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3　萬有引力理論的成就
[學習目標]　
1.掌握“稱量地球質量”和計算天體質量的基本思路(重難點)。
2.掌握計算天體密度的基本思路(重難點)。
3.認識萬有引力定律的科學成就，體會科學的迷人魅力(重點)。
一、天體質量的計算
1．卡文迪什在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己的實驗是“稱量地球的重量”。
(1)他“稱量”的依據是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，引力常量G，求地球的質量。
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2．如果知道地球繞太陽的公轉周期T，地球與太陽中心間距r，引力常量G，能求出太陽的質量嗎？
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計算中心天體質量的兩種方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，以及引力常量G，根據物體的重力近似等于中心天體對物體的引力，有________________，解得中心天體質量為M＝________。
(2)說明：g為天體表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常這樣給出：讓小球做自由落體、平拋、豎直上拋等運動，從而計算出該星球表面的重力加速度。
2．“衛星”環繞法
已知兩天體間距離r，將天體圍繞中心天體的運動近似看成勻速圓周運動，周期為T，引力常量為G，其所需的向心力都來自萬有引力，由________＝mr，可得M＝________。
1．上面兩種求中心天體質量的方法：M＝和M＝，“R”與“r”有何區別？
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2．用“衛星”環繞法，根據環繞衛星的周期和軌道半徑，能測出衛星的質量嗎？
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例1　天文學家已經測出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運轉的周期T等數據，根據萬有引力定律就可以“稱量”月球的質量了。已知引力常量G，用M表示月球的質量。關于月球質量，下列正確的是(　　)
A．M＝ B．M＝
C．M＝ D．M＝
例2　“天問一號”是中國首個火星探測器，其名稱來源于我國著名愛國主義詩人屈原的長詩《天問》。2021年2月我國首次火星探測任務“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現環繞火星運動，成為我國第一顆人造火星衛星。在“天問一號”環繞火星做勻速圓周運動時，周期為T，軌道半徑為r，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉。求：
(1)“天問一號”環繞火星運動的線速度的大小v；
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(2)火星的質量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
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二、天體密度的計算
若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝
(1)將M＝代入上式得ρ＝。
(2)將M＝代入上式得ρ＝。
(3)當衛星環繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝。
例3　假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉。
(1)若衛星距該天體表面的高度為h，測得衛星在該處做圓周運動的周期為T1，則該天體的密度是多少？
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(2)若衛星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T2，則該天體的密度是多少？
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例4　假設某天我們可以穿越空間到達某一類地行星，測得其表面的重力加速度與地球上的相同，行星半徑只有地球半徑的一半，則其平均密度和地球的平均密度之比為(　　)
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
三、發現未知天體　預言哈雷彗星回歸
在18世紀，人們發現了天王星后，發現根據萬有引力定律計算出來的天王星的運動軌道與實際觀測的結果總有一些偏差。天王星的軌道偏差是天文觀測數據不準確？是萬有引力定律的準確性有問題？還是天王星軌道外面還有一顆未發現的行星？
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1．英國的________和法國的________根據天
王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出________的軌道。
2．使用“計算、預測和觀察”的方法，近100年來，人們發現了________、鬩神星等幾個較大的天體。
3．英國天文學家哈雷計算了哈雷彗星的周期約為________年，并成功預言了其回歸的時間。
4．________的發現和____________的“按時回歸”確立了________定律的地位。
3　萬有引力理論的成就
[學習目標]　
1.掌握“稱量地球質量”和計算天體質量的基本思路(重難點)。
2.掌握計算天體密度的基本思路(重難點)。
3.認識萬有引力定律的科學成就，體會科學的迷人魅力(重點)。
一、天體質量的計算
1．卡文迪什在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己的實驗是“稱量地球的重量”。
(1)他“稱量”的依據是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，引力常量G，求地球的質量。
答案　(1)若忽略地球自轉的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力，G值的確定使萬有引力定律具有了實際的計算意義。
(2)由mg＝G得，M＝。
2．如果知道地球繞太陽的公轉周期T，地球與太陽中心間距r，引力常量G，能求出太陽的質量嗎？
答案　由＝m地r知m太＝，可以求出太陽的質量。
計算中心天體質量的兩種方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天體的半徑R和中心天體表面的重力加速度g，以及引力常量G，根據物體的重力近似等于中心天體對物體的引力，有mg＝G，解得中心天體質量為M＝。
(2)說明：g為天體表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常這樣給出：讓小球做自由落體、平拋、豎直上拋等運動，從而計算出該星球表面的重力加速度。
2．“衛星”環繞法
已知兩天體間距離r，將天體圍繞中心天體的運動近似看成勻速圓周運動，周期為T，引力常量為G，其所需的向心力都來自萬有引力，由＝mr，可得M＝。
1．上面兩種求中心天體質量的方法：M＝和M＝，“R”與“r”有何區別？
答案　在M＝中，R為中心天體半徑；在M＝中，r為軌道半徑，兩種方法中的M若為同一天體，r＝R＋h。當環繞法選擇近地衛星時，r＝R。
2．用“衛星”環繞法，根據環繞衛星的周期和軌道半徑，能測出衛星的質量嗎？
答案　不能。只能測出被環繞的中心天體的質量M，而不能測出衛星質量m。
例1　天文學家已經測出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運轉的周期T等數據，根據萬有引力定律就可以“稱量”月球的質量了。已知引力常量G，用M表示月球的質量。關于月球質量，下列正確的是(　　)
A．M＝ B．M＝
C．M＝ D．M＝
答案　A
解析　在月球表面，物體的重力與萬有引力相等，則有G＝mg，可得月球的質量為M＝，故A正確，B錯誤；月球繞地球做圓周運動時，根據萬有引力提供向心力得＝Mr，r表示月球繞地球運轉的軌道半徑，可得地球的質量M地＝，無法求月球質量，故C、D錯誤。
例2　“天問一號”是中國首個火星探測器，其名稱來源于我國著名愛國主義詩人屈原的長詩《天問》。2021年2月我國首次火星探測任務“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現環繞火星運動，成為我國第一顆人造火星衛星。在“天問一號”環繞火星做勻速圓周運動時，周期為T，軌道半徑為r，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉。求：
(1)“天問一號”環繞火星運動的線速度的大小v；
(2)火星的質量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)由題意可得v＝
(2)設“天問一號”的質量為m，由萬有引力提供向心力有G＝m()2r，得M＝
(3)忽略火星自轉，火星表面質量為m′的物體所受引力等于重力，有m′g＝，得g＝。
二、天體密度的計算
若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝
(1)將M＝代入上式得ρ＝。
(2)將M＝代入上式得ρ＝。
(3)當衛星環繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝。
例3　假設在半徑為R的某天體上發射一顆該天體的衛星，已知引力常量為G，忽略該天體自轉。
(1)若衛星距該天體表面的高度為h，測得衛星在該處做圓周運動的周期為T1，則該天體的密度是多少？
(2)若衛星貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T2，則該天體的密度是多少？
答案　(1)　(2)
解析　設衛星的質量為m，天體的質量為M。
(1)衛星距天體表面的高度為h時，有G＝m(R＋h)，可得M＝
天體的體積為V＝πR3
故該天體的密度為ρ＝＝＝
(2)衛星貼近天體表面運動時有G＝mR，可得M＝，故ρ＝＝＝。
例4　假設某天我們可以穿越空間到達某一類地行星，測得其表面的重力加速度與地球上的相同，行星半徑只有地球半徑的一半，則其平均密度和地球的平均密度之比為(　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．4∶1 D．1∶4
答案　A
解析　設行星的質量為M，行星的半徑為R，行星的平均密度為ρ，行星表面的重力加速度為g，根據物體在行星表面受到的重力等于萬有引力可得
＝mg，又M＝ρ·πR3，聯立可得ρ＝。由于該類地行星表面的重力加速度與地球上的相同，則其平均密度和地球的平均密度之比為＝＝，故選A。
三、發現未知天體　預言哈雷彗星回歸
在18世紀，人們發現了天王星后，發現根據萬有引力定律計算出來的天王星的運動軌道與實際觀測的結果總有一些偏差。天王星的軌道偏差是天文觀測數據不準確？是萬有引力定律的準確性有問題？還是天王星軌道外面還有一顆未發現的行星？
答案　在天王星軌道外還有一顆未發現的新星——海王星。
1．英國的亞當斯和法國的勒維耶根據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出海王星的軌道。
2．使用“計算、預測和觀察”的方法，近100年來，人們發現了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。
3．英國天文學家哈雷計算了哈雷彗星的周期約為76年，并成功預言了其回歸的時間。
4．海王星的發現和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。

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