資源簡介

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(總課時10)§1.4角平分線（2）
【學習目標】能證明三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.
【學習重難點】利用角平分線的性質定理及判定定理進行相關的證明與計算.
【導學過程】
一.知識回顧
1.角形角平分線性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.
用途：證明兩條線段相等依據之一.
2.角形角平分線判定定理：在一個角的內部,到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
用途：證明點在直線上(或直線經過某一點)依據之一.
二.探究新知
1.折一折：拿一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線.觀察這三條角平分線,你發現了什么
結論:三角形三個角的平分線相交于一點.
2.做一做：利用尺規作出三角形三個角的角平分線，觀察這三條角平分線,你又發現了什么
結論:三角形三個角的角平分線相交于一點.
3.命題:三角形的三條角平分線相交于一點；并且這一點到三邊的距離相等.
已知：已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P，
求證：P點在∠BAC的角平分線上．
證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE
(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)．同理：PF=PE．∴PD=PF．
∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)．
∴△ABC的三條角平分線相交于點P．且有：PD=PE=PF
結論：三角形的三條角平分線相交于一點；并且這一點到三邊的距離相等.
三.典例與練習
例1.如圖2，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
(1)已知CD=4cm，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB,∴DE=CD=4cm，
又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，
又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE,
在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得，BD=4cm
∴AC=BC=CD+BD=4+4(cm).
(2)由(1)的求解過程易知:Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE
∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
練習1.已知：如圖3，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，
求證：AE=AD+BE
證明：過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于點F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF，AE＝AF，∠CEB＝∠CFD＝90°
∵∠B+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠CDF∴△CBE≌△CDF（AAS）∴DF＝BE
∵AF＝AD+DF∴AF＝AD+BE,∴AE＝AD+BE
例2.直線l 、l 、l 表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？
滿足條件的有4處：
（1）三角形兩個內角平分線的交點，共一處；
（2）三個外角兩兩平分線的交點，共三處．
練習2.如圖4，已知Rt△ABC，∠C=90°，三內角平分線的交點P，
PD⊥BC于D點，PE⊥AB于E點，PF⊥AC于F點，求證：PD=（a+b-c）
證明：∵PD=PE=PF，∴由等面積易得ab=(a+b+c)×PD
即(a+b)2-a2-b2=2(a+b+c)×PD
(a+b)2-c2=2(a+b+c)×PD，(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)×PD
∴PD=(a+b-c)
練習3.已知：如圖5，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．
求證：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分線．
證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)．
∴OC=OD(全等三角形對應邊相等)．
(2)∵OP是∠AOB的角平分線，∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”)．
四.課堂小結
三邊垂直平分線 三條角平分線
三角形 銳角三角形 交于三角形內一點 交于三角形內一點
鈍角三角形 交于三角形外一點
直角三角形 交于斜邊的中點
交點性質 到三角形三個頂點距離相等 到三邊的距離相等
五.分層過關
1.下列結論不正確的有：（ B ）
A在同一平面內，到三角形三邊距離相等的點只有一個；
B.在同一平面內，到三角形三邊所在直線距離相等的點只有一個；
C.三角形三條角平分線交于一點；
D.等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等.
2.如圖6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列結論中錯誤的是（ D ）
A．DC＝DE，B．∠AED＝90°C．∠ADE＝∠ADC D．DB＝DC
3.如圖7，在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB于點E.若BC=32，且BD∶DE=9∶7，則CD的長為14.
4.如圖8，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12 cm，則DE的長是2.4cm.
5.如圖9，∠B=∠C=90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求證：AD=CD+AB．
證明：過M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．∴MC=ME．
得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．
同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．
6.如圖10，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求證：∠BPC＝90°＋∠BAC.
證明：連接AP，且延長至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，
∴點P是△ABC三角平分線的交點，∴AP平分∠BAC，
∴∠CAG=∠BAG=0.5∠BAC，
∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=0.5∠ACB，∠ABP=0.5∠ABC，
∴∠CPG=∠PAC+∠PCA=0.5（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=0.5（∠BAC+∠ABC），
∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=1/2（∠BAC+∠ACB）+0.5（∠BAC+∠ABC）
=∠BAC+0.5（180°-∠BAC）=90°+0.5∠BAC．
A
F
B
C
P
E
D
N
M
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖9
圖6
圖8
圖7
圖10
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(總課時10)§1.4角平分線（2）
一.選擇題：
1.下列關于三角形角平分線的說法錯誤的是( D )
A. 兩角平分線交點在三角形內 B. 兩角平分線的交點在第三個角的平分線上
C. 兩角平分線交點到三邊距離相等 D. 兩角平分線交點到三個頂點的距離相等
2.如圖1，O為△ABC內一點，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，若OD＝OE＝OF，連接OA，OB，OC，下列結論不一定正確的是( B )
A. △BOD≌△BOF B. ∠OAD＝∠OBF C. ∠COE＝∠COF D. AD＝AE
3.如圖2，已知△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別是40，50，60，△ABC三條角平分線交于點O，
則S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ B ）A. 2：3：4 B. 4：5：6 C. 3：4：5 D. 1：2：3
4.如圖3，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，連接 AO并延長，交BC于點D，OH⊥BC于點H；若∠BAC=60°，OH=3cm，則OA=（ A ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
5.如圖4，點P是Rt△ABC各內角平分線的交點，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ A ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二.填空題：
6.如圖5，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點I，連接AI，則∠BAI＝125°．
7.如圖6,在△ABC中,N是三條角平分線的交點,EF⊥BN于點N,∠BAN=20°,∠ENA=30°,則∠FNC=20 .
8.如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP相交于點P.若∠BPC＝40°，則∠CAB＝80°.
9.如圖8，△ABC的兩條外角平分線AP、CP相交于點P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60 ，則下列結論：①∠ABP=30 ；②∠APC=60 ；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正確的結論是：①②③④（填序號）
三.解答題:
10.如圖9，有一塊三角形的空地，其三邊長分別為20m，30m，40m，現在要把它分成面積比為2∶3∶4的三部分，分別種植不同的花．請你設計出一個方案，并說明你的理由．
方案：如圖，分別作∠C和∠B的平分線，它們相交于點P，連接PA，
則△PAB，△PAC，△PBC的面積之比就是2∶3∶4.
理由：如圖，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，PH⊥BC于點H.
∵點P是∠C和∠B的平分線上的點，∴PE＝PF＝PH.∴S△ABP＝0.5AB×PE＝10PE，S△BCP＝0.5BC×PH＝20PH，S△ACP＝0.5AC×PF＝15PF，∴S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
11.如圖10，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P放在射線OM上，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D．
（1）證明：PC=PD．（2）若OP=4，求OC+OD的長度．
解：如圖，過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠PEC=∠PFD=90°．
∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF．
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，∴∠PCE＋∠PDO=360°－90°－90°=180°．
而∠PDO＋∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF．
在△PCE和△PDF中，∵∠PCE=∠PDF，∠PEC=∠PFD，PE=PF，∴△PCE≌△PDF（AAS）∴PC=PD．
（2）∵∠AOB=90°，OM平分∠AOB，
∴△POE與△POF為等腰直角三角形，∴OE=PE=PF=OF．
∵OP=4，∴OE=．由（1）知△PCE≌△PDF，∴CE=DF，∴OC+OD=OE+OF=2OE=．
12.如圖11，探究性問題如圖11①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
(1)如圖11②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F.請你判斷FE與FD之間的數量關系．(不需證明)
(2)如圖11③，在△ABC中，∠B＝60°，請問：你在(1)中所得到的結論是否仍然成立？
解：在OP上任找一點E，過點E分別作EC⊥OM于點C，ED⊥ON于點D，可得△OEC與△OED是以OP為對稱軸的全等三角形，如圖所示．(答案不唯一)
(1)FE＝FD.(2)仍然成立．
證明：過點F作FG⊥AB于點G，作FH⊥BC于點H，作FK⊥AC于點K.
∵AD,CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，∴FG＝FH＝FK.
在四邊形BGFH中，∠GFH＝360°－60°－90°×2＝120°.
∵AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，∠B＝60°，∴∠FAC＋∠FCA＝0.5×(180°－60°)＝60°.
在△AFC中，∠AFC＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFD＝∠GFH，∴∠EFG＝∠DFH.
在△EFG和△DFH中，∵∠EFG＝∠DFH，FG＝FH，∠EGF＝∠DHF＝90°，
∴△EFG≌△DFH(ASA)，∴FE＝FD.
圖4
圖3
圖2
圖1
圖8
圖7
圖6
圖5
圖9
圖10
圖11
H
G
K
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(總課時10)§1.4角平分線（2）
一.選擇題：
1.下列關于三角形角平分線的說法錯誤的是( )
A. 兩角平分線交點在三角形內 B. 兩角平分線的交點在第三個角的平分線上
C. 兩角平分線交點到三邊距離相等 D. 兩角平分線交點到三個頂點的距離相等
2.如圖1，O為△ABC內一點，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，OF⊥BC于點F，若OD＝OE＝OF，連接OA，OB，OC，下列結論不一定正確的是( )
A. △BOD≌△BOF B. ∠OAD＝∠OBF C. ∠COE＝∠COF D. AD＝AE
3.如圖2，已知△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別是40，50，60，△ABC三條角平分線交于點O，
則S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ ）A. 2：3：4 B. 4：5：6 C. 3：4：5 D. 1：2：3
4.如圖3，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，連接 AO并延長，交BC于點D，OH⊥BC于點H；若∠BAC=60°，OH=3cm，則OA=（ ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
5.如圖4，點P是Rt△ABC各內角平分線的交點，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二.填空題：
6.如圖5，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點I，連接AI，則∠BAI＝____．
7.如圖6,在△ABC中,N是三條角平分線的交點,EF⊥BN于點N,∠BAN=20°,∠ENA=30°,則∠FNC=___.
8.如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP相交于點P.若∠BPC＝40°，則∠CAB＝______°.
9.如圖8，△ABC的兩條外角平分線AP、CP相交于點P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60 ，則下列結論：①∠ABP=30 ；②∠APC=60 ；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正確的結論是：_________（填序號）
三.解答題:
10.如圖9，有一塊三角形的空地，其三邊長分別為20m，30m，40m，現在要把它分成面積比為2∶3∶4的三部分，分別種植不同的花．請你設計出一個方案，并說明你的理由．
11.如圖10，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P放在射線OM上，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D．
（1）證明：PC=PD．（2）若OP=4，求OC+OD的長度．
12.如圖11，探究性問題如圖11①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
(1)如圖11②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F.請你判斷FE與FD之間的數量關系．(不需證明)
(2)如圖11③，在△ABC中，∠B＝60°，請問：你在(1)中所得到的結論是否仍然成立？
圖4
圖3
圖2
圖1
圖8
圖7
圖6
圖5
圖9
圖10
圖11
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(總課時10)§1.4角平分線（2）
【學習目標】能證明三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.
【學習重難點】利用角平分線的性質定理及判定定理進行相關的證明與計算.
【導學過程】
一.知識回顧
1.角形角平分線性質定理：________________________________________.
用途：證明兩條線段相等依據之一.
2.角形角平分線判定定理：________________________________________________________.
用途：證明點在直線上(或直線經過某一點)依據之一.
二.探究新知
1.折一折：拿一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線.觀察這三條角平分線,你發現了什么
結論:___________________________________.
2.做一做：利用尺規作出三角形三個角的角平分線，觀察這三條角平分線,你又發現了什么
結論:____________________________________.
3.命題:三角形的三條角平分線相交于一點；并且這一點到三邊的距離相等.
已知：已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P，
求證：P點在∠BAC的角平分線上．
證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=___.
(_______________________________________)．同理：PF=___．∴PD=___．
∴點P在∠BAC的平分線上(_______________________________________________)．
∴△ABC的三條角平分線相交于點P．且有：PD=___=___
結論：三角形的三條角平分線_________；并且___________________________.
三.典例與練習
例1.如圖2，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
(1)已知CD=4cm，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB,∴DE=______，
又∵AC=BC，∴∠B=______，
又∵∠C=90°，∴∠B=____________，∴BE=DE,
在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得，BD=______.
∴AC=BC=__________________.
(2)由(1)的求解過程易知:Rt△ACD≌Rt△AED(____)∴AC=____
∵BE=____=____,∴AB=______=______.
練習1.已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，
求證：AE=AD+BE
證明：過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于點F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝___，AE＝___，∠CEB＝___＝90°
∵∠B+∠ADC＝180°,___+∠ADC＝180°∴∠B＝___∴△CBE≌______（___）∴___＝BE
∵AF＝AD+DF∴AF＝AD+___,∴AE＝______
例2.直線l 、l 、l 表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？
練習2.如圖4，已知Rt△ABC，∠C=90°，三內角平分線的交點P，
PD⊥BC于D點，PE⊥AB于E點，PF⊥AC于F點，求證：PD=（a+b-c）
證明：∵PD=___=___，∴由等面積易得ab=______×PD
即(a+b)2-a2-b2=______×PD
(a+b)2-c2=______×PD，(a+b+c)(a+b-c)=_________×PD
∴PD=(a+b-c)
練習3.已知：如圖5，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．
求證：(1)OC=OD；
(2)OP是CD的垂直平分線．
四.課堂小結
三邊垂直平分線 三條角平分線
三角形 銳角三角形 交于_________一點 交于________一點
鈍角三角形 交于_________一點
直角三角形 交于_________點
交點性質 到三角形________距離相等 到____的距離相等
五.分層過關
1.下列結論不正確的有：（ ）
A在同一平面內，到三角形三邊距離相等的點只有一個；
B.在同一平面內，到三角形三邊所在直線距離相等的點只有一個；
C.三角形三條角平分線交于一點；
D.等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等.
2.如圖6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列結論中錯誤的是（ ）
A．DC＝DE，B．∠AED＝90°C．∠ADE＝∠ADC D．DB＝DC
3.如圖7，在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB于點E.若BC=32，且BD∶DE=9∶7，則CD的長為___.
4.如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12 cm，則DE的長是___cm.
5.如圖9，∠B=∠C=90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求證：AD=CD+AB．
6.如圖10，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF.求證：∠BPC＝90°＋∠BAC.
A
B
C
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N
M
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