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3　向心加速度
[學習目標]　
1.理解向心加速度的概念(重點)。
2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關系，能夠運用向心加速度公式求解有關問題(重點)。3.會應用動力學方法分析勻速圓周運動問題(重難點)。
一、對向心加速度的理解
如圖甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運動(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個小球在細線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運動是一種什么性質的運動呢？
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1．定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向________，這個加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始終指向________。
3．作用：改變速度的________，不改變速度的________。
4．物理意義：描述速度________變化的快慢。
5．說明：勻速圓周運動加速度的________時刻改變，所以勻速圓周運動不是勻變速運動，而是________________。
6．變速圓周運動：變速圓周運動的加速度____________；可分解為____________和____________分析。向心加速度改變速度________，切向加速度改變速度________。
(1)物體做勻速圓周運動時，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物體做勻速圓周運動時，在相等時間內速度變化量是相同的。(　　)
(3)圓周運動的加速度一定指向圓心。(　　)
(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。(　　)
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝＝________。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝________。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝________＝____________。
2．向心加速度與半徑的關系(如圖所示)
3．向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動，v為某位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，其向心加速度的方向都指向圓心。
(1)勻速圓周運動的向心加速度的方向時刻指向圓心，大小不變。(　　)
(2)由an＝r知，向心加速度an與半徑r成正比。(　　)
例1　自行車靠一條鏈子將兩個齒輪連接起來，一輛自行車的齒輪轉動示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個轉動齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點，其中齒輪1上有一點C，C點到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則(　　)
A．A點和B點的線速度相同
B．B點和C點的向心加速度相等
C．B點和C點的向心加速度之比為4∶1
D．B點和C點的線速度大小之比為2∶1
例2　(2022·揚州市邵伯高級中學高一月考)2022年2月，北京冬奧會上，中國選手奪得雙人花樣滑冰運動冠軍。如圖所示，男運動員以自身為轉動軸拉著女運動員做勻速圓周運動。若運動員的轉速為0.5 r/s，女運動員觸地冰鞋的線速度為1.5π m/s，(設π2＝10)求：
(1)女運動員做圓周運動的角速度ω；
(2)觸地冰鞋做圓周運動的半徑r；
(3)觸地冰鞋向心加速度a向的大小。
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三、圓周運動的動力學問題分析
例3　長為L的細線，下端拴一質量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，細線與豎直方向成θ角時，求：(重力加速度為g)
(1)細線上的拉力大小；
(2)小球運動的線速度的大小和角速度的大小。
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思考：從上面角速度大小的結果中我們可以看出做圓錐擺運動的小球的角速度ω與什么因素有關？
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例4　甲圖是兩個圓錐擺，兩擺球運動軌道在同一個水平面內，乙圖是完全相同的兩個小球在內壁光滑的倒圓錐內做勻速圓周運動。下列說法正確的是(　　)
A．甲圖中兩小球的運動周期相等
B．甲圖中兩小球的線速度大小相等
C．乙圖中兩個小球的線速度大小相等
D．乙圖中兩個小球的角速度大小相等
分析勻速圓周運動問題的基本步驟
1．明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
2．確定物體做圓周運動的軌道平面、圓心、半徑。
3．找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計算出沿半徑方向的合力F合。
4．利用牛頓第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。
5．解方程求出待求物理量。
拓展學習：用運動學方法分析勻速圓周運動向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，畫出物體經過A、B兩點時的速度方向，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點，如圖乙所示。
第三步，作出物體由A點到B點的速度變化量Δv，如圖丙所示。
第四步，假設由A到B的時間極短，A到B的距離將非常小，作出此時的Δv，如圖丁所示。
從運動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
2．向心加速度的大小
由圖丁可知，當Δt足夠小時，θ就足夠小，θ
角所對的弦和弧的長度就近似相等。
因此，θ＝，由角速度定義知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt
根據加速度定義式a＝，由v＝ωr
向心加速度大小的表達式為an＝ω2r，an＝。
3　向心加速度
[學習目標]　
1.理解向心加速度的概念(重點)。
2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關系，能夠運用向心加速度公式求解有關問題(重點)。3.會應用動力學方法分析勻速圓周運動問題(重難點)。
一、對向心加速度的理解
如圖甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運動(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個小球在細線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運動是一種什么性質的運動呢？
答案　(1)地球只受到太陽引力作用，方向指向圓心，加速度方向指向圓心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圓心，故加速度的方向指向圓心。
(2)由于速度大小沒有發生變化，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運動是一種變加速曲線運動。
1．定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心，這個加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始終指向圓心。
3．作用：改變速度的方向，不改變速度的大小。
4．物理意義：描述速度方向變化的快慢。
5．說明：勻速圓周運動加速度的方向時刻改變，所以勻速圓周運動不是勻變速運動，而是變加速曲線運動。
6．變速圓周運動：變速圓周運動的加速度不指向圓心；可分解為向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改變速度方向，切向加速度改變速度大小。
(1)物體做勻速圓周運動時，其向心加速度是恒定的。(　×　)
(2)物體做勻速圓周運動時，在相等時間內速度變化量是相同的。(　×　)
(3)圓周運動的加速度一定指向圓心。(　×　)
(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。(　√　)
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝ωv。
(3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝r＝4π2f2r。
2．向心加速度與半徑的關系(如圖所示)
3．向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動，v為某位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，其向心加速度的方向都指向圓心。
(1)勻速圓周運動的向心加速度的方向時刻指向圓心，大小不變。(　√　)
(2)由an＝r知，向心加速度an與半徑r成正比。(　×　)
例1　自行車靠一條鏈子將兩個齒輪連接起來，一輛自行車的齒輪轉動示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個轉動齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點，其中齒輪1上有一點C，C點到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則(　　)
A．A點和B點的線速度相同
B．B點和C點的向心加速度相等
C．B點和C點的向心加速度之比為4∶1
D．B點和C點的線速度大小之比為2∶1
答案　D
解析　A點和B點是鏈條傳動，線速度大小相等，方向不同，故A錯誤；A點和C點是同軸轉動，角速度相同，即ωA＝ωC，根據v＝ωr，可得＝＝，因為vA＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正確；因為兩齒輪的半徑關系未知，無法比較B、C兩點向心加速度的大小，故B、C錯誤。
例2　(2022·揚州市邵伯高級中學高一月考)2022年2月，北京冬奧會上，中國選手奪得雙人花樣滑冰運動冠軍。如圖所示，男運動員以自身為轉動軸拉著女運動員做勻速圓周運動。若運動員的轉速為0.5 r/s，女運動員觸地冰鞋的線速度為1.5π m/s，(設π2＝10)求：
(1)女運動員做圓周運動的角速度ω；
(2)觸地冰鞋做圓周運動的半徑r；
(3)觸地冰鞋向心加速度a向的大小。
答案　(1)π rad/s　(2)1.5 m　(3)15 m/s2
解析　(1)女運動員做圓周運動的角速度
ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s
(2)根據v＝ωr得r＝＝ m＝1.5 m
(3)根據向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。
三、圓周運動的動力學問題分析
例3　長為L的細線，下端拴一質量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，細線與豎直方向成θ角時，求：(重力加速度為g)
(1)細線上的拉力大??；
(2)小球運動的線速度的大小和角速度的大小。
答案　(1)　(2)　
解析　(1)小球受重力及細線的拉力的作用，如圖所示，
由平衡條件可知，豎直方向：
FTcos θ＝mg，
故拉力FT＝。
(2)小球做勻速圓周運動的半徑r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝m，
故小球的線速度大小v＝。
由Fn＝mrω2
聯立解得ω＝。
思考：從上面角速度大小的結果中我們可以看出做圓錐擺運動的小球的角速度ω與什么因素有關？
答案　與圓心到繩上端的高度有關。
例4　甲圖是兩個圓錐擺，兩擺球運動軌道在同一個水平面內，乙圖是完全相同的兩個小球在內壁光滑的倒圓錐內做勻速圓周運動。下列說法正確的是(　　)
A．甲圖中兩小球的運動周期相等
B．甲圖中兩小球的線速度大小相等
C．乙圖中兩個小球的線速度大小相等
D．乙圖中兩個小球的角速度大小相等
答案　A
解析　設題圖甲中做圓錐擺運動的其中一個小球對應擺繩與豎直方向的夾角為θ，擺球與懸點的高度差為h，線速度大小為v，周期為T，
根據牛頓第二定律有mgtan θ＝m＝mhtan θ
解得v＝tan θ
T＝2π
由此可知題圖甲中兩小球的線速度大小不相等，周期相等，A正確，B錯誤；設題圖乙中倒圓錐母線與豎直方向夾角為α，由牛頓第二定律可得
＝m＝mrω′2
解得v′＝，ω′＝
兩球運動的軌道半徑不同，故線速度、角速度大小均不同，C、D錯誤。
分析勻速圓周運動問題的基本步驟
1．明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
2．確定物體做圓周運動的軌道平面、圓心、半徑。
3．找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計算出沿半徑方向的合力F合。
4．利用牛頓第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。
5．解方程求出待求物理量。
拓展學習：用運動學方法分析勻速圓周運動向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，畫出物體經過A、B兩點時的速度方向，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點，如圖乙所示。
第三步，作出物體由A點到B點的速度變化量Δv，如圖丙所示。
第四步，假設由A到B的時間極短，A到B的距離將非常小，作出此時的Δv，如圖丁所示。
從運動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
2．向心加速度的大小
由圖丁可知，當Δt足夠小時，θ就足夠小，θ角所對的弦和弧的長度就近似相等。
因此，θ＝，由角速度定義知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt
根據加速度定義式a＝，由v＝ωr
向心加速度大小的表達式為an＝ω2r，an＝。

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