資源簡介

專題強化　運動的合成與分解應用實例
[學習目標]　
1.能利用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題(重點)。
2.會分析小船渡河問題的兩個分運動，會求渡河的最短時間和最短位移(重難點)。
3.能利用運動的合成與分解的知識，分析關聯速度問題(重點)。
4.掌握常見的繩關聯模型和桿關聯模型的速度分解的方法(重點)。
一、小船渡河模型
如圖所示為一條寬為d的大河，小明駕著小船從A點出發，欲將一批貨物運送到對岸。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。
(1)渡河過程中，小船參與了哪兩個分運動？
(2)怎么求解小船渡河過程所用的時間？小船如何渡河時間最短？最短時間為多少？此時渡河位移為多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移為多大？
(4)小船渡河時間的長短與水流速度是否有關？
答案　(1)①船相對水的運動(即船在靜水中的運動)。
②船隨水漂流的運動。
(2)由于水流速度始終沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的寬度除以垂直于河岸方向的速度得出過河時間。因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖可知，tmin＝，此時船渡河的位移大小x＝，位移方向滿足tan θ＝。
(3)情況一：v水最短的位移為河寬d，此時合速度垂直河岸。船頭與上游河岸夾角θ滿足：v船cos θ＝v水，如圖所示。渡河所用時間t＝。
情況二：v水>v船
如圖所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短。由圖可知sin α＝，最短位移為x＝＝d。此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
(4)無關。
例1　南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人員為了營救在對岸落水的兒童，立即駕駛救援艇出發。已知該救援艇在靜水中的航行速度大小為12.5 m/s，該段水流速度大小為3.5 m/s，救援人員以最短時間過江用時12 s。則(　　)
A．河流寬度為150 m
B．河流寬度為192 m
C．船以最短時間過江時，在正對岸靠岸
D．船以最短時間過江時，在正對岸下游50 m處靠岸
答案　A
解析　河流寬度為d＝v船tmin＝12.5×12 m＝150 m，選項A正確，B錯誤；船以最短時間過江時，沿水流方向的位移為x＝v水tmin＝3.5×12 m＝42 m，即在正對岸下游42 m處靠岸，選項C、D錯誤。
例2　小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
(3)如果水流速度變為10 m/s，要使小船航程最短，應如何航行？
答案　(1)40 s　正對岸下游120 m處　(2)船頭指向與河岸的上游成53°角　50 s　(3)船頭指向與河岸的上游成60°角
解析　(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，小船垂直河岸的速度即為小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船經過40 s，在正對岸下游120 m處靠岸。
(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖甲所示，則v合＝＝4 m/s，經歷時間t′＝＝ s＝50 s
又cos θ＝＝＝0.6，即船頭指向與河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度變為10 m/s，如圖乙所示，要使小船航程最短，應使v合′的方向垂直于v船，故船頭應偏向上游，與河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船頭指向與河岸的上游成60°角。
二、關聯速度模型
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連。
(1)在相等的時間內，小車A和小船B運動的位移相等嗎？
(2)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個速度大？
(3)從運動的合成與分解的角度看，小船上P點的速度可以分解為哪兩個分速度？
(4)若某時刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則船的速度是多大？
答案　(1)不相等。如圖，船的位移x船大于車的位移x車＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于車的速度。
(3)如圖，P點速度可以分解為沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度。
(4)由v＝v船cos α得v船＝。
1．分析繩(桿)關聯速度問題時，需要注意：應該分解物體的實際運動速度，即合速度。
分解方法：將物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個分量。
2．常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v＝v∥＝v物cos θ
v物′＝v∥＝v物cos θ
v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α
v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β
例3　如圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運動，不計滑輪摩擦和繩子質量，已知汽車以v勻速向左運動，繩子與水平方向夾角為θ，重物M的速度用vM表示。則(　　)
A．重物做勻速運動
B．重物做勻變速運動
C．vM＝vcos θ
D．v＝vMcos θ
答案　C
解析　將汽車的速度分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，則有vM＝
vcos θ，由于運動過程θ減小，cos θ增大，則重物M的速度vM增大，重物M做加速運動。假設繩子足夠長，經過足夠長的時間，θ趨近于0°，cos θ趨近于1，vM趨近于v，可知重物并不是做勻加速運動，C正確，A、B、D錯誤。
例4　在固定斜面體上放置物體B，B物體用繩子通過定滑輪與物體A相連，A穿在光滑的豎直桿上，當B以速度v0勻速沿斜面體下滑時，使物體A到達如圖所示位置，繩與豎直桿的夾角為θ，連接B的繩子始終與斜面體平行，則物體A上升的速度是(　　)
A．v0sin θ B. C．v0cos θ D.
答案　D
解析　將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的兩個分速度，如圖所示，根據平行四邊形定則得v0＝vcos θ，解得v＝，故D正確，A、B、C錯誤。
例5　如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和B，豎直放置，兩球質量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。由于微小的擾動，A球沿豎直光滑槽向下運動，B球沿水平光滑槽向右運動，當桿與豎直方向的夾角為θ時(圖中未畫出)，關于兩球速度vA和vB的關系，下列說法正確的是(　　)
A．若θ＝30°，則A、B兩球的速度大小相等
B．若θ＝60°，則A、B兩球的速度大小相等
C．vA＝vBtan θ
D．vA＝vBsin θ
答案　C
解析　當桿與豎直方向的夾角為θ時，根據運動的分解可知(如圖所示)，沿桿方向兩分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，故C正確，D錯誤。當θ＝45°時，vA＝vB，故A、B錯誤。專題強化　運動的合成與分解應用實例
[學習目標]　
1.能利用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題(重點)。
2.會分析小船渡河問題的兩個分運動，會求渡河的最短時間和最短位移(重難點)。
3.能利用運動的合成與分解的知識，分析關聯速度問題(重點)。
4.掌握常見的繩關聯模型和桿關聯模型的速度分解的方法(重點)。
一、小船渡河模型
如圖所示為一條寬為d的大河，小明駕著小船從A點出發，欲將一批貨物運送到對岸。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。
(1)渡河過程中，小船參與了哪兩個分運動？
(2)怎么求解小船渡河過程所用的時間？小船如何渡河時間最短？最短時間為多少？此時渡河位移為多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移為多大？
(4)小船渡河時間的長短與水流速度是否有關？
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例1　南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人員為了營救在對岸落水的兒童，立即駕駛救援艇出發。已知該救援艇在靜水中的航行速度大小為12.5 m/s，該段水流速度大小為3.5 m/s，救援人員以最短時間過江用時12 s。則(　　)
A．河流寬度為150 m
B．河流寬度為192 m
C．船以最短時間過江時，在正對岸靠岸
D．船以最短時間過江時，在正對岸下游50 m處靠岸
例2　小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
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(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
(3)如果水流速度變為10 m/s，要使小船航程最短，應如何航行？
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二、關聯速度模型
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連。
(1)在相等的時間內，小車A和小船B運動的位移相等嗎？
(2)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個速度大？
(3)從運動的合成與分解的角度看，小船上P點的速度可以分解為哪兩個分速度？
(4)若某時刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則船的速度是多大？
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1．分析繩(桿)關聯速度問題時，需要注意：應該分解物體的實際運動速度，即________。
分解方法：將物體的實際速度分解為________________和________的兩個分量。
2．常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v＝v∥＝________
v物′＝v∥＝________
v∥＝v∥′ 即____________
v∥＝v∥′ 即____________
例3　如圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運動，不計滑輪摩擦和繩子質量，已知汽車以v勻速向左運動，繩子與水平方向夾角為θ，重物M的速度用vM表示。則(　　)
A．重物做勻速運動
B．重物做勻變速運動
C．vM＝vcos θ
D．v＝vMcos θ
例4　在固定斜面體上放置物體B，B物體用繩子通過定滑輪與物體A相連，A穿在光滑的豎直桿上，當B以速度v0勻速沿斜面體下滑時，使物體A到達如圖所示位置，繩與豎直桿的夾角為θ，連接B的繩子始終與斜面體平行，則物體A上升的速度是(　　)
A．v0sin θ B.
C．v0cos θ D.
例5　如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和B，豎直放置，兩球質量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。由于微小的擾動，A球沿豎直光滑槽向下運動，B球沿水平光滑槽向右運動，當桿與豎直方向的夾角為θ時(圖中未畫出)，關于兩球速度vA和vB的關系，下列說法正確的是(　　)
A．若θ＝30°，則A、B兩球的速度大小相等
B．若θ＝60°，則A、B兩球的速度大小相等
C．vA＝vBtan θ
D．vA＝vBsin θ

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