①以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E； ②連接，．
對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（ ）．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
4．（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．2 B． C． D．3
5．（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）在中，比較與的大小關(guān)系時(shí)，小明同學(xué)用圓規(guī)設(shè)計(jì)了如圖的方案，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧，分別交，于點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)為 ．

7．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為 ．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則的周長(zhǎng)為 ______．
9．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為的外心，過點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點(diǎn)．（1）若，則的度數(shù)為 ；
（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，則的周長(zhǎng)為 ．

10．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)為射線上的定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），作線段的垂直平分線，分別交，于C，D，連接，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：；
(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段，和的關(guān)系，并證明．
11．（2022·福建泉州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在與中，，與相交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)連接，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為M，線段的中點(diǎn)分別為N，直線與相交于點(diǎn)F．求證：F，N，E，M四點(diǎn)共線．

12．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：線段及射線．
求作：等腰，使得點(diǎn)C在射線上．

作法一：如圖1，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接．
作法二：如圖2．
①在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)E，連接；
②以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于點(diǎn)F；
③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；
④作射線交射線于點(diǎn)C．
作法三：如圖3，
①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P，Q；
②作直線，交射線于點(diǎn)C，連接．根據(jù)以上三種作法，填空：
由作法一可知：______，∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．
由作法三可知；是線段的______．
∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．
1．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（　　）

A．56 B． C． D．
2．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
3．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在、上分別截取、，使，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，，則的長(zhǎng)為________．

4．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為 ．

5．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．

6．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在邊，上，滿足，與交于點(diǎn)F．
(1)求的度數(shù)；(2)以C為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，連接．①依題意補(bǔ)全圖形；②若，求k的值．

21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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