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專題強(qiáng)化　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　掌握豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩模型和輕桿模型的分析方法(重難點(diǎn))。
一、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩(過山車)模型
1．如圖所示，甲圖中小球僅受繩拉力和重力作用，乙圖中小球僅受軌道的彈力和重力作用，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在繩、軌道的限制下不能遠(yuǎn)離圓心且在最高點(diǎn)無支撐，我們稱這類運(yùn)動(dòng)為“輕繩模型”。
輕繩模型
彈力特征 在最高點(diǎn)彈力可能向下，也可能等于零
受力 示意圖
動(dòng)力學(xué) 方程 ________＝m
臨界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝________，是物體能否過最高點(diǎn)的臨界速度
2.小球通過最高點(diǎn)時(shí)繩上拉力與速度的關(guān)系
(1)v＝時(shí)，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受繩的拉力(或軌道的壓力)為零。
(2)v<時(shí)，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脫離圓軌道，不能到達(dá)最高點(diǎn)。
(3)v>時(shí)，mg例1　如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝0.4 m的輕繩，系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球的質(zhì)量為m＝0.5 kg，小球半徑不計(jì)，g取10 m/s2，求：
(1)小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小；
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s時(shí)，繩的拉力大小；
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球運(yùn)動(dòng)過程中速度的最大值。
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例2　雜技演員在做“水流星”表演時(shí)，用一根細(xì)繩系著盛水的杯子，掄起繩子，讓杯子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，杯內(nèi)水的質(zhì)量m＝0.5 kg，繩長(zhǎng)l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高點(diǎn)水不流出的最小速率；
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(2)水在最高點(diǎn)速率v＝3 m/s時(shí)，水對(duì)杯底的壓力大小。
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二、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕桿(管道)模型
1．如圖所示，細(xì)桿上固定的小球和在光滑管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球僅在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，這類運(yùn)動(dòng)稱為“輕桿模型”。
輕桿模型
彈力特征 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
動(dòng)力學(xué)方程 mg±F＝m
臨界特征 v＝0，即F向＝0，此時(shí)FN＝mg
v＝的意義 F表現(xiàn)為拉力(或壓力)還是支持力的臨界點(diǎn)
2.小球在最高點(diǎn)時(shí)桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化。
(1)v＝時(shí)，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿(或管道)與小球間無作用力。
(2)v<時(shí)，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F(xiàn)越小。
(3)v>時(shí)，mg例3　有一輕質(zhì)桿長(zhǎng)L為0.5 m，一端固定一質(zhì)量m為0.5 kg的小球，桿繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。(g＝10 m/s2)
(1)當(dāng)小球在最高點(diǎn)時(shí)剛好對(duì)桿無作用力，求此時(shí)的速度大小；
(2)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速率分別為1 m/s和4 m/s時(shí)，求小球?qū)U的作用力；
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(3)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球受桿的拉力為41 N，求小球運(yùn)動(dòng)的速率。
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例4　(2023·南通市高一期末)如圖所示，一小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為R，小球的直徑略小于管道的直徑，重力加速度為g，則小球(　　)
A．可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為
C．通過最低點(diǎn)時(shí)受到的彈力方向向上
D．在運(yùn)動(dòng)一周的過程中可能一直受到內(nèi)側(cè)管壁的彈力
專題強(qiáng)化　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　掌握豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩模型和輕桿模型的分析方法(重難點(diǎn))。
一、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩(過山車)模型
1．如圖所示，甲圖中小球僅受繩拉力和重力作用，乙圖中小球僅受軌道的彈力和重力作用，在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在繩、軌道的限制下不能遠(yuǎn)離圓心且在最高點(diǎn)無支撐，我們稱這類運(yùn)動(dòng)為“輕繩模型”。
輕繩模型
彈力特征 在最高點(diǎn)彈力可能向下，也可能等于零
受力 示意圖
動(dòng)力學(xué) 方程 mg＋F＝m
臨界特征 F＝0，即mg＝m，得v＝，是物體能否過最高點(diǎn)的臨界速度
2.小球通過最高點(diǎn)時(shí)繩上拉力與速度的關(guān)系
(1)v＝時(shí)，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受繩的拉力(或軌道的壓力)為零。
(2)v<時(shí)，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脫離圓軌道，不能到達(dá)最高點(diǎn)。
(3)v>時(shí)，mg例1　如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝0.4 m的輕繩，系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球的質(zhì)量為m＝0.5 kg，小球半徑不計(jì)，g取10 m/s2，求：
(1)小球剛好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小；
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s時(shí)，繩的拉力大小；
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球運(yùn)動(dòng)過程中速度的最大值。
答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析　(1)小球剛好能夠通過最高點(diǎn)時(shí)，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。
(2)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4 m/s時(shí)，拉力和重力的合力提供向心力，則有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通過最低點(diǎn)時(shí)繩張力最大，速度最大，在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得FT′－mg＝，將FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值為4 m/s。
例2　雜技演員在做“水流星”表演時(shí)，用一根細(xì)繩系著盛水的杯子，掄起繩子，讓杯子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，杯內(nèi)水的質(zhì)量m＝0.5 kg，繩長(zhǎng)l＝60 cm，g＝10 m/s2，求：
(1)在最高點(diǎn)水不流出的最小速率；
(2)水在最高點(diǎn)速率v＝3 m/s時(shí)，水對(duì)杯底的壓力大小。
答案　(1) m/s　(2)10 N
解析　(1)在最高點(diǎn)水不流出的臨界條件是重力大小等于水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小，
即mg＝m，r＝
解得v＝ m/s
(2)因?yàn)? m/s> m/s，所以重力不足以提供水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以對(duì)于水有FN＋mg＝m
解得FN＝10 N
由牛頓第三定律可知，水對(duì)杯底的壓力大小為FN′＝FN＝10 N。
二、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕桿(管道)模型
1．如圖所示，細(xì)桿上固定的小球和在光滑管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球僅在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，這類運(yùn)動(dòng)稱為“輕桿模型”。
輕桿模型
彈力特征 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
動(dòng)力學(xué)方程 mg±F＝m
臨界特征 v＝0，即F向＝0，此時(shí)FN＝mg
v＝的意義 F表現(xiàn)為拉力(或壓力)還是支持力的臨界點(diǎn)
2.小球在最高點(diǎn)時(shí)桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化。
(1)v＝時(shí)，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿(或管道)與小球間無作用力。
(2)v<時(shí)，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F(xiàn)越小。
(3)v>時(shí)，mg例3　有一輕質(zhì)桿長(zhǎng)L為0.5 m，一端固定一質(zhì)量m為0.5 kg的小球，桿繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。(g＝10 m/s2)
(1)當(dāng)小球在最高點(diǎn)時(shí)剛好對(duì)桿無作用力，求此時(shí)的速度大小；
(2)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速率分別為1 m/s和4 m/s時(shí)，求小球?qū)U的作用力；
(3)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球受桿的拉力為41 N，求小球運(yùn)動(dòng)的速率。
答案　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s
解析　(1)小球在最高點(diǎn)時(shí)剛好對(duì)桿無作用力，此時(shí)重力提供向心力，有mg＝m，代入數(shù)據(jù)解得v1＝＝ m/s
(2)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速率為1 m/s時(shí)，此時(shí)小球受到桿向上的支持力。根據(jù)牛頓第二定律可得：mg－F1＝m，代入數(shù)據(jù)得：F1＝4 N，根據(jù)牛頓第三定律可得小球?qū)U的作用力為4 N，方向向下；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速率為4 m/s時(shí)，此時(shí)小球受到桿向下的拉力，根據(jù)牛頓第二定律F2＋mg＝m，代入數(shù)據(jù)解得F2＝11 N，根據(jù)牛頓三定律可得小球?qū)U的作用力為11 N，方向向上；
(3)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球受桿的拉力為41 N，由牛頓第二定律有F－mg＝m，代入數(shù)據(jù)解得v4＝6 m/s。
例4　(2023·南通市高一期末)如圖所示，一小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為R，小球的直徑略小于管道的直徑，重力加速度為g，則小球(　　)
A．可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為
C．通過最低點(diǎn)時(shí)受到的彈力方向向上
D．在運(yùn)動(dòng)一周的過程中可能一直受到內(nèi)側(cè)管壁的彈力
答案　C
解析　由分析知，小球在運(yùn)動(dòng)過程中合力不可能一直指向圓心，所以不可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樵谧罡唿c(diǎn)圓形管道內(nèi)壁能提供支持力，所以通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0，故B錯(cuò)誤；小球通過最低點(diǎn)時(shí)由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向向上，則小球受到的彈力方向也向上，故C正確；在下半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到外側(cè)管壁彈力，故D錯(cuò)誤。

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