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中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程（組）與不等式（組）
第四節 一元一次不等式（組）及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式的基本性質 ☆ 中考數學中，一元一次不等式(組) 的解法及應用題時有考察. 其中不等式性質、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現，難度不大.而不等式（組）相關的應用題常會和其它考點(如二元一次方程組、二次函數等) 結合考察，常以解答題形式出現，此時難度上升，需要小心應對.對于一元一次不等式（組）中含參數問題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學生應在復習過程中扎實掌握．
考點2 一元一次不等式（組）的解法 ☆☆
考點3含字母的不等式的解集問題 ☆
考點4 一元一次不等式（組）的應用 ☆☆☆
1．一元一次不等式(組)的概念：
(1)用不等號連結起來的數學式子叫做不等式．
(2)使不等式成立的未知數的值的全體，叫做不等式的解集，簡稱不等式的解．
(3)求不等式的解的過程，叫做解不等式．
2．不等式的基本性質：
(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，不等號的方向不變．
若a＞b，c＞0，則a±c ＞ b±c．
(2)不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．
若a＞b，c＞0，則ac ＞ bc， ＞ ．
(3)不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．
若a＞b，c＜0，則ac ＜ bc， ＜ ．
3．不等式的解法：
解一元一次不等式和解一元一次方程類似，不同的是一元一次不等式兩邊同乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向必須改變．基本步驟為： (1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數化為1.
4．解不等式組：
一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集并表示在數軸上，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集．當它們沒有公共部分時，我們稱這個不等式組無解．由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集有四種情況，其口訣為“大大取大、小小取小、大小小大中間找、大大小小則無解”．
5．列不等式解應用題的一般步驟：
(1)審題．(2)設未知數． (3)找出能夠包含未知數的不等量關系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合題意的未知數的值．(7)寫出答案(包括單位名稱)．
6．列不等式解應用題應注意的問題：
(1)一般情況下題目中的條件在列不等式時不能重復使用，要仔細尋找題目中的隱含條件．
(2)正確理解題目中的關鍵詞語(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超過、至少等)的確切含義．
■考點一　不等式的基本性質
◇典例1：（2022 包頭）若m＞n，則下列不等式中正確的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．＞n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【考點】不等式的性質．
【答案】D
【點撥】A、不等式的兩邊同時減去2，不等號的方向不變；
B、不等式的兩邊同時乘以，不等號的方向改變；
C、不等式的兩邊同時減去m，不等號的方向不變；
D、不等式的兩邊同時乘以﹣2，不等號的方向改變．
【解析】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合題意；
B、，∴不符合題意；
C、m﹣n＞0，∴不符合題意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了不等式的性質，掌握不等式的3個性質是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 北京）已知a﹣1＞0，則下列結論正確的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【考點】不等式的性質．
【答案】B
【點撥】根據不等式的性質，進行計算即可解答．
【解析】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故選：B．
【點睛】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．
2．（2021 臨沂）已知a＞b，下列結論：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，則a+b＜2b；④若b＞0，則，其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點】不等式的性質．
【答案】A
【點撥】根據不等式的性質逐個判斷即可．
【解析】解：a＞b，
∴當a＞0時，a2＞ab，
當a＝0時，a2＝ab，
當a＜0時，a2＜ab，故①結論錯誤
∵a＞b，
∴當|a|＞|b|時，a2＞b2，
當|a|＝|b|時，a2＝b2，
當|a|＜|b|時，a2＜b2，故②結論錯誤；
∵a＞b，b＜0，
∴a+b＞2b，故③結論錯誤；
∵a＞b，b＞0，
∴a＞b＞0，
∴，故④結論正確；
∴正確的個數是1個．
故選：A．
【點睛】本題考查了不等式的性質，能熟記不等式的性質的內容是解此題的關鍵．
■考點二 一元一次不等式（組）的解法
◇典例2：
1.（2023 鹽城）解不等式，并把它的解集在數軸上表示出來．
【考點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集．
【答案】x＜1．
【點撥】先去分母，再去括號、移項、合并同類項，系數化為1，求出不等式的解集，再在數軸上表示出來即可．
【解析】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，
去括號，得6x﹣9＜x﹣4，
移項合并同類項，得5x＜5，
系數化為1，得x＜1
∴原不等式的解集為：x＜1．
在數軸上表示為：
【點睛】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．
2．（2023 天津）解不等式組，請結合題意填空，完成本題的解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣2　；
（2）解不等式②，得 　x≤1　；
（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；
（4）原不等式組的解集為 　﹣2≤x≤1　．
【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．
【答案】（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（3）解集先數軸上表示見解答；
（4）﹣2≤x≤1．
【點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．
【解析】解：（1）解不等式①，得x≥﹣2；
（2）解不等式②，得x≤1；
（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示如圖所示：
（4）原不等式組的解集為﹣2≤x≤1；
故答案為：（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（4）﹣2≤x≤1．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 臺州）不等式x+1≥2的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【考點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集．
【答案】B
【點撥】直接解一元一次不等式，再將解集在數軸上表示即可．
【解析】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在數軸上表示，如圖所示：
．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式，正確解不等式是解題關鍵．
2．（2022 金華）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．
【考點】解一元一次不等式．
【答案】x＞1．
【點撥】利用解不等式的方法解答即可．
【解析】解：去括號得：
6x﹣4＞x+1，
移項得：
6x﹣x＞4+1，
合并同類項得：
5x＞5，
∴x＞1．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題的關鍵．
3．（2023 常州）解不等式組，把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解．
【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．
【答案】﹣1＜x≤2，數軸見解答，整數解是：0，1，2．
【點撥】先求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數解即可．
【解析】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式組的解集是﹣1＜x≤2，
在數軸上表示為
，
∴不等式組的整數解是：0，1，2．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式（組）的應用，關鍵是能求出不等式組的解集．
■考點三 含字母的不等式的解集問題
◇典例3：（2023 黃石）若實數a使關于x的不等式組的解集為﹣1＜x＜4，則實數a的取值范圍為 　a≤﹣1　．
【考點】不等式的解集．
【答案】a≤﹣1．
【點撥】求出不等式組的解，根據其解集求出a的取值范圍即可．
【解析】解：解不等式組，得．
∵它的解集為﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案為：a≤﹣1．
【點睛】本題考查不等式的解集，正確求解不等式是本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 明水縣二模）關于x的兩個不等式與1﹣3x＞0的解集相同，則a＝　1　．
【考點】不等式的解集．
【答案】1
【點撥】求出第二個不等式的解集，表示出第一個不等式的解集，由解集相同求出a的值即可．
【解析】解：由得：，
由1﹣3x＞0得：，
由兩個不等式的解集相同，得到，
解得：a＝1．
故答案為：1．
【點睛】此題考查了不等式的解集，根據題意分別求出對應的值利用不等關系求解．
2．（2023 龍川縣三模）若關于x的不等式組無解，則實數m的取值范圍是 　m≤11　．
【考點】不等式的解集．
【答案】m≤11．
【點撥】根據找不等式組解集的規律和已知得出即可．
【解析】解：∵關于x的不等式組無解，
∴實數m的取值范圍是m≤11，
故答案為：m≤11．
【點睛】本題考查了解不等式組和不等式的解集，能熟記找不等式組解集的規律是解此題的關鍵．
■考點四　 一元一次不等式（組）的應用
◇典例4：（2023 江山市模擬）常山“雙柚汁”因為口感清新，營養價值豐富而深受市民的喜愛，某超市購進兩種不同品牌的雙柚汁，A品牌總花費4000元，單價x元/箱，B品牌總花費6000元，單價1.2x元/箱，其中B品牌雙柚汁比A品牌多20箱．
（1）求B品牌購進的數量；
（2）該超市分別以70元和80元的單價銷售A、B兩種品牌的雙柚汁，在A品牌售出一半，B品牌售出后，超市決定加大銷售力度，對A品牌按買4箱送1箱捆綁銷售，B品牌每箱降價a元銷售；
①用含a的代數式表示兩種品牌的雙柚汁全部售完后的銷售額；
②若超市的總利潤不低于2290元，求a的最大值．
【考點】一元一次不等式的應用；列代數式．
【答案】（1）B品牌購進的數量100箱；
（2）①（13040﹣75a）元；
②a的最大值為143.3元．
【點撥】（1）根據題意，列方程解答即可；
（2）①根據題意A品牌售出一半，B品牌售出前后，A、B品牌銷售額加起即可；
②根據超市的總利潤不低于2290元，列不等式解答即可．
【解析】解：（1）A品牌購進箱，B品牌購進箱，
∵B品牌雙柚汁比A品牌多20箱，
∴，
解得x＝50，
經檢驗，x＝50是分式方程的解，
∴B品牌購進箱；
（2）①A品牌購進＝＝80箱，A品牌購100箱，
∵A品牌售出一半，即40箱，每箱70元共銷售40×70＝2800元，
∵B品牌售出即25箱，每箱80元共銷售25×80＝2000元，
∵A品牌按買4箱送1箱，40箱可湊8個4箱送1箱，共銷售8×4×70＝2240元，
∵B品牌每箱降價a元銷售，即每箱售價（80﹣a）元，共銷售75×（80﹣a）元，
∴全部售完后的銷售額＝2800+2000+2240+75×（80﹣a）＝（13040﹣75a）元；
②13040﹣75a≥2290，
10750≥75a，
a≤143.3，
∴a的最大值為143.3元．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，能列出一元一次不等式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 濱江區二模）一次生活常識競賽共有20題，答對一題得5分，不答得0分，答錯一題扣2分．小濱有1題沒答，競賽成績不低于80分，設小聰答錯了x題，則（　　）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80
C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式．
【答案】B
【點撥】設小聰答錯了x道題，則答對了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道題，根據總分＝5×答對題目數﹣2×答錯題目數，結合小聰競賽成績不低于80分，即可得出關于x的一元一次不等式，此題得解．
【解析】解：設小聰答錯了x道題，則答對了20﹣1﹣x＝（19﹣x）道題，
依題意得：5（19﹣x）﹣2x≥80．
故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．
2．（2021 上城區一模）某校九年級開展了一次數學競賽，賽后購買總金額為480元的獎品，對獲獎學生進行獎勵．設有x名學生獲獎，獎品均價y元．
（1）寫出y關于x的函數表達式；
（2）該年級共有學生400人，
①若未獲獎學生數是獲獎學生數的4倍多25人，求獎品的均價；
②若獲獎學生不超過該年級學生總數的25%，且不低于學生總人數的15%，求獎品均價的取值范圍．
【考點】一元一次不等式組的應用；反比例函數的應用．
【答案】（1）y＝；（2）①6.4元；②4.8≤y≤8．
【點撥】（1）由學生人數乘以獎品均價等于獎品總價列出方程，從而求出y關于x的函數表達式；
（2）①由未獲獎學生數是獲獎學生數的4倍多25人列方程，求出x，再求y；
②由獲獎學生不超過該年級學生總數的25%，且不低于學生總人數的15%，列不等式，求出獎品均價的取值范圍．
【解析】解：（1）由題意得：x y＝480，
∴y＝；
（2）①∵有x名學生獲獎，則有（400﹣x）名學生未獲獎，
∴400﹣x＝4x+25，
解得：x＝75（人），
∴y＝6.4（元）；
②由題意得：400×15%≤x≤400×25%，
即60≤x≤100，
由（1）知y與x成反比，
∴≤y≤，
即4.8≤y≤8，
∴獎品均價的取值范圍為：4.8≤y≤8．
【點睛】此題考查反比例函數以及方程和不等式的應用，由題意得列方程是不等式關鍵．
1．（2021 湖州）不等式3x﹣1＞5的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞ D．x＜
【考點】解一元一次不等式．
【答案】A
【點撥】不等式移項合并，把x系數化為1，即可求出解集．
【解析】解：不等式3x﹣1＞5，
移項合并得：3x＞6，
解得：x＞2．
故選：A．
【點睛】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解不等式的方法是解本題的關鍵．
2．（2023 龍港市二模）不等式組的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．﹣2＜x＜﹣1
【考點】解一元一次不等式組．
【答案】B
【點撥】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解析】解：由2x＞﹣4得：x＞﹣2，
由1﹣x＜0得：x＞1，
則不等式組的解集為x＞1，
故答案為：B．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是實數，若a＞b，c＝d，則（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
【考點】不等式的性質．
【答案】A
【點撥】根據不等式的性質判斷A選項；根據特殊值法判斷B，C，D選項．
【解析】解：A選項，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故該選項符合題意；
B選項，當a＝2，b＝1，c＝d＝3時，a+b＜c+d，故該選項不符合題意；
C選項，當a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3時，a+c＜b﹣d，故該選項不符合題意；
D選項，當a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3時，a+b＜c﹣d，故該選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了不等式的性質，掌握不等式的兩邊同時加上或減去同一個整式（或相等的整式），不等號的方向不變是解題的關鍵．
4．（2021 麗水）若﹣3a＞1，兩邊都除以﹣3，得（　　）
A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
【考點】不等式的性質．
【答案】A
【點撥】根據不等式的性質3求出答案即可．
【解析】解：∵﹣3a＞1，
∴不等式的兩邊都除以﹣3，得a＜﹣，
故選：A．
【點睛】本題考查了不等式的性質，能靈活運用不等式的性質3進行變形是解此題的關鍵，注意：不等式的兩邊都除以同一個負數，不等號的方向要改變．
5．（2023 長興縣二模）據中央氣象臺報道，某日我市最高氣溫是33℃，最低氣溫是25℃，則當天氣溫t（℃）的變化范圍是（　　）
A．t＞25 B．t≤25 C．25＜t＜33 D．25≤t≤33
【考點】不等式的定義．
【答案】D
【點撥】最高氣溫與最低氣溫之間的氣溫即為當天氣溫t（℃）的變化范圍．
【解析】解：當天氣溫t（℃）的變化范圍是25≤t≤33，
故選：D．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式組，關鍵是抓住關鍵詞語，最高和最低，從而可列出不等式組．
6．（2023 衢州一模）不等式x≥﹣2的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點】在數軸上表示不等式的解集．
【答案】D
【點撥】將已知解集表示在數軸上即可．
【解析】解：不等式x≥﹣2的解集在數軸上表示正確的是．
故選：D．
【點睛】考查了在數軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
7．（2022 拱墅區模擬）x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，則b的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點】不等式的解集．
【答案】A
【點撥】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根據x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解即可．
【解析】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，
因為x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，
所以b的值不可能是1．
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關鍵是根據不等式的解的概念得出關于x的不等式并熟練掌握解一元一次不等式的能力．
8．（2023 金華模擬）不等式組的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【考點】在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組．
【答案】D
【點撥】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上即可．
【解析】解：，
解得，
不等式組的解集是﹣1＜x≤1，
故選：D．
【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
9．（2021 永嘉縣校級模擬）不等式組的解集是x＞4，那么m的取值范圍是（　　）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【考點】不等式的解集．
【答案】A
【點撥】利用不等式組取解集的方法判斷即可得到m的范圍．
【解析】解：∵等式組的解集是x＞4，
∴m≤4，
故選：A．
【點睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式組取解集的方法是解本題的關鍵．
10．（2023 麗水模擬）如果（m+3）x＞2m+6的解集為x＜2，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意實數
【考點】不等式的解集．
【答案】B
【點撥】由原不等式變形為（m+3）x＞2（m+3），解該不等式的下一步是兩邊都除以x的系數（m+3），題中給出的解集是x＜2，改變了不等號的方向，所以x的系數是小于0的，據此可以求得m的取值范圍．
【解析】解：由不等式（m+3）x＞2m+6，得
（m+3）x＞2（m+3），
∵（m+3）x＞2m+6的解集為x＜2，
∴m+3＜0，
解得，m＜﹣3；
故選：B．
【點睛】本題考查了不等式的解集．當未知數的系數是負數時，兩邊同除以未知數的系數需改變不等號的方向．同理，當不等號的方向改變后，也可以知道不等式兩邊除以的是一個負數．
11．（2023 拱墅區三模）已知不等式組的解為x≥﹣b，則下列各式正確的是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b
【考點】不等式的解集．
【答案】A
【點撥】根據不等式組的解集可列出關于a、b的不等式，根據不等式的基本性質求出a、b的關系即可．
【解析】解：∵不等式組的解為x≥﹣b，
∴﹣a＜﹣b，
∴a＞b，
故選：A．
【點睛】本題主要考查不等式組的解集，解答此題的關鍵是熟知解一元一次不等式組應遵循的原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
12．（2023 麗水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式；有理數的加減混合運算．
【答案】A
【點撥】利用小霞原來存款數+15×月數n＞小明原來存款數+12×月數n，求出即可．
【解析】解：由題意可得：52+15n＞70+12n．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，得到兩人存款數的關系式是解決本題的關鍵．
13．（2020 柯橋區模擬）已知A地在B地的西方，且有一以A、B兩地為端點的東西向直線道路，其全長為400公里，今在此道路上距離A地12公里處設置第一個廣告牌，之后每往東27公里就設置一個廣告牌，如圖所示．若某車從此道路上距離A地19公里處出發，往東直行320公里后才停止，則此車在停止前經過的最后一個廣告牌距離A地多少公里？（　　）
A．309 B．316 C．336 D．339
【考點】一元一次不等式的應用．
【答案】C
【點撥】由于在此道路上距離A地12公里處設置第一個廣告牌，之后每往東27公里就設置一個廣告牌，所以第n個廣告牌距離A地12+27（n﹣1），設此車停止時前面有x個廣告牌，根據題意列出不等式12+27（x﹣1）≤320+19，將不等式的最大整數解代入12+27（x﹣1），計算即可．
【解析】解：設此車停止時前面有x個廣告牌，根據題意得
12+27（x﹣1）≤320+19，
x≤13，
即此車停止時前面有13個廣告牌，并且超過第13個廣告牌3公里，
所以此車在停止前經過的最后一個廣告牌距離A地320+19﹣3＝336公里，
故選：C．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的不等關系列出不等式，再求解．
14．（2022 紹興）關于x的不等式3x﹣2＞x的解集是 　x＞1　．
【考點】解一元一次不等式．
【答案】x＞1．
【點撥】根據解一元一次不等式步驟即可解得答案．
【解析】解：∵3x﹣2＞x，
∴3x﹣x＞2，即2x＞2，
解得x＞1，
故答案為：x＞1．
【點睛】本題考查解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式的基本步驟．
15．（2023 臨平區二模）在平面直角坐標系中，點P（m﹣1，m+2）位于第一象限，則m的取值范圍為 　m＞1　．
【考點】解一元一次不等式組；點的坐標．
【答案】見試題解答內容
【點撥】根據平面直角坐標系中第一象限點的坐標特征可得：，然后進行計算即可解答．
【解析】解：∵點P（m﹣1，m+2）位于第一象限，
∴，
解得：m＞1，
故答案為：m＞1．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，點的坐標，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．
16．（2023 濱江區一模）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻足夠長）的矩形ABCD菜園，若6m≤AB≤10m，則BC的取值范圍為 　20m≤BC≤28m　．
【考點】一元一次不等式組的應用．
【答案】20m≤BC≤28m．
【點撥】根據題意可得2AB+BC＝40m，從而表示出，再由6m≤AB≤10m即可得到，解不等式組即可得到答案．
【解析】解：根據題意可得：2AB+BC＝40m，
∴，
∵6m≤AB≤10m，
∴，
解得：20m≤BC≤28m，
∴BC的取值范圍為：20m≤BC≤28m，
故答案為：20m≤BC≤28m．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用，根據題意列出不等式組是解題的關鍵．
17．（2022 濱江區一模）若不等式組的解集為的解為x＞n，則n的取值范圍是 　n≥1　．
【考點】不等式的解集．
【答案】n≥1．
【點撥】根據同大取大即可得n的取值范圍．
【解析】解：若不等式組的解集為的解為x＞n，則n的取值范圍是n≥1．
故答案為：n≥1．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
18．（2022 臨安區一模）杭州市將在2022年舉辦亞運會，為加強學校體育工作，某學校決定購買一批籃球和足球共100個．已知籃球和足球的單價分別為120元和90元．根據需求，籃球購買的數量不少于40個．學校可用于購買這批籃球和足球的資金最多為10260元，則有 　3　種購買方案．
【考點】一元一次不等式組的應用．
【答案】3．
【點撥】設購買籃球x個，則購買足球（100﹣x）個，利用總價＝單價×數量，結合“籃球購買的數量不少于40個，且總價不超過10260元”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結合x為正整數，即可得出共有3種購買方案．
【解析】解：設購買籃球x個，則購買足球（100﹣x）個，
依題意得：，
解得：40≤x≤42．
又∵x為正整數，
∴x可以為40，41，42，
∴共有3種購買方案．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．
19．（2022 溫州）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在數軸上．
【考點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集．
【答案】x≤2.5，解集在數軸上表示見解答．
【點撥】先解出不等式的解集，再在數軸上表示出其解集即可．
【解析】9x﹣2≤7x+3，
移項，得：9x﹣7x≤3+2，
合并同類項，得：2x≤5，
系數化為1，得：x≤2.5，
其解集在數軸上表示如下：
．
【點睛】本題考查實數的運算、解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確實數運算的運算法則和解一元一次不等式的方法．
20．（2021 蘭溪市模擬）解不等式組．
【考點】解一元一次不等式組．
【答案】﹣1≤x＜5
【點撥】首先分別解出兩個不等式的解集，再根據解集的規律確定不等式組的解集．
【解析】解：，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣1，
不等式組的解集為：﹣1≤x＜5．
【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是掌握解集的確定方法：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
21．（2021 上城區二模）身體質量指數（BMI）的計算公式是：BMI＝．這里W為身體的體重（單位：kg），h為身高（單位：m）．男性的BMI指數正常范圍是18.5≤BMI≤23.9．
（1）有一位男運動員身高1.8m，體重81kg，請問他的BMI正常嗎？
（2）有一位成年男性身高2m且他的BMI正常，請求出他的體重范圍．
【考點】一元一次不等式組的應用．
【答案】（1）不正常；
（2）他的體重不少于74kg，不超過95.6kg．
【點撥】（1）利用身體質量指數（BMI）的計算公式可求出該運動員的BMI值，結合男性的BMI指數正常范圍是18.5≤BMI≤23.9，即可得出結論；
（2）設他的體重為x kg，根據身體質量指數（BMI）的計算公式及男性的BMI指數正常范圍是18.5≤BMI≤23.9，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍．
【解析】解：（1）81÷1.82＝81÷3.24＝25，
∵25＞23.9，
∴該運動員的BMI不正常．
（2）設他的體重為x kg，
依題意得：，
解得：74≤x≤95.6，
答：他的體重不少于74kg，不超過95.6kg．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．
22．（2022 鎮海區校級二模）某汽車銷售公司經銷某品牌A，B兩款汽車，今年一、二月份銷售情況如表所示：（A，B兩款汽車的銷售單價保持不變）
銷售數量（輛） 銷售額（萬元）
A款 B款
一月份 30 10 350
二月份 10 30 330
（1）求A，B兩款汽車每輛售價分別多少萬元？
（2）若A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為5.5萬元，公司預計用不多于129萬元且不少于123萬元的資金購進這兩款汽車共20輛，有哪幾種進貨方案？
（3）為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，請確定α的取值，并說明理由．
【考點】一元一次不等式組的應用；一次函數的應用；二元一次方程組的應用．
【答案】（1）A款汽車每輛售價是9萬元，B款汽車每輛售價是8萬元；
（2）該公司共有3種進貨方案，
方案1：購進7輛A款汽車，13輛B款汽車；
方案2：購進8輛A款汽車，12輛B款汽車；
方案3：購進9輛A款汽車，11輛B款汽車；
（3）a＝1，理由見解答．
【點撥】（1）設A款汽車每輛售價是x萬元，B款汽車每輛售價是y萬元，利用總價＝單價×數量，結合今年一、二月份銷售情況，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購進m輛A款汽車，則購進（20﹣m）輛B款汽車，利用總價＝單價×數量，結合總價不多于129萬元且不少于123萬元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數，即可得出各進貨方案；
（3）a的值為1，設這20輛汽車全部售出后獲得的利潤為w萬元，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×銷售數量，即可得出w關于m的函數關系式，由（2）中所有的方案獲利相同，可得出a﹣1＝0，解之即可得出a的值．
【解析】解：（1）設A款汽車每輛售價是x萬元，B款汽車每輛售價是y萬元，
依題意得：，
解得：．
答：A款汽車每輛售價是9萬元，B款汽車每輛售價是8萬元．
（2）設購進m輛A款汽車，則購進（20﹣m）輛B款汽車，
依題意得：，
解得：≤m≤．
又∵m為整數，
∴m可以為7，8，9，
∴該公司共有3種進貨方案，
方案1：購進7輛A款汽車，13輛B款汽車；
方案2：購進8輛A款汽車，12輛B款汽車；
方案3：購進9輛A款汽車，11輛B款汽車．
（3）a的值為1，理由如下：
設這20輛汽車全部售出后獲得的利潤為w萬元，則w＝（9﹣7.5）m+（8﹣a﹣5.5）（20﹣m）＝（a﹣1）m+50﹣20a，
又∵（2）中所有的方案獲利相同，
即w的值與m無關，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．
1．（2023 金華模擬）若a＞b，則下列選項中，一定成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
【考點】不等式的性質．
【答案】A
【點撥】根據a＞b和不等式的性子，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解析】解：∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故選項A正確，符合題意；
a﹣2＜b﹣2，故選項B錯誤，不符合題意；
2a＜2b，故選項C錯誤，不符合題意；
﹣2a＞﹣2b，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查不等式的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用不等式的性質解答．
2．（2023 舟山三模）若a＜b，下列各式中一定成立的是（　　）
A．am＞bm B． C．（1+m2）a＜（1+m2）b D．1﹣a＜1﹣b
【考點】不等式的性質．
【答案】C
【點撥】運用不等式的性質進行逐一求解、辨別．
【解析】解：∵a＜b，m＜0時，am＞bm，
∴選項A不符合題意；
∵a＜b，m＞0時，＞，
∴選項B不符合題意；
∵a＜b時，（1+m2）a＜（1+m2）b，
∴選項C符合題意；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，
∴選項D不符合題意；
故選：C．
【點睛】此題考查了不等式性質的運用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．
3．（2020 溫州模擬）滿足﹣2＜x≤1的數在數軸上表示為（　　）
A． B． C． D．
【考點】在數軸上表示不等式的解集．
【答案】B
【點撥】﹣2＜x≤1表示不等式x＞﹣2與不等式x≤1的公共部分．實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，大于向右小于向左．兩個不等式的公共部分就是不等式組的解集．
【解析】解：由于x＞﹣2，所以表示﹣2的點應該是空心點，折線的方向應該是向右．
由于x≤1，所以表示1的點應該是實心點，折線的方向應該是向左．
所以數軸表示的解集為：
故選：B．
【點睛】此題主要考查不等式組的解法及在數軸上表示不等式組的解集．不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集，有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
4．（2022 衢州）不等式組的解集是（　　）
A．x＜3 B．無解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
【考點】解一元一次不等式組．
【答案】D
【點撥】先解出每個不等式，再求公共解集即可．
【解析】解：，
解不等式①得x＜4，
解不等式②得x＞3，
∴不等式組的解集為3＜x＜4，
故選：D．
【點睛】本題考查解不等式組，解題的關鍵是掌握求不等式公共解集的方法．
5．（2021 鎮海區模擬）把一些書分給幾名同學，若每人分10本，則多8本；若每人分11本，仍有剩余．依題意，設有x名同學，可列不等式（　　）
A．10x+8＞11x B．10x+8＜11x C．10（x+8）＞11x D．10（x+8）＜11x
【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式．
【答案】A
【點撥】根據不等式表示的意義解答即可．
【解析】解：依題意，設有x名同學，可列不等式10x+8＞11x，
故選：A．
【點睛】本題考查根據實際問題列不等式，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系．
6．（2023 衢州二模）燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到超過10m以外的安全區域．已知導火線的燃燒速度為0.02m/s，人離開的速度為4m/s，則導火線的長x（m）應滿足的不等式為（　　）
A． B． C． D．
【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式．
【答案】C
【點撥】根據為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到超過10m以外的安全區域．已知導火線的燃燒速度為0.02m/s，人離開的速度為4m/s，從而可以列出相應的方程．
【解析】解：∵人在點燃導火線后要在燃放前轉移到超過10m以外的安全區域，
∴＞，
故選：C．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式．
7．（2023 寧波模擬）商店為了對某種商品促銷，將定價為30元的商品，以下列方式優惠銷售：若購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分打八折，現有270元，最多可以購買該商品的件數是（　　）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
【考點】一元一次不等式的應用．
【答案】B
【點撥】由購買5件商品只需150元可設可以購買該商品x件（x＞5），根據30×5+30×0.8×超出5件部分≤270，列出關于x的一元一次不等式，解之取其最大的正整數即可．
【解析】解：設可以購買該商品x件（x＞5），
根據題意得：30×5+30×0.8（x﹣5）≤270，
解得：x≤10，
即最多可以購買該商品10件，
故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．
8．（2023 鎮江一模）甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺碼分別是x甲，x乙，x丙，x丁，請通過以下幾句正確對話，
①甲對丙說：“我穿的鞋尺碼比你大”；
②丙對乙說：“我穿的鞋尺碼比你大”；
③丁對甲說：“我們兩個所穿的鞋的尺碼加起來比他倆的尺碼和小”；
判斷他們所穿鞋的尺碼的大小關系是（　　）
A．x丁＜x甲＜x丙＜x乙 B．x乙＜x丙＜x甲＜x丁 C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲 D．x丁＜x乙＜x丙＜x甲
【考點】不等式的性質．
【答案】D
【點撥】根據不等式的性質，逐一判斷即可解答．
【解析】解：由題意得：x甲＞x丙，x丙＞x乙，x甲+x丁＜x丙+x乙，
∴x丁＜x乙，
∴x丁＜x乙＜x丙＜x甲，
故選：D．
【點睛】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．
9．（2021 鐵嶺模擬）若不等式組有解，則實數a的取值范圍是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
【考點】不等式的解集．
【答案】D
【點撥】先解不等式組，然后根據題意可得a≥﹣2，由此求得a的取值．
【解析】解：，
解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，
由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，
∵不等式組：不等式組有解，
∴a＞﹣2，
故選：D．
【點睛】本題考查了不等式組有解的條件，屬于中檔題．
10．（2021 九原區模擬）已知關于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，則a的范圍是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
【考點】不等式的解集．
【答案】C
【點撥】先把a看作常數求出兩個不等式的解集，再根據同大取大列出不等式求解即可．
【解析】解：由＞1得，x＞，
由＞0得，x＞﹣，
∵關于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，
∴≥﹣，
解得a≤5．
即a的取值范圍是：a≤5．
故選：C．
【點睛】本題考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分別求出兩個不等式的解集，再根據同大取大列出關于a的不等式是解題的關鍵．
11．（2021 衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集為 　y＜1　．
【考點】解一元一次不等式．
【答案】y＜1．
【點撥】根據解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得，注意移項要變號．
【解析】解：2（y+1）＜y+3
2y+2＜y+3
2y﹣y＜3﹣2
y＜1，
故答案為：y＜1．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，嚴格遵循解不等式的基本步驟是解題的關鍵．
12．（2023 溫州）不等式組的解是 　﹣1≤x＜3　．
【考點】解一元一次不等式組．
【答案】﹣1≤x＜3．
【點撥】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
【解析】解：，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
∴該不等式組的解集為﹣1≤x＜3，
故答案為：﹣1≤x＜3．
【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．
13．（2021 蘇州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，則x的取值范圍為 　0＜x＜　．
【考點】不等式的性質．
【答案】0＜x＜．
【點撥】由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，根據k＝﹣2＜0可得，當y＝0時，x取得最大值，當y＝1時，x取得最小值，將y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【解析】解：由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，
根據0＜y＜1可知0＜﹣2x+1＜1，
∴﹣1＜﹣2x＜0，
∴0＜x＜．
故答案為：0＜x＜．
【點睛】此題考查了不等式的性質和一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．
14．（2023 射陽縣校級模擬）已知關于x的不等式（a+2）x＜1的解集為x＞，則a的取值范圍為　a＜﹣2　．
【考點】不等式的解集．
【答案】a＜﹣2
【點撥】根據不等式的基本性質，由不等式x（a+2）＜1的解集為x＞，可得：a+2＜0，據此求出a的取值范圍即可．
【解析】解：∵不等式（a+2）x＜1的解集為x＞，
∴a+2＜0，
∴a的取值范圍為：a＜﹣2．
故答案為：a＜﹣2．
【點睛】此題主要考查了不等式的解集，要熟練掌握，注意不等式的基本性質的應用
15．（2022 二道區校級二模）如圖1，一個容量為600cm3的杯子中裝有300cm3的水，將四顆相同的玻璃球放入這個杯子中，結果水沒有滿，如圖2，設每顆玻璃球的體積為x cm3，根據題意可列不等式為 　300+4x＜600　．
【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式；認識立體圖形．
【答案】300+4x＜600．
【點撥】水的體積+4個玻璃球的體積＜600cm3．
【解析】解：水的體積為300cm3，四顆相同的玻璃球的體積為4x cm3，
根據題意得到：300+4x＜600．
故答案為：300+4x＜600．
【點睛】本題考查的是由實際問題抽象出一元一次不等式，解此類題目的關鍵是讀懂圖意．
16．（2023 豐臺區一模）臨近端午，某超市準備購進小棗粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均為同一品種的粽子），其中小棗粽每袋6個，豆沙粽每袋4個，肉粽每袋2個．為了促銷，超市計劃將所購粽子組合包裝，全部制成A，B兩種套裝銷售．A套裝為每袋小棗粽4個，豆沙粽2個；B套裝為每袋小棗粽2個，肉粽2個．
（1）設購進的小棗粽x袋，豆沙粽y袋，則購進的肉粽的個數為 　（400﹣2x﹣2y）　（用含x，y的代數式表示）；
（2）若肉粽的進貨袋數不少于三種粽子進貨總袋數的，則豆沙粽最多購進 　40　袋．
【考點】一元一次不等式的應用；列代數式．
【答案】（1）（400﹣2x﹣2y）；
（2）40．
【點撥】（1）由已知購進的肉粽（200﹣x﹣y）袋，故購進的肉粽為2（200﹣x﹣y）＝（400﹣2x﹣2y）個；
（2）設購進的小棗粽m袋，豆沙粽n袋，則購進的肉粽（200﹣m﹣n）袋，則購進的小棗粽6m個，豆沙粽4n個，購進的肉粽2（200﹣m﹣n）個，根據A套裝為每袋小棗粽4個，豆沙粽2個，B套裝為每袋小棗粽2個，肉粽2個，可得8n+（400﹣2m﹣2n）＝6m，即m＝n+50，又肉粽的進貨袋數不少于三種粽子進貨總袋數的，即得200﹣（n+50）﹣n≥80，解不等式可得答案．
【解析】解：（1）由已知得，購進的肉粽（200﹣x﹣y）袋，肉粽每袋2個，
∴購進的肉粽2（200﹣x﹣y）＝（400﹣2x﹣2y）個；
故答案為：（400﹣2x﹣2y）；
（2）設購進的小棗粽m袋，豆沙粽n袋，則購進的肉粽（200﹣m﹣n）袋，
∵小棗粽每袋6個，豆沙粽每袋4個，肉粽每袋2個，
∴購進的小棗粽6m個，豆沙粽4n個，購進的肉粽2（200﹣m﹣n）個，
∵A套裝為每袋小棗粽4個，豆沙粽2個，
∴A套裝包裝了4n÷2＝2n（套），A套裝需2n×4＝8n（個）小棗粽，
∵B套裝為每袋小棗粽2個，肉粽2個，
∴B套裝包裝了2（200﹣m﹣n）÷2＝（200﹣m﹣n）套，B套裝需2（200﹣m﹣n）＝（400﹣2m﹣2n）個小棗粽，
∴8n+（400﹣2m﹣2n）＝6m，
變形整理得：m＝n+50，
∵肉粽的進貨袋數不少于三種粽子進貨總袋數的，
∴200﹣m﹣n≥200×，
∴200﹣（n+50）﹣n≥80，
解得n≤40，
∴豆沙粽最多購進40袋，
故答案為：40．
【點睛】本題考查一元一次不等式的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出不等式解決問題．
17．（2023 紹興）解不等式：3x﹣2＞x+4．
【考點】解一元一次不等式．
【答案】x＞3．
【點撥】利用解一元一次不等式的方法進行求解即可．
【解析】解：3x﹣2＞x+4，
移項得：3x﹣x＞4+2，
即：2x＞6，
系數化為1，得：x＞3，
∴原不等式的解集是：x＞3．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題的關鍵．
18．（2023 福建）解不等式組：．
【考點】解一元一次不等式組．
【答案】﹣3≤x＜1．
【點撥】先求出每個不等式的解集，再根據“大小小大取中間”原則求出不等式組的解集即可．
【解析】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥﹣3．
所以原不等式組的解集為﹣3≤x＜1．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．
19．（2023 寧夏）解不等式組 ．
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任務一：該同學的解答過程第 　4　步出現了錯誤，錯誤原因是 　不等式的基本性質3應用錯誤　；
不等式①的正確解集是 　x＜1　；
任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
【考點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組．
【答案】任務一：4，不等式的基本性質3應用錯誤，x＜1；
任務二：﹣1≤x＜1．
【點撥】任務一：根據解不等式的基本步驟解答即可；
任務二：先移項，再合并同類項，把x的系數化為1即可．
【解析】解：任務一：4，不等式的基本性質3應用錯誤，x＜1；
任務二：﹣3x+x≤4﹣2，
﹣2x≤2，
x≥﹣1，
∴該不等式組的解集為﹣1≤x＜1．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題的關鍵．
20．（2021 樂山）當x取何正整數值時，代數式與的值的差大于1？
【考點】解一元一次不等式；代數式求值．
【答案】見試題解答內容
【點撥】根據題意列出關于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通過移項、合并同類項、化系數為1進行解答即可．
【解析】解：依題意得：﹣＞1，
去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，
去括號，得：3x+9﹣4x+2＞6，
移項，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，
合并同類項，得：﹣x＞﹣5，
系數化為1，得：x＜5．
∵x為正整數，
∴x取1，2，3，4．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式．根據不等式的性質解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．
21．（2023 蘭考縣一模）“一盔一帶”安全守護行動是公安部在全國開展的一項安全守護行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標準，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛人和乘坐人員應當戴安全頭盔，某商場欲購進一批頭盔，已知購進8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元．
（1）購進1個甲型頭盔和1個乙型頭盔分別需要多少元？
（2）若該商場準備購進200個這兩種型號的頭盔，總費用不超過10200元，則最多可購進乙型頭盔多少個？
（3）在（2）的條件下，若該商場分別以58元/個、98元/個的價格銷售完甲，乙兩種型號的頭盔200個，能否實現利潤不少于6190元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．
【考點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的應用；二元一次方程組的應用．
【答案】（1）購進1個甲型頭盔需要30元，購進1個乙型頭盔需要65元；
（2）最多可購進乙型頭盔120個；
（3）能，①采購甲型頭盔82個，采購乙型頭盔118個；②采購甲型頭盔81個，采購乙型頭盔119個；③采購甲型頭盔80個，采購乙型頭盔120個．
【點撥】（1）根據題意列二元一次方程組并求解即可；
（2）設乙型頭盔m個，根據所需費用＝數量×單價，計算甲、乙頭盔總費用列不等式，求得乙型頭盔m的最大值；
（3）根據利潤＝單件利潤×數量，列不等式，求出乙型頭盔m的取值范圍，結合（2）中答案確定m的取值范圍，即可得出可選方案．
【解析】解：（1）設購進1個甲型頭盔需要x元，購進1個乙型頭盔需要y元．
根據題意，得，
解得，；
答：購進1個甲型頭盔需要30元，購進1個乙型頭盔需要65元；
（2）設購進乙型頭盔m個，則購進甲型頭盔（200﹣m）個，
根據題意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，
解得：m≤120，
∴m的最大值為120；
答：最多可購進乙型頭盔120個；
（3）能，
根據題意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；
解得：m≥118；
∴118≤m≤120；
∵m為整數，
∴m可取118，119或120，對應的200﹣m的值分別為82，81或80；
因此能實現利潤不少于6190元的目標，該商場有三種采購方案：
①采購甲型頭盔82個，采購乙型頭盔118個；
②采購甲型頭盔81個，采購乙型頭盔119個；
③采購甲型頭盔80個，采購乙型頭盔120個．
【點睛】本題考查二元一次方程組和不等式的綜合應用題，解題的關鍵是根據題意列方程組并求解，同時注意在確定方案時所設未知數應取整數．
22．（2023 雙峰縣一模）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質健康管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球，已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．
（1）求籃球和足球的單價分別是多少元；
（2）學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元．那么有哪幾種購買方案？
【考點】一元一次不等式組的應用；一元一次方程的應用；二元一次方程組的應用．
【答案】（1）籃球的單價為120元，足球的單價為90元；（2）共有四種購買方案，
方案一：采購籃球30個，采購足球20個；
方案二：采購籃球31個，采購足球19個；
方案三：采購籃球32個，采購足球18個；
方案四：采購籃球33個，采購足球17個．
【點撥】（1）根據購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；
（2）根據要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元，可以列出相應的不等式組，從而可以求得籃球數量的取值范圍，然后即可寫出相應的購買方案．
【解析】解：（1）設籃球的單價為a元，足球的單價為b元，
由題意可得：，
解得，
答：籃球的單價為120元，足球的單價為90元；
（2）設果購籃球m個，則果購足球為（50﹣m）個，
要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元，
∴，
解得30≤m≤33，
m為整數，
m的值可為30，31，32，33．
答：共有四種購買方案，
方案一：采購籃球30個，采購足球20個；
方案二：采購籃球31個，采購足球19個；
方案三：采購籃球32個，采購足球18個；
方案四：采購籃球33個，采購足球17個．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式組．
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第二章 方程（組）與不等式（組）
第四節 一元一次不等式（組）及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式的基本性質 ☆ 中考數學中，一元一次不等式(組) 的解法及應用題時有考察. 其中不等式性質、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現，難度不大.而不等式（組）相關的應用題常會和其它考點(如二元一次方程組、二次函數等) 結合考察，常以解答題形式出現，此時難度上升，需要小心應對.對于一元一次不等式（組）中含參數問題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學生應在復習過程中扎實掌握．
考點2 一元一次不等式（組）的解法 ☆☆
考點3含字母的不等式的解集問題 ☆
考點4 一元一次不等式（組）的應用 ☆☆☆
1．一元一次不等式(組)的概念：
(1)用 連結起來的數學式子叫做不等式．
(2)使不等式成立的未知數的值的全體，叫做 ，簡稱不等式的解．
(3)求不等式的解的過程，叫做 ．
2．不等式的基本性質：
(1)不等式的兩邊都 同一個數或同一個整式，不等號的方向不變．
若a＞b，c＞0，則a±c b±c．
(2)不等式的兩邊都 同一個 ，不等號的方向不變．
若a＞b，c＞0，則ac bc， ．
(3)不等式的兩邊都 同一個 ，不等號的方向改變．
若a＞b，c＜0，則ac bc， ．
3．不等式的解法：
解一元一次不等式和解一元一次方程類似，不同的是一元一次不等式兩邊同乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向必須 ．基本步驟為： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)系數化為1.
4．解不等式組：
一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集并表示在數軸上，再求出它們的 ，就得到不等式組的解集．當它們沒有公共部分時，我們稱這個不等式組 ．由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集有四種情況，其口訣為“大大取大、小小取小、大小小大中間找、大大小小則無解”．
5．列不等式解應用題的一般步驟：
(1)審題．(2)設未知數． (3)找出能夠包含未知數的不等量關系．(4)列出不等式．
(5)求出不等式的解． (6)在不等式的解中找出符合題意的未知數的值．(7)寫出答案(包括單位名稱)．
6．列不等式解應用題應注意的問題：
(1)一般情況下題目中的條件在列不等式時不能重復使用，要仔細尋找題目中的隱含條件．
(2)正確理解題目中的關鍵詞語(如：不足、不低于、不大于、不小于、不超過、至少等)的確切含義．
■考點一　不等式的基本性質
◇典例1：（2022 包頭）若m＞n，則下列不等式中正確的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．＞n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
◆變式訓練
1．（2023 北京）已知a﹣1＞0，則下列結論正確的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
2．（2021 臨沂）已知a＞b，下列結論：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，則a+b＜2b；④若b＞0，則，其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
■考點二 一元一次不等式（組）的解法
◇典例2：
1.（2023 鹽城）解不等式，并把它的解集在數軸上表示出來．
2．（2023 天津）解不等式組，請結合題意填空，完成本題的解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；
（4）原不等式組的解集為 　　．
◆變式訓練
1．（2023 臺州）不等式x+1≥2的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 金華）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．
3．（2023 常州）解不等式組，把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解．
■考點三 含字母的不等式的解集問題
◇典例3：（2023 黃石）若實數a使關于x的不等式組的解集為﹣1＜x＜4，則實數a的取值范圍為 　　．
◆變式訓練
1．（2023 明水縣二模）關于x的兩個不等式與1﹣3x＞0的解集相同，則a＝　　．
2．（2023 龍川縣三模）若關于x的不等式組無解，則實數m的取值范圍是 　　．
■考點四　 一元一次不等式（組）的應用
◇典例4：（2023 江山市模擬）常山“雙柚汁”因為口感清新，營養價值豐富而深受市民的喜愛，某超市購進兩種不同品牌的雙柚汁，A品牌總花費4000元，單價x元/箱，B品牌總花費6000元，單價1.2x元/箱，其中B品牌雙柚汁比A品牌多20箱．
（1）求B品牌購進的數量；
（2）該超市分別以70元和80元的單價銷售A、B兩種品牌的雙柚汁，在A品牌售出一半，B品牌售出后，超市決定加大銷售力度，對A品牌按買4箱送1箱捆綁銷售，B品牌每箱降價a元銷售；
①用含a的代數式表示兩種品牌的雙柚汁全部售完后的銷售額；
②若超市的總利潤不低于2290元，求a的最大值．
◆變式訓練
1．（2023 濱江區二模）一次生活常識競賽共有20題，答對一題得5分，不答得0分，答錯一題扣2分．小濱有1題沒答，競賽成績不低于80分，設小聰答錯了x題，則（　　）
A．95﹣7x＞80 B．5（19﹣x）﹣2x≥80
C．100﹣7x＞80 D．5（20﹣x）﹣2x≥80
2．（2021 上城區一模）某校九年級開展了一次數學競賽，賽后購買總金額為480元的獎品，對獲獎學生進行獎勵．設有x名學生獲獎，獎品均價y元．
（1）寫出y關于x的函數表達式；
（2）該年級共有學生400人，
①若未獲獎學生數是獲獎學生數的4倍多25人，求獎品的均價；
②若獲獎學生不超過該年級學生總數的25%，且不低于學生總人數的15%，求獎品均價的取值范圍．
1．（2021 湖州）不等式3x﹣1＞5的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞ D．x＜
2．（2023 龍港市二模）不等式組的解是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．﹣2＜x＜﹣1
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是實數，若a＞b，c＝d，則（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
4．（2021 麗水）若﹣3a＞1，兩邊都除以﹣3，得（　　）
A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
5．（2023 長興縣二模）據中央氣象臺報道，某日我市最高氣溫是33℃，最低氣溫是25℃，則當天氣溫t（℃）的變化范圍是（　　）
A．t＞25 B．t≤25 C．25＜t＜33 D．25≤t≤33
6．（2023 衢州一模）不等式x≥﹣2的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022 拱墅區模擬）x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，則b的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023 金華模擬）不等式組的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
9．（2021 永嘉縣校級模擬）不等式組的解集是x＞4，那么m的取值范圍是（　　）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
10．（2023 麗水模擬）如果（m+3）x＞2m+6的解集為x＜2，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意實數
11．（2023 拱墅區三模）已知不等式組的解為x≥﹣b，則下列各式正確的是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b
12．（2023 麗水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
13．（2020 柯橋區模擬）已知A地在B地的西方，且有一以A、B兩地為端點的東西向直線道路，其全長為400公里，今在此道路上距離A地12公里處設置第一個廣告牌，之后每往東27公里就設置一個廣告牌，如圖所示．若某車從此道路上距離A地19公里處出發，往東直行320公里后才停止，則此車在停止前經過的最后一個廣告牌距離A地多少公里？（　　）
A．309 B．316 C．336 D．339
14．（2022 紹興）關于x的不等式3x﹣2＞x的解集是 　　．
15．（2023 臨平區二模）在平面直角坐標系中，點P（m﹣1，m+2）位于第一象限，則m的取值范圍為 　　．
16．（2023 濱江區一模）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻足夠長）的矩形ABCD菜園，若6m≤AB≤10m，則BC的取值范圍為 　　．
17．（2022 濱江區一模）若不等式組的解集為的解為x＞n，則n的取值范圍是 　n≥1　．
18．（2022 臨安區一模）杭州市將在2022年舉辦亞運會，為加強學校體育工作，某學校決定購買一批籃球和足球共100個．已知籃球和足球的單價分別為120元和90元．根據需求，籃球購買的數量不少于40個．學校可用于購買這批籃球和足球的資金最多為10260元，則有 　　種購買方案．
19．（2022 溫州）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在數軸上．
20．（2021 蘭溪市模擬）解不等式組．
21．（2021 上城區二模）身體質量指數（BMI）的計算公式是：BMI＝．這里W為身體的體重（單位：kg），h為身高（單位：m）．男性的BMI指數正常范圍是18.5≤BMI≤23.9．
（1）有一位男運動員身高1.8m，體重81kg，請問他的BMI正常嗎？
（2）有一位成年男性身高2m且他的BMI正常，請求出他的體重范圍．
22．（2022 鎮海區校級二模）某汽車銷售公司經銷某品牌A，B兩款汽車，今年一、二月份銷售情況如表所示：（A，B兩款汽車的銷售單價保持不變）
銷售數量（輛） 銷售額（萬元）
A款 B款
一月份 30 10 350
二月份 10 30 330
（1）求A，B兩款汽車每輛售價分別多少萬元？
（2）若A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為5.5萬元，公司預計用不多于129萬元且不少于123萬元的資金購進這兩款汽車共20輛，有哪幾種進貨方案？
（3）為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，請確定α的取值，并說明理由．
1．（2023 金華模擬）若a＞b，則下列選項中，一定成立的是（　　）
A．a+2＞b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b
2．（2023 舟山三模）若a＜b，下列各式中一定成立的是（　　）
A．am＞bm B． C．（1+m2）a＜（1+m2）b D．1﹣a＜1﹣b
3．（2020 溫州模擬）滿足﹣2＜x≤1的數在數軸上表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2022 衢州）不等式組的解集是（　　）
A．x＜3 B．無解 C．2＜x＜4 D．3＜x＜4
5．（2021 鎮海區模擬）把一些書分給幾名同學，若每人分10本，則多8本；若每人分11本，仍有剩余．依題意，設有x名同學，可列不等式（　　）
A．10x+8＞11x B．10x+8＜11x C．10（x+8）＞11x D．10（x+8）＜11x
6．（2023 衢州二模）燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到超過10m以外的安全區域．已知導火線的燃燒速度為0.02m/s，人離開的速度為4m/s，則導火線的長x（m）應滿足的不等式為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 寧波模擬）商店為了對某種商品促銷，將定價為30元的商品，以下列方式優惠銷售：若購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分打八折，現有270元，最多可以購買該商品的件數是（　　）
A．9件 B．10件 C．11件 D．12件
8．（2023 鎮江一模）甲、乙、丙、丁所穿鞋的尺碼分別是x甲，x乙，x丙，x丁，請通過以下幾句正確對話，
①甲對丙說：“我穿的鞋尺碼比你大”；
②丙對乙說：“我穿的鞋尺碼比你大”；
③丁對甲說：“我們兩個所穿的鞋的尺碼加起來比他倆的尺碼和小”；
判斷他們所穿鞋的尺碼的大小關系是（　　）
A．x丁＜x甲＜x丙＜x乙 B．x乙＜x丙＜x甲＜x丁 C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲 D．x丁＜x乙＜x丙＜x甲
9．（2021 鐵嶺模擬）若不等式組有解，則實數a的取值范圍是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
10．（2021 九原區模擬）已知關于x的不等式＞1的解都是不等式＞0的解，則a的范圍是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
11．（2021 衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集為 　 　．
12．（2023 溫州）不等式組的解是 　 　．
13．（2021 蘇州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，則x的取值范圍為 　 　．
14．（2023 射陽縣校級模擬）已知關于x的不等式（a+2）x＜1的解集為x＞，則a的取值范圍為　 　．
15．（2022 二道區校級二模）如圖1，一個容量為600cm3的杯子中裝有300cm3的水，將四顆相同的玻璃球放入這個杯子中，結果水沒有滿，如圖2，設每顆玻璃球的體積為x cm3，根據題意可列不等式為 　 　．
16．（2023 豐臺區一模）臨近端午，某超市準備購進小棗粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均為同一品種的粽子），其中小棗粽每袋6個，豆沙粽每袋4個，肉粽每袋2個．為了促銷，超市計劃將所購粽子組合包裝，全部制成A，B兩種套裝銷售．A套裝為每袋小棗粽4個，豆沙粽2個；B套裝為每袋小棗粽2個，肉粽2個．
（1）設購進的小棗粽x袋，豆沙粽y袋，則購進的肉粽的個數為 　 （用含x，y的代數式表示）；
（2）若肉粽的進貨袋數不少于三種粽子進貨總袋數的，則豆沙粽最多購進 　 　袋．
17．（2023 紹興）解不等式：3x﹣2＞x+4．
18．（2023 福建）解不等式組：．
19．（2023 寧夏）解不等式組 ．
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任務一：該同學的解答過程第 　 　步出現了錯誤，錯誤原因是 　 　；
不等式①的正確解集是 　 　；
任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
20．（2021 樂山）當x取何正整數值時，代數式與的值的差大于1？
21．（2023 蘭考縣一模）“一盔一帶”安全守護行動是公安部在全國開展的一項安全守護行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標準，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛人和乘坐人員應當戴安全頭盔，某商場欲購進一批頭盔，已知購進8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元．
（1）購進1個甲型頭盔和1個乙型頭盔分別需要多少元？
（2）若該商場準備購進200個這兩種型號的頭盔，總費用不超過10200元，則最多可購進乙型頭盔多少個？
（3）在（2）的條件下，若該商場分別以58元/個、98元/個的價格銷售完甲，乙兩種型號的頭盔200個，能否實現利潤不少于6190元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．
22．（2023 雙峰縣一模）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質健康管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球，已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．
（1）求籃球和足球的單價分別是多少元；
（2）學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5490元．那么有哪幾種購買方案？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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