資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三章 函數(shù)
第3節(jié) 一次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問題
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一次函數(shù)與方程（組） ☆ 一次函數(shù)的應(yīng)用在中考中多考察一次函數(shù)圖象的理解和信息提取，通常以行程類問題為主。出題時(shí)也多和方程、不等式結(jié)合，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的題目在中考中難度不大，關(guān)鍵在于函數(shù)關(guān)系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，建立函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵. 單獨(dú)考查一次函數(shù)與方程、不等式的題目近年比較少.
考點(diǎn)2 一次函數(shù)與不等式（組） ☆☆
考點(diǎn)3一次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆☆
考點(diǎn)4 一次函數(shù)的綜合 ☆☆
1．一元一次方程kx＋b＝0與一次函數(shù)y＝kx＋b的關(guān)系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函數(shù)y＝kx＋b在 時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)與一次函數(shù)y＝kx＋b的關(guān)系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即為一次函數(shù)y＝kx＋b在 時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍．
3．二元一次方程組與一次函數(shù)圖象的關(guān)系：二元一次方程組的解即為一次函數(shù)y＝k1x＋b1與一次函數(shù)y＝k2x＋b2的圖象的 ．
4.一次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，在解答一次函數(shù)的應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)從給定的信息中抽象出一次函數(shù)關(guān)系，理清哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是自變量的函數(shù)，確定出一次函數(shù)，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解，同時(shí)要注意自變量的取值范圍．解題時(shí)常用到建模思想和函數(shù)思想．
1）一次函數(shù)應(yīng)用問題的求解思路：
①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；
②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。
2）建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟：
①審題，設(shè)定實(shí)際問題中的變量，明確變量x和y；
②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；
④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
⑤寫出答案。
3）利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題的一般步驟：
①觀察圖象，獲取有效信息；
②對(duì)獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；
③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具(如函數(shù)、方程、不等式等)，通過建模解決問題。
【提示】時(shí)刻注意根據(jù)實(shí)際情況確定變量的取值范圍。
4）求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計(jì)算出來，再進(jìn)行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
■考點(diǎn)一　一次函數(shù)與方程（組）
◇典例1：（2021 遼寧）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），則關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 賀州）直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，1），B（2，0），則關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．（2022 梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點(diǎn)A，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)二 一次函數(shù)與不等式（組）
◇典例2：（2023 德州）已知直線y＝3x+a與直線y＝﹣2x+b交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣5，則關(guān)于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為（　　）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 丹東）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），則不等式ax+b＞0的解集是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
2．（2023 同心縣模擬）一次函數(shù)y1＝mx+n與y2＝kx+a的圖象如圖所示，則mx+n＞kx+a的解集為（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
3．（2022 西湖區(qū)一模）已知函數(shù)y1＝2x+m，y2＝﹣mx+m（m為常數(shù)，m≠0）．
（1）若點(diǎn)（﹣1，1）在y1的圖象上，
①求m的值．
②求函數(shù)y1與y2的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)m＞0，且0＜y2＜y1時(shí)，求自變量x的取值范圍．
■考點(diǎn)三 一次函數(shù)的應(yīng)用
◇典例3：1．（2023 杭州二模）明明和亮亮都在同一直道A、B兩地間做勻速往返走鍛煉．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉頭等時(shí)間）．明明從A地出發(fā)，同時(shí)亮亮從B地出發(fā)．圖中的折線段表示從開始到第二次相遇止，兩人之間的距離y（米）與行走時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系的圖象，則（　　）
A．明明的速度是80米/分 B．第二次相遇時(shí)距離B地800米
C．出發(fā)25分時(shí)兩人第一次相遇 D．出發(fā)35分時(shí)兩人相距2000米
2．（2023 麗水）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：
（1）直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
（2）求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 紹興模擬）某商店以每件13元的價(jià)格購進(jìn)某商品100件，售出部分商品后進(jìn)行了降價(jià)銷售，銷售金額y（元）與銷售量x（件）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則售完這100件商品可盈利（　　）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
2．（2022 麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是330km，貨車行駛時(shí)的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖．
（1）求出a的值；
（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；
（3）問轎車比貨車早多少時(shí)間到達(dá)乙地？
■考點(diǎn)四　 一次函數(shù)的綜合
◇典例4：（2022 錢塘區(qū)二模）如圖（含備用圖），在直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝kx+3與x軸相交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求k的值及△AOB的面積；
（2）點(diǎn)C在x軸上，若△ABC是以AB為腰的等腰三角形，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M（3，0）在x軸上，若點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBM的面積與△AOB的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸于點(diǎn)A（8，0），交y軸于點(diǎn)B．直線y＝x﹣與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)C（6，a）．點(diǎn)M是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）以線段MN，MC為鄰邊作 MNQC，直線QC與x軸交于點(diǎn)E．
①當(dāng)0≤m＜時(shí)，設(shè)線段EQ的長度為l，求l與m之間的關(guān)系式；
②連接OQ，AQ，當(dāng)△AOQ的面積為3時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值．
1．（2023 路橋區(qū)一模）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（2023 婺城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ax+b與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
3．（2022 龍港市模擬）如圖，一次函數(shù)y＝x+b的圖象過點(diǎn)（﹣2，3），則不等式x+b＞3的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＞0 D．x＞2
4．（2023 舟山一模）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
5．（2023 龍港市二模）小聰上午8：00從家里出發(fā)，騎車去一家超市購物，然后從這家超s（km）市返回家中．小聰離家的路程s（km）和所經(jīng)過的時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（　　）
A．小聰去超市途中的速度是0.1km/分 B．小聰回家途中的速度是0.2km/分
C．小聰在超市逗留了40分鐘 D．小聰在來去途中，離家1km處的時(shí)間是8：05和8：50
6．（2021 衢州）已知A，B兩地相距60km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發(fā)到B地，甲騎自行車勻速行駛3h到達(dá)，乙騎摩托車，比甲遲1h出發(fā)，行至30km處追上甲，停留半小時(shí)后繼續(xù)以原速行駛．他們離開A地的路程y與甲行駛時(shí)間x的函數(shù)圖象如圖所示．當(dāng)乙再次追上甲時(shí)距離B地（　　）
A．15km B．16km C．44km D．45km
7．（2023 海曙區(qū)一模）某容器由A、B、C三段圓柱體組成（如圖①），其中A、B、C的底面積分別為5S，2S，S（單位：cm2），C段的容積是容器總?cè)莘e的．現(xiàn)以速度v（單位：cm3/s）勻速向容器注水，直至注滿為止．圖②是注水全過程中容器的水面高度h（單位：cm）與注水時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)圖象．下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
A．a(chǎn)＝10 B．b＝24 C．c＝10 D．v＝2S
8．（2022 杭州）已知一次函數(shù)y＝3x﹣1與y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），則方程組的解是 　　．
9．（2021 寧波模擬）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）與B（0，﹣4），那么關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集是 　　．
10．（2022 富陽區(qū)二模）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，3），B（﹣，0）兩點(diǎn)，則不等式組0＜kx+b＜﹣3x的解集為 　　．
11．（2021 金華模擬）已知經(jīng)過點(diǎn)（0，2）的直線y＝ax+b與直線y＝x+1平行，則a＝　　，b＝　　．
12．（2023 仙居縣一模）小波某時(shí)刻想喝水，飲水機(jī)顯示水溫為30℃，為預(yù)測水燒開的時(shí)間，小波每隔1分鐘觀察一次水溫，得到數(shù)據(jù)如表．
等待時(shí)間t/分鐘 0 1 2 3
水溫T/℃ 30 40 50 60
（1）求水溫T（單位：℃）關(guān)于等待時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式．
（2）求小波喝到100℃開水的最短等待時(shí)間．
13．（2021 蕭山區(qū)二模）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，b）．
（1）直接寫出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接寫出方程組的解；
（3）直線l3：y＝nx+m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由．
14．（2023 寧波）某校與部隊(duì)聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動(dòng)，上午7：00，部隊(duì)官兵乘坐軍車從營地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖1）到愛國主義教育基地進(jìn)行研學(xué)．上午8：00，軍車在離營地60km的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉庫后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，軍車和大巴離營地的路程s（km）與所用時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．
（1）求大巴離營地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式及a的值．
（2）求部隊(duì)官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時(shí)間．
15．（2023 臺(tái)州）【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計(jì)時(shí)裝置．
【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如表：
流水時(shí)間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務(wù)1：分別計(jì)算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“t＝0，h＝30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系．
任務(wù)2：利用t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式；
【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差，小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對(duì)應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．
任務(wù)3：（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；
（2）請(qǐng)確定經(jīng)過（0，30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小；
【設(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過刻度直接讀取時(shí)間．
任務(wù)4：請(qǐng)你簡要寫出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．
16．（2022 泰州）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數(shù)y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”．
（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數(shù)y＝5x+2是否為函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，并說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點(diǎn)P．
①若m+n＞1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，求p的取值范圍；
②若p≠1，函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過點(diǎn)P．是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變？若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
1．（2023 醴陵市一模）已知直線y＝﹣3x與y＝kx+2相交于點(diǎn)P（m，3），則關(guān)于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．（2021 乾縣模擬）若x＝2是關(guān)于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，則一次函數(shù)y＝﹣mx﹣n的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0）
3．（2021 山西模擬）如圖是一次函數(shù)y＝x﹣1的圖象，根據(jù)圖象可直接寫出方程x﹣1＝0的解為x＝2，這種解題方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（　　）
A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．分類討論思想 D．函數(shù)思想
4．（2021 蕉嶺縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+b（m，b均為常數(shù)）與正比例函數(shù)y＝nx（n為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程mx＝nx﹣b的解為（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
5．（2023 婺城區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），則不等式kx+b＞0的解為（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
6．（2021 杭州三模）如圖，已知函數(shù)y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點(diǎn)P（﹣2，﹣5），則根據(jù)圖象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
7．（2023 薛城區(qū)一模）我們知道，若ab＞0．則有或．如圖，直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點(diǎn)A（﹣0.5，0）、B（2，0），則不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
8．（2021 德陽）關(guān)于x，y的方程組的解為，若點(diǎn)P（a，b）總在直線y＝x上方，那么k的取值范圍是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
9．（2023 金華模擬）清明期間，甲、乙兩人同時(shí)登云霧山，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與登山時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
A．乙提速后每分鐘攀登30米 B．乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)11分鐘
C．從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，乙用時(shí)6.5分鐘
D．從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，甲、乙兩人共攀登了330米．
10．（2021 永嘉縣模擬）如圖，直線y＝x+1交y軸于點(diǎn)A，交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），PC∥y軸，交直線l于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)P上方），PD⊥y軸于點(diǎn)D，以PC，PD為鄰邊構(gòu)造矩形PDEC，若矩形PDEC的周長為8，則直線l的表達(dá)式為（　　）
A．y＝﹣x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+4 D．y＝﹣x+4
11．（2023 西湖區(qū)校級(jí)二模）已知方程組的解為，則直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于第 　　象限．
12．（2023 杭州模擬）已知關(guān)于x，y的方程組的解是，則直線y＝﹣x+b與y＝3x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 　　．
13．（2023 杭州模擬）已知一次函數(shù)y＝3x﹣7與y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1），則方程組的解是 　　．
14．（2022 西寧）如圖，直線y1＝k1x與直線y2＝k2x+b交于點(diǎn)A（1，2）．當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是 　　．
15．（2021 鹿城區(qū)一模）如圖，直線l1：y＝x+3分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，直線l2：y＝﹣x+m分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C，D，直線l1，l2相交于點(diǎn)E，將△ABO向右平移5個(gè)單位得到△A′B'O'，若點(diǎn)B′恰好落在直線l2上，則DE：B'C＝　　．
16．（2023 余杭區(qū)模擬）設(shè)兩個(gè)不同的一次函數(shù)y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常數(shù)，且kb≠0）．
（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，0），函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（n，0），求證：mn＝1．
（2）當(dāng)y1＜y2時(shí)，求x的取值范圍．
17．（2021 富陽區(qū)二模）我們知道：|a|＝，在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4．
（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出一條這個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)．
18．（2021 永嘉縣校級(jí)模擬）如圖，直線l1的表達(dá)式為y＝﹣3x+3，且與x軸交于點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（3，﹣），直線l1，l2交于點(diǎn)C．
（1）求直線l2的表達(dá)式；
（2）在直線l2上存在點(diǎn)P，能使S△ADP＝2S△ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
19．（2023 嵊州市一模）為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，某市規(guī)定：每月用水量不超過20立方米時(shí)，單價(jià)為每立米2.5元，每月用水量超過20立方米時(shí)，單價(jià)提高．某用戶每月支付y（元）與用水量x（立方米）的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象，回答下列問題：
（1）求a的值；
（2）當(dāng)每月用水量超過20立方米時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若該用戶預(yù)計(jì)某個(gè)月用水量為35立方米，則這個(gè)月的水費(fèi)需支付多少元．
20．（2023 金華）兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，途中速度保持不變：妹妹騎車，到書吧前的速度為200米/分，圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程s（米）與哥哥離開學(xué)校的時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中a的值；
②妹妹在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時(shí)兄妹倆離家還有多遠(yuǎn)；若不能，說明理由．
21．（2022 湖州）某校組織學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，乘坐大巴前往基地進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)．大巴出發(fā)1小時(shí)后，學(xué)校因事派人乘坐轎車沿相同路線追趕．已知大巴行駛的速度是40千米/小時(shí)，轎車行駛的速度是60千米/小時(shí)．
（1）求轎車出發(fā)后多少小時(shí)追上大巴？此時(shí)，兩車與學(xué)校相距多少千米？
（2）如圖，圖中OB，AB分別表示大巴、轎車離開學(xué)校的路程s（千米）與大巴行駛的時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象．試求點(diǎn)B的坐標(biāo)和AB所在直線的解析式；
（3）假設(shè)大巴出發(fā)a小時(shí)后轎車出發(fā)追趕，轎車行駛了1.5小時(shí)追上大巴，求a的值．
22．（2023 鹿城區(qū)校級(jí)三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：
如何制定訂餐方案？
素材1 某班級(jí)組織春日研學(xué)活動(dòng)，需提前為同學(xué)們訂購午餐，現(xiàn)有A、B兩種套餐可供選擇，套餐信息及團(tuán)購優(yōu)惠方案如下所示： 套餐類別套餐單價(jià)團(tuán)體訂購優(yōu)惠方案A：米飯?zhí)撞?0 元方案一：A套餐滿20份及以上打9折； 方案二：B套餐滿12份及以上打8折； 方案三：總費(fèi)用滿850元立減110元．B：面食套餐25 元溫馨提示：方案三不可與方案一、方案二疊加使用．
素材2 該班級(jí)共31位同學(xué)，每人都從A、B兩種套餐中選擇一種，一人一份訂餐，拒絕浪費(fèi)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有20人已經(jīng)確定A或B套餐，其余11人兩種套餐皆可．若已經(jīng)確定套餐的20人先下單，三種團(tuán)購優(yōu)惠條件均不滿足，費(fèi)用合計(jì)為565元．
問題解決
任務(wù)1 計(jì)算選擇人數(shù) 已經(jīng)確定套餐的20人中，分別有多少人選擇A套餐和B套餐？
任務(wù)2 分析變量關(guān)系 設(shè)兩種套餐皆可的同學(xué)中有m人選擇A套餐，該班訂餐總費(fèi)用為w元，當(dāng)全班選擇A套餐人數(shù)不少于20人時(shí)，請(qǐng)求出w與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
任務(wù)3 制定最優(yōu)方案 要使得該班訂餐總費(fèi)用最低，則A、B套餐應(yīng)各訂多少份？并求出最低總費(fèi)用．
23．（2023 溫州三模）如圖，在直角坐標(biāo)系有一等腰直角三角形MCN，∠MCN＝90°，MC＝NC，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)M，N在一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象上，且M點(diǎn)在第二象限，N點(diǎn)在第四象限，一次函數(shù)圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，AM＝BN．
（1）求證：AC＝BC．
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及CN的長．
（3）點(diǎn)P從N勻速運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，點(diǎn)Q恰好從A勻速運(yùn)動(dòng)到N，記PN＝x，MQ＝y(tǒng)，
①求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
②連結(jié)PQ，點(diǎn)C關(guān)于直線PQ對(duì)稱點(diǎn)為C′，連結(jié)PC′．若直線PC′與△MCN中某條邊所在的直線平行時(shí)（不重合），求出滿足條件的所有x的值．
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第三章 函數(shù)
第3節(jié) 一次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問題
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一次函數(shù)與方程（組） ☆ 一次函數(shù)的應(yīng)用在中考中多考察一次函數(shù)圖象的理解和信息提取，通常以行程類問題為主。出題時(shí)也多和方程、不等式結(jié)合，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的題目在中考中難度不大，關(guān)鍵在于函數(shù)關(guān)系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，建立函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵. 單獨(dú)考查一次函數(shù)與方程、不等式的題目近年比較少.
考點(diǎn)2 一次函數(shù)與不等式（組） ☆☆
考點(diǎn)3一次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆☆
考點(diǎn)4 一次函數(shù)的綜合 ☆☆
1．一元一次方程kx＋b＝0與一次函數(shù)y＝kx＋b的關(guān)系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函數(shù)y＝kx＋b在y＝0時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)與一次函數(shù)y＝kx＋b的關(guān)系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即為一次函數(shù)y＝kx＋b在y>0(或y<0)時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍．
3．二元一次方程組與一次函數(shù)圖象的關(guān)系：二元一次方程組的解即為一次函數(shù)y＝k1x＋b1與一次函數(shù)y＝k2x＋b2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
4.一次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，在解答一次函數(shù)的應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)從給定的信息中抽象出一次函數(shù)關(guān)系，理清哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是自變量的函數(shù)，確定出一次函數(shù)，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解，同時(shí)要注意自變量的取值范圍．解題時(shí)常用到建模思想和函數(shù)思想．
1）一次函數(shù)應(yīng)用問題的求解思路：
①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；
②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。
2）建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟：
①審題，設(shè)定實(shí)際問題中的變量，明確變量x和y；
②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；
③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；
④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
⑤寫出答案。
3）利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題的一般步驟：
①觀察圖象，獲取有效信息；
②對(duì)獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；
③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具(如函數(shù)、方程、不等式等)，通過建模解決問題。
【提示】時(shí)刻注意根據(jù)實(shí)際情況確定變量的取值范圍。
4）求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計(jì)算出來，再進(jìn)行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
■考點(diǎn)一　一次函數(shù)與方程（組）
◇典例1：（2021 遼寧）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），則關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程；函數(shù)的圖象．
【答案】B
【點(diǎn)撥】首先利用函數(shù)解析式y(tǒng)＝2x求出m的值，然后再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是關(guān)于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解析】解：∵直線y＝2x與y＝kx+b相交于點(diǎn)P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝kx+b＝2，
∴關(guān)于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是求得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 賀州）直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，1），B（2，0），則關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．
【答案】C
【點(diǎn)撥】所求方程的解，即為函數(shù)y＝ax+b圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，確定出解即可．
【解析】解：方程ax+b＝0的解，即為函數(shù)y＝ax+b圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵直線y＝ax+b過B（2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
2．（2022 梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點(diǎn)A，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）．
【答案】B
【點(diǎn)撥】由圖象交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程組的解．
【解析】解：由圖象可得直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），
∴方程組的解為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是理解直線交點(diǎn)坐標(biāo)中x與y的值為方程組的解．
■考點(diǎn)二 一次函數(shù)與不等式（組）
◇典例2：（2023 德州）已知直線y＝3x+a與直線y＝﹣2x+b交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣5，則關(guān)于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為（　　）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式；兩條直線相交或平行問題．
【答案】A
【點(diǎn)撥】觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜﹣5時(shí)，直線y＝3x+a都在直線y＝﹣2x+b的下方，所以不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為x＜﹣5．
【解析】解：當(dāng)x＜﹣5時(shí)，直線y＝3x+a都在直線y＝﹣2x+b的下方，
所以關(guān)于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為x＜﹣5．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 丹東）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），則不等式ax+b＞0的解集是（　　）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】B
【點(diǎn)撥】寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解析】解：∵直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），當(dāng)x＜4時(shí)，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集為x＜4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
2．（2023 同心縣模擬）一次函數(shù)y1＝mx+n與y2＝kx+a的圖象如圖所示，則mx+n＞kx+a的解集為（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的圖象．
【答案】A
【點(diǎn)撥】以交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為不等式解集的界點(diǎn)值，結(jié)合圖象寫出解集即可．
【解析】解：∵y1＝mx+n與y2＝kx+a的圖象交點(diǎn)為（2，1），且mx+n＞kx+a，
∴x＜2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)交點(diǎn)與一元一次不等式的解集的確定，正確理解交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不等式解集的界點(diǎn)值是解題的關(guān)鍵．
3．（2022 西湖區(qū)一模）已知函數(shù)y1＝2x+m，y2＝﹣mx+m（m為常數(shù)，m≠0）．
（1）若點(diǎn)（﹣1，1）在y1的圖象上，
①求m的值．
②求函數(shù)y1與y2的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)m＞0，且0＜y2＜y1時(shí)，求自變量x的取值范圍．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】（1）①m＝3；②函數(shù)y1與y2的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）；
（2）0＜x＜1．
【點(diǎn)撥】（1）①把點(diǎn)（﹣1，1）代入y1＝2x+m中，即可求得m的值；②觀察函數(shù)解析式，兩個(gè)函數(shù)與y軸的交點(diǎn)都是（0，m），從而得出函數(shù)y1與y2的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）；
（2）求得函數(shù)y2＝﹣mx+m（m為常數(shù)，m≠0）與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)與y軸的交點(diǎn)都是（0，m），然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）①∵點(diǎn)（﹣1，1）在y1＝2x+m的圖象上，
∴1＝﹣2+m，
∴m＝3；
②∵y1＝2x+m，y2＝﹣mx+m（m為常數(shù)，m≠0）．
∴兩個(gè)函數(shù)與y軸的交點(diǎn)都是（0，m），
∵m＝3，
∴函數(shù)y1與y2的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）；
（2）∵y2＝﹣mx+m＝﹣m（x﹣1），
∴函數(shù)y2＝﹣mx+m（m為常數(shù)，m≠0）過點(diǎn)（1，0），即與x軸的交點(diǎn)是（1，0），
∵兩個(gè)函數(shù)與y軸的交點(diǎn)都是（0，m），
∴m＞0，且0＜y2＜y1時(shí)，自變量x的取值范圍0＜x＜1．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．
■考點(diǎn)三 一次函數(shù)的應(yīng)用
◇典例3：1．（2023 杭州二模）明明和亮亮都在同一直道A、B兩地間做勻速往返走鍛煉．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉頭等時(shí)間）．明明從A地出發(fā)，同時(shí)亮亮從B地出發(fā)．圖中的折線段表示從開始到第二次相遇止，兩人之間的距離y（米）與行走時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系的圖象，則（　　）
A．明明的速度是80米/分 B．第二次相遇時(shí)距離B地800米
C．出發(fā)25分時(shí)兩人第一次相遇 D．出發(fā)35分時(shí)兩人相距2000米
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】B
【點(diǎn)撥】C、由二者第二次相遇的時(shí)間結(jié)合兩次相遇分別走過的路程，即可得出第一次相遇的時(shí)間，進(jìn)而得出C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
A、當(dāng)x＝35時(shí)，出現(xiàn)拐點(diǎn)，顯然此時(shí)亮亮到達(dá)A地，利用速度＝路程÷時(shí)間可求出亮亮的速度及兩人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，進(jìn)而得出A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、根據(jù)第二次相遇時(shí)距離B地的距離＝明明的速度×第二次相遇的時(shí)間﹣A、B兩地間的距離，即可求出第二次相遇時(shí)距離B地800米，B選項(xiàng)正確；
D、觀察函數(shù)圖象，可知：出發(fā)35分鐘時(shí)亮亮到達(dá)A地，根據(jù)出發(fā)35分鐘時(shí)兩人間的距離＝明明的速度×出發(fā)時(shí)間，即可求出出發(fā)35分鐘時(shí)兩人間的距離為2100米，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
【解析】解：∵第一次相遇兩人共走了2800米，第二次相遇兩人共走了3×2800米，且二者速度不變，
∴c＝60÷3＝20，
∴出發(fā)20分時(shí)兩人第一次相遇，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
亮亮的速度為2800÷35＝80（米/分），
兩人的速度和為2800÷20＝140（米/分），
明明的速度為140﹣80＝60（米/分），A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
第二次相遇時(shí)距離B地距離為60×60﹣2800＝800（米），B選項(xiàng)正確；
出發(fā)35分鐘時(shí)兩人間的距離為60×35＝2100（米），D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，觀察函數(shù)圖象，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 麗水）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：
（1）直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
（2）求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）30；
（2）y＝20x+600；
（3）若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為0≤x＜30，則選擇方案二，若生產(chǎn)件數(shù)x＝30，則選擇兩個(gè)方案都可以，若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為x＞30，則選擇方案一．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖象的交點(diǎn)回答即可；
（2）設(shè)方案二的函數(shù)圖象解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)（0，600）、點(diǎn)（30，1200）代入即可；
（3）對(duì)生產(chǎn)件數(shù)的范圍進(jìn)行討論，從而得出正確的方案．
【解析】解：（1）觀察圖象得：
方案一與方案二相交于點(diǎn)（30，1200），
∴員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
（2）設(shè)方案二的函數(shù)圖象解析式為y＝kx+b，
將點(diǎn)（0，600）、點(diǎn)（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：y＝20x+600；
（3）由兩方案的圖象交點(diǎn)（30，1200）可知：
若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為0≤x＜30，則選擇方案二，
若生產(chǎn)件數(shù)x＝30，則選擇兩個(gè)方案都可以，
若生產(chǎn)件數(shù)x的取值范圍為x＞30，則選擇方案一．
【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是會(huì)看圖，理解橫軸與縱軸表示的實(shí)際意義，掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 紹興模擬）某商店以每件13元的價(jià)格購進(jìn)某商品100件，售出部分商品后進(jìn)行了降價(jià)銷售，銷售金額y（元）與銷售量x（件）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則售完這100件商品可盈利（　　）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】B
【點(diǎn)撥】先求出x≥40時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式，再將x＝100代入求出總銷售額，進(jìn)一步根據(jù)“總銷售額﹣總成本＝總盈利”計(jì)算即可．
【解析】解：當(dāng)x≥40時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），
代入點(diǎn)（40，800）和點(diǎn)（80，1300），
得，
解得，
∴y＝x+300（x≥40），
當(dāng)x＝100時(shí)，y＝＝1550，
1550﹣13×100＝250（元），
∴售完這100件商品可盈利250元，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是330km，貨車行駛時(shí)的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖．
（1）求出a的值；
（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；
（3）問轎車比貨車早多少時(shí)間到達(dá)乙地？
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）1.5（h）；
（2）s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）轎車比貨車早1.2h到達(dá)乙地．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系即可解決問題；
（2）設(shè)直線的表達(dá)式為s＝kt+b，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可解決問題；
（3）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度分別求出貨車與小轎車到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間，即可解決問題．
【解析】解：（1）∵貨車的速度是60km/h，
∴a＝＝1.5（h）；
（2）由圖象可得點(diǎn)（1.5，0），（3，150），
設(shè)直線的表達(dá)式為s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：
，
解得，
∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；
（3）由圖象可得貨車走完全程需要+0.5＝6（h），
∴貨車到達(dá)乙地需6h，
∵s＝100t﹣150，s＝330，
解得t＝4.8，
∴兩車相差時(shí)間為6﹣4.8＝1.2（h），
∴貨車還需要1.2h才能到達(dá)，
即轎車比貨車早1.2h到達(dá)乙地．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系，從圖中準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)四　 一次函數(shù)的綜合
◇典例4：（2022 錢塘區(qū)二模）如圖（含備用圖），在直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝kx+3與x軸相交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求k的值及△AOB的面積；
（2）點(diǎn)C在x軸上，若△ABC是以AB為腰的等腰三角形，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M（3，0）在x軸上，若點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBM的面積與△AOB的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得k的值，根據(jù)直線方程求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求得相關(guān)線段的長度，由三角形的面積公式解答；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式解答；
（3）分類討論：點(diǎn)P在x軸的上方和下方，兩種情況，利用三角形的面積公式和已知條件，列出方程，利用方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
【解析】解：（1）將點(diǎn)A（2，0）代入直線y＝kx+3，得
0＝2k+3，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+3．
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3．
∴B（0，3），OB＝3．
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），OA＝2，
∴S△AOB＝OA OB＝×2×3＝3．
（2）如圖2，
①當(dāng)AB＝BC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)A（2，0）關(guān)于y軸對(duì)稱，故C（﹣2，0）符合題意；
②當(dāng)AB＝AC時(shí)，由A（2，0），B（0，3）得到AB＝＝，由AC＝AC′＝得到C′（+2，0）、C″（2﹣，0）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，0）或（+2，0）或（2﹣，0）；
（3）∵M(jìn)（3，0），
∴OM＝3，
∴AM＝3﹣2＝1．
由（1）知，S△AOB＝3，
∴S△PBM＝S△AOB＝3；
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝+ AM |yP|＝+×1×|yP|＝3，
∴|yP|＝3，
∵點(diǎn)P在x軸下方，
∴yP＝﹣3．
當(dāng)y＝﹣3時(shí)，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3，
解得x＝4．
∴P（4，﹣3）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝ AM |yP|﹣＝×1×|yP|﹣＝3，
∴|yP|＝9，
∵點(diǎn)P在x軸上方，
∴yP＝9．
當(dāng)y＝9時(shí)，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3，
解得x＝﹣4．
∴P（﹣4，9）．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的知識(shí)求出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．另外，注意分類討論和“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸于點(diǎn)A（8，0），交y軸于點(diǎn)B．直線y＝x﹣與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)C（6，a）．點(diǎn)M是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）以線段MN，MC為鄰邊作 MNQC，直線QC與x軸交于點(diǎn)E．
①當(dāng)0≤m＜時(shí)，設(shè)線段EQ的長度為l，求l與m之間的關(guān)系式；
②連接OQ，AQ，當(dāng)△AOQ的面積為3時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）a的值為，直線AB解析式為y＝﹣x+6；
（2）①l＝6﹣；
②或．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直線y＝x﹣的解析式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；
（2）①用含m的代數(shù)式表示出MN，再根據(jù)MN＝CQ得出結(jié)論即可；
②根據(jù)面積得出l的值，然后根據(jù)①的關(guān)系式得出m的值即可．
【解析】解：（1）∵點(diǎn)C（6，a）在直線y＝x﹣上，
∴a＝＝，
∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)C（6，），
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；
（2）①∵M(jìn)點(diǎn)在直線y＝﹣x+6上，且M的橫坐標(biāo)為m，
∴M的縱坐標(biāo)為：﹣m+6，
∵N點(diǎn)在直線y＝x﹣上，且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：m﹣，
∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，
∵點(diǎn)C（6，），線段EQ的長度為l，
∴|CQ|＝l+，
∵|MN|＝|CQ|，
∴﹣＝l+，
即l＝（0≤m＜）；
②∵△AOQ的面積為3，
∴OA EQ＝3，
即，
解得EQ＝，
由①知，EQ＝6﹣，
∴|6﹣|＝，
解得m＝或，
即m的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
1．（2023 路橋區(qū)一模）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為其相應(yīng)一元一次方程的解，結(jié)合圖象即可解答．
【解析】解：∵直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴關(guān)于x的方程ax+b＝0的解為x＝1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求方程的解．掌握一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為其相應(yīng)一元一次方程的解是解題關(guān)鍵．
2．（2023 婺城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ax+b與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)直線y＝ax+b與y軸交于點(diǎn)A（2，0），以及函數(shù)的增減性，即可求出不等式ax+b＞0的解集．
【解析】解：∵直線y＝ax+b與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），且y隨x的增大而減小，
∴不等式ax+b＞0的解集是x＜2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，掌握從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合是解題的關(guān)鍵．
3．（2022 龍港市模擬）如圖，一次函數(shù)y＝x+b的圖象過點(diǎn)（﹣2，3），則不等式x+b＞3的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞3 C．x＞0 D．x＞2
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】結(jié)合圖象，寫出直線數(shù)y＝x+b在直線y＝3上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解析】解：如圖所示：∵一次函數(shù)y＝x+b的圖象過點(diǎn)（﹣2，3），
∴不等式x+b＞3的解是：x＞﹣2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．
4．（2023 舟山一模）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以寫出當(dāng)kx+b＜x時(shí)，x的取值范圍．
【解析】解：由圖象可得，
當(dāng)x＞3時(shí)，直線y＝x在一次函數(shù)y＝kx+b的上方，
∴當(dāng)kx+b＜x時(shí)，x的取值范圍是x＞3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
5．（2023 龍港市二模）小聰上午8：00從家里出發(fā)，騎車去一家超市購物，然后從這家超市返回家中．小聰離家的路程s（km）和所經(jīng)過的時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（　　）
A．小聰去超市途中的速度是0.1km/分 B．小聰回家途中的速度是0.2km/分
C．小聰在超市逗留了40分鐘 D．小聰在來去途中，離家1km處的時(shí)間是8：05和8：50
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】D
【點(diǎn)撥】由圖象可得，去來的時(shí)間分別為10分鐘和20分鐘，路程為2km，分別求出速度即可判別答案A，B，觀察圖象直接得到逗留時(shí)間，判別C，用1km除以去的速度得出去的時(shí)間，由圖象可直接得出返回時(shí)離家1km處的時(shí)間，從而去判別答案D．
【解析】解：由圖可知前10分鐘是去超市途中，
速度為＝0.2（km/分），
故A不正確，不符合題意，
后20分鐘是回去途中，
速度為＝0.1（km/分），
故B不正確，不符合題意，
由圖可知在超市逗留時(shí)間為40﹣10＝30（分鐘），
故C不正確，不符合題意，
去的途中走1km用的時(shí)間是＝5（分鐘），
∴離家1km處的時(shí)間是8：05，
由圖象可得，返回家中時(shí)離家1km處的時(shí)間是8：50，
∴離家1km處的時(shí)間是8：05和8：50，
故D正確，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從圖中提取相關(guān)信息回答問題是解題的關(guān)鍵．
6．（2021 衢州）已知A，B兩地相距60km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發(fā)到B地，甲騎自行車勻速行駛3h到達(dá)，乙騎摩托車，比甲遲1h出發(fā)，行至30km處追上甲，停留半小時(shí)后繼續(xù)以原速行駛．他們離開A地的路程y與甲行駛時(shí)間x的函數(shù)圖象如圖所示．當(dāng)乙再次追上甲時(shí)距離B地（　　）
A．15km B．16km C．44km D．45km
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖象信息先求出甲、乙速度，然后根據(jù)第二次乙追上甲時(shí)所走路程相同求出甲所用時(shí)間，再求距離B地的距離即可．
【解析】解：由圖象可知：甲的速度為：60÷3＝20（km/h），
乙追上甲時(shí)，甲走了30km，此時(shí)甲所用時(shí)間為：30÷20＝1.5（h），
乙所用時(shí)間為：1.5﹣1＝0.5（h），
∴乙的速度為：30÷0.5＝60（km/h），
設(shè)乙休息半小時(shí)再次追上甲時(shí)，甲所用時(shí)間為t，
則：20t＝60（t﹣1﹣0.5），
解得：t＝2.25，
此時(shí)甲距離B地為：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀取圖象中信息求出甲、乙的速度．
7．（2023 海曙區(qū)一模）某容器由A、B、C三段圓柱體組成（如圖①），其中A、B、C的底面積分別為5S，2S，S（單位：cm2），C段的容積是容器總?cè)莘e的．現(xiàn)以速度v（單位：cm3/s）勻速向容器注水，直至注滿為止．圖②是注水全過程中容器的水面高度h（單位：cm）與注水時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)圖象．下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
A．a(chǎn)＝10 B．b＝24 C．c＝10 D．v＝2S
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)C段的容積是容器總?cè)莘e的，則可得A、B是容器總?cè)莘e的，由圖象可知，注滿A、B需要18分鐘，則b＝18÷＝24；然后根據(jù)A、B、C的底面積分別為5S，2S，S分別求出a、c、v的值即可．
【解析】解：∵C段的容積是容器總?cè)莘e的，
∴A、B是容器總?cè)莘e的，
又∵注滿A、B需要18分鐘，
∴b＝18÷＝24，故選項(xiàng)B不符合題意；
∵A、B、C的底面積分別為5S，2S，S（單位：cm2），容器總高度為24cm，注滿A的高度為4cm，
∴4×5S+2S（c﹣4）＝3S（24﹣c），
解得c＝12，故選項(xiàng)C符合題意；
∴v＝＝2S，故選項(xiàng)D不符合題意；
∴a＝＝10，故選項(xiàng)A不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出b和c的值是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2022 杭州）已知一次函數(shù)y＝3x﹣1與y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），則方程組的解是 　　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）．
【答案】．
【點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可確定以兩個(gè)一次函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解．
【解析】解：∵一次函數(shù)y＝3x﹣1與y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），
∴聯(lián)立y＝3x﹣1與y＝kx的方程組的解為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9．（2021 寧波模擬）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）與B（0，﹣4），那么關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集是 　x＜5　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】首先利用圖象可找到圖象在x軸下方時(shí)x＜5，進(jìn)而得到關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．
【解析】解：由題意可得：一次函數(shù)y＝kx+b中，y＜0時(shí)，圖象在x軸下方，x＜5，
則關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，
故答案為：x＜5．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想．認(rèn)真體會(huì)一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系．
10．（2022 富陽區(qū)二模）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，3），B（﹣，0）兩點(diǎn)，則不等式組0＜kx+b＜﹣3x的解集為 　﹣＜x＜﹣1　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】﹣＜x＜﹣1．
【點(diǎn)撥】當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣3x＝3，可知直線y＝kx+b與直線y＝﹣3x交于點(diǎn)A，根據(jù)圖象即可確定不等式組得取值范圍．
【解析】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣3x＝3，
∴直線y＝kx+b與直線y＝﹣3x交于點(diǎn)A（﹣1，3），
根據(jù)圖象可知，不等式組0＜kx+b＜﹣3x的解集為﹣＜x＜﹣1，
故答案為：﹣＜x＜﹣1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2021 金華模擬）已知經(jīng)過點(diǎn)（0，2）的直線y＝ax+b與直線y＝x+1平行，則a＝　　，b＝　2　．
【考點(diǎn)】兩條直線相交或平行問題．
【答案】；2．
【點(diǎn)撥】相互平行的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)相等，故此a＝，將a＝，x＝0，y＝2代入y＝ax+b可求得b的值．
【解析】解：∵直線y＝ax+b與直線y＝x+1平行，
∴a＝．
∴直線y＝ax+b的解析式為y＝x+b．
將x＝0，y＝2代入得：b＝2．
故答案為：；2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是兩條直線平行問題，明確相互平行的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．
12．（2023 仙居縣一模）小波某時(shí)刻想喝水，飲水機(jī)顯示水溫為30℃，為預(yù)測水燒開的時(shí)間，小波每隔1分鐘觀察一次水溫，得到數(shù)據(jù)如表．
等待時(shí)間t/分鐘 0 1 2 3
水溫T/℃ 30 40 50 60
（1）求水溫T（單位：℃）關(guān)于等待時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式．
（2）求小波喝到100℃開水的最短等待時(shí)間．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）T＝10t+30（t≥0）；
（2）最短等待時(shí)間為7分鐘．
【點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）當(dāng)T＝100時(shí)求出自變量的值即可．
【解析】解：（1）令水溫T（單位：℃）關(guān)于等待時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式為T＝kt+b，
將（0，30）、（1，40）代入可得：
，
解得：，
∴水溫T關(guān)于等待時(shí)間t的函數(shù)解析式為：T＝10t+30（t≥0）．
（2）當(dāng)T＝100時(shí)，10t+30＝100，
解得：t＝7，
∴最短等待時(shí)間為7分鐘．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2021 蕭山區(qū)二模）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，b）．
（1）直接寫出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接寫出方程組的解；
（3）直線l3：y＝nx+m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）；一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】（1）x＞1；
（2）；
（3）直線l3：y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)P（1，b）即可得到結(jié)論；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)；
（3）根據(jù)l2：y＝mx+n過點(diǎn)P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，代入可得m+n＝2，進(jìn)而可得答案．
【解析】解：（1）∵直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集為x＞1；
（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝mx+n相交于點(diǎn)P（1，2），
∴方程組的解為；
（3）直線l3：y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P，
理由：∵l2：y＝mx+n過點(diǎn)P（1，2），
∴2＝m+n，
將P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直線l3：y＝nx+m經(jīng)過點(diǎn)P．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)．
14．（2023 寧波）某校與部隊(duì)聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動(dòng)，上午7：00，部隊(duì)官兵乘坐軍車從營地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖1）到愛國主義教育基地進(jìn)行研學(xué)．上午8：00，軍車在離營地60km的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉庫后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，軍車和大巴離營地的路程s（km）與所用時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．
（1）求大巴離營地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式及a的值．
（2）求部隊(duì)官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時(shí)間．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）大巴離營地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為s＝20+40t，a的值為2；
（2）部隊(duì)官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為h．
【點(diǎn)撥】（1）求出大巴速度為＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出軍車速度為60÷1＝60（km/h），設(shè)部隊(duì)官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為x h，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解析】解：（1）由函數(shù)圖象可得，大巴速度為＝40（km/h），
∴s＝20+40t；
當(dāng)s＝100時(shí)，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴離營地的路程s與所用時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為s＝20+40t，a的值為2；
（2）由函數(shù)圖象可得，軍車速度為60÷1＝60（km/h），
設(shè)部隊(duì)官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為x h，
根據(jù)題意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x＝，
答：部隊(duì)官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時(shí)間為h．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從函數(shù)圖象中獲取有用的信息．
15．（2023 臺(tái)州）【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計(jì)時(shí)裝置．
【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如表：
流水時(shí)間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務(wù)1：分別計(jì)算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“t＝0，h＝30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系．
任務(wù)2：利用t＝0時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式；
【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差，小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對(duì)應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．
任務(wù)3：（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；
（2）請(qǐng)確定經(jīng)過（0，30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小；
【設(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過刻度直接讀取時(shí)間．
任務(wù)4：請(qǐng)你簡要寫出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】任務(wù)1：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2；
任務(wù)2：h＝﹣0.1t+30；
任務(wù)3：（1）0.05，（2）0.038．
任務(wù)4：見解析．
【點(diǎn)撥】任務(wù)1：依表計(jì)算即可；
任務(wù)2：根據(jù)待定系法確定關(guān)系式即可；
任務(wù)3：（1）根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）設(shè)h＝kt+30，代入w計(jì)算化簡，利用二次函數(shù)性質(zhì)求w的最小值即可；
任務(wù)4：按照上一問題中的結(jié)論設(shè)計(jì)即可．
【解析】解：任務(wù)1：
變化量分別為：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度觀察值的變化量為：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任務(wù)2：
設(shè)水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為h＝kt+b，
∵t＝0 時(shí)，h＝30；t＝10時(shí)，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為h＝﹣0.1t+30；
任務(wù)3：
（1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）設(shè)：h＝kt+30，
∴w＝（0 k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）2+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2+0.038，
∴當(dāng)k＝﹣0.102時(shí)，w的最小值為0.038．
任務(wù)4：
將零刻度放在水位最高處，在容器外壁每隔1.02cm標(biāo)記一次刻度，這樣水面每降低一個(gè)刻度，就代表時(shí)間經(jīng)過了10分鐘．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，充分理解題意是解題關(guān)鍵．
16．（2022 泰州）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數(shù)y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”．
（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數(shù)y＝5x+2是否為函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，并說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點(diǎn)P．
①若m+n＞1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，求p的取值范圍；
②若p≠1，函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過點(diǎn)P．是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變？若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，理由見解答過程；
（2）①p＜1；
②存在m＝時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．
【點(diǎn)撥】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；
（2）①由得P（2p+1，p﹣1），當(dāng)x＝2p+1時(shí)，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根據(jù)點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過點(diǎn)P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．
【解析】解：（1）函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函數(shù)y＝5x+2是函數(shù)y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數(shù)”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“組合函數(shù)”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1時(shí)，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝時(shí)，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經(jīng)過點(diǎn)P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴當(dāng)3﹣4m＝0，即m＝時(shí)，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝時(shí)，“組合函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，Q（3，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是讀懂“組合函數(shù)“的定義．
1．（2023 醴陵市一模）已知直線y＝﹣3x與y＝kx+2相交于點(diǎn)P（m，3），則關(guān)于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．
【答案】A
【點(diǎn)撥】先把點(diǎn)P（m，3）代入直線y＝﹣3x求出m的值，故可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行解答即可．
【解析】解：∵直線y＝﹣3x和直線y＝kx+2的圖象相交于點(diǎn)P（m，3），
∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
∴關(guān)于x的方程kx+2＝﹣3x的解是為x＝﹣1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方程，熟知函數(shù)與方程的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2021 乾縣模擬）若x＝2是關(guān)于x的方程mx+n＝0（m≠0）的解，則一次函數(shù)y＝﹣mx﹣n的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，2） D．（2，0）
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．
【答案】D
【點(diǎn)撥】直線y＝mx+n與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)值為0時(shí)的方程的解，根據(jù)題意得到一次函數(shù)y＝mx+n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），進(jìn)而得到一次函數(shù)y＝﹣mx﹣n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0）．
【解析】解：∵方程的解為x＝2，
∴當(dāng)x＝2時(shí)mx+n＝0；
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，﹣mx﹣n＝0，
∴一次函數(shù)y＝﹣mx﹣n的圖象與x軸的交點(diǎn)為（2，0），
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系．任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
3．（2021 山西模擬）如圖是一次函數(shù)y＝x﹣1的圖象，根據(jù)圖象可直接寫出方程x﹣1＝0的解為x＝2，這種解題方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（　　）
A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．分類討論思想 D．函數(shù)思想
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．
【答案】A
【點(diǎn)撥】通過觀察圖象得到方程的解為x＝2，這一求解過程主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合．
【解析】解：觀察圖象，一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)是（2，0），
所以方程的解為x＝2，
這一求解過程主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系．任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
4．（2021 蕉嶺縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+b（m，b均為常數(shù)）與正比例函數(shù)y＝nx（n為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程mx＝nx﹣b的解為（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．
【答案】A
【點(diǎn)撥】由圖象可以知道，當(dāng)x＝3時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值是相等的．
【解析】解：∵兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），
∴關(guān)于x的方程mx＝nx﹣b的解為x＝3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程：方程的解就是兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
5．（2023 婺城區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），則不等式kx+b＞0的解為（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)直線y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)A（2，0），以及函數(shù)的增減性，即可求出不等式kx+b＞0的解集．
【解析】解：∵直線y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為（2，0），（0，3），且y隨x的增大而減小，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
6．（2021 杭州三模）如圖，已知函數(shù)y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點(diǎn)P（﹣2，﹣5），則根據(jù)圖象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】函數(shù)y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點(diǎn)P（﹣2，﹣5），求不等式3x+b＞ax﹣3的解集，就是看函數(shù)在什么范圍內(nèi)y＝3x+b的圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)y＝ax﹣3的圖象上面
【解析】解：從圖象得到，當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y＝3x+b的圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)y＝ax﹣3的圖象上面，
∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集為：x＞﹣2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合．
7．（2023 薛城區(qū)一模）我們知道，若ab＞0．則有或．如圖，直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點(diǎn)A（﹣0.5，0）、B（2，0），則不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】由若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，則或，然后分類討論，分別根據(jù)函數(shù)圖象求得解集．
【解析】解：∵若ab＞0．則有或，
∴若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，則或．
當(dāng)，由圖得：，此時(shí)該不等式無解．
當(dāng)，由圖得：，此時(shí)不等式組的解集為﹣0.5＜x＜2．
綜上：﹣0.5＜x＜2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象與一元一次不等式，熟練掌握一次函數(shù)圖象與一元一次不等式是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2021 德陽）關(guān)于x，y的方程組的解為，若點(diǎn)P（a，b）總在直線y＝x上方，那么k的取值范圍是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【答案】B
【點(diǎn)撥】將k看作常數(shù)，解方程組得到x，y的值，根據(jù)P在直線上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【解析】解：解方程組可得，
，
∵點(diǎn)P（a，b）總在直線y＝x上方，
∴b＞a，
∴＞﹣k﹣1，
解得k＞﹣1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解本題的關(guān)鍵是將k看作常數(shù)，根據(jù)點(diǎn)在一次函數(shù)上方列出不等式求解．
9．（2023 金華模擬）清明期間，甲、乙兩人同時(shí)登云霧山，甲、乙兩人距地面的高度y（米）與登山時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）
A．乙提速后每分鐘攀登30米 B．乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)11分鐘
C．從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，乙用時(shí)6.5分鐘
D．從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，甲、乙兩人共攀登了330米．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖象可得甲的速度，進(jìn)而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用時(shí)間，進(jìn)而得出乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)間；別求出甲和乙提速后y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而判斷C、D．
【解析】解：甲的速度為：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
10×3＝30（米/分），
即乙提速后每分鐘攀登30米，故選項(xiàng)A不符合題意；
乙攀登到300米時(shí)共用時(shí)：2+（300﹣30）÷30＝11（分鐘），故選項(xiàng)B不符合題意；
設(shè)y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2，
由函數(shù)圖象得：，
解得，
∴y甲＝10x+100，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度為：30米/分，
∴乙從A到B的時(shí)間為：（300﹣30）÷30＝9，
∴t＝2+9＝11，
∴B（11，300），
∴，
解得，
∴y乙＝30x﹣30，
（3）當(dāng)y甲＝y(tǒng)乙時(shí)，
則10x+100＝30x﹣30，
解得x＝6.5，
即從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，乙用時(shí)6.5分鐘，故選項(xiàng)C不符合題意；
從甲、乙相距100米到乙追上甲時(shí)，甲、乙兩人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及兩直線交點(diǎn)問題，讀懂題意，理解圖象中每個(gè)拐點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．
10．（2021 永嘉縣模擬）如圖，直線y＝x+1交y軸于點(diǎn)A，交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），PC∥y軸，交直線l于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)P上方），PD⊥y軸于點(diǎn)D，以PC，PD為鄰邊構(gòu)造矩形PDEC，若矩形PDEC的周長為8，則直線l的表達(dá)式為（　　）
A．y＝﹣x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+4 D．y＝﹣x+4
【考點(diǎn)】兩條直線相交或平行問題；矩形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)“矩形PDEC的周長為8，PC∥y軸，交直線l于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)P上方），PD⊥y軸”可得2x+2PC＝8，則PC＝4﹣x，進(jìn)一步表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，代入直線y＝x+1，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，即直線l的表達(dá)式．
【解析】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
根據(jù)題意，得2x+2PC＝8，
∴PC＝4﹣x，
∵PC∥y軸，交直線l于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)P上方），
∴P（x，y﹣4+x），
∵點(diǎn)P在直線y＝x+1上，
∴y﹣4+x＝x+1，
∴y＝x+5，
∵點(diǎn)C在直線l上，
∴直線l的解析式：y＝x+5，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的解析式，涉及矩形的性質(zhì)，用點(diǎn)C坐標(biāo)表示出點(diǎn)P坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023 西湖區(qū)校級(jí)二模）已知方程組的解為，則直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于第 　四　象限．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）．
【答案】四．
【點(diǎn)撥】函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，據(jù)此求解即可．
【解析】解：∵方程組的解為，
∴直線y＝﹣x+2與直線y＝2x﹣7的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），
∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，
∴交點(diǎn)在第四象限．
故答案為：四．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解之間的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
12．（2023 杭州模擬）已知關(guān)于x，y的方程組的解是，則直線y＝﹣x+b與y＝3x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 　（﹣1，﹣1）　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）．
【答案】（﹣1，﹣1）．
【點(diǎn)撥】把代入y＝3x+2即可求出m的值，進(jìn)而求出b的值，聯(lián)立，再根據(jù)二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，即可進(jìn)行解答．
【解析】解：把代入得：m＝3×（﹣1）+2＝﹣1，
∴關(guān)于x，y的方程組的解是，
即：﹣1＝﹣（﹣1）+b，解得：b＝﹣2，
則有直線y＝﹣x+b為：y＝﹣x﹣2；
聯(lián)立，解得：，
∴直線y＝﹣x+b與y＝﹣3x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），
故答案為：（﹣1，﹣1）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．
13．（2023 杭州模擬）已知一次函數(shù)y＝3x﹣7與y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1），則方程組的解是 　　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程（組）．
【答案】．
【點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可確定以兩個(gè)一次函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解．
【解析】解：∵一次函數(shù)y＝3x﹣7與y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1），
∴方程組的解是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2022 西寧）如圖，直線y1＝k1x與直線y2＝k2x+b交于點(diǎn)A（1，2）．當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是 　x＜1　．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．
【答案】x＜1．
【點(diǎn)撥】根據(jù)兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的圖象得出x的范圍即可．
【解析】解：∵直線y1＝k1x與直線y2＝k2x+b交于點(diǎn)A（1，2），
∴當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是x＜1，
故答案為：x＜1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，能正確根據(jù)函數(shù)圖象得出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．
15．（2021 鹿城區(qū)一模）如圖，直線l1：y＝x+3分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，直線l2：y＝﹣x+m分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C，D，直線l1，l2相交于點(diǎn)E，將△ABO向右平移5個(gè)單位得到△A′B'O'，若點(diǎn)B′恰好落在直線l2上，則DE：B'C＝　20：21　．
【考點(diǎn)】兩條直線相交或平行問題；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；一次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】20：21．
【點(diǎn)撥】由平移的性質(zhì)可知：B′（5，3），代入l2，從而得出l2的函數(shù)解析式，求出DE和B′C的長度．
【解析】解：因?yàn)閥＝x+3，
所以B（0，3），
將B向右平移5個(gè)單位后B′（5，3），
因?yàn)锽′在直線l2：y＝﹣x+m上，
所以m＝8，
所以l2：y＝﹣x+8，
所以D（0，8），C（8，0），
因?yàn)橹本€l1，l2相交于點(diǎn)E，
所以x+3＝﹣x+8得x＝，
所以y＝，
所以E（），
作EH⊥y軸于H，
由△DHE∽△COB′得，
，
所以DE：B'C＝20：21，
故答案為：20：21．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，結(jié)合相似來解決問題，是一道中檔題．
16．（2023 余杭區(qū)模擬）設(shè)兩個(gè)不同的一次函數(shù)y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常數(shù)，且kb≠0）．
（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，0），函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（n，0），求證：mn＝1．
（2）當(dāng)y1＜y2時(shí)，求x的取值范圍．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】（1）見解答；
（2）當(dāng)k＞b時(shí)，x＜1，當(dāng)k＜b時(shí)，x＞1．
【點(diǎn)撥】（1）把點(diǎn)（m，0），點(diǎn)（n，0）分別代入y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常數(shù)，且kb≠0），得到m＝﹣，n＝﹣，即可證得mn＝1；
（2）根據(jù)題意kx+b＜bx+k，即可得到（k﹣b）x＜k﹣b，當(dāng)k＞b時(shí)，x＜1；當(dāng)k＜b時(shí)，x＞1．
【解析】（1）證明：∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，0），
∴mk+b＝0，
∴m＝﹣，
∵函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（n，0），
∴nb+k＝0，
∴n＝﹣，
∴mn＝﹣ （﹣）＝1；
（2）解：當(dāng)y1＜y2時(shí)，則kx+b＜bx+k，
∴（k﹣b）x＜k﹣b，
當(dāng)k＞b時(shí)，x＜1，
當(dāng)k＜b時(shí)，x＞1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象與一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）求得m、n的值；（2）分類討論．
17．（2021 富陽區(qū)二模）我們知道：|a|＝，在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4．
（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出一條這個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．
【答案】（1）y＝|x﹣3|﹣4；
（2）當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1）中的表達(dá)式可以畫出該函數(shù)的圖象并寫出它的一條性質(zhì)．
【解析】解：（1）∵在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4．
∴，解得，
∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是y＝|x﹣3|﹣4；
（2）該函數(shù)的圖象如圖所示：
由圖象可知，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
18．（2021 永嘉縣校級(jí)模擬）如圖，直線l1的表達(dá)式為y＝﹣3x+3，且與x軸交于點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（3，﹣），直線l1，l2交于點(diǎn)C．
（1）求直線l2的表達(dá)式；
（2）在直線l2上存在點(diǎn)P，能使S△ADP＝2S△ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】兩條直線相交或平行問題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】（1）設(shè)直線l2的表達(dá)式為：y＝kx+b，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直線l1的解析式y(tǒng)＝﹣3x+3求得D（1，0），解方程組得到C（2，﹣3），設(shè)P（m，m﹣6），根據(jù)S△ADP＝2S△ACD列方程即可得到結(jié)論．
【解析】解：（1）設(shè)直線l2的表達(dá)式為：y＝kx+b（k≠0），
∵直線l2經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（3，﹣），
∴，
∴，
∴直線l2的表達(dá)式為：y＝x﹣6；
（2）∵直線l1y＝﹣3x+3與x軸交于點(diǎn)D，
∴D（1，0），
解得，
∴C（2，﹣3），
設(shè)P（m，m﹣6），
∵S△ADP＝2S△ACD，
∴×3×|m﹣6|＝2××3×3，
∴m＝0或8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，﹣6）或（8，6）．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行或相交問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
19．（2023 嵊州市一模）為了增強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，某市規(guī)定：每月用水量不超過20立方米時(shí)，單價(jià)為每立米2.5元，每月用水量超過20立方米時(shí)，單價(jià)提高．某用戶每月支付y（元）與用水量x（立方米）的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象，回答下列問題：
（1）求a的值；
（2）當(dāng)每月用水量超過20立方米時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若該用戶預(yù)計(jì)某個(gè)月用水量為35立方米，則這個(gè)月的水費(fèi)需支付多少元．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）50；
（2）y與x的關(guān)系式為：y＝4x﹣30；用水量為35立方米，這個(gè)月的水費(fèi)需支付110元．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)收費(fèi)規(guī)則，可直接計(jì)算得出；
（2）由圖可知，當(dāng)每月用水量超過20立方米時(shí)，y與x構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系式．設(shè)y＝kx+b，把（32，98），（20，50）代入組成二元一次方程組求出y和x的關(guān)系式，再將x＝35代入即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）根據(jù)題意可得，a＝20×2.5＝50；
（2）由圖可知，當(dāng)每月用水量超過20立方米時(shí)，y與x構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系式．
設(shè)y＝kx+b，把（32，98），（20，50）代入得：
，解得，
∴y與x的關(guān)系式為：y＝4x﹣30．
當(dāng)x＝35時(shí)，y＝110．
∴這個(gè)月的水費(fèi)需支付110元．
綜上，y與x的關(guān)系式為：y＝4x﹣30；用水量為35立方米，這個(gè)月的水費(fèi)需支付110元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．
20．（2023 金華）兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，途中速度保持不變：妹妹騎車，到書吧前的速度為200米/分，圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程s（米）與哥哥離開學(xué)校的時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中a的值；
②妹妹在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時(shí)兄妹倆離家還有多遠(yuǎn)；若不能，說明理由．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度可知妹妹到書吧所用的時(shí)間，再根據(jù)題意確定a得值即可．
②分別求出哥哥與妹妹返程時(shí)的函數(shù)解析式，再聯(lián)立方程組即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度為：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹騎車到書吧前的速度為200米/分，
∴妹妹所用時(shí)間t為：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度為100m/min，
∴設(shè)BC所在直線為s1＝100t+b，
將B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直線為：s1＝100t﹣900．
當(dāng)s1＝1900時(shí)，t哥哥＝28．
∵返回時(shí)妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴設(shè)妹妹返回時(shí)的解析式為s2＝160t+b，
將F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，則有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此時(shí)哥哥所走得路程為：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹倆離家還有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上時(shí)兄妹倆離家300米遠(yuǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，觀察圖象以及利用待定系數(shù)法求解析式是解決該類問題的關(guān)鍵．
21．（2022 湖州）某校組織學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，乘坐大巴前往基地進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)．大巴出發(fā)1小時(shí)后，學(xué)校因事派人乘坐轎車沿相同路線追趕．已知大巴行駛的速度是40千米/小時(shí)，轎車行駛的速度是60千米/小時(shí)．
（1）求轎車出發(fā)后多少小時(shí)追上大巴？此時(shí)，兩車與學(xué)校相距多少千米？
（2）如圖，圖中OB，AB分別表示大巴、轎車離開學(xué)校的路程s（千米）與大巴行駛的時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系的圖象．試求點(diǎn)B的坐標(biāo)和AB所在直線的解析式；
（3）假設(shè)大巴出發(fā)a小時(shí)后轎車出發(fā)追趕，轎車行駛了1.5小時(shí)追上大巴，求a的值．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）轎車出發(fā)后2小時(shí)追上大巴，此時(shí)，兩車與學(xué)校相距120千米；
（2）B（3，120），AB所在直線的解析式為s＝60t﹣60；
（3）a的值為．
【點(diǎn)撥】（1）設(shè)轎車出發(fā)后x小時(shí)追上大巴，根據(jù)題意列出方程即可求解；
（2）由圖象及（1）的結(jié)果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）根據(jù)題意列出方程即可求出a的值．
【解析】解：（1）設(shè)轎車出發(fā)后x小時(shí)追上大巴，
依題意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轎車出發(fā)后2小時(shí)追上大巴，
此時(shí)，兩車與學(xué)校相距60×2＝120（千米），
答：轎車出發(fā)后2小時(shí)追上大巴，此時(shí)，兩車與學(xué)校相距120千米；
（2）∵轎車出發(fā)后2小時(shí)追上大巴，此時(shí)，兩車與學(xué)校相距120千米，
∴大巴行駛了3小時(shí)，
∴B（3，120），
由圖象得A（1，0），
設(shè)AB所在直線的解析式為s＝kt+b，
∴，
解得，
∴AB所在直線的解析式為s＝60t﹣60；
（3）依題意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a＝．
∴a的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)函數(shù)圖象解決問題，充分利用數(shù)形結(jié)合思想．
22．（2023 鹿城區(qū)校級(jí)三模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：
如何制定訂餐方案？
素 材 1 某班級(jí)組織春日研學(xué)活動(dòng)，需提前為同學(xué)們訂購午餐，現(xiàn)有A、B兩種套餐可供選擇，套餐信息及團(tuán)購優(yōu)惠方案如下所示： 套餐類別套餐單價(jià)團(tuán)體訂購優(yōu)惠方案A：米飯?zhí)撞?0 元方案一：A套餐滿20份及以上打9折； 方案二：B套餐滿12份及以上打8折； 方案三：總費(fèi)用滿850元立減110元．B：面食套餐25 元溫馨提示：方案三不可與方案一、方案二疊加使用．
素材 2 該班級(jí)共31位同學(xué)，每人都從A、B兩種套餐中選擇一種，一人一份訂餐，拒絕浪費(fèi)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有20人已經(jīng)確定A或B套餐，其余11人兩種套餐皆可．若已經(jīng)確定套餐的20人先下單，三種團(tuán)購優(yōu)惠條件均不滿足，費(fèi)用合計(jì)為565元．
問題解決
任務(wù) 1 計(jì)算選擇人數(shù) 已經(jīng)確定套餐的20人中，分別有多少人選擇A套餐和B套餐？
任務(wù) 2 分析變量關(guān)系 設(shè)兩種套餐皆可的同學(xué)中有m人選擇A套餐，該班訂餐總費(fèi)用為w元，當(dāng)全班選擇A套餐人數(shù)不少于20人時(shí)，請(qǐng)求出w與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
任務(wù) 3 制定最優(yōu)方案 要使得該班訂餐總費(fèi)用最低，則A、B套餐應(yīng)各訂多少份？并求出最低總費(fèi)用．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）選擇A套餐的有13人，選擇B套餐的有7人；
（2）W＝2m+810；
（3）當(dāng)訂購A套餐15份，訂購B套餐16份時(shí)，訂餐總費(fèi)用最低740元．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意列出方程30x+25（20﹣x）＝565，進(jìn)而求解；
（2）根據(jù)題意列出一次函數(shù)，求出解析式，進(jìn)而求出總費(fèi)用；
（3）分情況進(jìn)行計(jì)算，最后進(jìn)行比較，求出最小值．
【解析】解：（1）20人先下單，三種團(tuán)購優(yōu)惠方案的條件均不滿足，
∴設(shè)這20人中選擇A套餐的有x人，
x＜20，
則選則B套餐的有（20﹣x）人，20﹣x＜12，
∴30x+25（20﹣x）＝565，
∴x＝13，
∴20﹣x＝7．
答：選擇A套餐的有13人，選擇B套餐的有7人．
（2）∵兩種套餐皆可的11人中有m人選擇A套餐，
∴當(dāng)A套餐人數(shù)不少于20人時(shí)，13+m≥20，
∴m≥7，
則選擇B套餐人數(shù)為18﹣m≤11，不滿足優(yōu)惠方案二的條件，
∴訂餐總費(fèi)用為：W＝30×0.9×（13+m）+25（7+11﹣m）＝2m+801；
（3）∵兩種套餐皆可的11人中有m人選擇A套餐，
①當(dāng)m≥7時(shí)，由（2）得：W＝2m+801，
∵k＝2＞0，
∴W隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝7時(shí)總費(fèi)用最小為W＝2×7+801＝815（元），
②當(dāng)0≤m＜7時(shí)，13+m＜20，18﹣m＞11，
∴訂餐總費(fèi)用W＝30×（13+m）+25×0.8×（7+11﹣m）＝10m+750，
∵k＝10＞0，
∴W隨m的增大而增大，
∴m＝0時(shí)，W最小為750元，
③若選擇優(yōu)惠方案三，訂餐總費(fèi)用為W＝30×（13+m）+25×（7+11﹣m）＝5m+840，
∵總費(fèi)用滿850元立減110元，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，訂餐費(fèi)用最小為5×2+840﹣110＝740（元）．
綜上所述，當(dāng)訂購A套餐15份，訂購B套餐16份時(shí)，訂餐總費(fèi)用最低740元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，有一定的難度．
23．（2023 溫州三模）如圖，在直角坐標(biāo)系有一等腰直角三角形MCN，∠MCN＝90°，MC＝NC，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)M，N在一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象上，且M點(diǎn)在第二象限，N點(diǎn)在第四象限，一次函數(shù)圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，AM＝BN．
（1）求證：AC＝BC．
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及CN的長．
（3）點(diǎn)P從N勻速運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，點(diǎn)Q恰好從A勻速運(yùn)動(dòng)到N，記PN＝x，MQ＝y(tǒng)，
①求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
②連結(jié)PQ，點(diǎn)C關(guān)于直線PQ對(duì)稱點(diǎn)為C′，連結(jié)PC′．若直線PC′與△MCN中某條邊所在的直線平行時(shí)（不重合），求出滿足條件的所有x的值．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）3；
（3）①；
②或18﹣24．
【點(diǎn)撥】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CMN＝∠MNC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝BC；
（2）先求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得OB＝1，OA＝3，設(shè)OC＝m，則AC＝BC＝m+1，根據(jù)勾股定理得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，過C作CD⊥AB于D，根據(jù)三角形的面積公式得到CD＝，
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CN＝CD＝3；
（3）①根據(jù)等腰三角形 到現(xiàn)在得到MN＝3，AN＝2，根據(jù)，解方程即可得到結(jié)論；
②分兩種情況：當(dāng)PC′∥CM時(shí)，PC′⊥CN，當(dāng)PC′∥MN時(shí)，分別計(jì)算即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵CM＝CN，
∴∠CMN＝∠MNC，
在△AMC與△BNC中，
，
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴AC＝BC；
（2）解：設(shè)OC＝m，∵y＝﹣3x+2，
∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴A（0，3），B（1，0），
∴OB＝1，OA＝3，
∴AC＝BC＝m+1，
在Rt△AOC中，由勾股定理得，（m+1）2＝m2+32，解得m＝4，
∴C（﹣4，0），過C作CD⊥AB于D，
∵OB＝1，OA＝3，
∴，
∴，
∴，
∵△MCN是等腰直角三角形，
∴∠CND＝45，
∵CD⊥MN，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：①如圖所示，∵△MCN是等腰直角三角形，
∴，
∵，
由題意得，
∴，
∴；
②Ⅰ如圖當(dāng)PC′∥CM時(shí)，PC′⊥CN，
∴∠CPQ＝135°，
∴∠NPQ＝45°，
∴PQ⊥AN，
∴，
∴，
∴；
Ⅱ如圖，當(dāng)PC′∥MN時(shí)，延長QP到E，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，∠CPE＝∠C′PE，
∴∠QPN＝∠C′PE，
∵PC′∥MN，
∴∠PQN＝∠C′QN，
∴PN＝QN，
∴，
∴，
綜上所述，滿足條件的所有x的值為或18﹣24．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，少了則各定理是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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