資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
(總課時(shí)08)§1.3線段的垂直平分線（2）
一.選擇題：
1.點(diǎn)O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，OA＝8，則OA＋OB＋OC的值是( )
A. 11 B. 16 C. 24 D. 64
2.有一塊三角形草坪，要在草坪上建一座涼亭，使涼亭到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則涼亭的選址有( )
A. 1處 B. 2處 C. 3處 D. 4處
3.如圖1，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC＝8cm，AB＝10cm，則△EBC的周長(zhǎng)為（ ）
A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm
4.如圖2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）．
A.19cm B.18cm C.17cm D.16cm
5.如圖3，在四邊形ABCD中，AE，AF分別是BC，CD的垂直平分線，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，則∠ADC的度數(shù)為( )A．45° B．60° C．80° D．100°
二.填空題：
6.如圖4，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，連接EC，則∠AEC的度數(shù)是_____度．
7.在△ABC中，AB，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，那么P點(diǎn)必定在BC的________，且PA＝___＝____.
8.如圖5，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD,則∠ABD=___．
9.如圖6，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若點(diǎn)P是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
三.解答題：
10.如圖7，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；
（2）若△ABC周長(zhǎng)13cm，AC＝6cm，求DC長(zhǎng)．
11.如圖8.1，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，8），B(4，0），AB的垂直平分線交y軸與點(diǎn)D，連接BD，M(a,1)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)．
（1）則點(diǎn)D坐標(biāo)________；（2）S△DBC=S△DBM時(shí)，則a=____；
（3）如圖8.2，點(diǎn)E為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8.1
圖8.2
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(總課時(shí)08)§1.3線段的垂直平分線（2）
一.選擇題：
1.點(diǎn)O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，OA＝8，則OA＋OB＋OC的值是( C )
A. 11 B. 16 C. 24 D. 64
2.有一塊三角形草坪，要在草坪上建一座涼亭，使涼亭到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則涼亭的選址有(A)
A. 1處 B. 2處 C. 3處 D. 4處
3.如圖1，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC＝8cm，AB＝10cm，則△EBC的周長(zhǎng)為（B）
A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm
4.如圖2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則△ABC的周長(zhǎng)是( A）．
A.19cm B.18cm C.17cm D.16cm
5.如圖3，在四邊形ABCD中，AE，AF分別是BC，CD的垂直平分線，∠EAF＝80°，∠CBD＝30°，則∠ADC的度數(shù)為(　B　)A．45° B．60° C．80° D．100°
二.填空題：
6.如圖4，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，連接EC，則∠AEC的度數(shù)是115度．
7.在△ABC中，AB，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，那么P點(diǎn)必定在BC的垂直平分線上，且PA＝PB＝PC.
8.如圖5，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD,則∠ABD=35°．
9.如圖6，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若點(diǎn)P是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，－1)．
三.解答題：
10.如圖7，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；
（2）若△ABC周長(zhǎng)13cm，AC＝6cm，求DC長(zhǎng)．
解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝0.5∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周長(zhǎng)13cm，AC＝6cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+2EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
11.如圖8.1，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，8），B(4，0），AB的垂直平分線交y軸與點(diǎn)D，連接BD，M(a,1)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)．
（1）則點(diǎn)D坐標(biāo)（0，3）；（2）S△DBC=S△DBM時(shí)，則a=6；
（3）如圖8.2，點(diǎn)E為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，
求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：（3）由勾股定理得，
∵點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)∴
∵AD=OA-OD=5∴
設(shè)E(0，x)，則
分三種情況：①EC=ED時(shí)， 過E作EQ⊥CD于Q，如圖所示：則EQ∥AB
∴Q為CD的中點(diǎn)∴E為AD的中點(diǎn)∴AE=ED∴8-x=x-3解得：
②DC=DE時(shí)∴ ∴ 或 ∴ 或
③CE=CD時(shí)，過C作CF⊥AO交于F，如圖所示：
∴∠AFC=∠AOB=90°F為ED中點(diǎn)∴FC//OB，EF=DF
∵C為AB的中點(diǎn)∴F為AO的中點(diǎn)，
∵A(0，8)，O(0，0)∴F(0，4)∴EF=DF=1∴x-4=1∴x=5
∴E(0，5)
綜上所述：當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為或 或 或
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8.2
圖8.1
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(總課時(shí)08)§1.3線段的垂直平分線（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形．
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識(shí)回顧
1.線段垂直平分線性質(zhì)定理：_____________________________________________.
2.線段垂直平分線判定定理：______________________________________________________.
3.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂線，垂足為D，交BC于E，BE=5，則AE=___，
∠AEC=_____，AC=_____.
二.探究新知
探究一:（1）剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線.
用筆描出折痕.觀察這三條垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
___________________________________.
（2）用尺規(guī)作出下列（圖2）三角形三邊的垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
結(jié)論：__________________________________________________.
探究二:三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)的證明
求證：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
已知：如圖3，在△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O，連接AO，BO，CO．
求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)O，且OA=OB=OC.
證明：∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，
∴OA=OB(_____________________________________________)．
同理OB=OC．∴OA=OB=OC．
∴O點(diǎn)在AC的垂直平分線上(_______________________________________________________)．
∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O．
探究三:用尺規(guī)作圖
1.已知直線L和點(diǎn)P,過點(diǎn)P用作直線L的垂線
結(jié)論：過直線外(上）一點(diǎn)作直線的垂線，有__________條.
2.已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？
所作出的三角形都全等嗎？
結(jié)論：這樣的等腰三角形有_____個(gè)，這些三角形_____全等．
3.已知一個(gè)等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形．
已知：線段a、h[
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h[
作法：1．作BC=a；2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；
以D為圓心，h長(zhǎng)為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；
4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如圖4)．
結(jié)論：這樣的等腰三角形有_____個(gè).
三.典例與練習(xí)
例1.如圖5，兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在（ ）
A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B.三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)
C.三角形三條高的交點(diǎn) D.三角形三條中線的交點(diǎn)
練習(xí)1.若一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上,則這個(gè)三角形是(　 )
A.銳角三角形　　　　B.鈍角三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.不能確定
例2.如圖6，在△ABC中，AB邊上的中垂線DE分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，連接AD，若△ADC的周長(zhǎng)為7cm，AC=2cm，則BC的長(zhǎng)為（ ）cm．A. 4 B. 5 C. 3 D. 以上答案都不對(duì)
練習(xí)2.如圖7，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（　 ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
四.課堂小結(jié)
1.線段的垂直平分線在計(jì)算、證明、作圖中都有著重要作用.在前面學(xué)習(xí)中，有一些用三角形全等的知識(shí)來解決問題，現(xiàn)在可用線段垂直平分線的定理及其逆定理來解會(huì)更方便些。
2.若三角形三邊中垂線相交一點(diǎn)P，則P點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等.
當(dāng)三角形是①銳角三角形②直角三形③鈍角三角形時(shí),點(diǎn)P分別在三角形_____、_____、_____.
五.分層過關(guān)
1.在平面內(nèi)，到三點(diǎn)A，B，C距離相等的點(diǎn)( )
A．有且只有一個(gè) B．有兩個(gè) C．有三個(gè)或三個(gè)以上 D．有一個(gè)或沒有
2．已知△ABC的三邊的垂直平分線交點(diǎn)在△ABC的邊上，則△ABC的形狀為（ ）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
3．如圖8，由于水資源缺乏，B，C兩地不得不從黃河上的揚(yáng)水站A引水，這就需要A，B，C之間鋪設(shè)地下輸水管道，有人設(shè)計(jì)了三種鋪設(shè)方案：如圖①②③，圖中實(shí)線表示管道鋪設(shè)線路，在圖②中，AD垂直BC于點(diǎn)D；在圖③中，OA＝OB＝OC.為減少滲漏，節(jié)約
水資源，并降低工程造價(jià)，鋪設(shè)線路應(yīng)盡量縮短，已知△ABC
恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，那么通過計(jì)算，你認(rèn)
為最好的鋪設(shè)方案是方案_____．
4.如圖9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用直尺和圓規(guī)，作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)連接BD，求證：BD平分∠CBA.
5.如圖10，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM的周長(zhǎng)的最小值為_____．
圖1
圖2
圖3
A
B
C
D
N
圖4
M
圖5
圖7
圖6
圖8
圖9
圖10
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(總課時(shí)08)§1.3線段的垂直平分線（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形．
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識(shí)回顧
1.線段垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
2.線段垂直平分線判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.
3.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂線，垂足為D，交BC于E，BE=5，則AE=5，
∠AEC=30°，AC=2.5.
二.探究新知
探究一:（1）剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線.
用筆描出折痕.觀察這三條垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)
（2）用尺規(guī)作出下列三角形三邊的垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
結(jié)論：由圖形可以看出“三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”
探究二:三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)的證明
求證：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
已知：如圖3，在△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O，連接AO，BO，CO．
求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)O，且OA=OB=OC.
證明：∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，
∴OA=OB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)．
同理OB=OC．∴OA=OB=OC．
∴O點(diǎn)在AC的垂直平分線上(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn).在這條線段的垂直平分線上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O．
探究三:用尺規(guī)作圖
1.已知直線L和點(diǎn)P,過點(diǎn)P用作直線L的垂線
結(jié)論：過直線外(上）一點(diǎn)作直線的垂線，有且只有一條.
2.已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？
所作出的三角形都全等嗎？
結(jié)論：這樣的等腰三角形有無數(shù)多個(gè)，這些三角形不都全等．
3.已知一個(gè)等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形．
已知：線段a、h[
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h[
作法：1．作BC=a；2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；
以D為圓心，h長(zhǎng)為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；
4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如圖4)．
結(jié)論：這樣的等腰三角形有一個(gè).
三.典例與練習(xí)
例1.如圖，兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在（　A　）
A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B.三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)
C.三角形三條高的交點(diǎn) D.三角形三條中線的交點(diǎn)
練習(xí)1.若一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上,則這個(gè)三角形是(　C　)
A.銳角三角形　　　　B.鈍角三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.不能確定
例2.如圖6，在△ABC中，AB邊上的中垂線DE分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，連接AD，若△ADC的周長(zhǎng)為7cm，AC=2cm，則BC的長(zhǎng)為（ B ）cm．A. 4 B. 5 C. 3 D. 以上答案都不對(duì)
練習(xí)2.如圖7，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（　B　）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
四.課堂小結(jié)
1.線段的垂直平分線在計(jì)算、證明、作圖中都有著重要作用.在前面學(xué)習(xí)中，有一些用三角形全等的知識(shí)來解決問題，現(xiàn)在可用線段垂直平分線的定理及其逆定理來解會(huì)更方便些。
2.若三角形三邊中垂線相交一點(diǎn)P，則P點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等.
當(dāng)三角形是①銳角三角形②直角三形③鈍角三角形時(shí),點(diǎn)P分別在三角形內(nèi)部、斜邊中點(diǎn)、外部.
五.分層過關(guān)
1.在平面內(nèi)，到三點(diǎn)A，B，C距離相等的點(diǎn)( D )
A．有且只有一個(gè) B．有兩個(gè) C．有三個(gè)或三個(gè)以上 D．有一個(gè)或沒有
2．已知△ABC的三邊的垂直平分線交點(diǎn)在△ABC的邊上，則△ABC的形狀為（ B）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
3．如圖8，由于水資源缺乏，B，C兩地不得不從黃河上的揚(yáng)水站A引水，這就需要A，B，C之間鋪設(shè)地下輸水管道，有人設(shè)計(jì)了三種鋪設(shè)方案：如圖①②③，圖中實(shí)線表示管道鋪設(shè)線路，在圖②中，AD垂直BC于點(diǎn)D；在圖③中，OA＝OB＝OC.為減少滲漏，節(jié)約
水資源，并降低工程造價(jià)，鋪設(shè)線路應(yīng)盡量縮短，已知△ABC
恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，那么通過計(jì)算，你認(rèn)
為最好的鋪設(shè)方案是方案③．
4.如圖9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)用直尺和圓規(guī)，作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)連接BD，求證：BD平分∠CBA.
解：(1)如圖所示，DE即是要求作的AB邊上的垂直平分線．
（2）證明：∵DE是AB邊上的垂直平分線，∠A＝30°，
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90 °－∠A＝90°－30°＝60°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30 °＝30°.∴∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠CBA.
5.如圖10，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM的周長(zhǎng)的最小值為9．
圖1
P
E
F
N
M
Q
圖2
圖3
A
B
C
D
N
圖4
M
圖5
圖7
圖6
圖8
圖9
圖10
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