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第八章 機械能守恒定律 章末素養提升
物理 觀念 功 功 定義：力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、________________這三者的乘積。 公式：W＝________ 單位：________，符號為________
正功和負功 (1)當0≤α<時，W________0，力對物體做________ (2)當<α≤π時，W________0，力對物體做________，或稱物體______這個力做功 (3)當α＝時，W＝________，力對物體________
總功 (1)總功等于各個力分別對物體所做功的________ (2)幾個力的________對物體所做的功
功率 意義：表示做功________的物理量 單位：瓦特，簡稱瓦，符號是________ 計算公式：P＝________，P＝________
重力勢能 定義：我們把________叫作物體的重力勢能，常用Ep表示 表達式：Ep＝________ 單位：________，符號為________
彈性勢能 發生__________的物體的各部分之間，由于有________的相互作用，也具有________，這種勢能叫作彈性勢能
動能 定義：在物理學中用“____________”這個量表示物體的動能 表達式：Ek＝________ 單位：________，符號為________
機械能 機械能等于動能與勢能之和，E＝Ek＋Ep
動能定理 內容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中____________ 表達式：W＝________________
機械能守 恒定律 內容：在只有________或________做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能____________ 表達式：Ek2＋Ep2＝________
功能關系 幾種典型的 功能關系 重力做功對應重力勢能改變，WG＝－ΔE重力
彈力做功對應彈性勢能改變，W彈＝－ΔE彈力
合外力做功對應動能改變，W合＝ΔEk
除重力、系統內彈力以外的其他力做功對應機械能改變，W＝ΔE
摩擦力做 功與熱量 的關系 作用于系統的滑動摩擦力和物體間相對滑動的距離的乘積，在數值上等于相對滑動過程產生的內能。即Q＝F滑l相對，其中F滑必須是滑動摩擦力，l相對必須是兩個接觸面間相對滑動的距離(或相對路程)
科學 思維 物理模型 掌握機車啟動的兩種方式；體會微元法在探究重力做功中的應用；利用動能定理解決動力學問題和變力做功問題；會判斷不同物理模型中機械能是否守恒
演繹推理 通過重力做功與重力勢能變化關系，猜想重力勢能的影響因素，推導重力勢能表達式；利用功的公式、牛頓第二定律和運動學公式推導動能定理；利用能量轉化和守恒的觀點解釋生活現象，分析解決物理問題
科學 探究 經歷問題情境，體驗科學知識對生活的影響；根據功和能的關系，推導出重力勢能的表達式，通過實驗探究彈簧彈力做功得出彈性勢能的影響因素；在動能定理建立過程中，培養學生從特殊到一般、從低級到高級的探究思路；進一步固化：實驗是檢驗理論正確性的依據這一科學思想，并在探究過程中體會實驗驗證方法；探究機械能守恒定律的適用條件和限制，設計實驗驗證機械能守恒定律
科學 態度 與責任 通過探究過程體會物理學的邏輯之美和方法之美，體會數理的巧妙結合，激發學生求知欲和學習興趣，享受成功的樂趣。從生活中的有關物理現象得出物理結論，激發和培養學生探索自然規律的興趣；能夠意識到科學的社會意義和責任，注重科學實踐中的安全和環境保護。通過同伴合作交流學會正確評價他人和自己，增強人際交往的能力。利用動能定理、機械能守恒定律等物理知識分析解決生活實例，培養學生的探究意識和實踐能力；通過實驗操作、數據處理及誤差分析，培養學生實事求是和嚴謹細致的科學態度
例1　用長為L的輕質細繩懸掛一個質量為m的小球，其下方有一個傾角為θ的光滑斜面體，斜面體放在水平面上，開始時小球與斜面接觸且細繩恰好豎直，如圖所示。現在用水平推力F緩慢向左推動斜面體，直至細繩與斜面平行，則在此過程中(重力加速度為g)(　　)
A．小球受到的斜面的彈力始終與斜面垂直，故對小球不做功
B．細繩對小球的拉力始終與小球的運動方向垂直，故對小球不做功
C．若水平面光滑，則推力做功為mgL·(1－cos θ)
D．由于緩慢推動斜面體，故小球所受合力可視為零，小球機械能不變
例2　如圖所示，建筑工地常使用打樁機將圓柱體打入地下一定深度，設定某打樁機每次打擊過程對圓柱體做功相同，圓柱體所受泥土阻力f與進入泥土深度h成正比(即f＝kh，k為常量)，圓柱體自重及空氣阻力可忽略不計，打樁機第一次打擊過程使圓柱體進入泥土深度為h0，則打樁機第n次打擊過程使圓柱體進入泥土深度為(　　)
A．h0 B．nh0
C.h0 D．(－)h0
例3　(2023·淮安市高一統考期中)如圖所示，某風力發電機葉片轉動可形成橫截面積為S的圓面，某段時間風速為v，并保持風正面吹向葉片。若空氣密度為ρ，風的動能轉化為電能的效率為η，則(　　)
A．單位時間內轉化的電能為ρSv
B．單位時間內轉化的電能為ρSv2
C．轉化為電能的功率為ηρSv3
D．轉化為電能的功率為ηρSv2
例4　(2022·南京市高一期末)如圖所示，一根輕質彈簧一端固定于光滑豎直桿上，另一端與質量為m的滑塊P連接，P穿在桿上，一根輕繩跨過定滑輪將滑塊P和重物Q連接起來，Q的質量為4m。將P從圖中A點由靜止釋放后沿豎直桿上下運動，當它經過A、B兩點時彈簧對滑塊的彈力大小相等。已知OA與水平面的夾角θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，OB長為3L，與AB垂直，不計滑輪的摩擦，重力加速度為g。則P從A點到B點的過程中(　　)
A．P和Q組成的系統機械能守恒
B．P的速度一直增大
C．輕繩對P做的功為8mgL
D．重力對Q做功的功率一直減小
例5　如圖所示為修建高層建筑常用的塔式起重機，在起重機將質量為m的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度大小為a，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做速度為vm的勻速運動，不計額外功，重力加速度為g。
(1)求起重機允許輸出的最大功率；
(2)求重物做勻加速運動所經歷的時間；
(3)若已知起重機達到輸出功率的最大值后，又經Δt時間，重物的速度達到vm，求重物由靜止到速度達到vm的過程中升高的高度。
________________________________________________________________________
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例6　如圖所示，水平面右端放一質量m＝0.1 kg的小物塊，給小物塊v0＝4 m/s的水平初速度使其向左運動，運動d＝1 m后將彈簧壓縮至最短，反彈回到出發點時物塊速度大小v1＝
2 m/s。若水平面與一長L＝3 m的水平傳送帶平滑連接，傳送帶以v2＝10 m/s的速度順時針勻速轉動。傳送帶右端又與一豎直平面內的光滑圓軌道的底端平滑連接，圓軌道半徑R＝
0.8 m。當小物塊進入圓軌道時會觸發閉合裝置將圓軌道封閉，彈簧始終處于彈性限度內，取g＝10 m/s2，求：
(1)小物塊與水平面間的動摩擦因數μ1；
(2)彈簧具有的最大彈性勢能Ep；
(3)要使小物塊進入豎直圓軌道后不脫離圓軌道，傳送帶與物塊間的動摩擦因數μ2應滿足的條件。
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第八章 機械能守恒定律 章末素養提升
物理 觀念 功 功 定義：力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積。 公式：W＝Flcos α 單位：焦耳，符號為J
正功和負功 (1)當0≤α<時，W>0，力對物體做正功 (2)當<α≤π時，W<0，力對物體做負功，或稱物體克服這個力做功 (3)當α＝時，W＝0，力對物體不做功
總功 (1)總功等于各個力分別對物體所做功的代數和 (2)幾個力的合力對物體所做的功
功率 意義：表示做功快慢的物理量 單位：瓦特，簡稱瓦，符號是W 計算公式：P＝，P＝Fvcos α
重力勢能 定義：我們把mgh叫作物體的重力勢能，常用Ep表示 表達式：Ep＝mgh 單位：焦耳，符號為J
彈性勢能 發生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢能，這種勢能叫作彈性勢能
動能 定義：在物理學中用“mv2”這個量表示物體的動能 表達式：Ek＝mv2 單位：焦耳，符號為J
機械能 機械能等于動能與勢能之和，E＝Ek＋Ep
動能定理 內容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化 表達式：W＝Ek2－Ek1
機械能守 恒定律 內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變 表達式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
功能關系 幾種典型的 功能關系 重力做功對應重力勢能改變，WG＝－ΔE重力
彈力做功對應彈性勢能改變，W彈＝－ΔE彈力
合外力做功對應動能改變，W合＝ΔEk
除重力、系統內彈力以外的其他力做功對應機械能改變，W＝ΔE
摩擦力做 功與熱量 的關系 作用于系統的滑動摩擦力和物體間相對滑動的距離的乘積，在數值上等于相對滑動過程產生的內能。即Q＝F滑l相對，其中F滑必須是滑動摩擦力，l相對必須是兩個接觸面間相對滑動的距離(或相對路程)
科學 思維 物理模型 掌握機車啟動的兩種方式；體會微元法在探究重力做功中的應用；利用動能定理解決動力學問題和變力做功問題；會判斷不同物理模型中機械能是否守恒
演繹推理 通過重力做功與重力勢能變化關系，猜想重力勢能的影響因素，推導重力勢能表達式；利用功的公式、牛頓第二定律和運動學公式推導動能定理；利用能量轉化和守恒的觀點解釋生活現象，分析解決物理問題
科學 探究 經歷問題情境，體驗科學知識對生活的影響；根據功和能的關系，推導出重力勢能的表達式，通過實驗探究彈簧彈力做功得出彈性勢能的影響因素；在動能定理建立過程中，培養學生從特殊到一般、從低級到高級的探究思路；進一步固化：實驗是檢驗理論正確性的依據這一科學思想，并在探究過程中體會實驗驗證方法；探究機械能守恒定律的適用條件和限制，設計實驗驗證機械能守恒定律
科學 態度 與責任 通過探究過程體會物理學的邏輯之美和方法之美，體會數理的巧妙結合，激發學生求知欲和學習興趣，享受成功的樂趣。從生活中的有關物理現象得出物理結論，激發和培養學生探索自然規律的興趣；能夠意識到科學的社會意義和責任，注重科學實踐中的安全和環境保護。通過同伴合作交流學會正確評價他人和自己，增強人際交往的能力。利用動能定理、機械能守恒定律等物理知識分析解決生活實例，培養學生的探究意識和實踐能力；通過實驗操作、數據處理及誤差分析，培養學生實事求是和嚴謹細致的科學態度
例1　用長為L的輕質細繩懸掛一個質量為m的小球，其下方有一個傾角為θ的光滑斜面體，斜面體放在水平面上，開始時小球與斜面接觸且細繩恰好豎直，如圖所示。現在用水平推力F緩慢向左推動斜面體，直至細繩與斜面平行，則在此過程中(重力加速度為g)(　　)
A．小球受到的斜面的彈力始終與斜面垂直，故對小球不做功
B．細繩對小球的拉力始終與小球的運動方向垂直，故對小球不做功
C．若水平面光滑，則推力做功為mgL(1－cos θ)
D．由于緩慢推動斜面體，故小球所受合力可視為零，小球機械能不變
答案　B
解析　根據力做功的條件，斜面彈力對小球做正功，故A錯誤；細繩對小球的拉力始終與小球運動方向垂直，故對小球不做功，故B正確；若水平面光滑，取小球和斜面體整體為研究對象，根據能量守恒得F做的功等于系統機械能的增量，斜面體動能和勢能不變，小球的動能不變，重力勢能增加，所以系統機械能的增量等于小球的重力勢能增加量，所以F做的功等于小球重力勢能增量，ΔEp＝mgh＝mgL(1－sin θ)，故C錯誤；用水平力F緩慢向左推動斜面體，所以小球的動能不變，重力勢能在增加，所以小球在該過程中機械能增加，故D錯誤。
例2　如圖所示，建筑工地常使用打樁機將圓柱體打入地下一定深度，設定某打樁機每次打擊過程對圓柱體做功相同，圓柱體所受泥土阻力f與進入泥土深度h成正比(即f＝kh，k為常量)，圓柱體自重及空氣阻力可忽略不計，打樁機第一次打擊過程使圓柱體進入泥土深度為h0，則打樁機第n次打擊過程使圓柱體進入泥土深度為(　　)
A．h0 B．nh0
C.h0 D．(－)h0
答案　D
解析　由題意可知，阻力f與深度h成正比，其f－h圖像如圖所示，圖線與橫軸所圍圖形的面積表示阻力做功的大小。
第一次打擊時進入深度為h0，則W＝，則每次打擊所做的功為，n－1次打擊后做的功為(n－1)·＝kh×h×，h＝h0，n次打擊后做的功為n×＝kh′×h′×，h′＝h0，則Δh＝h′－h＝(－)h0，故選D。
例3　(2023·淮安市高一統考期中)如圖所示，某風力發電機葉片轉動可形成橫截面積為S的圓面，某段時間風速為v，并保持風正面吹向葉片。若空氣密度為ρ，風的動能轉化為電能的效率為η，則(　　)
A．單位時間內轉化的電能為ρSv
B．單位時間內轉化的電能為ρSv2
C．轉化為電能的功率為ηρSv3
D．轉化為電能的功率為ηρSv2
答案　C
解析　設t時間內與葉片相互作用的空氣柱質量為m＝ρV＝ρSvt
單位時間內風能轉化為電能為W＝η·mv2
該發電機轉化為電能的功率為P＝＝ηρSv3，故選C。
例4　(2022·南京市高一期末)如圖所示，一根輕質彈簧一端固定于光滑豎直桿上，另一端與質量為m的滑塊P連接，P穿在桿上，一根輕繩跨過定滑輪將滑塊P和重物Q連接起來，Q的質量為4m。將P從圖中A點由靜止釋放后沿豎直桿上下運動，當它經過A、B兩點時彈簧對滑塊的彈力大小相等。已知OA與水平面的夾角θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，OB長為3L，與AB垂直，不計滑輪的摩擦，重力加速度為g。則P從A點到B點的過程中(　　)
A．P和Q組成的系統機械能守恒
B．P的速度一直增大
C．輕繩對P做的功為8mgL
D．重力對Q做功的功率一直減小
答案　C
解析　根據題意可知，滑塊P和重物Q與彈簧組成的系統機械能守恒，故A錯誤；在A點彈簧對P的彈力向上，在B點彈簧對P的彈力向下，可知，P先加速上升后減速上升，在AB間某位置合力為0，速度最大，故B錯誤；根據題意可知，滑塊P從A點開始運動時，重物Q的速度為0，則重物Q重力的功率為0，當滑塊P到達B點時，重物Q的速度也為0，此時，重物Q重力的功率為0，則滑塊P從A點到達B點的過程中，重物Q重力的功率先增大后減小，故D錯誤；滑塊P和重物Q與彈簧組成的系統機械能守恒，根據幾何關系可知，滑塊P上升的高度為h＝3L·tan 53°＝4L，重物Q下降的高度為H＝OA－OB＝－OB＝2L，設滑塊P運動到位置B處速度大小為v，可知A、B兩點處彈簧的彈性勢能相等，根據機械能守恒定律可知4mgH－mgh＝mv2，解得P在B點的速度大小為v＝2，對滑塊P，設輕繩對滑塊P做功為W，由動能定理可知W－mgh＝mv2，解得W＝8mgL，故C正確。
例5　如圖所示為修建高層建筑常用的塔式起重機，在起重機將質量為m的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度大小為a，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做速度為vm的勻速運動，不計額外功，重力加速度為g。
(1)求起重機允許輸出的最大功率；
(2)求重物做勻加速運動所經歷的時間；
(3)若已知起重機達到輸出功率的最大值后，又經Δt時間，重物的速度達到vm，求重物由靜止到速度達到vm的過程中升高的高度。
答案　(1)mgvm　(2)　(3)＋vmΔt－
解析　(1)重物勻速上升時有：F＝mg，
可得起重機的最大輸出功率為：Pm＝mgvm
(2)勻加速運動結束時，起重機達到允許輸出的最大功率，設此時重物受到的拉力大小為F1，速度大小為v1，勻加速運動經歷的時間為t1，則由牛頓第二定律得：F1－mg＝ma
又有：Pm＝F1v1，v1＝at1
可得：t1＝
(3)設重物勻加速上升的高度為h1，則有：h1＝at12
由動能定理得：F1h1＋PmΔt－mgh＝mvm2
可得：h＝＋vmΔt－。
例6　如圖所示，水平面右端放一質量m＝0.1 kg的小物塊，給小物塊v0＝4 m/s的水平初速度使其向左運動，運動d＝1 m后將彈簧壓縮至最短，反彈回到出發點時物塊速度大小v1＝
2 m/s。若水平面與一長L＝3 m的水平傳送帶平滑連接，傳送帶以v2＝10 m/s的速度順時針勻速轉動。傳送帶右端又與一豎直平面內的光滑圓軌道的底端平滑連接，圓軌道半徑R＝
0.8 m。當小物塊進入圓軌道時會觸發閉合裝置將圓軌道封閉，彈簧始終處于彈性限度內，取g＝10 m/s2，求：
(1)小物塊與水平面間的動摩擦因數μ1；
(2)彈簧具有的最大彈性勢能Ep；
(3)要使小物塊進入豎直圓軌道后不脫離圓軌道，傳送帶與物塊間的動摩擦因數μ2應滿足的條件。
答案　(1)0.3　(2)0.5 J　(3)μ2≤0.2或μ2≥0.6
解析　(1)小物塊在水平面上向左運動再返回至出發點的過程中，根據動能定理得
－2μ1mgd＝mv12－mv02
代入數據得μ1＝0.3
(2)小物塊從出發至運動到彈簧壓縮至最短的過程，由功能關系得，彈簧具有的最大彈性勢能為
Ep＝mv02－μ1mgd＝0.5 J
(3)本題分兩種情況討論：
①設物塊在圓軌道最低點速度為v3時，恰好到達圓心右側等高點，由機械能守恒定律得mgR＝mv32
解得v3＝4 m/s。
由于v3＝4 m/sμ2′mgL＝mv32－mv12
解得μ2′＝0.2
②設物塊在圓軌道最低點速度為v4時，恰好能通過圓軌道最高點，最高點速度為v5。
在圓軌道最高點有mg＝m
解得v5＝2 m/s
從圓軌道最低點到最高點的過程，由動能定理得
－2mgR＝mv52－mv42
解得v4＝2 m/s說明物塊在傳送帶上一直做勻加速運動。
由動能定理得μ2″mgL＝mv42－mv12
解得μ2″＝0.6
所以要使物塊進入豎直圓軌道后不脫離圓軌道，傳送帶與物塊間的動摩擦因數μ2應滿足的條件是μ2≤0.2或μ2≥0.6。

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