資源簡介

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(總課時11)§1.5復習
【學習目標】建立本章的知識框架圖，復習有關定理的探索與證明，證明的思路和方法，尺規作圖等。
【學習重難點】通過例題的講解和課堂練習對所學知識進行復習鞏固.
【導學過程】
一.知識結構圖
二.方法總結：
（1）證明線段相等：①可證明它們所在的兩個三角形全等；②角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；③等角對等邊；④等腰三角形三線合一的性質；⑤中垂線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。
（2）證明兩角相等：①同角的余角相等；②平行線性質；③對頂角相等；④全等三角形對應角相等；⑤等邊對等角；⑥角平分線的性質定理和逆定理。
（3）證明垂直：①證鄰補角相等；②證和已知直角三角形全等；③利用等腰三角形的三線合一性質；④勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的證明：證三角形的兩邊相等，兩角相等和三線合一.
三.典例與練習
例1.已知△ABC的三邊長分別為4,4,6,在△ABC所在平面內畫一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中的一個是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫(B)
A.3條 B.4條 C.5條 D.6條
練習1.如圖1,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點,且DA=DC,BD=BA,則∠B的大小為(B)
A.40° B.36° C.30° D.25°
例2.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度數;(2)求證:DC=AB.
(1)∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°.
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
(2)∵∠ADC=∠B+∠DAB=75°,
∴∠DAC=∠ADC=75°.∴DC=AC,∴DC=AB.
練習2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D是BC邊的中點,CE⊥AD于點E,BF∥AC交CE的延長線于點F.求證:AB垂直平分DF.
證明：∵∠ACB=90°,∴∠CAD+∠CDE=90°.
∵CE⊥AD,∠CED=90°,∴∠CDE+∠DCE=90°.∴∠CAD=∠BCF.∵BF∥AC,
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°.∴∠ACD=∠CBF.
又AC=BC,∴∠ABD=∠CAB=45°.∴△ACD≌△CBF.∴CD=BF.
∵CD=DB,∴BD=BF.∴△BDF是等腰直角三角形.
∵BF∥AC,∴∠ABF=∠CAB=45°.∴∠ABD=∠ABF.∴AB垂直平分DF.
例3.如圖,等邊△ABC和等邊△DCE在直線BCE的同一側,AE交CD于點P,BD交AC于點Q,
求證:①AE=BD②PC=QC③DQ=PE④AP=BQ⑤△PQC為等邊三角形⑥QP//BE.
證明：①易證△BCD≌△ACE(SAS).∴AE=BD.
②③易證：△QCD≌△PCE(ASA)∴PC=QC,DQ=PE;
④同理：△QCB≌△PCA(ASA)∴AP=BQ
⑤∵PC=QC，∠QCP=60°,∴△PQC為等邊三角形.
⑥∵△PQC為等邊三角形.∴∠CPQ=∠PCE=60°∴QP//BE.
練習3等腰三角形兩腰上的高相等，這個命題的逆命題是：如果三角形兩邊上高相等，那么這個三角形是等腰三角形，這個逆命題是真命題（填“真”或“假”）.
四.課堂小結
1.知識內容：
（1）特殊圖形（等腰三角形與直角三角形）的性質與判定
（2）證明線段相等的方法（線段的垂直平分線和角平分線性質和判定）
2.解題方法：
（1）證明題的思考方法（證明線段相等，角相等常用的方法）
（2）觀察幾何圖形的角度（軸對稱圖形）
（3）題型的變式方式（逆向思考）
五.分層過關
1.等腰△ABC的兩條邊長分別為3和4，則其周長等于（ C ）
A．10 B．11 C．10或11 D．不確定
2.等腰三角形一腰上的高等于這腰的一半，則這個等腰三角形的頂角等于（　C　）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
3.如圖5，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P是BC上不與B和C重合的一個動點，過點P分別作AB和AC的垂線，垂足為E，F．則PE+PF=(D）
A． B． C．6 D．
4.如圖6，在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=30，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，若AE=1，則BE的長為( A )
A．2 B．3 C．4 D．1
5.如圖7，已知Rt△ABC，∠C=90，BD是角平分線，BD=5，BC=4，則D點到AB的距離是　3　．
6.如圖8，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長等于_12_cm.
7.如圖9，已知，，與交于，．
求證：△OAB是等腰三角形．
證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90，
Rt△ABD和Rt△BAC中，，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，∴∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．
8.如圖10,已知AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.求證:AD垂直平分EF.
證明∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
∴點D在EF的垂直平分線上.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
∴點A在EF的垂直平分線上.
∵兩點確定一條直線,∴直線AD是線段EF的垂直平分線.
全等三角形
判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.性質：①對應線段，②對應角相等.
三角形的證明
等腰三角形
性質：①等邊對等角②三線合一③等邊三角形三邊相等，三角相等.
判定：①定義②等角對等邊
③等邊三角形判定：三邊相等或三角相等，有一角是60°的等腰三角形.
判定：①有一個角是90°，②勾股定理逆定理.
性質
角：①有一個角是90°，②兩銳角互余.
邊：①30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，②勾股定理.
直角三角形
線段的垂直平分線
性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等.
判定：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.
三角形三邊的垂直平分線相交一點，這點到三頂點距離相等.
角平分線
性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
判定：在一個角的內部，到角的兩邊的距離相等的點在這樣角平分線上.
三角形三角的平分線相交一點，這點到三邊的距離相等.
尺規作圖
①過一點作已知直線的垂線；
②已知一條直角邊和斜邊作直角三角形；
③已知底邊和底邊上的高作等腰三角形.
互逆命題及反證法
圖1
圖2
圖3
圖4
圖7
圖8
圖6
圖5
圖9
圖10
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(總課時11)§1.5復習
一.選擇題：
1.等腰三角形的一個角為50°，則這個等腰三角形的底角為　C　
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
2.如果一個三角形一條邊上的中點到其它兩邊距離相等，那么這個三角形一定是（　B　）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
3.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，則△ABC是( A )
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
4.如圖1，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點F，則圖中全等的直角三角形共有（　C　）
A．4對 B．5對 C．6對 D．7對
5.如圖2的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是　C　
A．6 個 B．7 個 C．8 個 D．9個
二.填空題：
6.等腰三角形的一個角為50°，則頂角是50°或80°．
7.如圖3，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則需要添加的一個條件是　AC=AD或BC=BD　．
8.等邊△ABC的周長為12cm，則它的面積為9cm2．
9.如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為_2.9_米.(結果精確到0.1米，≈1.73)
10.如圖5，AB＝6，O是AB的中點，直線l經過點O，∠1＝120°，P是直線l上一點，當△APB為直角三角形時，AP＝_3或3或3_．
三.解答題：
11.已知：如圖6，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，
使CE＝CD．求證：BD＝DE．
證明：∵△ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝0.5∠ABC＝30°．
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB為△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴BD＝DE．
12.如圖7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D為BC的中點，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，直接寫出DM和DN數量關系DM＝DN．
解：（1）連接AD，∵D為BC中點，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠C，
∵∠ADM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，在△AMD和△CND中，
，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM＝DN．
13.如圖8，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數量關系？并給出證明．
解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分別平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC．
圖3
圖5
圖4
圖2
圖1
圖6
②
①
圖7
圖8
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(總課時11)§1.5復習
一.選擇題：
1.等腰三角形的一個角為50°，則這個等腰三角形的底角為　
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
2.如果一個三角形一條邊上的中點到其它兩邊距離相等，那么這個三角形一定是（　 ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
3.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，則△ABC是( )
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
4.如圖1，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點F，則圖中全等的直角三角形共有（　 ）
A．4對 B．5對 C．6對 D．7對
5.如圖2的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是　
A．6 個 B．7 個 C．8 個 D．9個
二.填空題：
6.等腰三角形的一個角為50°，則頂角是_________．
7.如圖3，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則需要添加的一個條件是________________．
8.等邊△ABC的周長為12cm，則它的面積為________cm2．
9.如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為____米.(結果精確到0.1米，≈1.73)
10.如圖5，AB＝6，O是AB的中點，直線l經過點O，∠1＝120°，P是直線l上一點，當△APB為直角三角形時，AP＝_________________．
三.解答題：
11.已知：如圖6，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．
12.如圖7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D為BC的中點，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，直接寫出DM和DN數量關系______．
13.如圖8，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數量關系？并給出證明．
圖3
圖5
圖4
圖2
圖1
圖6
圖7
②
圖8
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(總課時11)§1.5復習
【學習目標】建立本章的知識框架圖，復習有關定理的探索與證明，證明的思路和方法，尺規作圖等。
【學習重難點】通過例題的講解和課堂練習對所學知識進行復習鞏固.
【導學過程】
一.知識結構圖
二.方法總結：
（1）證明線段相等：①可證明它們所在的兩個三角形全等；②角平分線的性質定理：__________________
__________________；③等角對____；④等腰三角形________的性質；⑤中垂線的性質定理：____________
________________________________。
（2）證明兩角相等：①同角的余角____；②平行線性質；③對頂角____；④全等三角形對應角____；⑤等邊對____；⑥角平分線的性質定理和逆定理。
（3）證明垂直：①證鄰補角____；②證和已知直角三角形全等；③利用等腰三角形的________性質；④勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的證明：證三角形的兩邊相等，兩角相等和三線合一.
三.典例與練習
例1.已知△ABC的三邊長分別為4,4,6,在△ABC所在平面內畫一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中的一個是等腰三角形,則這樣的直線最多可畫( )
A.3條 B.4條 C.5條 D.6條
練習1.如圖1,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點,且DA=DC,BD=BA,則∠B的大小為( )
A.40° B.36° C.30° D.25°
例2.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度數;(2)求證:DC=AB.
練習2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D是BC邊的中點,CE⊥AD于點E,BF∥AC交CE的延長線于點F.求證:AB垂直平分DF.
例3.如圖,等邊△ABC和等邊△DCE在直線BCE的同一側,AE交CD于點P,BD交AC于點Q,
求證:①AE=BD②PC=QC③DQ=PE④AP=BQ⑤△PQC為等邊三角形⑥QP//BE.
練習3等腰三角形兩腰上的高相等，這個命題的逆命題是：______________________________________
_______，這個逆命題是_____命題（填“真”或“假”）.
四.課堂小結
1.知識內容：
（1）特殊圖形（等腰三角形與直角三角形）的性質與判定
（2）證明線段相等的方法（線段的垂直平分線和角平分線性質和判定）
2.解題方法：
（1）證明題的思考方法（證明線段相等，角相等常用的方法）
（2）觀察幾何圖形的角度（軸對稱圖形）
（3）題型的變式方式（逆向思考）
五.分層過關
1.等腰△ABC的兩條邊長分別為3和4，則其周長等于（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．不確定
2.等腰三角形一腰上的高等于這腰的一半，則這個等腰三角形的頂角等于（　 　）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
3.如圖5，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P是BC上不與B和C重合的一個動點，過點P分別作AB和AC的垂線，垂足為E，F．則PE+PF=( ）
A． B． C．6 D．
4.如圖6，在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=30，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，若AE=1，則BE的長為( )
A．2 B．3 C．4 D．1
5.如圖7，已知Rt△ABC，∠C=90，BD是角平分線，BD=5，BC=4，則D點到AB的距離是　　．
6.如圖8，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長等于______cm.
7.如圖9，已知，，與交于，．
求證：△OAB是等腰三角形．
8.如圖10,已知AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.求證:AD垂直平分EF.
全等三角形
判定：____，____，____，____，___性質：①________，②________.
三角形的證明
等腰三角形
性質：①________②________③等邊三角形________，________.
判定：①____②____________
③等邊三角形判定：____________________，________________________.
判定：①____________，②____________.
性質
角：①________________，②____________.
邊：①________________________________，②________.
直角三角形
線段的垂直平分線
性質：________________________________________.
判定：________________________________________.
三角形________________相交一點，這點到______距離相等.
角平分線
性質：_________________________________________.
判定：在一個角的內部，____________________________________.
三角形______________相交一點，這點到______的距離相等.
尺規作圖
①過一點作已知直線的垂線；
②已知一條直角邊和斜邊作直角三角形；
③已知底邊和底邊上的高作等腰三角形.
互逆命題及反證法
圖1
圖2
圖3
圖4
圖7
圖8
圖6
圖5
圖9
圖10
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