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專題強化　天體運動的分析與計算
[學習目標]　
1.掌握處理星體繞中心天體做圓周運動的基本思路(重點)。
2.掌握星體繞中心天體做圓周運動的物理量與軌道半徑的關系(重難點)。
3.會分析天體運動中的“最遠”和“最近”問題(重難點)。
一、天體運動參量的分析與計算
1．一般衛星(或行星)的運動可看成勻速圓周運動，其所需向心力與萬有引力的關系可寫為：
G＝m________＝m＝m________r＝mr。
2．根據1中的關系式推導向心加速度大小an、線速度大小v、角速度ω、周期T與軌道半徑r的關系。
＝
“一定四定”，越高越________(選填“快”或“慢”)。
3．忽略地球自轉時，mg＝G，整理可得：GM＝________，當GM未知時，可用________替換后進行有關計算，此式被稱為“黃金代換公式”。
1．在同一圓軌道上運行的不同衛星，它們的v、ω、T、an有何特點？
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2．同一軌道上的同向繞行的兩衛星是否有可能相撞？
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例1　如圖所示，是在同一平面不同軌道上的三顆質量相同的人造地球衛星，均繞地球做勻速圓周運動。關于各物理量的關系，下列說法不正確的是(　　)
A．線速度大小vA>vB>vC
B．周期TA>TB>TC
C．向心加速度大小aA>aB>aC
D．角速度ωA>ωB>ωC
例2　(2020·浙江7月選考)火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示。若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽運動的(　　)
A．軌道周長之比為2∶3
B．線速度大小之比為∶
C．角速度大小之比為2∶3
D．向心加速度大小之比為9∶4
例3　2021年4月29日，天和核心艙的成功發射標志著中國空間站建設拉開了帷幕。若空間站質量為m，空間站距地面高度為h，地球半徑為R，引力常量為G。忽略地球自轉的影響，地球表面重力加速度為g，求：
(1)空間站受地球引力大小；
(2)空間站環繞地球運行的周期；
(3)空間站環繞地球運行的向心加速度大小。
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二、衛星相距“最近”“最遠”問題
兩顆衛星在同一軌道平面內同向繞地球做勻速圓周運動時，a衛星的角速度為ωa，b衛星的角速度為ωb。
若某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖所示。
推導第n次兩衛星相距最遠和最近的條件：
1.當兩衛星第一次相距最遠時，a比b多走________圈，如圖所示。
它們轉過的角度之差Δθ＝________，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝________，
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝________。
故第n次兩衛星相距最遠的條件：ωat－ωbt＝t－t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。
2．當兩衛星在此之后第一次相距最近時，它們轉過的角度之差Δθ＝________，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝________時，兩衛星再次相距最近。
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。
第n次兩衛星相距最近的條件：ωat－ωbt＝t－t＝2nπ(n＝1,2,3…)。
例4　(2022·蘇州市木瀆高級中學高一期中)2022年6月5日，我國成功發射神舟十四號載人飛船，3名航天員進駐核心艙。假設神舟十四號在飛行的過程中繞地球沿圓軌道運行，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運行的周期為T。
(1)求飛船離地面的高度h；
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(2)如圖所示，衛星A與神舟十四號載人飛船B在同一軌道平面，已知衛星A運行方向與B相同，A的軌道半徑為B的2倍，某時刻A、B相距最近，則至少經過多長時間它們再一次相距最近？
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專題強化　天體運動的分析與計算
[學習目標]　
1.掌握處理星體繞中心天體做圓周運動的基本思路(重點)。
2.掌握星體繞中心天體做圓周運動的物理量與軌道半徑的關系(重難點)。
3.會分析天體運動中的“最遠”和“最近”問題(重難點)。
一、天體運動參量的分析與計算
1．一般衛星(或行星)的運動可看成勻速圓周運動，其所需向心力與萬有引力的關系可寫為：
G＝man＝m＝mω2r＝mr。
2．根據1中的關系式推導向心加速度大小an、線速度大小v、角速度ω、周期T與軌道半徑r的關系。
＝
“一定四定”，越高越慢(選填“快”或“慢”)。
3．忽略地球自轉時，mg＝G，整理可得：GM＝gR2，當GM未知時，可用gR2替換后進行有關計算，此式被稱為“黃金代換公式”。
1．在同一圓軌道上運行的不同衛星，它們的v、ω、T、an有何特點？
答案　衛星的軌道半徑r確定后，其相對應的線速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，與衛星的質量無關，即同一軌道上的不同衛星具有相同的周期、線速度大小、角速度和向心加速度大小。
2．同一軌道上的同向繞行的兩衛星是否有可能相撞？
答案　不可能。同一軌道上同向繞行的兩衛星，線速度大小相等，相對靜止，故不可能相撞。
例1　如圖所示，是在同一平面不同軌道上的三顆質量相同的人造地球衛星，均繞地球做勻速圓周運動。關于各物理量的關系，下列說法不正確的是(　　)
A．線速度大小vA>vB>vC
B．周期TA>TB>TC
C．向心加速度大小aA>aB>aC
D．角速度ωA>ωB>ωC
答案　B
解析　由題意可得＝m＝mR＝mω2R＝ma，則a＝，v＝，ω＝，T＝，由題圖可知RAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故選B。
例2　(2020·浙江7月選考)火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示。若火星和地球繞太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉軌道半徑與地球公轉軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽運動的(　　)
A．軌道周長之比為2∶3
B．線速度大小之比為∶
C．角速度大小之比為2∶3
D．向心加速度大小之比為9∶4
答案　C
解析　軌道周長C＝2πr，與半徑成正比，故軌道周長之比為3∶2，故A錯誤；根據萬有引力提供向心力有＝m，得v＝，則＝＝，故B錯誤；由萬有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝，則＝＝，故C正確；由＝ma，得a＝，則＝＝，故D錯誤。
例3　2021年4月29日，天和核心艙的成功發射標志著中國空間站建設拉開了帷幕。若空間站質量為m，空間站距地面高度為h，地球半徑為R，引力常量為G。忽略地球自轉的影響，地球表面重力加速度為g，求：
(1)空間站受地球引力大小；
(2)空間站環繞地球運行的周期；
(3)空間站環繞地球運行的向心加速度大小。
答案　(1)　(2)2π　(3)
解析　(1)設地球質量為M，空間站受地球引力大小為F＝，在地球表面有G＝mg，解得GM＝gR2，所以F＝
(2)由萬有引力提供向心力得＝m，解得T＝2π，又GM＝gR2，代入上式得T＝2π
(3)由萬有引力提供向心力得＝ma，
解得a＝，又GM＝gR2
代入上式得：a＝。
二、衛星相距“最近”“最遠”問題
兩顆衛星在同一軌道平面內同向繞地球做勻速圓周運動時，a衛星的角速度為ωa，b衛星的角速度為ωb。
若某時刻兩衛星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖所示。
推導第n次兩衛星相距最遠和最近的條件：
1.當兩衛星第一次相距最遠時，a比b多走半圈，如圖所示。
它們轉過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π，
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝2π＋π。
故第n次兩衛星相距最遠的條件：ωat－ωbt＝t－t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。
2．當兩衛星在此之后第一次相距最近時，它們轉過的角度之差Δθ＝2π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝2π時，兩衛星再次相距最近。
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。
第n次兩衛星相距最近的條件：ωat－ωbt＝t－t＝2nπ(n＝1,2,3…)。
例4　(2022·蘇州市木瀆高級中學高一期中)2022年6月5日，我國成功發射神舟十四號載人飛船，3名航天員進駐核心艙。假設神舟十四號在飛行的過程中繞地球沿圓軌道運行，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運行的周期為T。
(1)求飛船離地面的高度h；
(2)如圖所示，衛星A與神舟十四號載人飛船B在同一軌道平面，已知衛星A運行方向與B相同，A的軌道半徑為B的2倍，某時刻A、B相距最近，則至少經過多長時間它們再一次相距最近？
答案　(1)－R　(2)T
解析　(1)飛船繞地球沿圓軌道運行，根據萬有引力提供向心力有G＝m(R＋h)；在地球表面，根據萬有引力近似等于重力有G＝m′g，解得飛船離地面的高度為h＝－R。
(2)根據開普勒第三定律有＝，又rA＝2rB，解得TA＝2T，設經過t時間它們再一次相距最近，則有t－t＝2π，解得t＝T。

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