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第四章 三角形及四邊形
第三節 銳角三角函數及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 銳角三角函數 ☆☆ 銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,主要考查銳角三角函數的定義和特殊角的三角函數，尤其是應用主要在綜合題中考查，是考查重點，每年都有一道三角函數的綜合題，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型，分值為12分左右。預計2024年各地中考還將以選填題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵。
考點2 解直角三角形 ☆☆
考點3 解直角三角形的應用 ☆☆☆
■考點一　銳角三角函數
1）銳角三角函數的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）
2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
3）特殊角的三角函數值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【補充】表中是特殊角的三角函數值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數值，則可求出相應的銳角.
4）銳角三角函數的性質
當0°＜∠A＜90°時，sin A隨∠A的增大而增大 ；cos A隨∠A的增大而減小 ；tan A隨∠A的增大而增大 。
■考點二　解直角三角形
1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．
2）在解直角三角形的過程中，常用關系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關系：a2+b2=c2； （2）兩銳角關系：∠A+∠B=90°；
（3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．
■考點三　解直角三角形的應用
1）解直角三角形的相關的名詞、術語：
（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角。
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角。
（2）方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．
（3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．
坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2）解直角三角形實際應用的一般步驟：
（1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；
（2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；
（3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；
（4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．
3）測量物體的高度（距離）的常見模型：
（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）
解題方法：（已知條件：，求高m）這兩種模型中都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。
（2）測量底部可以到達的物體高度
解題方法：1）已知測量儀高m，水平距離n，角α，求高h；2）已知水平距離n，角α，角β，求高h=h1+h2；這兩種模型可結合水平距離和相應角度，用正切值解題。
（3）測量底部不可到達的物體的高度
注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余的三個未知元素（知二求三）；2）已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。
■易錯提示
1. 若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”，如 tan A、sin a、cos A；若銳角是用三個大寫英文字母或一個數字表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時，不能省略角的符號“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。
2. 銳角三角函數是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數的定義可知，其本質特征是兩條線段長的比。因此,銳角三角函數只有數值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關，而與它所在的三角形的邊長無關。
3. 根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形。
■考點一　銳角三角函數
◇典例1：（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）中，、、的對邊分別為、、．已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據余弦的定義可直接進行求解．
【詳解】解：由題意得：；故選C．
【點睛】本題主要考查余弦，熟練掌握求一個角的余弦值是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）在中，，，，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用勾股定理計算出，然后根據正弦的定義求解．
【詳解】解：，，，，．故選：D．
【點睛】本題考查正弦的定義，勾股定理，解題關鍵是掌握正弦的定義．
2．（2023·浙江校考一模）如圖，在中，，則 （ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了銳角三角函數的定義，正確把握邊角之間的關系是解題關鍵．直接利用勾股定理得出的值，再利用銳角三角函數關系得出答案．
【詳解】解：在中，，，，
，．故選：C．
◇典例2：（2023年青海省西寧市中考數學真題）在中，，，，則的長約為 ．（結果精確到．參考數據：，，）
【答案】
【分析】根據銳角三角函數的定義進行計算即可．
【詳解】解：在中，，，，

∵,∴，則，故選：
【點睛】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）在中，，則邊的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角形內角和定理可得，，再根據三角函數的定義，求解即可．
【詳解】解：由題意可得：，
∴為直角三角形，如下圖：

由三角函數的定義可得，，即
可得A選項符合題意，B、C、D選項不符合題意，故選：A
【點睛】此題考查了三角形內角和定理，三角函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義．
2．（2023·上海虹口·統考一模）如圖，在中，已知，，，那么的長為（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，正確理解銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵．先根據余弦的定義計算出，然后利用勾股定理計算出的長．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故選：A．
3．（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在中，，則的長為（ ）

A．4.5 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根據，可得，再把的長代入可以計算出的長，利用勾股定理即可求得．
【詳解】解：，，
，，．故選：C．
【點睛】此題考查銳角三角函數定義，關鍵掌握余弦：銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦．
◇典例3：（2023年廣東省深圳市中考數學真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數據：，）（ ）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【分析】根據特殊角三角函數值計算求解．
【詳解】，故選：B．
【點睛】本題考查特殊角三角函數值，掌握特殊角三角函數值是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·廣東清遠·統考二模）計算： ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了實數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握零指數冪運算法則，特殊角的三角函數值．
【詳解】解：．故答案為：．
2．（2023·廣東清遠·統考三模）計算：．
【答案】
【分析】本題考查了特殊角三角函數值的混合運算，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【詳解】解：原式
◇典例4：（2023·安徽·統考一模）在ABC中， ，則ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】結合題意，根據乘方和絕對值的性質，得，，從而得，，根據特殊角度三角函數的性質，得，；根據等腰三角形和三角形內角和性質計算，即可得到答案．
【詳解】解：∵∴，
∴，∴，∴，
∴，∴ABC一定是等腰直角三角形，故選：D．
【點睛】本題考查了絕對值、三角函數、三角形內角和、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握絕對值、三角函數的性質，從而完成求解．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇鹽城·校考一模）已知 ，則銳角的度數等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根據特殊角三角函數值，直接判斷的度數即可．
【詳解】解：，銳角的度數為，故選：C．
【點睛】本題考查了特殊角三角函數值，熟練掌握常見特殊角三角函數值是解題關鍵．
2．（2023·貴州·統考模擬預測）在中，若，都是銳角，且，，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】根據特殊角的三角函數值可判斷，，從而可求出，即證明的形狀是直角三角形．
【詳解】∵，都是銳角，且，，∴，，
∴，∴的形狀是直角三角形．故選D．
【點睛】本題考查由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀，三角形內角和定理．熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．
◇典例5：（2023·重慶·統考模擬預測）若，則下列說法不正確的是（ ）
A．隨的增大而增大 B．cos隨的減小而減小 C．tan隨的增大而增大 D．0【答案】B
【分析】如圖，作半徑為的，均為直徑， 都在上，利用銳角三角函數的定義分析可得答案．
【詳解】解：如圖，作半徑為的，均為直徑，
都在上， 由
顯然，＜，而＜，
所以當時，隨的增大而增大，故A正確；
同理可得：當時，cos隨的減小而增大，故B錯誤；
當時，tan隨的增大而增大，故C正確；
當，當點逐漸向移動，邊逐漸接近，逐漸接近
當時，0【點睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數的增減性是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·四川成都·校考模擬預測）比較大小： （填“”“”）．
【答案】
【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可．
【詳解】∵．
在銳角范圍內，隨的增大而增大，
∴，∴．故答案為：＜．
【點睛】本題考查三角函數值的大小比較，利用正弦余弦的關系進行大小比較即可．
2．（2023·上海靜安·校考一模）如果，那么與的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定
【答案】D
【分析】利用銳角三角函數的增減性分類討論，即可得到答案．
【詳解】解：當時，，
，，；
當時，，，，；
當，，，，，
綜上所述，與的差不能確定，故選：D．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性，解題關鍵是掌握在之間（不包括和），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變小．注意分類討論．
3．（2023·陜西西安·校考模擬預測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數在（ ）范圍內．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
【答案】B
【分析】，，由此判斷得到正確答案．
【詳解】解：∵，，
∴∴ 故選：
【點睛】本題考查根據銳角三角函數的數值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數值是關鍵．
■考點二　解直角三角形
◇典例6：（2023年湖南省益陽市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，有三點，，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，取格點D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．
【詳解】解：如圖，取格點D，連接，，則B在上，

∵，，，∴，，，
∴，∴；故選C
【點睛】本題考查的是坐標與圖形，等腰直角三角形的判定與性質，特殊角的三角函數值，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇泰州·統考一模）如圖，在的網格圖中，點A、B、C、D都在小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則的值是 ．

【答案】3
【分析】連接，先說明，然后利用相似三角形的性質得到，然后得到，進而利用勾股定理的逆定理證明出，然后利用直角三角形的邊角間的關系求解即可．
【詳解】連接，∵∴∴∴，即

∵，∴∴
∴在中，．故答案為：3．
【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
2．（2023·云南昆明·統考二模）在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，是格點三角形，則的值為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦的定義即可解答．
【詳解】解：如圖：，根據正弦的定義可得：．故選A．

【點睛】本題主要考查了正弦的定義，掌握正弦是直角三角形的對邊與斜邊之比成為解答本題的關鍵．
3．（2023·湖南株洲·校聯考三模）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則的值是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，圓的概念及性質，構造直角三角形是解題的關鍵．
連接并延長交于點，連接，則，利用勾股定理求解的長，再解直角三角形可求解．
【詳解】解：連接并延長交于點，連接，
則，
故答案為：．
◇典例7：（2023年浙江省杭州市中考數學真題）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，，連接．設，若正方形與正方形的面積之比為，則（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】設，，首先根據得到，然后表示出正方形的面積為，正方形的面積為，最后利用正方形與正方形的面積之比為求解即可．
【詳解】設，，∵，，
∴，即，∴，整理得，∴，
∵，∴，
∴正方形的面積為，∵正方形的面積為，
∵正方形與正方形的面積之比為，∴，∴解得．故選：C．
【點睛】此題考查勾股定理，解直角三角形，趙爽“弦圖”等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
◆變式訓練
1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）國際數學大會是全世界數學家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數學方面的成就，也弘揚了我國古代的數學文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么的值等于 ．

【答案】
【分析】根據已知可得大正方形的邊長和小正方形的邊長，再設三角形的長直角邊為a,短直角邊為b,從而可得a與b的關系式，進而可得a與b的長度，最后利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．
【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，
∴大正方形的邊長是5，小正方形的邊長是1，設三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，
由題意得：解得： ，故答案為：．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，數學常識，勾股定理的證明，熟練掌握銳角三角函數的定義，以及勾股定理是解題的關鍵．
2．（2023·浙江紹興·校聯考）如圖，用4個全等的直角三角形拼成正方形，并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中大正方形面積為，，則小正方形的面積為 ．

【答案】
【分析】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形；先設出直角三角形的邊長，然后根據“弦圖”中大正方形面積為，，可以求得三角形的三邊長，然后即可得到小正方形的邊長，從而可以求得小正方形的面積．
【詳解】解：設直角三角形長的直角邊長為，短的直角邊長為，斜邊為，
“弦圖”中大正方形面積為，，，解得，
小正方形的邊長為，小正方形的面積為，故答案為：．
◇典例8：（2023年山東省濟寧市中考數學真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則 ．

【答案】
【分析】過點A作于H，根據等邊三角形的性質可得，再由，可得，再根據，可得，從而可得，利用銳角三角函數求得，再由，求得，即可求得結果．
【詳解】解：過點A作于H，∵是等邊三角形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∵ ，
∴，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、銳角三角函數，熟練掌握等邊三角形的性質證明是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·浙江·校考二模）如圖，的半徑于點，連接并延長交于點，連接．若，，則為(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，過作于，根據垂徑定理求出，根據圓周角定理求出，根據勾股定理求出的半徑，求出，根據勾股定理求出，根據三角形的面積公式求出，根據勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．
【詳解】解：連接，過作于，設的半徑為，

，過，，，
由勾股定理得：，即，解得：，即，
為的直徑，，，
，，，解得：，
由勾股定理得： ，
，，故選：A．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，解直角三角形等知識點，能求出CE的長度是解此題的關鍵．
2．（2023·河北保定·校考一模）如圖已知中，，，將沿過點A的直線折疊，使點C落在斜邊上的點E處，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，求得，，由折疊的性質可知，，，，在中，由勾股定理得到 ，解得，根據正切的定義即可得到答案．
【詳解】解：設，∵中，，，∴，
∴，
由折疊的性質可知，，，，
在中，，則，
解得，∴，故選：A
【點睛】此題考查了折疊性質、勾股定理、求正切函數值、含角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握折疊性質、勾股定理是解題的關鍵．
3．（2023上·江蘇·九年級專題練習）已知正方形中，，點E為直線上一點，，連接．則的值為 ．
【答案】或
【分析】由正方形性質， ，，得；分情況討論：若點E在線段上，可求，，于是；若點E在線段延長線上，可求，，，于是．
【詳解】解：正方形中，，∴.
若點E在線段上，則
∴.∴.∴；
若點E在線段延長線上，則，∴.
∴.∴．
∴的值為或．
【點睛】本題考查正方形的性質，正弦的定義；根據正方形性質求解相關線段是解題的關鍵．
◇典例9：（2023年湖南省婁底市中考數學真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題利用三角函數間的關系和面積相等進行變形解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴即，
，，故選：A．
【點睛】本題考查等式利用等式的性質解題化簡，熟悉是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·云南昆明·校考三模）在中，，，則 ．
【答案】
【分析】根據一個角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【詳解】解：∵，，∴，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查三角函數的定義，由定義推出互余兩角的三角函數的關系：若，則是解題關鍵．
2．（2023·湖南婁底·統考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則 ．
【答案】
【分析】先根據求出，把變為，然后根據計算即可．
【詳解】解：如圖，在中，∵，∴．

∵，∴．∵為銳角，∴．
∵
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了三角函數的運算，正確理解所給計算公式是解答本題的關鍵．
3．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：在中， CD=asinB 在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數表示AD后，即可建立關聯并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數分別求出AE和BC，即可求解．
(1)證明：如圖2，過點作于點，
在中，，在中，，，；
(2)解：如圖3，過點作于點，，，，
在中，
又，即，，．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數的定義是解決問題的前提．
■考點三　解直角三角形的應用
◇典例10：（2023年山東省濟南市中考數學真題）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；
(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險 請說明理由．
（結果精確到，參考數據：，，，）
【答案】(1)車后蓋最高點到地面的距離為(2)沒有危險,詳見解析
【分析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；
（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．
【詳解】（1）如圖，作，垂足為點

在中∵，∴ ∴
∵平行線間的距離處處相等 ∴
答：車后蓋最高點到地面的距離為．
（2）沒有危險，理由如下：過作，垂足為點
∵，∴
∵∴
在中，∴．
∵平行線間的距離處處相等∴到地面的距離為．
∵ ∴沒有危險．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點O自由旋轉，當點A旋轉到如圖所示位置時，此時點B到水平地面的距離為 米．（結果保留根號）

【答案】/
【分析】過點作于點，過點作交于點，交于點，易得四邊形為矩形，分別解，，求出的長，利用進行求解即可．
【詳解】解：過點作于點，過點作交于點，交于點，

∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，
∵，，∴，在中，，，
∴；∴，
在中，，，∴；
∴（米）；故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定．解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形．
2．（2023年遼寧省錦州市中考數學真題）如圖1，是某校教學樓正廳一角處擺放的“教學樓平面示意圖”展板，數學學習小組想要測量此展板的最高點到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側面的截面圖，并測得，，，，底座四邊形為矩形，．請幫助該數學學習小組求出展板最高點A到地面的距離．（結果精確到．參考數據：，）

【答案】
【分析】過點A作于點G，與直線交于點H，過點B作于點M，過點D作于點N，分別解作出的直角三角形即可解答．
【詳解】解：如圖，過點A作于點G，與直線交于點H，過點B作于點M，過點D作于點N，

∴四邊形，四邊形均為矩形，∴，，，
∴，∴，
在中，，∵，
∴，
在中，，∵，
∴，∴，
∴，
答：展板最高點A到地面的距離為．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，正確作出輔助線構造出直角三角形，熟練通過解直角三角形求相應未知量是解題的關鍵．
◇典例11：（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）鄂州市蓮花山是國家級風景區，元明塔造型獨特，是蓮花山風景區的核心景點，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節，景區將舉行大型包粽子等節日慶祝活動．如圖2，景區工作人員小明準備從元明塔的點G處掛一條大型豎直條幅到點E處，掛好后，小明進行實地測量，從元明塔底部F點沿水平方向步行30米到達自動扶梯底端A點，在A點用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動扶梯到達扶梯頂端D點，測得點A和點D的水平距離為15米，且；然后他從D點又沿水平方向行走了45米到達C點，在C點測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點均在同一個平面內，且G，C，B共線，F，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動扶梯的長度；(2)求大型條幅的長度．（結果保留根號）
【答案】(1)25米(2)米
【分析】（1）過D作于M，由可得，求出的長，利用勾股定理即可求解；（2）過點D作于N，則四邊形是矩形，得，，由已知計算得出的長度，解直角三角形得出的長度，在中求得的長度，利用線段的和差，即可解決問題．
【詳解】（1）解：過D作于M，如圖：

在中，，∵(米)，∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如圖，過點D作于N，
∵，∴四邊形是矩形，
∴(米)，(米)，
由題意，(米)，
∵，∴，
∴(米)，（米），
由題意，，(米)，∴，
∴(米)，∴米
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題、勾股定理、矩形的判定與性質等知識，熟練掌握銳角三角函數定義，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年山東省日照市中考數學真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（ ）（結果精確到，參考數據：，）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，得出，設，則，，在中，根據正切得出，求解即可得出答案．
【詳解】解：在中，，，
設，則，，在中，，
，，燈塔的高度AD大約是．故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關鍵是弄清有關的直角三角形中的有關角的度數．
2．（2023年山東省泰安市中考數學真題）在一次綜合實踐活動中，某學校數學興趣小組對一電視發射塔的高度進行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為，后退（）到D處有一平臺，在高（）的平臺上的E處，測得B的仰角為．則該電視發射塔的高度為 ．（精確到．參考數據：）

【答案】55
【分析】如圖所示，過點E作于F，則四邊形是矩形，可得到；設，則，解得到，解得到，進而建立方程
，解方程即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點E作于F，由題意得，，
∴四邊形是矩形，∴，設，則，
在中，，∴，
在中，，∴，
∵，∴，∴，∴，故答案為：55．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定等等，正確理解題意作出輔助線是解題的關鍵．
3．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數學興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結果保留整數．參考數據：，，，）

【答案】銅像的高度是；
【分析】根據題意可得，從而求出，即可求解．
【詳解】解：由題意得：，，∴，
∵四邊形是矩形，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴銅像的高度是；
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，關鍵是求出．
◇典例12：（2023年山東省濰坊市中考數學真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資源，勘測發現位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結果保留根號）

【答案】千米
【分析】過點作于點，由垂線段最短可得的長即為所求，先求出，再根據等腰直角三角形的判定與性質可得，然后在中，解直角三角形可得的長，從而可得的長，最后利用含30度角的直角三角形的性質求解即可得．
【詳解】解：如圖，過點作于點，

由垂線段最短可知，的長即為所求，
由題意得：，千米，
，，，
，是等腰直角三角形，，
在中，千米，千米，
千米，在中，千米，
答：輸油管道的最短長度是千米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用、垂線段最短、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年內蒙古通遼市中考數學真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數）？（參考數據：．）

【答案】B處距離燈塔P大約有．
【分析】在中，求出的長，再在中，求出即可．
【詳解】解：設與燈塔P的正東方向相交于點C，
根據題意，得，，；
在中，∵，∴；
在中，，∵，∴，
答：B處距離燈塔P大約有．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用－方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想．
2．（2023年山東省聊城市中考數學真題）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠處的角樓、城門樓、龍堤、南關橋等景觀遙相呼應．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向處，南關橋C在城門樓B的正南方向處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東方向，南關橋C在南偏東方向（點A，B，C，P四點在同一平面內）．求明珠大劇院到龍堤的距離（結果精確到）．
（參考數據：，，，，，）

【答案】明珠大劇院到龍堤的距離為．
【分析】如圖，首先證明四邊形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，進而得出關于的方程，求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，由題意得，，，，，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，
∵，∴，即，
∵，∴，即，
∵，，
∴，解得：，∴，
答：明珠大劇院到龍堤的距離為．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，正確理解銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
◇典例13：（2023年山西省中考數學真題）2023年3月，水利部印發《母親河復蘇行動河湖名單（2022－2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選．在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某校“綜合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告．請根據活動報告計算和的長度（結果精確到．參考數據：，）．
課題 母親河駁岸的調研與計算
調查方式 資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解
功能 駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構筑物
駁岸剖面圖 相關數據及說明，圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，與均與地面平行，岸墻于點A，，，，，
計算結果
交流展示
【答案】的長約為的長約為．
【分析】過點作于點，延長交于點，首先根據的三角函數值求出，，然后得到四邊形是矩形，進而得到，然后在中利用的三角函數值求出，進而求解即可．
【詳解】解：過點作于點，延長交于點，

∴．
由題意得，在中，．
∴．∴．
由題意得，，四邊形是矩形．∴．
∵，∴．
∴在中，．
∵．∴．
∴，∴．
答：的長約為的長約為．
【點睛】本題是解直角三角形的應用，考查了矩形的判定與性質，解直角三角形，關鍵是理解坡度的含義，構造適當的輔助線便于在直角三角形中求得相關線段．
◆變式訓練
1．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為 米（結果精確到米）．

科學計算器按鍵順序 計算結果（已取近似值）



【答案】19.2米
【分析】如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，則四邊形為矩形，可得米，，．于是．解，得，從而（米），解中，（米）．于是（米）．
【詳解】解：如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，
則四邊形為矩形，∴米，．
∴．∴．

中，，（米）．
∴（米）．
中，，∴（米）．
∴（米）．故答案為：19.2米．
【點睛】本題考查解直角三角形；添加輔助線，構造直角三角形、矩形，從而運用三角函數求解線段是解題的關鍵．
2．（2023年湖北省中考數學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

【答案】斜坡的長約為10米
【分析】過點作于點，在中，利用正弦函數求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，
在中，，
．∴．
∵，∴在中，（米）．
答：斜坡的長約為10米．
【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
1．（2023年吉林省長春市中考數學真題）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根據余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.
【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書館，
，為直角三角形，（米）.故選：D.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，涉及到余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的概念.
2．（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
【答案】C
【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．
【詳解】解：如圖，作，，交的延長線于點E

∴，，∴，，
∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長可以是6，故選：C．
【點睛】本題考查了余弦，銳角三角形．解題的關鍵在于確定的取值范圍．
3．（2023年山東省淄博市中考數學真題）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數學家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀，是世界公認最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數學成就的一個重要標志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接，．若正方形與的邊長之比為，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設的長直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為x，由題意得，解得，即可求解．
【詳解】解：過點D作交的延長線于點N，
由題意可得，兩個正方形之間是4個相等的三角形，

設的長直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為x，
即，，，
由題意得，，解得，
在中，，則，
，則，
∴，故選：A．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用、正方形的性質及勾股定理，確定a、b和x之間的關系是解題的關鍵．
4.（2023年四川省自貢市中考數學真題）如圖，分別經過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，，得出的軌跡是圓，取點，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當與相切時，最大，則正弦值最大，據此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點作軸于點，則，
則的橫坐標為，縱坐標為，∴，
取點，則是的中位線，∴，
∵，∴點在半徑為的上運動，∵是的中位線，∴，
∴，當與相切時，最大，則正弦值最大，
在中，，
過點作軸，過點作于點，過點作于點， 則
∵與相切，∴，∴，
∴，∴，∴
設，,則∴ ∴
∴解得：∴
∴的最大值為，故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，求正弦，等邊三角形的性質。圓周角定理，得出點的軌跡是解題的關鍵．
5．（2023年江蘇省常州市中考數學真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則 ．

【答案】/
【分析】由題意可設，則，，在中求得，在中求出答案即可．
【詳解】解： ，，設，則，，
在中，由勾股定理得：，在中，．
【點睛】本題考查的是求銳角三角函數，解題關鍵是根據比值設未知數，表示出邊長從而求出銳角三角函數值．
6．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）如圖，標號為①，②，③，④的四個直角三角形和標號為⑤的正方形恰好拼成對角互補的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形，直角頂點E，F，G，H分別在邊上．（1）若，，則的長是 cm．（2）若，則的值是 ．
【答案】 4 3
【分析】（1）將和用表示出來，再代入，即可求出的長；
（2）由已知條件可以證明，從而得到，設，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，從而求出的值．
【詳解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，即，即，
∵，∴，故答案為：4；
（2）設，∵，∴可設，，
∵四邊形是正方形，∴，
∵和都是等腰直角三角形，∴，
∴，，
∵四邊形對角互補，∴，∴，
∵四邊形是正方形，∴，∴，
∴，∴，
∴，即，整理得：，
解得，（舍去），∴．故答案為：3．
【點睛】本題考查正方形的性質，等腰直角三角形的性質，三角函數定義，一元二次方程的解法等，弄清圖中線段間的關系是解題的關鍵．
7．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，若．，則 ．

【答案】5
【分析】利用矩形的性質及折疊的性質可得，，可得，，設，則，利用勾股定理可得，進而可得結果．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，
根據折疊可知，可知，，
則，在中，，則，
∴，則，設，則，
在中，，即：，解得：，即：，故答案為：5．
【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質、解直角三角形，靈活運用折疊的性質得到相等線段是解決問題的關鍵．
8．（2023年山東省青島市中考數學真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節能減排．某校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為，點O是的中點，是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，，．該校學生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬的長度．（結果精確到．參考數據：，，，）

【答案】
【分析】過點作于點，過點作于點，先證和均為等腰直角三角形，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，設，則，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的長．
【詳解】解：過點作于點，過點作于點，如圖，

依題意得：，，，
又和均為等腰直角三角形，，，
，，，
，，，四邊形為矩形，
，，，，
為等腰直角三角形，，設，則，
，，
在中，，即：，，解得：，
檢驗：是原方程的根．，
在等腰中，由勾股定理得：，
點為的中點，，答：太陽能電池板寬的長度約為．
【點睛】此題主要考查了解直角三角形，理解題意，正確的作出輔助線構造直角三角形的，靈活運用銳角三角函數及勾股定理進行計算是解答此題的關鍵．
9．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當他路過A，B兩點時，一架無人機從空中的C點處測得A，B兩點的俯角分別為30°和45°，，，，點A，B，C，D，E，F在同一平面內，CE是無人機到平路DF的距離，求CE的長．（結果精確到整數．參考數據：，，，）

【答案】的長約為
【分析】延長交于點，過點B作，垂足為G，可得，，從而，，設，則，分別在直角和直角中求出的長，最后利用平角定義可得，從而在中，求出的長，再利用線段的和差關系計算即可解答 ．
【詳解】解：如圖，延長交于點，過點B作，垂足為G，

由題意得：，，，，
設，，則，
在中，，
在中，，
，解得：，,
，，
在中，，，
，，的長約為．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，根據已知條件結合圖形添加適當的輔助線是解決問題的關鍵．
10．（2023年江蘇省宿遷市中考數學真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．
【應用拓展】小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數）．
【答案】[問題背景] ；[活動探究] ；[應用拓展]
【分析】[問題背景]根據反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動探究] 根據反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，運用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[應用拓展] 過點作于點，過點作于點，證，得，再由銳角三角函數定義得，設，，則，，進而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質得，即可解決問題．
【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，
，，，
，，，，解得；
[活動探究]如圖所示：
，，，，
，，，
，，解得；，，
，，
，，，
，，解得；；
[應用拓展] 如圖，過點作于點，過點作于點，
由題意得：，，，
，，即，
，，
，，即，
，，，
由題意得：，
，，，
設，，則，，
，，解得：（負值已舍去），
，，
，，同【問題背景】得：，
，，解得：，，
答：信號塔的高度約為．
【點睛】本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質、三角函數求線段長、勾股定理等知識，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測高、三角函數測高的方法步驟是解決問題的關鍵．
11．（2023年遼寧省營口市中考數學真題）為了豐富學生的文化生活，學校利用假期組織學生到素質教育基地A和科技智能館B參觀學習，學生從學校出發，走到C處時，發現A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老師將學生分成甲乙兩組，甲組前往A地，乙組前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，請求出甲組同學比乙組同學大約多走多遠的路程（參考數據：，）

【答案】甲組同學比乙組同學大約多走米的路程
【分析】過B點作于點D，根據題意有：，，，進而可得，，，結合直角三角形的知識可得（米），（米），（米），即有（米），問題隨之得解．
【詳解】如圖，過B點作于點D，

根據題意有：，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵（米），∴（米），
∵在中，，（米），∴（米），
∴（米），∴（米），
∴（米），即（米），
答：甲組同學比乙組同學大約多走米的路程．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用以及方位角的知識，正確理解方位角，是解答本題的關鍵．
12．（2023年湖南省常德市中考數學真題）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學小余，小陳同學先測量，根據測量結果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學算出結果（最后結果保留一位小數）．（參考數據：，，）

【答案】
【分析】方法一：過點作交的延長線于點，由平行四邊形的性質可得，進而求得，過點作于點，根據平行線的性質可得，進而求得，過作于點，根據等腰三角形三線合一可得，進而求得，利用求解即可；
方法二：過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，根據等腰三角形三線合一可得，進而求得，，過作于，根據平行線的性質可得，進而求得，根據求解即可．
【詳解】解：方法一：過點作交的延長線于點，

四邊形是平行四邊形，，，
，
過點作于點，由題意知，，，
又，，
過作于點，，，,
，靠背頂端點距地面高度為
；
方法二：如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，，，，
又，，，
，
過作于，由題意知，，，
又，，
靠背頂端點距地面高度為．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．
1．（2023·安徽·校聯考模擬預測）在中，所對的邊分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形內角和，含角的直角三角形的特征，三角形函數的應用，根據三角形內結合題意可得，再根據，得到，利用角的正弦即可得出結論．
【詳解】解：，又，即，可得，
所對的邊分別為，
，，，，，故選：B．
2．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知△ABC內接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使△ABC的面積S=BC h的最大，則h要最大，當高經過圓心時最大．
【詳解】解：當△ABC的高AD經過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，
如圖所示，
∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，
∴S△ABC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故選：D．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數的應用與三角形面積的求法．
3．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，的頂點都在正方形網格的格點上，則的值為 ．

【答案】
【分析】此題考查了求網格問題中銳角的三角函數值，掌握利用網格構造直角三角形、正切的定義是解決此題的關鍵．利用網格構造直角三角形，再找到對應的直角邊長，最后根據三角函數的意義求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作的延長線于點，
∴在中，，，∴．故答案為：．

4．（2022·湖南株洲·株洲二中校考一模）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是 ．

【答案】
【分析】如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形，根據正六邊形的內角為，設正六邊形的邊長為1，求得，根據正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對邊互相平行，且內角為，∴
過點作于，∴
設正六邊形的邊長為1，則，，
∴故答案為：．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．
5．（2023·四川·校考一模）在中，若，，都是銳角，則是 三角形．
【答案】等邊
【分析】根據非負數的性質分別求出∠A和∠B，繼而可判斷的形狀．
【詳解】解：∵，
∴，，∴，，
∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．
【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，非負數的性質，等邊三角形的判斷，解題關鍵是熟記特殊角的三角函數值．
6．（2023·廣東東莞·統考三模）如圖，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處．已知，，則 ．

【答案】6
【分析】由折疊可知，，進而得到，由同角的余角相等可得，則，在中，，以此即可求解．
【詳解】解：四邊形為矩形，，，，
根據折疊的性質可得，，，
，，
，，，
在中，，即，解得：．故答案為：6．
【點睛】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、解直角三角形，解題關鍵是利用矩形和折疊的性質推理論證得出，進而利用銳角三角函數解決問題．
7．（2023·重慶·中考模擬預測）在直角中，，，的角平分線交于點，且，斜邊的值是______．
【答案】
【分析】CD平分∠ACB，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據直角三角形的性質可求出，再根據銳角三角函數和勾股定理得到，求出的值即可．
【詳解】解：如圖，CD平分∠ACB，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，
∴DE＝DF，，
又，∴四邊形CEDF為正方形，，，
在中，，∵，，
，，，，即，
又，，∵在中，，∴，
∵在中，，∴，
，，，即（舍負），故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的關鍵．
8．（2023·安徽·模擬預測）某校九年級數學興趣小組為了測量校園附近一座小山的高度，組織了一次測量探究活動．如圖所示，先在小山的頂部豎直立著一根6米長的竹竿，小明與同學們在一段斜坡的坡腳處測得竹竿底端的仰角為，沿坡面向上走到處測得竹竿頂部的仰角為．已知山坡的坡度米，點與小山的底部在同一水平面上，求小山的高度．（測角器的高度忽略不計，結果取整數，參考數據：）
【答案】112米
【分析】過點作于點，過點分別作交的延長線于點于點．由四邊形為矩形，得．在中，設，則．由勾股定理解得，從而．在、和中，利用三角函數即可求解．
【詳解】解：過點作于點，過點分別作交的延長線于點于點．
四邊形為矩形，．在中，設，則．
，，解得，．
在中，設，．
在中，，，
．
在中，，，解得，
（米）．答：小山的高度約為112米．
【點睛】本題考查了矩形的判定及性質，勾股定理，解直角三角形以及等腰三角形的判定，熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵．
9．（2023·四川眉山·統考模擬預測）東坡泡菜文化廣場占地38畝，以泡菜產業為主題展示了眉山泡菜的歷史與文化．泡菜文化廣場上坐落著“天下第一菹壇“，它是中國泡菜城標志性雕塑．如圖，某校學生測量其高度（含底座），先在點處用測角儀測得其壇頂端的仰角為，再由點走8米到點處，測得其壇頂端的仰角為．已知、、三點在一條直線上，測角儀的高度米．求天下第一道菹壇的高．（參考數據：，，，結果保留整數）
【答案】天下第一菹壇的高為15米．
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造直角三角形，以及熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．過點作的垂線，垂足為點，易得米，米，根據，，得出，根據，求出米，結合米，即可求解，
【詳解】解：過點作的垂線，垂足為點，
由題意，知，，
，四邊形，四邊形和四邊形都是矩形，
米，米，
在中，，，，
在中，，（米，
，，即，解得（米，
米，米．答：天下第一菹壇的高為15米．
10．（2024·上海普陀·統考一模）如圖，小河的對岸有一座小山，小明和同學們想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻礙，無法直接從山腳B處測得山頂A的仰角，于是小明和同學們展開了如下的測量：第一步：從小河邊的C處測得山頂A的仰角為；
第二步：從C處后退30米，在D處測得山頂A的仰角為；第三步：測得小河寬BC為33米．
已知點B、C、D在同一水平線上，請根據小明測量的數據求山坡AB的坡度．
（參考數據：，，，，，）

【答案】山坡AB的坡度
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．過點A作，交的延長線于點H，根據正切的定義用表示出，進而出去，再求出，根據坡度的概念計算，得到答案．
【詳解】解：如圖，過點A作，交的延長線于點H，

在中，，∵，∴，
在中，，∵，∴，
∵，∴，解得：，
∴（米），∴，∴山坡的坡度為：．
1．（2023年四川省成都市數學中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則 ．

【答案】
【分析】過點作于，證明，得出，根據，得，設，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據正切的定義，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于，

∵平分交于點，∴,∴∴
∵折疊，∴，∴,
又∵∴∴∴
∵，，則，∴∴，，
∵設，，則，則，
∵∴
在中，；在中，
∴即解得：
∴，則
∴故答案為：．
【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
2．（2023年四川省廣元市中考真題數學試題）“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為： ，請利用公式計算；(2)求風葉的長度．

【答案】(1)(2)風葉的長度為米
【分析】（1）根據題中公式計算即可；（2）過點A作，連接，，先根據題意求出，再根據等腰對等邊證明，結合第一問的結論用三角函數即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
∴；
（2）解：過點A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，∴米，，
∵三片風葉兩兩所成的角為，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴米，
∵，，∴，由（1）得：，
∴米，∴米，
∵，，，∴四邊形是矩形，∴米，
∵三片風葉兩兩所成的角為，且三片風葉長度相等，∴，
∴米，∴風葉的長度為米．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，正確理解題意和作出輔助線是關鍵．
3．（2023年廣東廣州中考數學真題）如圖，是菱形的對角線．
(1)尺規作圖：將繞點A逆時針旋轉得到，點B旋轉后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，連接，；①求證：；②若，求的值．

【答案】(1)作法、證明見解答；(2)①證明見解答；②的值是．
【分析】（1）由菱形的性質可知，將繞點逆時針旋轉得到，也就是以為一邊在菱形外作一個三角形與全等，第三個頂點的作法是：以點為圓心，長為半徑作弧，再以點為圓心，長為半徑作弧，交前弧于點；
（2）①由旋轉得，，，則，，即可根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明；
②延長交于點，可證明，得，而，所以，由等腰三角形的“三線合一”得，則，設，，則，所以，，由勾股定理得，求得，則．
【詳解】（1）解：如圖1，就是所求的圖形．
．
（2）證明：①如圖2，由旋轉得，，，
，，，．
②如圖2，延長交于點，
，，，，，
，，
，，，設，，
，，，
，，解關于的方程得，
，，的值是．
【點睛】此題重點考查尺規作圖、旋轉的性質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．
4．（2022·四川自貢·中考真題）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：
(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心處，另一端系小重物．測量時，使支桿、量角器90°刻度線與鉛垂線相互重合（如圖①），繞點轉動量角器，使觀測目標與直徑兩端點共線（如圖②），此目標的仰角．請說明兩個角相等的理由．
(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學們在觀測點處測得頂端的仰角，觀測點與樹的距離為5米，點到地面的距離為1.5米；求樹高．（，結果精確到0.1米）(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端距離地面高度（如圖④），同學們討論，決定先在水平地面上選取觀測點 （在同一直線上），分別測得點的仰角，再測得間的距離，點 到地面的距離均為1.5米；求（用表示）．
【答案】(1)證明見解析(2)10.2米(3)米
【分析】（1）根據圖形和同角或等角的余角相等可以證明出結果；
（2）根據銳角三角函數和題意，可以計算出PH的長，注意最后的結果；
（3）根據銳角三角函數和題目中的數據，可以用含、m的式子表示出PH．
(1)證明：∵∴∴
(2)由題意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，
在Rt△POQ中tan∠POQ=∴
∴（米）故答案為：10.2米．
(3)由題意得：，
由圖得： ，
∴∴∴
∴米故答案為：米
【點睛】本題考查解直角三角形中的仰角、俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
5．（2023·湖南株洲·校考模擬預測）閱讀、理解、應用
研究間的角的三角函數，在初中我們學習過銳角的正弦余弦正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形是銳角，那么
為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：
設有一個角，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角的終邊上任取一點，它的橫坐標是，縱坐標是，終邊可以看作是將射線點O逆時針旋轉后所得到的．和原點的距離為（總是正的）然后把角的三角函數規定為：
（其中分別是點的橫、縱坐標）我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角的大小有關，四個比值的正、負取決于角的終邊所在的象限，而與點在角的終邊位置無關．
比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題， (1)如圖3，若，則角的三角函數值，其中取正值的是_______．(2)若角的終邊與直線重合，則________．
(3)若角是銳角，其終邊上一點且，則________．
(4)若，則的取值范圍是________．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由點在第四象限，推出，根據，即可判斷；（2）分兩種情形討論即可解決問題；
（3）如圖2中，作軸于E．求出的長，根據三角函數的定義即可解決問題；
（4）根據題意可得，根據，可得，再由，可得，從而得到，由此即可解決問題．
【詳解】（1）解：∵，∴點在第四象限，∴，
∵，∴，
∴取正值的是；故答案為：
（2）解：如圖1中，

①當點P在第一象限時，作軸于E．設，則，
∴．
②當點P在第三象限時，作軸于E．設，則，
∴．
綜上所述， 或；故答案為：或；
（3）解：如圖2中，作軸于E．
由題意， ，∴，
∴，∴；
（4）解：根據題意得：，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴．
【點睛】本題考查一次函數綜合題、三角函數的定義、解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數解決問題，屬于中考創新題目．
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第四章 三角形及四邊形
第三節 銳角三角函數及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 銳角三角函數 ☆☆ 銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,主要考查銳角三角函數的定義和特殊角的三角函數，尤其是應用主要在綜合題中考查，是考查重點，每年都有一道三角函數的綜合題，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型，分值為12分左右。預計2024年各地中考還將以選填題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵。
考點2 解直角三角形 ☆☆
考點3 解直角三角形的應用 ☆☆☆
■考點一　銳角三角函數
1）銳角三角函數的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 ．（其中：0＜∠A＜90°）
2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
3）特殊角的三角函數值
α sinα cosα tanα
30° . . .
45° . . .
60° . . .
【補充】表中是特殊角的三角函數值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數值，則可求出相應的銳角.
4）銳角三角函數的性質
當0°＜∠A＜90°時，sin A隨∠A的增大而 ；cos A隨∠A的增大而 ；tan A隨∠A的增大而 。
■考點二　解直角三角形
1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．
2）在解直角三角形的過程中，常用關系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關系： ； （2）兩銳角關系：∠A+∠B= ；
（3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A= ．
■考點三　解直角三角形的應用
1）解直角三角形的相關的名詞、術語：
（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做 。
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做 。
（2）方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做 ．
（3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的 ，記作i= ．
坡角：坡面與水平面的夾角叫做 ，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2）解直角三角形實際應用的一般步驟：
（1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；
（2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；
（3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；
（4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．
3）測量物體的高度（距離）的常見模型：
（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）
解題方法：（已知條件：，求高m）這兩種模型中都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。
（2）測量底部可以到達的物體高度
解題方法：1）已知測量儀高m，水平距離n，角α，求高h；2）已知水平距離n，角α，角β，求高h=h1+h2；這兩種模型可結合水平距離和相應角度，用正切值解題。
（3）測量底部不可到達的物體的高度
注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余的三個未知元素（知二求三）；2）已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。
■易錯提示
1. 若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”，如 tan A、sin a、cos A；若銳角是用三個大寫英文字母或一個數字表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時，不能省略角的符號“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。
2. 銳角三角函數是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數的定義可知，其本質特征是兩條線段長的比。因此,銳角三角函數只有數值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關，而與它所在的三角形的邊長無關。
3. 根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形。
■考點一　銳角三角函數
◇典例1：（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）中，、、的對邊分別為、、．已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·湖南衡陽·校考模擬）在中，，，，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江校考一模）如圖，在中，，則 （ ）

A． B． C． D．
◇典例2：（2023年青海省西寧市中考數學真題）在中，，，，則的長約為 ．（結果精確到．參考數據：，，）
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）在中，，則邊的長是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·統考一模）如圖，在中，已知，，，那么的長為（ ）
A． B． C．4 D．5
3．（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在中，，則的長為（ ）

A．4.5 B．5 C． D．
◇典例3：（2023年廣東省深圳市中考數學真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數據：，）（ ）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J
◆變式訓練
1．（2023·廣東清遠·統考二模）計算： ．
2．（2023·廣東清遠·統考三模）計算：．
◇典例4：（2023·安徽·統考一模）在ABC中， ，則ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
◆變式訓練
1.（2023·江蘇鹽城·校考一模）已知 ，則銳角的度數等于（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023·貴州·統考模擬預測）在中，若，都是銳角，且，，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形
◇典例5：（2023·重慶·統考模擬預測）若，則下列說法不正確的是（ ）
A．隨的增大而增大 B．cos隨的減小而減小 C．tan隨的增大而增大 D．0◆變式訓練
1．（2023·四川成都·校考模擬預測）比較大小： （填“”“”）．
2．（2023·上海靜安·校考一模）如果，那么與的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定
3．（2023·陜西西安·校考模擬預測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數在（ ）范圍內．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
■考點二　解直角三角形
◇典例6：（2023年湖南省益陽市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，有三點，，，則（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇泰州·統考一模）如圖，在的網格圖中，點A、B、C、D都在小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則的值是 ．

2．（2023·云南昆明·統考二模）在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，是格點三角形，則的值為（ ）．

A． B． C． D．
3．（2023·湖南株洲·校聯考三模）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點A，B，O在網格線的交點上，則的值是 ．
◇典例7：（2023年浙江省杭州市中考數學真題）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，，連接．設，若正方形與正方形的面積之比為，則（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
◆變式訓練
1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）國際數學大會是全世界數學家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數學方面的成就，也弘揚了我國古代的數學文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么的值等于 ．

2．（2023·浙江紹興·校聯考）如圖，用4個全等的直角三角形拼成正方形，并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中大正方形面積為，，則小正方形的面積為 ．

◇典例8：（2023年山東省濟寧市中考數學真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則 ．

◆變式訓練
1．（2023·浙江·校考二模）如圖，的半徑于點，連接并延長交于點，連接．若，，則為(　　)

A． B． C． D．
2．（2023·河北保定·校考一模）如圖已知中，，，將沿過點A的直線折疊，使點C落在斜邊上的點E處，的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江蘇·九年級專題練習）已知正方形中，，點E為直線上一點，，連接．則的值為 ．
◇典例9：（2023年湖南省婁底市中考數學真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的一個結論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·云南昆明·校考三模）在中，，，則 ．
2．（2023·湖南婁底·統考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則 ．
3．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：在中， CD=asinB 在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
■考點三　解直角三角形的應用
◇典例10：（2023年山東省濟南市中考數學真題）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；
(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險 請說明理由．
（結果精確到，參考數據：，，，）
◆變式訓練
1．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點O自由旋轉，當點A旋轉到如圖所示位置時，此時點B到水平地面的距離為 米．（結果保留根號）

2．（2023年遼寧省錦州市中考數學真題）如圖1，是某校教學樓正廳一角處擺放的“教學樓平面示意圖”展板，數學學習小組想要測量此展板的最高點到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側面的截面圖，并測得，，，，底座四邊形為矩形，．請幫助該數學學習小組求出展板最高點A到地面的距離．（結果精確到．參考數據：，）

◇典例11：（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）鄂州市蓮花山是國家級風景區，元明塔造型獨特，是蓮花山風景區的核心景點，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節，景區將舉行大型包粽子等節日慶祝活動．如圖2，景區工作人員小明準備從元明塔的點G處掛一條大型豎直條幅到點E處，掛好后，小明進行實地測量，從元明塔底部F點沿水平方向步行30米到達自動扶梯底端A點，在A點用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動扶梯到達扶梯頂端D點，測得點A和點D的水平距離為15米，且；然后他從D點又沿水平方向行走了45米到達C點，在C點測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點均在同一個平面內，且G，C，B共線，F，A，B共線，G、E、F共線，，）．
(1)求自動扶梯的長度；(2)求大型條幅的長度．（結果保留根號）

◆變式訓練
1．（2023年山東省日照市中考數學真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（ ）（結果精確到，參考數據：，）

A． B． C． D．
2．（2023年山東省泰安市中考數學真題）在一次綜合實踐活動中，某學校數學興趣小組對一電視發射塔的高度進行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為，后退（）到D處有一平臺，在高（）的平臺上的E處，測得B的仰角為．則該電視發射塔的高度為 ．（精確到．參考數據：）

3．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數學興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結果保留整數．參考數據：，，，）

◇典例12：（2023年山東省濰坊市中考數學真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資源，勘測發現位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結果保留根號）

◆變式訓練
1．（2023年內蒙古通遼市中考數學真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數）？（參考數據：．）

2．（2023年山東省聊城市中考數學真題）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠處的角樓、城門樓、龍堤、南關橋等景觀遙相呼應．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向處，南關橋C在城門樓B的正南方向處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東方向，南關橋C在南偏東方向（點A，B，C，P四點在同一平面內）．求明珠大劇院到龍堤的距離（結果精確到）．
（參考數據：，，，，，）

◇典例13：（2023年山西省中考數學真題）2023年3月，水利部印發《母親河復蘇行動河湖名單（2022－2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選．在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某校“綜合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告．請根據活動報告計算和的長度（結果精確到．參考數據：，）．
課題 母親河駁岸的調研與計算
調查方式 資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解
功能 駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構筑物
駁岸剖面圖 相關數據及說明，圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，與均與地面平行，岸墻于點A，，，，，
計算結果
交流展示
◆變式訓練
1．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為 米（結果精確到米）．

科學計算器按鍵順序 計算結果（已取近似值）



2．（2023年湖北省中考數學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

1．（2023年吉林省長春市中考數學真題）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
3．（2023年山東省淄博市中考數學真題）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數學家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀，是世界公認最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數學成就的一個重要標志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接，．若正方形與的邊長之比為，則等于（ ）

A． B． C． D．
4.（2023年四川省自貢市中考數學真題）如圖，分別經過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023年江蘇省常州市中考數學真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則 ．

6．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）如圖，標號為①，②，③，④的四個直角三角形和標號為⑤的正方形恰好拼成對角互補的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形，直角頂點E，F，G，H分別在邊上．（1）若，，則的長是 cm．（2）若，則的值是 ．
7．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，若．，則 ．

8．（2023年山東省青島市中考數學真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節能減排．某校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為，點O是的中點，是燈桿．地面上三點D，E與C在一條直線上，，．該校學生在D處測得電池板邊緣點B的仰角為，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為．此時點A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬的長度．（結果精確到．參考數據：，，，）

9．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當他路過A，B兩點時，一架無人機從空中的C點處測得A，B兩點的俯角分別為30°和45°，，，，點A，B，C，D，E，F在同一平面內，CE是無人機到平路DF的距離，求CE的長．（結果精確到整數．參考數據：，，，）

10．（2023年江蘇省宿遷市中考數學真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．
【應用拓展】小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數）．
11．（2023年遼寧省營口市中考數學真題）為了豐富學生的文化生活，學校利用假期組織學生到素質教育基地A和科技智能館B參觀學習，學生從學校出發，走到C處時，發現A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老師將學生分成甲乙兩組，甲組前往A地，乙組前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，請求出甲組同學比乙組同學大約多走多遠的路程（參考數據：，）

12．（2023年湖南省常德市中考數學真題）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學小余，小陳同學先測量，根據測量結果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學算出結果（最后結果保留一位小數）．（參考數據：，，）

1．（2023·安徽·校聯考模擬預測）在中，所對的邊分別為，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知△ABC內接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，的頂點都在正方形網格的格點上，則的值為 ．

4．（2022·湖南株洲·株洲二中校考一模）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是 ．

5．（2023·四川·校考一模）在中，若，，都是銳角，則是 三角形．
6．（2023·廣東東莞·統考三模）如圖，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處．已知，，則 ．

7．（2023·重慶·中考模擬預測）在直角中，，，的角平分線交于點，且，斜邊的值是______．
8．（2023·安徽·模擬預測）某校九年級數學興趣小組為了測量校園附近一座小山的高度，組織了一次測量探究活動．如圖所示，先在小山的頂部豎直立著一根6米長的竹竿，小明與同學們在一段斜坡的坡腳處測得竹竿底端的仰角為，沿坡面向上走到處測得竹竿頂部的仰角為．已知山坡的坡度米，點與小山的底部在同一水平面上，求小山的高度．（測角器的高度忽略不計，結果取整數，參考數據：）
9．（2023·四川眉山·統考模擬預測）東坡泡菜文化廣場占地38畝，以泡菜產業為主題展示了眉山泡菜的歷史與文化．泡菜文化廣場上坐落著“天下第一菹壇“，它是中國泡菜城標志性雕塑．如圖，某校學生測量其高度（含底座），先在點處用測角儀測得其壇頂端的仰角為，再由點走8米到點處，測得其壇頂端的仰角為．已知、、三點在一條直線上，測角儀的高度米．求天下第一道菹壇的高．（參考數據：，，，結果保留整數）
10．（2024·上海普陀·統考一模）如圖，小河的對岸有一座小山，小明和同學們想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻礙，無法直接從山腳B處測得山頂A的仰角，于是小明和同學們展開了如下的測量：第一步：從小河邊的C處測得山頂A的仰角為；
第二步：從C處后退30米，在D處測得山頂A的仰角為；第三步：測得小河寬BC為33米．
已知點B、C、D在同一水平線上，請根據小明測量的數據求山坡AB的坡度．
（參考數據：，，，，，）

1．（2023年四川省成都市數學中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則 ．

2．（2023年四川省廣元市中考真題數學試題）“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為： ，請利用公式計算；(2)求風葉的長度．

3．（2023年廣東廣州中考數學真題）如圖，是菱形的對角線．
(1)尺規作圖：將繞點A逆時針旋轉得到，點B旋轉后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，連接，；①求證：；②若，求的值．

4．（2022·四川自貢·中考真題）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：
(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心處，另一端系小重物．測量時，使支桿、量角器90°刻度線與鉛垂線相互重合（如圖①），繞點轉動量角器，使觀測目標與直徑兩端點共線（如圖②），此目標的仰角．請說明兩個角相等的理由．
(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學們在觀測點處測得頂端的仰角，觀測點與樹的距離為5米，點到地面的距離為1.5米；求樹高．（，結果精確到0.1米）(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端距離地面高度（如圖④），同學們討論，決定先在水平地面上選取觀測點 （在同一直線上），分別測得點的仰角，再測得間的距離，點 到地面的距離均為1.5米；求（用表示）．
5．（2023·湖南株洲·校考模擬預測）閱讀、理解、應用
研究間的角的三角函數，在初中我們學習過銳角的正弦余弦正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形是銳角，那么
為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：
設有一個角，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角的終邊上任取一點，它的橫坐標是，縱坐標是，終邊可以看作是將射線點O逆時針旋轉后所得到的．和原點的距離為（總是正的）然后把角的三角函數規定為：
（其中分別是點的橫、縱坐標）我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角的大小有關，四個比值的正、負取決于角的終邊所在的象限，而與點在角的終邊位置無關．
比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題， (1)如圖3，若，則角的三角函數值，其中取正值的是_______．(2)若角的終邊與直線重合，則________．
(3)若角是銳角，其終邊上一點且，則________．
(4)若，則的取值范圍是________．
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