資源簡介

2　萬有引力定律
[學習目標]　
1.了解推導行星與太陽之間引力表達式的方法。
2.體會從行星運動規律到萬有引力定律的建立過程。
3.理解萬有引力定律的內容、含義及適用條件(重點)。
4.認識萬有引力定律的普遍性，并能用來解決實際問題(重難點)。
一、行星與太陽間的引力
行星與太陽間引力的得出過程
(1)太陽與行星間引力的方向沿著兩者的連線。(　　)
(2)太陽與行星間的引力公式F＝G中，G與太陽、行星都沒有關系。(　　)
(3)太陽對行星的引力大小等于行星對太陽的引力大小。(　　)
(4)太陽對行星的引力與行星的質量成正比，與太陽質量無關。(　　)
二、月—地檢驗
1．檢驗目的：檢驗地球繞太陽運動、月球繞地球運動的力與地球對樹上蘋果的吸引力是否為____________的力。
2．檢驗方法：(1)假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應該滿足F＝________，根據牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝________。
(2)假設地球對蘋果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度a蘋＝________。
(3)＝________，由于r≈60R，所以＝________。
(4)結論：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從________的規律。
三、萬有引力定律
月—地檢驗結果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律。一切物體間都存在這樣的引力，為什么我們感覺不到周圍物體的引力呢？
(1)假若你與同桌的質量均為60 kg，相距0.5 m。粗略計算你與同桌間的引力(已知G＝6.67×
10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的質量大約是0.004 g，其重力約為4×10－5 N，是你和你同桌之間引力的多少倍？
(3)在對一個人受力分析時需要分析兩個人之間的引力嗎？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的________上，引力的大小與物體的________________成正比、與它們之間________________成反比。
2．表達式：F＝________________，其中G叫作引力常量。
3．引力常量
牛頓得出了萬有引力與物體質量及它們之間距離的關系，但沒有測出引力常量G的值。
英國物理學家____________通過實驗推算出引力常量G的值。通常取G＝________ N·m2/kg2。
4．對萬有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙間任何兩個有質量的物體之間都存在著相互吸引的力。
(2)相互性：兩個有質量的物體之間的萬有引力是一對____________________。
(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用。
(4)適用范圍：只適用于可以看作________的兩個物體間的相互作用；若是兩個均勻的球體，應是兩________間的距離。
(1)由于天體間距離很遠，在研究天體間的引力時可以將它們視為質點。(　　)
(2)由萬有引力定律F＝可知，r→0時，F→∞。(　　)
(3)一個均勻球體與球外一個質點間適用于萬有引力定律，其中r為球心到質點間的距離。(　　)
(4)不能看作質點的兩物體間不存在相互作用的引力。(　　)
例1　兩個質量相等的均勻球形物體，兩球心相距r，他們之間的萬有引力為F，若它們的質量都加倍，兩球心的距離也加倍，它們之間的萬有引力為(　　)
A．4F B．F C.F D.F
例2　如圖所示為兩個半徑分別為r1＝0.40 m、r2＝0.60 m且質量分布均勻的實心球，質量分別為m1＝4.0 kg，m2＝1.0 kg，兩球間距離為r0＝1.0 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則兩球間萬有引力的大小為(　　)
A．6.67×10－11 N
B．2.668×10－10 N
C．小于6.67×10－11 N
D．不能確定
例3　一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示。已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質量為m2的質點，求：(引力常量為G)
(1)被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力為多大？
(2)剩余部分對m2的萬有引力為多大？
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四、萬有引力和重力的關系
如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一個人在地球不同位置受到的萬有引力大小是否相等？
(2)人在地球上隨地球自轉所需的向心力來源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力與萬有引力有何關系？
________________________________________________________________________
1．在地球上不同的緯度，萬有引力和重力的關系不同：
　　
(1) 如圖甲所示，在赤道上：重力和向心力在一條直線上，mg＝_____________________。
(2)如圖乙所示，在兩極上：F向＝0, mg＝________。
(3)如圖丙所示，在一般位置，重力是萬有引力的一個分力， mg________。(選填“>”“<”或“＝”)
2．越靠近南北兩極g值越________，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即mg＝________。
為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的??？
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例4　重力是由萬有引力產生的，以下說法中正確的是(　　)
A．同一物體在地球上任何地方的重力都一樣
B．物體從地球表面移到空中，其重力變大
C．同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些
D．繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態，不受地球的引力
例5　(2023·蘇州中學高一期中)在電影《流浪地球2》中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質量為75 kg的人重力為480 N。已知地球半徑為6 371 km，不考慮地球自轉，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為(　　)
A．1 593 km B．3 584 km
C．7 964 km D．9 955 km
2　萬有引力定律
[學習目標]　
1.了解推導行星與太陽之間引力表達式的方法。
2.體會從行星運動規律到萬有引力定律的建立過程。
3.理解萬有引力定律的內容、含義及適用條件(重點)。
4.認識萬有引力定律的普遍性，并能用來解決實際問題(重難點)。
一、行星與太陽間的引力
行星與太陽間引力的得出過程
(1)太陽與行星間引力的方向沿著兩者的連線。(　√　)
(2)太陽與行星間的引力公式F＝G中，G與太陽、行星都沒有關系。(　√　)
(3)太陽對行星的引力大小等于行星對太陽的引力大小。(　√　)
(4)太陽對行星的引力與行星的質量成正比，與太陽質量無關。(　×　)
二、月—地檢驗
1．檢驗目的：檢驗地球繞太陽運動、月球繞地球運動的力與地球對樹上蘋果的吸引力是否為同一性質的力。
2．檢驗方法：(1)假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應該滿足F＝G，根據牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝G。
(2)假設地球對蘋果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度a蘋＝G。
(3)＝，由于r≈60R，所以＝。
(4)結論：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律。
三、萬有引力定律
月—地檢驗結果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律。一切物體間都存在這樣的引力，為什么我們感覺不到周圍物體的引力呢？
(1)假若你與同桌的質量均為60 kg，相距0.5 m。粗略計算你與同桌間的引力(已知G＝6.67×
10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的質量大約是0.004 g，其重力約為4×10－5 N，是你和你同桌之間引力的多少倍？
(3)在對一個人受力分析時需要分析兩個人之間的引力嗎？
答案　因為我們與周圍物體間的引力很小，所以我們感覺不到。
(1)F萬＝G＝6.67×10－11× N≈1×10－6 N
(2)芝麻的重力是你和你同桌之間引力的40倍。
(3)兩個人之間的引力很小，所以兩個人靠近時，不會吸引到一起。故在進行受力分析時，一般不考慮兩物體間的引力，除非是物體與天體、天體與天體間的相互作用。
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。
2．表達式：F＝G，其中G叫作引力常量。
3．引力常量
牛頓得出了萬有引力與物體質量及它們之間距離的關系，但沒有測出引力常量G的值。
英國物理學家卡文迪什通過實驗推算出引力常量G的值。通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
4．對萬有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙間任何兩個有質量的物體之間都存在著相互吸引的力。
(2)相互性：兩個有質量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力。
(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用。
(4)適用范圍：只適用于可以看作質點的兩個物體間的相互作用；若是兩個均勻的球體，應是兩球心間的距離。
(1)由于天體間距離很遠，在研究天體間的引力時可以將它們視為質點。(　√　)
(2)由萬有引力定律F＝可知，r→0時，F→∞。(　×　)
(3)一個均勻球體與球外一個質點間適用于萬有引力定律，其中r為球心到質點間的距離。(　√　)
(4)不能看作質點的兩物體間不存在相互作用的引力。(　×　)
例1　兩個質量相等的均勻球形物體，兩球心相距r，他們之間的萬有引力為F，若它們的質量都加倍，兩球心的距離也加倍，它們之間的萬有引力為(　　)
A．4F B．F C.F D.F
答案　B
解析　兩個球體相距r時，它們之間的萬有引力為F＝，若它們間的距離變為原來的2倍，兩個物體的質量變為原來的2倍，則它們之間的萬有引力為F′＝＝F，故B正確，A、C、D錯誤。
例2　如圖所示為兩個半徑分別為r1＝0.40 m、r2＝0.60 m且質量分布均勻的實心球，質量分別為m1＝4.0 kg，m2＝1.0 kg，兩球間距離為r0＝1.0 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，則兩球間萬有引力的大小為(　　)
A．6.67×10－11 N
B．2.668×10－10 N
C．小于6.67×10－11 N
D．不能確定
答案　A
解析　根據萬有引力定律可得F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－11 N，故A正確，B、C、D錯誤。
例3　一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示。已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質量為m2的質點，求：(引力常量為G)
(1)被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力為多大？
(2)剩余部分對m2的萬有引力為多大？
答案　(1)G　(2)G
解析　(1)被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力大小為F2＝G＝G
(2)將挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3、m＝ρV可知，大球的質量為8m，則挖去小球前大球對m2的萬有引力大小為F1＝G＝G
故剩余部分對m2的萬有引力大小為F＝F1－F2＝G。
四、萬有引力和重力的關系
如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一個人在地球不同位置受到的萬有引力大小是否相等？
(2)人在地球上隨地球自轉所需的向心力來源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力與萬有引力有何關系？
答案　(1)根據萬有引力定律F＝G可知，同一個人在地球的不同位置，受到的萬有引力大小相等。
(2)人在位置B、C隨地球自轉，萬有引力和支持力的合力提供人隨地球轉動需要的向心力；根據F向＝mω2r可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。
人在位置A、C所受重力指向地心，A所需向心力為零，C所需向心力指向地心；在位置B所需向心力與萬有引力不共線，所受重力及其所需向心力均不指向地心。
(3)重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置時的重力與萬有引力相等，當人處于位置B、C時，重力為萬有引力的一個分力；人靜止在地球表面時，所受重力和支持力等大反向。
1．在地球上不同的緯度，萬有引力和重力的關系不同：
　　
(1)如圖甲所示，在赤道上：重力和向心力在一條直線上，mg＝－mω2R。
(2)如圖乙所示，在兩極上：F向＝0，mg＝。
(3)如圖丙所示，在一般位置，重力是萬有引力的一個分力，mg＜。(選填“>”“<”或“＝”)
2．越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即mg＝。
為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的小？
答案　地球表面重力加速度g＝，M為地球質量，R為地球半徑，地球上空h高度，萬有引力等于重力，即＝mg′，所以h高度處的重力加速度g′＝，則g′例4　重力是由萬有引力產生的，以下說法中正確的是(　　)
A．同一物體在地球上任何地方的重力都一樣
B．物體從地球表面移到空中，其重力變大
C．同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些
D．繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態，不受地球的引力
答案　C
解析　不同的地方，由于重力加速度不同，導致重力不同，在地球表面，緯度越高，重力加速度越大，則重力越大，所以同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些，故A錯誤，C正確；物體從地球表面移到空中，重力加速度變小，則重力變小，故B錯誤；飛船繞地球做勻速圓周運動，所受地球的引力提供向心力，飛船中的物體處于失重狀態，故D錯誤。
例5　(2023·蘇州中學高一期中)在電影《流浪地球2》中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時，質量為75 kg的人重力為480 N。已知地球半徑為6 371 km，不考慮地球自轉，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，則此時太空電梯距離地面的高度約為(　　)
A．1 593 km B．3 584 km
C．7 964 km D．9 955 km
答案　A
解析　不考慮地球自轉，萬有引力等于重力，設此時太空電梯處的重力加速度為g′，則g′＝＝6.4 m/s2，則有＝mg′，＝mg，聯立解得：h≈1 593 km，故選A。

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