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第三單元 函數
第1節 平面直角坐標系及函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1平面直角坐標系 ☆ 平面直角坐標系作為數與形的橋梁、函數入門工具重要性不言而喻，平面直角坐標系和函數初步幾乎年年都會考查,分值為10分左右，主要考查坐標的相關概念與坐標變換、函數的相關概念和實際應用等。預計2024年各地中考還將出現，難度不高，在選擇、填空題中出現的可能性較大。
考點2點的坐標特征與變換 ☆☆
考點3 函數的概念 ☆☆☆
考點4 函數圖象信息 ☆☆☆
1．平面直角坐標系的概念及點的坐標特征：
(1)各象限內點的坐標特征如圖所示．
(2)點到坐標軸或坐標原點的距離：點P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y軸的距離為|x|，到坐標原點的距離為．
(3)特殊點的坐標特征：點P(x，y)在x軸上為(x，0)，在y軸上為(0，y)．若在第一、三象限的角平分線上，則x＝y；若在第二、四象限的角平分線上，則x＋y＝0．
(4)坐標系內點的對稱及平移：
點P(x，y) 關于x軸對稱 關于y軸對稱 關于原點對稱
對稱點的坐標 (x，－y) (－x，y) (－x，－y)
將點P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)個單位，得對應點為(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)個單位，得對應點為(x，y＋b)或(x，y－b)．
(5)平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：
①平行于x軸的直線上，所有點的 縱 坐標相等．
②平行于y軸的直線上，所有點的 橫 坐標相等．
2．函數與圖象：
(1)函數的定義：
一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數，x叫做自變量．
(2)函數自變量的取值范圍：
由表達式給出的函數，自變量的取值范圍應使表達式有意義．對于實際意義的函數，自變量的取值范圍還應使實際問題有意義．
(3)函數的三種表示方法：
①解析法；②列表法；③圖象法．
(4)函數圖象的畫法：
①列表；②描點；③連線．
■考點一　平面直角坐標系的相關概念
◇典例1：（2023 港南區模擬）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某動物園的示意圖，如果這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方形，并且猴山的坐標是（﹣2，2），則圖中熊貓館的位置用坐標表示為（　　）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
【考點】坐標確定位置．
【答案】C
【點撥】根據猴山（﹣2，2）確定坐標原點的位置，然后建立坐標系，進而可確定熊貓館的位置．
【解析】解：如圖所示：
熊貓館的點的坐標是（1，3），
故選：C．
【點睛】此題主要考查了坐標確定位置，關鍵是正確建立坐標系．
◆變式訓練
1．（2023 延吉市一模）如圖是利用平面直角坐標系畫出的天安門附近的部分建筑分布圖，若這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，表示弘義閣的點的坐標為（﹣1，﹣1），表示本仁殿的點的坐標為（2，﹣2），則表示中海福商店的點的坐標是 　（﹣4，﹣3）　．
【考點】坐標確定位置．
【答案】（﹣4，﹣3）．
【點撥】根據弘義閣的點的坐標和本仁殿的點的坐標，建立平面直角坐標，進而得出中福海商店的點的坐標．
【解析】解：根據題意可建立如下坐標系：
由坐標系可知，表示中福海商店的點的坐標是（﹣4，﹣3），
故答案為：（﹣4，﹣3）．
【點睛】此題主要考查了坐標確定位置，正確建立平面直角坐標系是解題關鍵．
2．（2022 寧波模擬）以下能夠準確表示宣城市政府地理位置的是（　　）
A．離上海市282千米 B．在上海市南偏西80°
C．在上海市南偏西282千米 D．東經30.8°，北緯18°
【考點】坐標確定位置；方向角．
【答案】D
【點撥】根據點的坐標的定義，確定一個位置需要兩個數據解答即可．
【解析】解：能夠準確表示宣城市政府地理位置的是：東經30.8°，北緯18°．
故選：D．
【點睛】本題考查了坐標確定位置，是基礎題，理解坐標的定義是解題的關鍵．
3．（2023 同心縣模擬）如圖是某片區平面示意圖，超市的坐標是（﹣2，4），市場的坐標是（1，3）．
（1）畫出相應的平面直角坐標系；
（2）分別寫出體育場、火車站和文化宮的坐標；
（3）若在（﹣3，﹣2）處建汽車站，在（2，﹣1）處建花壇，請在平面示意圖中標出汽車站和花壇的位置．
【考點】坐標確定位置．
【答案】（1）見解析；
（2）體育場（﹣4，2）、火車站（﹣1，1），文化宮（0，﹣2）；
（3）汽車站和花壇的位置見解析圖．
【點撥】（1）根據超市的坐標是（﹣2，4）建立坐標系即可；
（2）根據體育場、火車站和文化宮在坐標系中的位置寫出各點坐標即可；
（3）在坐標系中找出（﹣3，﹣2），（2，﹣1）兩點即可．
【解析】解：（1）如圖；
（2）由圖可知，體育場（﹣4，2）、火車站（﹣1，1），文化宮（0，﹣2）；
（3）汽車站和花壇的位置如圖所示．
【點睛】本題考查的是坐標確定位置，根據題意建立坐標系是解題的關鍵．
■考點二 點的坐標特征與變換
◇典例2：（2023 西湖區二模）在平面直角坐標系中，點A（a，a2﹣1）在第二象限內，則a的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】根據第二象限內點的坐標特點可知：a＜0，a2﹣1＞0，然后即可判斷哪個選項符合題意．
【解析】解：∵點A（a，a2﹣1）在第二象限內，
∴a＜0，a2﹣1＞0，
∴a的取值可以是﹣．
故選：B．
【點睛】本題考查平面直角坐標系、解不等式、點的坐標，解答本題的關鍵是明確第二象限內點的坐標符號是（﹣，+）．
2．（2021 麗水）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標分別是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y軸右側的一盞燈籠，使得y軸兩側的燈籠對稱，則平移的方法可以是（　　）
A．將B向左平移4.5個單位 B．將C向左平移4個單位
C．將D向左平移5.5個單位 D．將C向左平移3.5個單位
【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標；生活中的平移現象；坐標與圖形變化﹣平移；坐標確定位置．
【答案】C
【點撥】注意到A，B關于y軸對稱，只需要C，D關于y軸對稱即可，可以將點C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5個單位，或可以將D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5個單位．
【解析】解：∵A，B，C，D這四個點的縱坐標都是b，
∴這四個點在一條直線上，這條直線平行于x軸，
∵A（﹣1，b），B（1，b），
∴A，B關于y軸對稱，只需要C，D關于y軸對稱即可，
∵C（2，b），D（3.5，b），
∴可以將點C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5個單位，
或可以將D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5個單位，
故選：C．
【點睛】本題考查了生活中的平移現象，關于y軸對稱的點的坐標，注意關于y軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數，縱坐標不變．
◆變式訓練
1．（2023 婺城區模擬）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】根據點A橫縱坐標符號判定即可．
【解析】解：∵A（﹣2，3），﹣2＜0，3＞0，
∴點A（﹣2，3）在第二象限，
故選：B．
【點睛】本題考查點所在象限，熟練掌握平面直角坐標系各象限內事業的坐標符號：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）是解題的關鍵．
2．（2023 麗水）在平面直角坐標系中，點P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】依據m2+1＞0，即可得出點P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解析】解：∵m2+1＞0，
∴點P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故選：B．
【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征和平方的非負性，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2023 臨安區二模）若點A（a，﹣2），B（3，b）關于原點成中心對稱，則a，b的值分別為（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝﹣2 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
【考點】關于原點對稱的點的坐標．
【答案】D
【點撥】利用關于原點對稱的點的坐標特點解答即可．
【解析】解：∵點A（a，﹣2），B（3，b）關于原點對稱，
∴a＝﹣3，b＝2．
故選：D．
【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，熟知兩個點關于原點對稱時，它們的橫縱坐標互為相反數是解題的關鍵．
■考點三　函數的概念及自變量的取值范圍
◇典例4：（2023 寧波模擬）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≤﹣2
【考點】函數自變量的取值范圍．
【答案】A
【點撥】被開方數x+2大于0，求解即可．
【解析】解：根據題意，x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了函數自變量的取值范圍，一般考慮被開方數非負數，分母不等于0．
◆變式訓練
1．（2023 龍灣區模擬）下列圖象中，表示y是x的函數的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】函數的概念．
【答案】B
【點撥】在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，由此即可判斷．
【解析】解：由函數的定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，
因此，選項B中的圖象，表示y是x的函數，故B符合題意；
選項A、C、D中的圖象，不表示y是x的函數，故A、C、D不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查函數的概念，關鍵是掌握函數的定義．
2．（2023 咸豐縣一模）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥﹣2且x≠0 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2或x≠0 D．x＞﹣2
【考點】函數自變量的取值范圍；分式有意義的條件；二次根式有意義的條件．
【答案】A
【點撥】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．
【解析】解：根據題意得：x+2≥0，x≠0，
解得：x≥﹣2且x≠0，
故選：A．
【點睛】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數．
3．（2023 達州）函數y＝的自變量x的取值范圍是 　x＞1　．
【考點】函數自變量的取值范圍．
【答案】x＞1．
【點撥】由二次根式的被開方數大于等于0可得x﹣1≥0，由分式有意義的性質可得x﹣1≠0，即可求出自變量x的取值范圍．
【解析】解：根據題意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，
即x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案為：x＞1．
【點睛】考查了函數自變量的范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：
（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；
（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．
■考點四 函數圖象信息題
◇典例5：（2022 臺州）吳老師家、公園、學校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學校的距離分別為400m，600m．他從家出發勻速步行8min到公園后，停留4min，然后勻速步行6min到學校．設吳老師離公園的距離為y（單位：m），所用時間為x（單位：min），則下列表示y與x之間函數關系的圖象中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】函數的圖象．
【答案】C
【點撥】在不同時間段中，找出y的值，即可求解．
【解析】解：吳老師從家出發勻速步行8min到公園，則y的值由400變為0，
吳老師在公園停留4min，則y的值仍然為0，
吳老師從公園勻速步行6min到學校，則在18分鐘時，y的值為600，
故選：C．
【點睛】本題考查了函數的圖象，利用數形結合思想解決問題是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 自貢）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的是（　　）
A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘 B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米
C．報亭到小亮家的距離是400米 D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘
【考點】函數的圖象．
【答案】D
【點撥】根據圖象逐個分析即可．
【解析】解：A、由圖象得：小亮從家到羽毛球館用了7分鐘，故A選項不符合題意；
B、由圖象可知：小亮從羽毛球館到報亭的平均速度為：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B選項不符合題意；
C、由圖象知報亭到小亮家的距離是0.4千米，即400米，故C選項不符合題意；
D、由圖象知小亮打羽毛球的時間是37﹣7＝30（分鐘），故D選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了函數圖象，觀察圖象，從圖象中獲取信息是解題的關鍵．
2．（2023 天臺縣一模）德國醫生菲里斯和奧地利心理學家斯瓦波達經過長期臨床觀察發現，從出生之日起，人的情緒呈周期性變化，在前30天內，情緒的部分數據及函數圖象如表：
天數t … 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 …
波動值s … 0.3 0 0.3 1 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3 …
（1）數學活動：
①根據表中數據，通過描點，連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象．
②觀察函數圖象，當t＝14時，s的值為多少？當s的值最大時，t的值為多少？
（2）數學思考：請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．
（3）數學應用：根據研究，當s＞10時處于情緒高潮期，心情愉快；s＜10時為情緒低潮期，心情煩躁；s＝10時為臨界日，心情平穩，若小海從出生到今天的天數為5501天，則今天他心情如何？
【考點】函數的圖象．
【答案】（1）①見解析；
②當t＝14時，s＝10；當s的值最大時，t＝7；
（2）當0≤t≤7時，s隨t的增大而增大；當7≤t≤21時，s隨t的增大而減小；當s的值最大時，t＝7；當s的值最小時，t＝21；變化周期是28（答案不唯一）；
（3）小海屬于情緒高潮期，心情愉快．
【點撥】（1）①根據所給表格數據結合已有圖象利用描點作圖方法完成作圖即可；
②根據函數圖象即可解答；
（2）結合函數圖象即可寫出；
（3）根據周期為28天可得5501÷28＝196 13，即當t＝13時，s＞10，以此即可解答．
【解析】解：（1）①補全該函數的圖象如圖所示，
②根據圖象以及周期性易知當t＝14時，s＝10；
當s的值最大時，t＝7；
（2）當0≤t≤7時，s隨t的增大而增大；當7≤t≤21時，s隨t的增大而減小；當s的值最大時，t＝7；當s的值最小時，t＝21；變化周期是28（答案不唯一）；
（3）周期為28天，5501÷28＝196 13，
即當t＝13時，s＞10，所以小海屬于情緒高潮期，心情愉快．
【點睛】本題主要考查函數的圖象，讀懂題意，正確理解函數圖象，利用數形結合思想解決問題是解題關鍵．
1．（2022 衢州）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，﹣2）落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點】點的坐標．
【答案】C
【點撥】根據第三象限中點的坐標特征：橫坐標為負數，縱坐標為負數，由此可確定A點位置．
【解析】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，
∴點A（﹣1，﹣2）在第三象限，
故選：C．
【點睛】本題考查平面直角坐標系中點的坐標特征，熟練掌握平面直角坐標系中各象限點的坐標特點是解題的關鍵．
2．（2023 臺州）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為（﹣2，2），則“炮”所在位置的坐標為（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【考點】坐標確定位置．
【答案】A
【點撥】直接利用“車”位于點（﹣2，2），得出原點的位置，進而得出答案．
【解析】解：如圖所示：“炮”所在位置的坐標為：（3，1）．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點的位置是解題關鍵．
3．（2022 蕭山區模擬）在平面內，下列數據不能確定物體位置的是（　　）
A．北偏東30° B．錢塘明月4號樓301室 C．金惠路97號 D．東經118°，北緯40°
【考點】坐標確定位置；方向角．
【答案】A
【點撥】根據平面內的點與有序實數對一一對應對各選項進行判斷．
【解析】解：塘明月4號樓301室、金惠路97號、東經118°，北緯40°都可確定物體位置，而北偏東30°只能確定方向，但不能確定具體物體的位置．
故選：A．
【點睛】本題考查了坐標確定位置：平面內的點與有序實數對一一對應；記住直角坐標系中特殊位置點的坐標特征．
4．（2023 拱墅區二模）點M（m，n）在y軸上，則點M的坐標可能為（　　）
A．（﹣4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣2，0） D．（0，2）
【考點】點的坐標．
【答案】D
【點撥】根據y軸上的點的橫坐標為0判斷即可．
【解析】解：∵點M（m，n）在y軸上，
∴m＝0，
∴（0，2）．
故選：D．
【點睛】本題考查了點的坐標，掌握y軸上的點的坐標特點是解答本題的關鍵．
5．（2021 寧波一模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
【考點】函數自變量的取值范圍．
【答案】C
【點撥】根據被開方數大于等于0，得到關于x的一元一次不等式組，解之即可．
【解析】解：根據題意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故選：C．
【點睛】本題考查了函數自變量的取值范圍，正確掌握二次根式有意義的條件以及一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．
6．（2022 南潯區一模）在平面直角坐標系中，線段A′B′是由線段AB經過平移得到的，已知點A（﹣2，1）的對應點為A′（3，﹣1），點B的對應點為B′（4，0），則點B的坐標為（　　）
A．（9，﹣1） B．（﹣1，0） C．（3，﹣1） D．（﹣1，2）
【考點】坐標與圖形變化﹣平移．
【答案】D
【點撥】利用點A與點A′的坐標特征得到平移的規律，然后利用此平移規律由B′點的坐標確定點B的坐標．
【解析】解：∵點A（﹣2，1）的對應點為A′（3，﹣1），
∴線段A′B′是由線段AB先向右平移5個單位，再向下平移2個單位得到，
而點B的對應點為B′（4，0），
∴點B的坐標為（﹣1，2）．
故選：D．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化﹣平移：在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．
7．（2022 椒江區二模）平面直角坐標系中，點（a，﹣3）關于原點的對稱點是（1，b），則ab＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考點】關于原點對稱的點的坐標．
【答案】B
【點撥】首先根據關于原點對稱的點的坐標特點可得a＝﹣1，b＝3，再代入即可得到答案．
【解析】解：∵點（a，﹣3）關于原點的對稱點是（1，b），
∴a＝﹣1，b＝3，
ab＝（﹣1）3＝﹣1，
故選：B．
【點睛】此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反．
8．（2023 浙江舟山）如圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】函數的圖象．
【答案】D
【點撥】根據題意可分兩段進行分析：當水的深度未超過球頂時；當水的深度超過球頂時．分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．
【解析】解：當水的深度未超過球頂時，
水槽中能裝水的部分的寬度由下到上由寬逐漸變窄，再變寬，
所以在勻速注水過程中，水的深度變化先從上升較慢變為較快，再變為較慢；
當水的深度超過球頂時，
水槽中能裝水的部分寬度不再變化，
所以在勻速注水過程中，水的深度的上升速度不會發生變化．
綜上，水的深度先上升較慢，再變快，然后變慢，最后勻速上升．
故選：D．
【點睛】本題主要考查函數的圖象，利用分類討論思想，根據不同時間段能裝水部分的寬度的變化情況分析水的深度變化情況是解題關鍵．
9．（2023 溫州）【素材1】某景區游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．
【素材2】設游玩行走速度恒定，經過每個景點都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關系（部分數據）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．
【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（　　）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
【考點】函數的圖象．
【答案】B
【點撥】設①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由題意及圖象可知，然后根據“游玩行走速度恒定，經過每個景點都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘”可進行求解．
【解析】解：由圖象可知：小州游玩行走的時間為75+10﹣40＝45（分鐘），
小溫游玩行走的時間為205﹣100＝105（分鐘），
設①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米
由圖象可得：，
解得：x+y+z＝2700，
∴游玩行走的速度為：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），
由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為：3x+3y＝105×60＝6300，
∴x+y＝2100，
∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．
故選：B．
【點睛】本題主要考查三元一次方程組的應用及函數圖象，解題的關鍵是理解題中所給信息，找到它們之間的等量關系．
10．（2022 溫嶺市一模）如圖，網格格點上三點A、B、C在某平面直角坐標系中的坐標分別為（a，b）、（c，d）、（a+c，b+d），則下列判斷錯誤的是（　　）
A．a＜0 B．b＝2d C．a+c＝b+d D．a+b+d＝c
【考點】點的坐標．
【答案】C
【點撥】根據坐標平移可得，把點A向右2個單位再向上平移1個單位得到點B可得，把點A向右平移3個單位再向下平移1個單位得到點B，可得，即可算出a、b、c、d的值，計算即可得出答案．
【解析】解：根據坐標平移可得，
，
，
解得：a＝﹣1，b＝2，c＝2，d＝1，
∵a＝﹣1，∴a＜0，A選項正確，故A選項不符合題意；
∵b＝2d，∴B選項正確，故B選項不符合題意；
∵a+c＝﹣1+2＝1，b+d＝2+1＝3，∴a+c≠b+d，∴C選項不正確，故C選項符合題意；
∵a+b+d＝﹣1+2+2＝3＝c，∴D選項正確，故D選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了點到坐標，根據點的坐標的特征進行求解是解決本題的關鍵．
11．（2023 衢州）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為 　（1，3）　．
【考點】點的坐標．
【答案】（1，3）．
【點撥】根據A、B兩點的坐標確定平面直角坐標系的位置，即可得C點的坐標．
【解析】解：如圖：由A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），坐標可確定原點位置和坐標系：
由圖可得C（1，3），故答案為：（1，3）．
【點睛】本題考查平面直角坐標系與點的位置，屬于基礎題．
12．（2023 椒江區一模）若點P（a，b）在第二象限，則Q（﹣b，a）在第 　三　象限．
【考點】點的坐標．
【答案】三
【點撥】根據第二象限的坐標特征得到a＜0，b＞0，則﹣b＜0，然后根據第三象限的坐標特征對點Q進行判斷．
【解析】解：∵點P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴Q（﹣b，a）在第三象限．
故答案為三．
【點睛】本題考查了點的坐標：記住各象限內點的坐標特征以及坐標上點的坐標特征．
13．（2023 金華）在直角坐標系中，點（4，5）繞原點O逆時針方向旋轉90°，得到的點的坐標 　（﹣5，4）　．
【考點】坐標與圖形變化﹣旋轉．
【答案】（﹣5，4）
【點撥】利用旋轉變換的性質作出圖形可得結論．
【解析】解：如圖，點A（4，5）繞原點O逆時針方向旋轉90°，得到的點B的坐標（﹣5，4）．
故答案為：（﹣5，4）．
【點睛】本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉，解題的關鍵是正確作出圖形，利用圖象法解決問題．
14．（2023 諸暨市模擬）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點A的“長距”，當點P的“長距”等于點Q的“長距”時，稱P，Q兩點為“等距點”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）兩點為“等距點”，則k的值為 　﹣或1　．
【考點】點的坐標；解一元一次方程．
【答案】﹣或1．
【點撥】根據題意可得：|k+3|＝4或|4k﹣3|＝4，然后分兩種情況進行計算，即可解答．
【解析】解：∵P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）兩點為“等距點”，
∴|k+3|＝4或|4k﹣3|＝4，
當|k+3|＝4時，
∴k+3＝±4，
解得：k＝1或k＝﹣7，
當k＝1時，k+3＝4，4k﹣3＝1，點Q（4，1）的“長距”等于4；
當k＝﹣7時，k+3＝﹣4，4k﹣3＝﹣31，點Q（4，1）的“長距”等于31，不符合題意，舍去；
當|4k﹣3|＝4時，
∴4k﹣3＝±4，
解得：k＝或k＝﹣，
當k＝時，k+3＝，4k﹣3＝4，點Q（4，1）的“長距”等于，不符合題意，舍去；
當k＝﹣時，k+3＝，4k﹣3＝﹣4，點Q（4，1）的“長距”等于4；
綜上所述：k的值為﹣或1，
故答案為：﹣或1．
【點睛】本題考查了點的坐標，解一元一次方程，分兩種情況討論是解題的關鍵．
15．（2021 舟山）根據數學家凱勒的“百米賽跑數學模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”．市田徑隊把運動員小斌某次百米跑訓練時速度y（m/s）與路程x（m）之間的觀測數據，繪制成曲線如圖所示．
（1）y是關于x的函數嗎？為什么？
（2）“加速期”結束時，小斌的速度為多少？
（3）根據如圖提供的信息，給小斌提一條訓練建議．
【考點】函數的概念；數學常識．
【答案】詳見解析部分．
【點撥】（1）根據函數的定義，可直接判斷；
（2）由圖象可知，“加速期”結束時，即跑30米時，小斌的速度為10.4m/s．
（3）答案不唯一．建議合理即可．
【解析】解：（1）y是x的函數，在這個變化過程中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應．
（2）“加速期”結束時，小斌的速度為10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根據圖象信息，小斌在80米左右時速度下降明顯，建議增加耐力訓練，提高成績．
【點睛】本題主要考查函數圖象的應用，結合題干中“百米賽跑數學模型”讀出圖中的數據是解題關鍵．
16．（2022 寧波模擬）小紅星期天從家里出發騎車去舅舅家做客，當她騎了一段路時，想起要買個禮物送給表弟，于是又折回到剛經過的一家商店，買好禮物后又繼續騎車去舅舅家，如圖是她本次去舅舅家所用的時間與小紅離家的距離的關系式示意圖．根據圖中提供的信息回答下列問題：
（1）小紅家到舅舅家的路程是 　1500　米，小紅在商店停留了 　4　分鐘；
（2）在整個去舅舅家的途中哪個時間段小紅騎車速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了多少米？
【考點】函數的圖象．
【答案】見試題解析內容
【點撥】（1）根據圖象，路程的最大值即為小紅家到舅舅家的路程；讀圖，對應題意找到其在商店停留的時間段，進而可得其在書店停留的時間；
（2）分析圖象，找函數變化最快的一段，可得小明騎車速度最快的時間段，進而可得其速度；
（3）分開始行駛的路程，折回商店行駛的路程以及從商店到舅舅家行駛的路程三段相加即可求得小紅一共行駛路程．
【解析】解：（1）根據圖象舅舅家縱坐標為1500，小紅家的縱坐標為0，
故小紅家到舅舅家的路程是1500米；據題意，小紅在商店停留的時間為從8分到12分，故小紅在商店停留了4分鐘．
故答案為：1500，4；
（2）根據圖象，12≤x≤14時，直線最陡，
故小紅在12﹣14分鐘最快，速度為＝450（米/分）；
（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）．
【點睛】本題考查利用函數的圖象解決實際問題，正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數問題的相應解決．需注意計算單位的統一．
17．（2022 舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和時間x（h）的部分數據及函數圖象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（數據來自某海洋研究所）
（1）數學活動：
①根據表中數據，通過描點、連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象．
②觀察函數圖象，當x＝4時，y的值為多少？當y的值最大時，x的值為多少？
（2）數學思考：
請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．
（3）數學應用：
根據研究，當潮水高度超過260cm時，貨輪能夠安全進出該港口．請問當天什么時間段適合貨輪進出此港口？
【考點】函數的圖象．
【答案】（1）①見解答；②當x＝4時，y＝200，當y值最大時，x＝21；（2）①當2≤x≤7時，y隨x的增大而增大；②當x＝14時，y有最小值為80；（3）5＜x＜10或18＜x＜23．
【點撥】（1）①先描點，然后畫出函數圖象；
②利用數形結合思想分析求解；
（2）結合函數圖象增減性及最值進行分析說明；
（3）結合函數圖象確定關鍵點，從而求得取值范圍．
【解析】解：（1）①如圖：
②通過觀察函數圖象，當x＝4時，y＝200，當y值最大時，x＝21；
（2）該函數的兩條性質如下（答案不唯一）：
①當2≤x≤7時，y隨x的增大而增大；
②當x＝14時，y有最小值為80；
（3）由圖象，當y＝260時，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴當5＜x＜10或18＜x＜23時，y＞260，
即當5＜x＜10或18＜x＜23時，貨輪進出此港口．
【點睛】本題考查函數的圖象，理解題意，準確識圖，利用數形結合思想確定關鍵點是解題關鍵．
1．（2022 義烏市模擬）在平面直角坐標系中，點（﹣1，2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】根據各象限內點的坐標特征解答．
【解析】解：點（﹣1，2）的橫坐標小于0，縱坐標大于0，點（﹣1，2）所在的象限是第二象限．
故選：B．
【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（2023 柯城區校級一模）在平面直角坐標系中，點M（m﹣1，2m）在x軸上，則點M的坐標是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（0，﹣1）
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】根據x軸上的點的縱坐標為0，得出m的值進而得出M的坐標．
【解析】解：點M（m﹣1，2m）在x軸上，則2m＝0，
解得m＝0，
∴M（﹣1，0），
故選：B．
【點睛】本題考查了x軸上的點的坐標特征，掌握x軸上的點的縱坐標為0是解題的關鍵．
3．（2022 拱墅區模擬）若點A（﹣1，n）在第二象限，則點A′（﹣1，﹣n）在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【考點】點的坐標．
【答案】C
【點撥】根據第二象限內點的橫坐標是負數，縱坐標是正數求出n的符號情況，然后求出點A′所在的象限即可．
【解析】解：∵點A（﹣1，n）在第二象限，
∴n＞0，
∴﹣n＜0，
則點A′（﹣1，﹣n）在第三象限．
故選：C．
【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（2023 金華）如圖，兩盞燈籠的位置A，B的坐標分別是（﹣3，3），（1，2），將點B向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點B′，則關于點A，B′的位置描述正確的是（　　）
A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點O對稱 D．關于直線y＝x對稱
【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標；坐標與圖形變化﹣對稱；坐標與圖形變化﹣平移；關于原點對稱的點的坐標．
【答案】B
【點撥】根據平移規律確定B′的坐標即可得出結論．
【解析】解：∵點B′由點B（1，2）向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到
∴此時B′坐標為（3，3）．
∴A與B′關于y軸對稱．
故選：B．
【點睛】本題考查了點的平移規律以及點的對稱性，掌握規律輕松解答，屬于基礎題型．
5．（2022 臺州）如圖是戰機在空中展示的軸對稱隊形．以飛機B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系．若飛機E的坐標為（40，a），則飛機D的坐標為（　　）
A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）
【考點】坐標與圖形變化﹣對稱；坐標確定位置．
【答案】B
【點撥】根據軸對稱的性質即可得到結論．
【解析】解：∵飛機E（40，a）與飛機D關于y軸對稱，
∴飛機D的坐標為（﹣40，a），
故選：B．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
6．（2022 龍港市模擬）在平面直角坐標系中，將第四象限的點M（a，a﹣3）向上平移2個單位落在第一象限，則a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】根據題意構建不等式解決問題．
【解析】解：由題意得：
，
解得1＜a＜3，
故a的值可以是2，
故選：B．
【點睛】本題考查坐標與圖形變化﹣平移，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
7．（2023 黃石）函數的自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【考點】函數自變量的取值范圍．
【答案】C
【點撥】由題意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范圍即可．
【解析】解：由題意可得x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故選：C．
【點睛】本題考查函數自變量的取值范圍，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
8．（2023 內蒙古）若實數m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，且m＜n，則點（m，n）所在象限為（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點】點的坐標．
【答案】B
【點撥】依據題意，由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，故m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0，從而判斷m，n的符號可以得解．
【解析】解：由題意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，
∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．
∴m，n異號，且m，n中絕對值較大的為正．
又m＜n，
∴m＜0，n＞0．
∴（m，n）在第二象限．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了點的坐標特征，解題時要熟練掌握并靈活運用是關鍵．
9．（2023 寧波模擬）小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原來的速度返回，父親在報亭看報10分鐘，然后用15分鐘返回家，下列給出的圖象中表示父親離家距離與離家時間的函數關系是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】函數的圖象；函數的概念．
【答案】C
【點撥】由題意知，當x＝0時，y＝0；當x＝20時，y＝900；當x＝30時，y＝900；當x＝45時，y＝0；找出滿足以上條件的圖象即可．
【解析】解：由題意知，當x＝0時，y＝0；
當x＝20時，y＝900；
當x＝30時，y＝900；
當x＝45時，y＝0；
∴滿足以上條件的函數關系為C選項，
故選C．
【點睛】本題考查了與路程問題有關的函數圖象．解題的關鍵在于理解題意．
10．（2023 上城區模擬）甲、乙兩位同學放學后走路回家，他們走過的路程s（千米）與所用的時間t（分）之間的函數關系如圖所示．根據圖中信息，下列說法正確的是（　　）
A．前10分鐘，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度為0.06千米/分鐘
C．經過30分鐘，甲比乙走過的路程少 D．經過20分鐘，甲、乙都走了1.6千米
【考點】函數的圖象．
【答案】D
【點撥】根據函數圖象逐項判斷即可．
【解析】解：A．前10分鐘，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此選項錯誤，不符合題意；
B．根據圖象可知，甲40分鐘走了3.2千米，所以甲的平均速度為＝0.08千米/分鐘，故此選項錯誤，不符合題意；
C．經過30分鐘，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走過的路程多，故此選項錯誤，不符合題意；
D．經過20分鐘，由函數圖象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此選項正確，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查一次函數的圖象及其在行程問題中的應，理解函數圖象是解題關鍵．
11．（2023 嵊州市一模）小剛從家里出發，以400米/分鐘的速度勻速騎車5分鐘后就地休息了6分鐘，然后以500米/分鐘的速度勻速騎回家里掎回家里，s表示離家路程，t表示騎行時間，下列函數圖象能表達這一過程的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】函數的圖象．
【答案】D
【點撥】根據勻速行駛，可得路程隨時間勻速增加，根據原地休息，路程不變，根據加速返回，可得路程隨時間逐漸減少，可得答案．
【解析】解：由題意，得：
以400米/分的速度勻速騎車5分，路程隨時間勻速增加；在原地休息了6分，路程不變；以500米/分的速度騎回出發地，路程逐漸減少，
故選：D．
【點睛】本題考查了函數的圖象，利用數形結合思想解決問題是解題的關鍵．
12．（2023 杭州二模）點M（m+1，m+3）在y軸上，則點M的坐標為　（0，2）　．
【考點】點的坐標．
【答案】（0，2）．
【點撥】直接利用y軸上點的坐標特點得出m的值，進而得出答案．
【解析】解：∵點M（m+1，m+3）在y軸上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
故m+3＝2，
則點M的坐標為：（0，2）．
故答案為：（0，2）．
【點睛】此題主要考查了點的坐標，正確掌握y軸上點的坐標特點是解題關鍵．
13．（2023 哈爾濱）在函數中，自變量x的取值范圍是 　x≠8　．
【考點】函數自變量的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【點撥】根據分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：由題意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案為：x≠8．
【點睛】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，熟記分式的分母不為零是解題的關鍵．
14．（2023 貴州）如圖，是貴陽市城市軌道交通運營部分示意圖，以噴水池為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，若貴陽北站的坐標是（﹣2，7），則龍洞堡機場的坐標是 　（9，﹣4）　．
【考點】坐標確定位置．
【答案】（9，﹣4）．
【點撥】確定平面直角坐標系，即可確定龍洞堡機場的坐標．
【解析】解：由題中條件確定點O即為平面直角坐標系原點，
龍洞堡機場的坐標為（9，﹣4）；
故答案為：（9，﹣4）．
【點睛】本題考查根據已知條件確定平面直角坐標系，解題的關鍵是明確平面直角坐標系x軸、y軸的正方向以及確定點的坐標．
15．（2023 浙江二模）一輛汽車油箱內有油62升．如果設油箱內剩油量為y（升），行駛路程為x（千米），則y隨x的變化而變化．
行駛路程x（千米） 100 200 300 400
油箱內剩油量y（升） 50 38 26 14
請根據表格中的數據寫出y（升）與x（千米）之間的關系式y＝　62﹣0.12x　．
【考點】函數關系式．
【答案】62﹣0.12x
【點撥】根據題意列出算式，即可求出答案．
【解析】解：（50﹣38）÷（200﹣100）＝0.12（升/千米），
y＝62﹣0.12x．
故答案為：62﹣0.12x．
【點睛】本題考查了函數關系式，常量和變量等知識點，能根據題意列出函數關系式是解此題的關鍵．
16．（2022 麗水）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是（﹣，3），則A點的坐標是 　（，﹣3）　．
【考點】坐標與圖形性質；多邊形；中心對稱圖形．
【答案】（，﹣3）
【點撥】根據正六邊形的性質可得點A和點B關于原點對稱，進而可以解決問題．
【解析】解：因為點A和點B關于原點對稱，B點的坐標是（﹣，3），
所以A點的坐標是（，﹣3），
故答案為：（，﹣3）．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質，中心對稱圖形，解決本題的關鍵是掌握關于原點對稱的點的坐標特征．
17．（2021 杭州）如圖，在直角坐標系中，以點A（3，1）為端點的四條射線AB，AC，AD，AE分別過點B（1，1），點C（1，3），點D（4，4），點E（5，2），則∠BAC 　＝　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一個）．
【考點】坐標與圖形性質；直角三角形的性質；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】＝．
【點撥】在直角坐標系中構造直角三角形，根據三角形邊之間的關系推出角之間的關系．
【解析】解：連接DE，
由上圖可知AB＝2，BC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
又∵AE＝＝＝，
同理可得DE＝＝，
AD＝＝，
則在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE，
故答案為：＝．
【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，勾股定理及其逆定理，對于直角三角形的判定可以根據各個點的坐標，求出各線段的長度來實現，然后再根據邊來判斷角的大小．其解題關鍵在于構造相關的直角三角形．
18．（2023 舟山三模）德國心理學家艾賓浩斯研究發現，遺忘在新事物學習之后立即開始，而且遺忘的進程并不是均勻的．如果把學習后的時間記為x（時），記憶留存率記為y（%），則根據實驗數據可繪制出曲線（如圖所示），即著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”．該曲線對人類記憶認知研究產生了重大影響．
（1）y是關于x的函數嗎？為什么？
（2）請說明點D的實際意義．
（3）根據圖中信息，對新事物學習提出一條合理的建議．
【考點】函數的概念．
【答案】（1）y是關于x的函數；理由見解答；
（2）點D的實際意義是學習第24小時，記憶留存率為33.7%；
（3）見解答．
【點撥】（1）根據函數的概念，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，即可解答；
（2）根據點的坐標的意義即可解答；
（3）提出一條合理的建議即可．
【解析】解：（1）根據圖象知，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，
∴y是關于x的函數；
（2）點D的實際意義是學習第24小時，記憶留存率為33.7%；
（3）由圖形知，知識記憶遺忘是先快后慢，故建議學習新事物新知識后要及時復習，做到溫故而知新．
【點睛】本題考查了函數的圖象，讀懂題目信息并準確識圖理解函數圖象的橫坐標與縱坐標的實際意義是解題的關鍵．
19．（2020 慈溪市模擬）小明在游樂場坐過山車，某一分鐘內過山車高度h（米）與時間t（秒）之間的函數圖象如圖所示．請結合圖象回答：
（1）①當t＝41秒時，h的值是多少？并說明它的實際意義；
②過山車所達到的最大高度是多少？
（2）請描述30秒后，高度h（米）隨時間t（秒）的變化情況．
【考點】函數的圖象．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）①根據某一分鐘內過山車高度h（米）與時間t（秒）之間的函數圖象即可得當t＝41秒時，h的值；
②結合圖圖象可得過山車所達到的最大高度是98米；
（2）根據圖象分三段描述即可．
【解析】解：（1）①當t＝41秒時，h的值是15米．
它的實際意義為當時間為41秒時，過山車高度為15米；
②過山車所達到的最大高度是98米；
（2）當30＜t≤41時，高度h（米）隨時間t（秒）的增大而減小；
當41＜t≤53時，高度h（米）隨時間t（秒）的增大而增大；
當53＜t≤60時，高度h（米）隨時間t（秒）的增大而減小．
【點睛】本題考查了函數的圖象，解決本題的關鍵是利用數形結合思想．
20．（2023 蘭山區一模）如圖①和圖②，并給出的關鍵信息有：哥哥、妹妹、家、書店．哥哥妹妹同時從家外出．
（1）請根據給出的關鍵信息以及兩幅圖，用精煉的語言創設一個問題情境，恰好能表達圖①和圖②中圖象對應的函數關系．
（2）請根據（1）一種所創設的情境，用精煉的語言描述一下第30分鐘時，兩圖中所表達的現實情境．
（3）請根據一中所創設的情境，第35分鐘時圖①和圖②中速度更快的是填圖①和圖②．
【考點】函數的圖象．
【答案】（1）哥哥和妹妹以相同的速度同時從家外出，20分鐘后到達距離家900米的書店．哥哥到達書店后，立即以原來的速度返回家中（如圖①），妹妹留在書店看了10分鐘書后加快了速度返回家中（如圖②）；
（2）第30分鐘，哥哥在返回家的途中（或在離家450米處等），妹妹即將開始返程回家（或仍在離家900米處等）；
（3）圖②．
【點撥】（1）根據給出的關鍵信息以及兩幅圖，用語言創設一個問題情境即可；
（2）根據（1）一種所創設的情境，進行回答即可；
（3）根據圖象回答即可．
【解析】解：（1）哥哥和妹妹以相同的速度同時從家外出，20分鐘后到達距離家900米的書店．哥哥到達書店后，立即以原來的速度返回家中（如圖①），妹妹留在書店看了10分鐘書后加快了速度返回家中（如圖②）．
（2）第30分鐘，哥哥在返回家的途中（或在離家450米處等），
妹妹即將開始返程回家（或仍在離家900米處等），
（3）根據圖象可以得出：第35分鐘時圖①和圖②中速度更快的是圖②．
【點睛】本題考查了函數的圖形，解決本題的關鍵是讀懂圖意，明確橫軸與縱軸的意義．
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第三單元 函數
第1節 平面直角坐標系及函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1平面直角坐標系 ☆ 平面直角坐標系作為數與形的橋梁、函數入門工具重要性不言而喻，平面直角坐標系和函數初步幾乎年年都會考查,分值為10分左右，主要考查坐標的相關概念與坐標變換、函數的相關概念和實際應用等。預計2024年各地中考還將出現，難度不高，在選擇、填空題中出現的可能性較大。
考點2點的坐標特征與變換 ☆☆
考點3 函數的概念 ☆☆☆
考點4 函數圖象信息 ☆☆☆
1．平面直角坐標系的概念及點的坐標特征：
(1)各象限內點的坐標特征如圖所示．
(2)點到坐標軸或坐標原點的距離：點P(x，y)到x軸的距離為 ，到y軸的距離為 ，到坐標原點的距離為 ．
(3)特殊點的坐標特征：點P(x，y)在x軸上為 ，在y軸上為 ．若在第一、三象限的角平分線上，則 ；若在第二、四象限的角平分線上，則 ．
(4)坐標系內點的對稱及平移：
點P(x，y) 關于x軸對稱 關于y軸對稱 關于原點對稱
對稱點的坐標
將點P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)個單位，得對應點為( ，y)或( ，y)．向上(或下)平移b(b＞0)個單位，得對應點為(x， )或(x， )．
(5)平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：
①平行于x軸的直線上，所有點的 坐標相等．
②平行于y軸的直線上，所有點的 坐標相等．
2．函數與圖象：
(1)函數的定義：
一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的 ，x叫做 ．
(2)函數自變量的取值范圍：
由表達式給出的函數，自變量的取值范圍應使表達式有意義．對于實際意義的函數，自變量的取值范圍還應使 有意義．
(3)函數的三種表示方法：
① ；② ；③ ．
(4)函數圖象的畫法：
①列表；② ；③連線．
■考點一　平面直角坐標系的相關概念
◇典例1：（2023 港南區模擬）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某動物園的示意圖，如果這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方形，并且猴山的坐標是（﹣2，2），則圖中熊貓館的位置用坐標表示為（　　）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
◆變式訓練
1．（2023 延吉市一模）如圖是利用平面直角坐標系畫出的天安門附近的部分建筑分布圖，若這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，表示弘義閣的點的坐標為（﹣1，﹣1），表示本仁殿的點的坐標為（2，﹣2），則表示中海福商店的點的坐標是 　　．
2．（2022 寧波模擬）以下能夠準確表示宣城市政府地理位置的是（　　）
A．離上海市282千米 B．在上海市南偏西80°
C．在上海市南偏西282千米 D．東經30.8°，北緯18°
3．（2023 同心縣模擬）如圖是某片區平面示意圖，超市的坐標是（﹣2，4），市場的坐標是（1，3）．
（1）畫出相應的平面直角坐標系；
（2）分別寫出體育場、火車站和文化宮的坐標；
（3）若在（﹣3，﹣2）處建汽車站，在（2，﹣1）處建花壇，請在平面示意圖中標出汽車站和花壇的位置．
■考點二 點的坐標特征與變換
◇典例2：（2023 西湖區二模）在平面直角坐標系中，點A（a，a2﹣1）在第二象限內，則a的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 麗水）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標分別是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y軸右側的一盞燈籠，使得y軸兩側的燈籠對稱，則平移的方法可以是（　　）
A．將B向左平移4.5個單位 B．將C向左平移4個單位
C．將D向左平移5.5個單位 D．將C向左平移3.5個單位
◆變式訓練
1．（2023 婺城區模擬）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 麗水）在平面直角坐標系中，點P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023 臨安區二模）若點A（a，﹣2），B（3，b）關于原點成中心對稱，則a，b的值分別為（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝﹣2 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2
■考點三　函數的概念及自變量的取值范圍
◇典例4：（2023 寧波模擬）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≤﹣2
◆變式訓練
1．（2023 龍灣區模擬）下列圖象中，表示y是x的函數的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 咸豐縣一模）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥﹣2且x≠0 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2或x≠0 D．x＞﹣2
3．（2023 達州）函數y＝的自變量x的取值范圍是 　　．
■考點四 函數圖象信息題
◇典例5：（2022 臺州）吳老師家、公園、學校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學校的距離分別為400m，600m．他從家出發勻速步行8min到公園后，停留4min，然后勻速步行6min到學校．設吳老師離公園的距離為y（單位：m），所用時間為x（單位：min），則下列表示y與x之間函數關系的圖象中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023 自貢）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的是（　　）
A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘 B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米
C．報亭到小亮家的距離是400米 D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘
2．（2023 天臺縣一模）德國醫生菲里斯和奧地利心理學家斯瓦波達經過長期臨床觀察發現，從出生之日起，人的情緒呈周期性變化，在前30天內，情緒的部分數據及函數圖象如表：
天數t … 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 …
波動值s … 0.3 0 0.3 1 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3 …
（1）數學活動：
①根據表中數據，通過描點，連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象．
②觀察函數圖象，當t＝14時，s的值為多少？當s的值最大時，t的值為多少？
（2）數學思考：請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．
（3）數學應用：根據研究，當s＞10時處于情緒高潮期，心情愉快；s＜10時為情緒低潮期，心情煩躁；s＝10時為臨界日，心情平穩，若小海從出生到今天的天數為5501天，則今天他心情如何？
1．（2022 衢州）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，﹣2）落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 臺州）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為（﹣2，2），則“炮”所在位置的坐標為（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
3．（2022 蕭山區模擬）在平面內，下列數據不能確定物體位置的是（　　）
A．北偏東30° B．錢塘明月4號樓301室 C．金惠路97號 D．東經118°，北緯40°
4．（2023 拱墅區二模）點M（m，n）在y軸上，則點M的坐標可能為（　　）
A．（﹣4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣2，0） D．（0，2）
5．（2021 寧波一模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥3 B．x＞0且x≠3 C．x≤3 D．x≤3且x≠0
6．（2022 南潯區一模）在平面直角坐標系中，線段A′B′是由線段AB經過平移得到的，已知點A（﹣2，1）的對應點為A′（3，﹣1），點B的對應點為B′（4，0），則點B的坐標為（　　）
A．（9，﹣1） B．（﹣1，0） C．（3，﹣1） D．（﹣1，2）
7．（2022 椒江區二模）平面直角坐標系中，點（a，﹣3）關于原點的對稱點是（1，b），則ab＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（2023 浙江舟山）如圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 溫州）【素材1】某景區游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．
【素材2】設游玩行走速度恒定，經過每個景點都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關系（部分數據）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．
【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（　　）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
10．（2022 溫嶺市一模）如圖，網格格點上三點A、B、C在某平面直角坐標系中的坐標分別為（a，b）、（c，d）、（a+c，b+d），則下列判斷錯誤的是（　　）
A．a＜0 B．b＝2d C．a+c＝b+d D．a+b+d＝c
11．（2023 衢州）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為 　　．
12．（2023 椒江區一模）若點P（a，b）在第二象限，則Q（﹣b，a）在第 　 　象限．
13．（2023 金華）在直角坐標系中，點（4，5）繞原點O逆時針方向旋轉90°，得到的點的坐標 　　．
14．（2023 諸暨市模擬）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點A的“長距”，當點P的“長距”等于點Q的“長距”時，稱P，Q兩點為“等距點”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）兩點為“等距點”，則k的值為 　　．
15．（2021 舟山）根據數學家凱勒的“百米賽跑數學模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”．市田徑隊把運動員小斌某次百米跑訓練時速度y（m/s）與路程x（m）之間的觀測數據，繪制成曲線如圖所示．
（1）y是關于x的函數嗎？為什么？
（2）“加速期”結束時，小斌的速度為多少？
（3）根據如圖提供的信息，給小斌提一條訓練建議．
16．（2022 寧波模擬）小紅星期天從家里出發騎車去舅舅家做客，當她騎了一段路時，想起要買個禮物送給表弟，于是又折回到剛經過的一家商店，買好禮物后又繼續騎車去舅舅家，如圖是她本次去舅舅家所用的時間與小紅離家的距離的關系式示意圖．根據圖中提供的信息回答下列問題：
（1）小紅家到舅舅家的路程是 　1500　米，小紅在商店停留了 　4　分鐘；
（2）在整個去舅舅家的途中哪個時間段小紅騎車速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了多少米？
17．（2022 舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和時間x（h）的部分數據及函數圖象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（cm） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（數據來自某海洋研究所）
（1）數學活動：
①根據表中數據，通過描點、連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象．
②觀察函數圖象，當x＝4時，y的值為多少？當y的值最大時，x的值為多少？
（2）數學思考：
請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．
（3）數學應用：
根據研究，當潮水高度超過260cm時，貨輪能夠安全進出該港口．請問當天什么時間段適合貨輪進出此港口？
1．（2022 義烏市模擬）在平面直角坐標系中，點（﹣1，2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 柯城區校級一模）在平面直角坐標系中，點M（m﹣1，2m）在x軸上，則點M的坐標是（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（0，﹣1）
3．（2022 拱墅區模擬）若點A（﹣1，n）在第二象限，則點A′（﹣1，﹣n）在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2023 金華）如圖，兩盞燈籠的位置A，B的坐標分別是（﹣3，3），（1，2），將點B向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點B′，則關于點A，B′的位置描述正確的是（　　）
A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點O對稱 D．關于直線y＝x對稱
5．（2022 臺州）如圖是戰機在空中展示的軸對稱隊形．以飛機B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系．若飛機E的坐標為（40，a），則飛機D的坐標為（　　）
A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）
6．（2022 龍港市模擬）在平面直角坐標系中，將第四象限的點M（a，a﹣3）向上平移2個單位落在第一象限，則a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023 黃石）函數的自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
8．（2023 內蒙古）若實數m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，且m＜n，則點（m，n）所在象限為（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023 寧波模擬）小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原來的速度返回，父親在報亭看報10分鐘，然后用15分鐘返回家，下列給出的圖象中表示父親離家距離與離家時間的函數關系是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023 上城區模擬）甲、乙兩位同學放學后走路回家，他們走過的路程s（千米）與所用的時間t（分）之間的函數關系如圖所示．根據圖中信息，下列說法正確的是（　　）
A．前10分鐘，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度為0.06千米/分鐘
C．經過30分鐘，甲比乙走過的路程少 D．經過20分鐘，甲、乙都走了1.6千米
11．（2023 嵊州市一模）小剛從家里出發，以400米/分鐘的速度勻速騎車5分鐘后就地休息了6分鐘，然后以500米/分鐘的速度勻速騎回家里掎回家里，s表示離家路程，t表示騎行時間，下列函數圖象能表達這一過程的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023 杭州二模）點M（m+1，m+3）在y軸上，則點M的坐標為　　．
13．（2023 哈爾濱）在函數中，自變量x的取值范圍是 　　．
14．（2023 貴州）如圖，是貴陽市城市軌道交通運營部分示意圖，以噴水池為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，若貴陽北站的坐標是（﹣2，7），則龍洞堡機場的坐標是 　　．
15．（2023 浙江二模）一輛汽車油箱內有油62升．如果設油箱內剩油量為y（升），行駛路程為x（千米），則y隨x的變化而變化．
行駛路程x（千米） 100 200 300 400
油箱內剩油量y（升） 50 38 26 14
請根據表格中的數據寫出y（升）與x（千米）之間的關系式y＝　　．
16．（2022 麗水）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是（﹣，3），則A點的坐標是 　　．
17．（2021 杭州）如圖，在直角坐標系中，以點A（3，1）為端點的四條射線AB，AC，AD，AE分別過點B（1，1），點C（1，3），點D（4，4），點E（5，2），則∠BAC 　＝　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一個）．
18．（2023 舟山三模）德國心理學家艾賓浩斯研究發現，遺忘在新事物學習之后立即開始，而且遺忘的進程并不是均勻的．如果把學習后的時間記為x（時），記憶留存率記為y（%），則根據實驗數據可繪制出曲線（如圖所示），即著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”．該曲線對人類記憶認知研究產生了重大影響．
（1）y是關于x的函數嗎？為什么？
（2）請說明點D的實際意義．
（3）根據圖中信息，對新事物學習提出一條合理的建議．
19．（2020 慈溪市模擬）小明在游樂場坐過山車，某一分鐘內過山車高度h（米）與時間t（秒）之間的函數圖象如圖所示．請結合圖象回答：
（1）①當t＝41秒時，h的值是多少？并說明它的實際意義；
②過山車所達到的最大高度是多少？
（2）請描述30秒后，高度h（米）隨時間t（秒）的變化情況．
20．（2023 蘭山區一模）如圖①和圖②，并給出的關鍵信息有：哥哥、妹妹、家、書店．哥哥妹妹同時從家外出．
（1）請根據給出的關鍵信息以及兩幅圖，用精煉的語言創設一個問題情境，恰好能表達圖①和圖②中圖象對應的函數關系．
（2）請根據（1）一種所創設的情境，用精煉的語言描述一下第30分鐘時，兩圖中所表達的現實情境．
（3）請根據一中所創設的情境，第35分鐘時圖①和圖②中速度更快的是填圖①和圖②．
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