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專題強化　水平面內的圓周運動的臨界問題
[學習目標]　
1.知道水平面內的圓周運動的幾種常見模型，并會找它們的臨界條件(重點)
2.掌握圓周運動臨界問題的分析方法(重難點)。
物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態。
1．水平面內的圓周運動常見的臨界問題：
(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到________。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為________。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到______承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為________。
2．解題關鍵：
(1)在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
例1　如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉的水平圓盤上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，三物體的質量分別為2m、m、m，它們離轉軸的距離分別為R、R、2R。當圓盤旋轉時，若A、B、C三物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是(　　)
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．當圓盤轉速緩慢增大時，C比A先滑動
D．當圓盤轉速緩慢增大時，B比A先滑動
例2　如圖所示，水平轉盤上放有一質量為m的物體(可視為質點)，連接物體和轉軸的繩子長為r，物體與轉盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，轉盤的角速度由零逐漸增大，求：(重力加速度為g)
(1)繩子對物體的拉力為零時的最大角速度；
(2)當角速度為時，繩子對物體拉力的大小。
例3　質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A．a繩的張力可能為零
B．a繩的張力隨角速度ω的增大而增大
C．當角速度ω>時，b繩中有彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的張力一定發生變化
例4　如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ＝60°，一條長度為L的繩(質量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小球(可看成質點)，小球以角速度ω繞圓錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動，重力加速度為g。求：
(1)小球靜止時所受拉力和支持力大小；
(2)小球剛要離開錐面時的角速度；
(3)小球以ω1＝的角速度轉動時所受拉力和支持力的大小。
專題強化　水平面內的圓周運動的臨界問題
[學習目標]　
1.知道水平面內的圓周運動的幾種常見模型，并會找它們的臨界條件(重點)。
2.掌握圓周運動臨界問題的分析方法(重難點)。
物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態。
1．水平面內的圓周運動常見的臨界問題：
(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到最大值。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為0。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到最大承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為0。
2．解題關鍵：
(1)在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
例1　如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉的水平圓盤上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，三物體的質量分別為2m、m、m，它們離轉軸的距離分別為R、R、2R。當圓盤旋轉時，若A、B、C三物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是(　　)
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．當圓盤轉速緩慢增大時，C比A先滑動
D．當圓盤轉速緩慢增大時，B比A先滑動
答案　C
解析　A、B、C三物體角速度相同，an＝ω2r，則物體C的向心加速度最大，選項A錯誤；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物體B所受摩擦力小于物體C所受摩擦力，選項B錯誤；物體恰好滑動時，kmg＝mω2r，ω＝，故滑動的臨界角速度與質量無關，r越大，臨界角速度越小，故物體C先滑動，A、B同時滑動，選項C正確，D錯誤。
例2　如圖所示，水平轉盤上放有一質量為m的物體(可視為質點)，連接物體和轉軸的繩子長為r，物體與轉盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，轉盤的角速度由零逐漸增大，求：(重力加速度為g)
(1)繩子對物體的拉力為零時的最大角速度；
(2)當角速度為時，繩子對物體拉力的大小。
答案　(1)　(2)μmg
解析　(1)當恰好由最大靜摩擦力提供向心力時對應繩子拉力為零時的最大角速度，設此時轉盤轉動的角速度為ω0，根據牛頓第二定律有μmg＝mω02r，得ω0＝。
(2)當ω＝時，ω＞ω0，所以繩子的拉力F和最大靜摩擦力共同提供向心力，
此時，F＋μmg＝mω2r
解得F＝μmg。
例3　質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A．a繩的張力可能為零
B．a繩的張力隨角速度ω的增大而增大
C．當角速度ω>時，b繩中有彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的張力一定發生變化
答案　C
解析　小球做勻速圓周運動，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A錯誤；根據豎直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a繩的張力不變，故B錯誤；當b繩拉力為零時，有＝mlω2，解得ω＝，可知當角速度ω>時，b繩中有彈力，故C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的張力可能不變，故D錯誤。
例4　如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ＝60°，一條長度為L的繩(質量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小球(可看成質點)，小球以角速度ω繞圓錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動，重力加速度為g。求：
(1)小球靜止時所受拉力和支持力大小；
(2)小球剛要離開錐面時的角速度；
(3)小球以ω1＝的角速度轉動時所受拉力和支持力的大小。
答案　(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0
解析　(1)對小球受力分析可知
FT＝mgcos θ＝mg
FN＝mgsin θ＝mg
(2)小球剛要離開錐面時FN＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，有
mgtan θ＝mrω02
r＝Lsin θ
解得ω0＝＝
(3)因為ω1＝>ω0＝
說明小球已離開錐面，FN＝0
設繩與豎直方向的夾角為α，如圖所示
則有FT1sin α＝mω12L sin α，
解得FT1＝3mg。

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