資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時04)§1.1等腰三角形（4）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解等邊三角形的判定定理和直角三角形的特殊性質(zhì)的內(nèi)容，并能應(yīng)用；
【學(xué)習(xí)重難點】等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用．
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
1.等邊三角形有哪些性質(zhì)？
(1)等邊三角形的三邊都____；
(2)等邊三角形的三個內(nèi)角都____，并且每個角都等于____°；
(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有____條對稱軸，分別為____________________；
(4)各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線____，且長度____．
2.在△ABC中，若∠B=∠C,則這個三角形是____三角形，這一定理可簡稱為____________.
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中點，那么∠AMC＝____，∠BAM＝____.
二.探究新知
探究一：等邊三角形的判定.
除了通過等邊三角形的定義外，還有其他方法來判斷一個三角形是否為等邊三角形？
思考：（1）一個三角形的三個角滿足什么條件時，這個三角形是等邊三角形？
猜想1：____________的三角形是等邊三角形.
驗證：如圖1畫一個三角形，使每一個角都等60°，用刻度尺量一量，三邊是否相等.
已知：在△ABC中，____________
求證：△ABC是________.
證明：∵____________∴AB=AC=BC(____________________)
∴△ABC是等邊三角形
判定定理1:____________的三角形是等邊三角形.
符號語言：在△ABC中，∵____________∴△ABC為等邊三角形
思考：（2）一個等腰三角形的某個角度滿足什么條件時，這個等腰三角形是等邊三角形？
猜想2：____________的等腰三角形是等邊三角形。
驗證：如圖2,將圓規(guī)的兩只腳張開到60°，放在紙面上，量一量兩只腳尖間的距離是否等于兩腳的長.
已知：在△ABC中，AB＝AC，________
求證：△ABC是________.
證明：∵AB＝AC，________，∴____=____=60°
∴△ABC是________.（________）
判定定理2:____________的等腰三角形是等邊三角形.
符號語言：在△ABC中，∵____________，∴△ABC為等邊三角形.
探究二：含有30 角的直角三角形性質(zhì)及其證明
將兩個含有30°的三角尺如圖3擺放在一起你能借助這個圖形,找到Rt△ABC
的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎
發(fā)現(xiàn)：在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊____________.
已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB
證明：如圖4，延長BC至點D,使CD=BC,連接AD.
∵∠ACB=∠ACD=____°，AC=AC∴△ABC≌________(____)
∴AB=____(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵∠B=60°∴△ABD是________.
（_______________),∴BC=____BD=____AB
定理：在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊________.
符號語言：在Rt△ABC中,∠C=90°,∵________，∴________
推論：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°則有BC:AC:AB=________.
三.典例與練習(xí)
例1.如圖5,等邊三角形ABC,以下三種方法分別得到的三角形ADE都是等邊三角形嗎？為什么？
（1）在邊AB，AC，分別截取AD=AE
（2）∠ADE=60°，D，E分別在邊AB，AC上
（3）過邊AB上D點，作DE∥BC，交AC于E點
解：（1）____，理由________________________________________。
（2）____，____________________________________________________。
（3）____，_______________________________________________________。
練習(xí)1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為____cm.
例2.如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的長.
解：在Rt△ABC，∠B=30°∵BD=AD，∴∠B=____=____∴∠ADC=____.
∵∠C=90°,∴∠DAC=____.在Rt△ADC中,∠DAC=____∴CD=____AD
(________________________________________________________________________).
∵BD=AD=12,∴CD=____.
練習(xí)2.求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.
已知：如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求證：CD＝0.5AB
證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝____＝____(________).
∴∠DAC＝____＝____.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝____AC
(________________________________________________________________________).
∴CD=____AB.
四.課堂小結(jié)
1.判斷等邊三角形的三種方法：
①定義：________都相等的三角形是等邊三角形.
②判定定理1：________都相等的三角形是等邊三角形.
③判定定理2.有一個角等于60°的____三角形是等邊三角形.
2.特殊直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊____________.
五.分層過關(guān)
1.在△ABC中，BC=AC，若________（只填一種情況），則△ABC是等邊三角形。
2.如圖8，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為( 　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD
3.如圖9已知等邊三角形ABC的邊長為12，D是AB上的動點，過D作DE⊥AC于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FG⊥AB于點G.當(dāng)G與D重合時，AD的長是( 　)
A．3 B．4 C．8 D．9
4.如圖10，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為D，E，如果AB=8cm，則BE=____cm，
∠BDE=____.
5.如圖11，在△ABC中，AB=AC，點D在△ABC內(nèi)，BD=BC，∠DBC=60°，點E在△ABC外，∠BCE=150°，
∠ABE=60°．（1）則∠ADB=____；
（2）判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）連接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的長．
圖1
圖2
圖3
圖4
E
D
圖5
圖6
圖7
圖9
圖8
圖10
圖11
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時04)§1.1等腰三角形（4）
一.選擇題：
1.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,則△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.不等邊三角形 D.不能確定
2.關(guān)于等邊三角形的說法:
(1)等邊三角形有三條對稱軸;(2)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形;
(3)有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形;(4)等邊三角形兩邊上中線相等.
其中正確的說法有(　 　)
A.1個　　　　B.2個　　　　C.3個　　　　D.4個
3.如圖1,E是等邊△ABC中AC邊上的點,∠1=∠2,BE=CD,則△ADE的形狀是(　 　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.不等邊三角形 D.不能確定形狀
4.如圖2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是(　 　)
A．3.5　　 B．4.2　　 C．5.8　　 D．7
5.如圖3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 3個以上
二.填空題：
6.如圖4，△ABC中，AD為角平分線，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，則CD的長度為___．
7.如圖5，在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=60°，AC=10，則BC=____ ．
8．如圖6，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， 如果∠BAC的平分線AD=6， 那么∠B=___°．
9.如圖7，已知△ABC和△BDE均為等邊三角形，且A、B、E三點共線，連接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠AEC=___．
10.如圖8，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP＝8，M、N分別是射線OA和OB上的動點，若△PMN周長的最小值為8，則∠AOB＝___．
三.解答題：
11.如圖9，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動．設(shè)運動時間為：t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BQP的形狀，并說明理由．
12.已知：如圖10，等邊△ABC中，D、E分別在BC、AC邊上運動，且始終保持BD=CE，點D、E始終不與等邊△ABC的頂點重合．連接AD、BE，AD、BE交于點F．
（1）寫出在運動過程中始終全等的三角形，并選擇其中一組證明；
（2）運動過程中，∠BFD的度數(shù)是否會改變？如果改變，請說明理由；如果不變，求出∠BFD的度數(shù)，再說明理由．
（3）直接寫出運動過程中，AE、AB、BD三條線段長度之間的等量關(guān)系．
圖4
圖3
圖1
圖2
圖8
圖5
圖6
圖7
圖9
圖10
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時04)§1.1等腰三角形（4）
一.選擇題：
1.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,則△ABC是(B)
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.不等邊三角形 D.不能確定
2.關(guān)于等邊三角形的說法:
(1)等邊三角形有三條對稱軸;(2)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形;
(3)有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形;(4)等邊三角形兩邊上中線相等.
其中正確的說法有(　D　)
A.1個　　　　B.2個　　　　C.3個　　　　D.4個
3.如圖1,E是等邊△ABC中AC邊上的點,∠1=∠2,BE=CD,則△ADE的形狀是(　B　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.不等邊三角形 D.不能確定形狀
4.如圖2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是(　D　)
A．3.5　　 B．4.2　　 C．5.8　　 D．7
5.如圖3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（ D）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 3個以上
二.填空題：
6.如圖4，△ABC中，AD為角平分線，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，則CD的長度為4．
7.如圖5，在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=60°，AC=10，則BC=____ ．
8．如圖6，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， 如果∠BAC的平分線AD=6， 那么∠B=30°．
9.如圖7，已知△ABC和△BDE均為等邊三角形，且A、B、E三點共線，連接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠AEC=21°．
10.如圖8，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP＝8，M、N分別是射線OA和OB上的動點，若△PMN周長的最小值為8，則∠AOB＝30°．
三.解答題：
11.如圖9，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動．設(shè)運動時間為：t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BQP的形狀，并說明理由．
解：△BPQ是等邊三角形，
當(dāng)t＝2時，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴BQ＝BP．
又∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴△BPQ是等邊三角形．
12.已知：如圖10，等邊△ABC中，D、E分別在BC、AC邊上運動，且始終保持BD=CE，點D、E始終不與等邊△ABC的頂點重合．連接AD、BE，AD、BE交于點F．
（1）寫出在運動過程中始終全等的三角形，并選擇其中一組證明；
（2）運動過程中，∠BFD的度數(shù)是否會改變？如果改變，請說明理由；如果不變，求出∠BFD的度數(shù)，再說明理由．
（3）直接寫出運動過程中，AE、AB、BD三條線段長度之間的等量關(guān)系．
解（1）△ACD≌△BAE，△ABD≌△BCE；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=BCA=BAC=60°，
∵BD=CE，∴CD=AE，
在△ACD和BAE中，
，∴△ACD≌BAE（SAS）；
（2）∠BFD的度數(shù)不變；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°，∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°，
∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，∴∠AFB=120°，
∵∠BFD+∠AFB=180°，∴∠BFD=60°∴∠BFD的度數(shù)不變；
（3）∵AB=BC=AC，BD=CE，CD=AE，∴AE+BD=AE+CE=AC=AB，∴AE+BD=AB．
圖4
圖3
圖1
圖2
圖8
圖5
圖6
圖7
圖9
圖10
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時04)§1.1等腰三角形（4）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解等邊三角形的判定定理和直角三角形的特殊性質(zhì)的內(nèi)容，并能應(yīng)用；
【學(xué)習(xí)重難點】等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用．
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
1.等邊三角形有哪些性質(zhì)？
(1)等邊三角形的三邊都相等；
(2)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°；
(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；
(4)各邊上的高、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等．
2.在△ABC中，若∠B=∠C,則這個三角形是等腰三角形，這一定理可簡稱為等角對等邊.
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中點，那么∠AMC＝90°，∠BAM＝20°.
二.探究新知
探究一：等邊三角形的判定.
除了通過等邊三角形的定義外，還有其他方法來判斷一個三角形是否為等邊三角形？
思考：（1）一個三角形的三個角滿足什么條件時，這個三角形是等邊三角形？
猜想1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.
驗證：如圖1畫一個三角形，使每一個角都等60°，用刻度尺量一量，三邊是否相等.
已知：在△ABC中，∠B=∠C=∠A，
求證：△ABC是等邊三角形.
證明：∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(在同一個三角形中等角對等邊)
∴△ABC是等邊三角形
判定定理1:三個角都相等的三角形是等邊三角形.
符號語言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C∴△ABC為等邊三角形
思考：（2）一個等腰三角形的某個角度滿足什么條件時，這個等腰三角形是等邊三角形？
猜想2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。
驗證：如圖2,將圓規(guī)的兩只腳張開到60°，放在紙面上，量一量兩只腳尖間的距離是否等于兩腳的長.
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A=60°
求證：△ABC是等邊三角形
證明：∵AB＝AC，∠A=60°，∴∠B=∠C=60°
∴△ABC是等邊三角形.（判定定理1）
判定定理2:有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.
符號語言：在△ABC中，∵AB＝AC，∠A=60°，∴△ABC為等邊三角形.
探究二：含有30 角的直角三角形性質(zhì)及其證明
將兩個含有30°的三角尺如圖3擺放在一起你能借助這個圖形,找到Rt△ABC
的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎
發(fā)現(xiàn)：在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊斜邊的一半.
已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB
證明：如圖4，延長BC至點D,使CD=BC,連接AD.
∵∠ACB=∠ACD=90°，AC=AC∴△ABC≌△ADC(SAS)
∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵∠B=60°∴△ABD是等邊三角形
（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形),∴BC=BD=AB
定理：在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊斜邊的一半.
符號語言：在Rt△ABC中,∠C=90°,∵∠A=30°，∴BC=AB
推論：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°則有BC:AC:AB=1：：2.
三.典例與練習(xí)
例1.如圖5,等邊三角形ABC,以下三種方法分別得到的三角形ADE都是等邊三角形嗎？為什么？
（1）在邊AB，AC，分別截取AD=AE
（2）∠ADE=60°，D，E分別在邊AB，AC上
（3）過邊AB上D點，作DE∥BC，交AC于E點
解：（1）是，理由有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形。
（2）是，由∠ADE=60°可得，三角形的三個角均為60°，是等邊三角形。
（3）是，由DE∥BC知三角形ADE的三個角均為60°，是等邊三角形。
練習(xí)1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為9cm.
例2.如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的長.
解：在Rt△ABC，∠B=30°∵BD=AD，∴∠B=∠BAD=30°∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,∠DAC=30°∴CD=0.5AD
(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).
∵BD=AD=12,∴CD=6.
練習(xí)2.求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.
已知：如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求證：CD＝0.5AB
證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝0.5AC
(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).
∴CD=0.5AB.
四.課堂小結(jié)
1.判斷等邊三角形的三種方法：
①定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
②判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.
③判定定理2.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.
2.特殊直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊斜邊的一半.
五.分層過關(guān)
1.在△ABC中，BC=AC，若∠A=60°（只填一種情況），則△ABC是等邊三角形。
2.如圖8，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(　B　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD
3.如圖9已知等邊三角形ABC的邊長為12，D是AB上的動點，過D作DE⊥AC于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FG⊥AB于點G.當(dāng)G與D重合時，AD的長是(　C　)
A．3 B．4 C．8 D．9
4.如圖10，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分別為D，E，如果AB=8cm，則BE=2 cm，
∠BDE=30°.
5.如圖11，在△ABC中，AB=AC，點D在△ABC內(nèi)，BD=BC，∠DBC=60°，點E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．（1）則∠ADB=150°；
（2）判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）連接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的長．
解（2）解：結(jié)論：△ABE是等邊三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
EMBED Equation.DSMT4 ，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．
（3）解：連接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，∴EC=DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4．
圖1
圖2
圖3
圖4
D
E
D
圖5
圖6
圖7
圖9
圖8
圖10
圖11
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑