資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時(shí)09)§1.4角平分線（1）
一.選擇題：
1．巳知點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，下面的等式中，能表示OC是∠AOB的平分線的式子有（ ）
①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC=0.5∠AOB；④∠BOC=0.5∠AOB．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．如圖1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，則△BDE的周長為（ ） A．17 B．18 C．20 D．25
3．如圖2，AD//BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E若PE=2.5則兩平行線AD與BC間的距離為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如圖3，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，則圖中的全等三角形對數(shù)共有（ ） A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
5．如圖4，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，則下列結(jié)論：①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正確的有（ ）個(gè)
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空題：
6．如圖5，①已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則有_______；②反之如果PM=PN，且_______________，那么OP平分∠AOB．
7．如圖6，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，點(diǎn)M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的動點(diǎn)，則PC的最小值是______．
8．如圖7,已知BD丄AN于點(diǎn)B，交AE于點(diǎn)O，OC丄AM于點(diǎn)C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，則∠ADB=____．
9．如圖8，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點(diǎn)，AE＝7cm，AP＝4cm，則P點(diǎn)到直線AB的距離是_____．
10．如圖9，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線段BD與CE相交于點(diǎn)O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結(jié)論：
①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；
③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為__________．
三.解答題:
11．如圖10，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AEF＝∠AFE；
（2）G為BC上一點(diǎn)，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時(shí)，求∠CGF的度數(shù)．
12．如圖11，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．
圖3
圖2
圖5
圖6
圖7
圖8
圖9
圖10
圖11
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時(shí)09)§1.4角平分線（1）
一.選擇題：
1．巳知點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，下面的等式中，能表示OC是∠AOB的平分線的式子有（ D ）
①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOC=0.5∠AOB；④∠BOC=0.5∠AOB．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．如圖1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，則△BDE的周長為（C） A．17 B．18 C．20 D．25
3．如圖2，AD//BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E若PE=2.5則兩平行線AD與BC間的距離為（ C ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如圖3，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，則圖中的全等三角形對數(shù)共有（C） A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
5．如圖4，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，則下列結(jié)論：①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正確的有（ D ）個(gè)
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空題：
6．如圖5，①已知OQ平分∠AOB，且PM⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則有PM=PN；②反之如果PM=PN，且PM⊥OA，PN⊥OB，那么OP平分∠AOB．
7．如圖6，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，點(diǎn)M在OP上，且DM=MP=6，若C是OB上的動點(diǎn)，則PC的最小值是_6_．
8．如圖7,已知BD丄AN于點(diǎn)B，交AE于點(diǎn)O，OC丄AM于點(diǎn)C，且OB= OC，如果∠OAB=25°，則∠ADB=40°．
9．如圖8，BD垂直平分線段AC，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點(diǎn)，AE＝7cm，AP＝4cm，則P點(diǎn)到直線AB的距離是3cm．
10．如圖9，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線段BD與CE相交于點(diǎn)O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結(jié)論：
①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；
③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為①②③．
三.解答題:
11．如圖10，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AEF＝∠AFE；
（2）G為BC上一點(diǎn)，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時(shí)，求∠CGF的度數(shù)．
解：（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
又∵∠C＝∠BAD，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．
12．如圖11，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．
解（1）證明：連接BP、CP，
∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分線，∴DP=EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，
，，∴BD=CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，，∴AD=AE，
∵AB=6cm，AC=10cm，∴6+AD=10-AE，即6+AD=10-AD，解得AD=2cm．
圖3
圖2
圖5
圖6
圖7
圖8
圖9
圖10
圖11
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(總課時(shí)09)§1.4角平分線（1）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解角平分線的性質(zhì)定理及判定定理,并會運(yùn)用定理解決簡單問題.
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)及判定定理在實(shí)際問題中的準(zhǔn)確運(yùn)用.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
1.你能利用折紙的方法得到一個(gè)角的平分線嗎？
將∠AOB對折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論
2.你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎
_________________________________________.
二.探究新知
探究一：角平分線的性質(zhì)定理
定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
已知：如圖1，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．
求證：PD=PE．
證明：∵
∴△PDO≌______(___)．
∴PD=___(_____________________)
幾何語言：
∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．∴PD=PE
溫馨提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.
探究二：角平分線的判定定理
交換角平分線的性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論得到的逆命題是什么？它是真命題嗎？請你說明理由.
逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
已知:如圖2,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分別是D,E.
求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上
證明：
角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的角平分線．
溫馨提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.
三.典例與練習(xí)
例1.如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴___平分∠BAC
（_________________________________________________________）
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=______.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=___AD=___________
（________________________________________________________________________）.
練習(xí)1.如圖4，AP平分∠BAC，∠C=90，若PC=2cm，則點(diǎn)P到AB邊的距離是___cm.
例2.如圖5，已知：BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE、CF交于點(diǎn)D，若BD=CD，
求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=______=90°，∠BDF=______,
∵BD=CD,∴△BDF≌______（______）∴DF=___(________________________）
又∵BE⊥AC，CF⊥AB∴AD平分∠BAC.(________________________)
練習(xí)2.如圖6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．
（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的長．
四.課堂小結(jié)
1.角平分線的性質(zhì)定理：_________________________________.
2.角平分線的判定定理：______________________________________________________.
3.性質(zhì)定理判定定理的關(guān)系
五.分層過關(guān)
1.已知點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部且點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等,若∠POB=45°,則∠AOB等于( )
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
2.如圖7，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動點(diǎn)，若PA＝2，則PQ的最小值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如圖8，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點(diǎn)，則DP長的最小值為（ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
4.如圖9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N．再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝5，AB＝18，則△ABD的面積是　___．
5.如圖10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝6，BC＝8.求DE的長；
6.已知：如圖11，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點(diǎn)P.求證：P在∠A的平分線上
7.如圖12，△ABC中，∠BAC=60，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于E，DF⊥AC于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE．其中正確的有_________．（填寫序號）
A
O
B
對折
翻折
展開
A(B)
O
O
P
D(E)
P
C
C
C
圖1
∠1=___，
∠PDO=_____=90°，
OP=___，
圖2
圖3
圖5
圖4
圖6
互逆
點(diǎn)在角平分線上
點(diǎn)到角的兩邊距離相等
圖7
圖8
圖9
圖10
圖11
圖12
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(總課時(shí)09)§1.4角平分線（1）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解角平分線的性質(zhì)定理及判定定理,并會運(yùn)用定理解決簡單問題.
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)及判定定理在實(shí)際問題中的準(zhǔn)確運(yùn)用.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
1.你能利用折紙的方法得到一個(gè)角的平分線嗎？
將∠AOB對折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論
2.你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎
角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
二.探究新知
探究一：角平分線的性質(zhì)定理
定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
已知：如圖1，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．
求證：PD=PE．
證明：∵
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)
幾何語言：
∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．∴PD=PE
溫馨提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.
探究二：角平分線的判定定理
交換角平分線的性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論得到的逆命題是什么？它是真命題嗎？請你說明理由.
逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
已知:如圖2,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分別是D,E.
求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上
證明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL），
∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．即：點(diǎn)P在在∠AOB的角平分線上．
角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的角平分線．
溫馨提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.
三.典例與練習(xí)
例1.如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC
（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，∴DE=0.5AD=0.5×10=5
（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.
練習(xí)1.如圖4，AP平分∠BAC，∠C=90，若PC=2cm，則點(diǎn)P到AB邊的距離是2cm.
例2.如圖5，已知：BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE、CF交于點(diǎn)D，若BD=CD，
求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠BFD=∠CED=90°，∠BDF=∠CDE,
∵BD=CD,∴△BDF≌△CDE（AAS）∴DF=DE(全等三角形對應(yīng)邊相等）
又∵BE⊥AC，CF⊥AB∴AD平分∠BAC.
練習(xí)2.如圖6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．
（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的長．
（1）證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．
在△CDF與△EDB中，∵，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．
（2）解：設(shè)CF＝x，則AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．
在△ACD與△AED中，
∵，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．
四.課堂小結(jié)
1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
2.角平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上.
3.性質(zhì)定理判定定理的關(guān)系
五.分層過關(guān)
1.已知點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部且點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等,若∠POB=45°,則∠AOB等于(D)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
2.如圖7，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動點(diǎn)，若PA＝2，則PQ的最小值為(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如圖8，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點(diǎn)，則DP長的最小值為（C）
A．1 B．6 C．3 D．12
4.如圖9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N．再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝5，AB＝18，則△ABD的面積是　45　．
5.如圖10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝6，BC＝8.求DE的長；
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC＝8，∴AB=10，
∵AD平分∠CAB，∴DE＝CD，AE=AC=6,
設(shè)CD=DE=x,則BD=8-x,BE=10-6=4,
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2=BE2+DE2，即：（8-x）2=16+x2
解得：x=3,∴DE＝3.
6.已知：如圖11，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交于點(diǎn)P.求證：P在∠A的平分線上
證明：作PE⊥AB，交AB延長線于E.PH⊥BC于H，PG⊥AC，
交AC的延長線于點(diǎn)G，
∵BP是外角平分線，∴PE=PH，∵PC是外角平分線∴PG=PH
∴PM=PQ∴P在∠A的平分線上.
7.如圖12，△ABC中，∠BAC=60，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于E，DF⊥AC于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE．其中正確的有_①②④_．（填寫序號）
A
O
B
對折
翻折
展開
A(B)
O
O
P
D(E)
P
C
C
C
圖1
∠1=∠2，
∠PDO=∠PEO=90°，
OP=OP，
圖2
圖3
圖5
圖4
圖6
互逆
點(diǎn)在角平分線上
點(diǎn)到角的兩邊距離相等
圖7
圖8
圖9
圖10
圖11
圖12
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