資源簡介

專題強化　動能定理和機械能守恒定律的綜合應用
[學習目標]　
1.知道動能定理與機械能守恒定律的區別，體會二者在解題時的異同(重難點)。
2.能靈活運用動能定理和機械能守恒定律解決綜合問題(重難點)。
一、動能定理和機械能守恒定律的比較
規律 比較 機械能守恒定律 動能定理
表達式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范圍 只有重力或彈力做功 無條件限制
研究對象 物體與地球組成的系統 質點
物理意義 重力或彈力做功的過程是動能與勢能轉化的過程 合外力做的功是動能變化的量度
應用角度 守恒條件及初、末狀態機械能的形式和大小 動能的變化及合外力做功情況
選用原則 (1)無論直線運動還是曲線運動，條件合適時，兩規律都可以應用，都只考慮初、末狀態，不需要考慮所經歷過程的細節 (2)能用機械能守恒定律解決的問題都能用動能定理解決；能用動能定理解決的問題不一定能用機械能守恒定律解決 (3)動能定理比機械能守恒定律應用更廣泛、更普遍
例1　如圖所示水平軌道BC，左端與半徑為R的四分之一圓軌道AB連接，右端與半徑為r的四分之三圓軌道CDEF連接，圓心分別為O1、O2，質量為m的過山車從高為R的A處由靜止滑下，恰好能夠通過右側圓軌道最高點E，重力加速度為g，不計一切摩擦阻力，求(試用動能定理和機械能守恒定律分別作答)：
(1)過山車在B點時的速度大小；
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(2)過山車在C點時對軌道的壓力大小。
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例2　(2022·常州市高一期中)一跳臺滑雪運動員在進行場地訓練。某次訓練中，運動員以30 m/s的速度斜向上跳出，空中飛行后在著陸坡的K點著陸。起跳點到K點的豎直高度差為60 m，運動員總質量(包括裝備)為60 kg，g取10 m/s2。試分析(結果可以保留根號)：
(1)若不考慮空氣阻力，理論上運動員著陸時的速度多大？
(2)若運動員著陸時的速度大小為44 m/s，飛行中克服空氣阻力做功為多少？
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二、動能定理和機械能守恒定律的綜合應用
動能定理和機械能守恒定律，都可以用來求能量或速度，但側重點不同，動能定理解決物體運動，尤其計算對該物體的做功時較簡單，機械能守恒定律解決系統問題往往較簡單，兩者的靈活選擇可以簡化運算過程。
例3　如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形軌道在B點平滑連接，軌道半徑為R，一個質量為m的小球將彈簧壓縮至A處。小球從A處由靜止釋放被彈開后，經過B點進入軌道的瞬間對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動恰能沿軌道運動到C點，重力加速度為g，求：
(1)小球在最高點C的速度大小vC；
(2)小球在最低點B的速度大小vB；
(3)釋放小球前彈簧的彈性勢能；
(4)小球由B到C克服阻力做的功。
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例4　如圖所示，AB面光滑、傾角θ＝30°的斜面體固定在水平桌面上，桌面右側與光滑半圓形軌道CD相切于C點，圓弧軌道的半徑R＝0.1 m。物塊甲、乙用跨過輕質定滑輪的輕繩連接，開始時乙被按在桌面上，甲位于斜面頂端A點，滑輪左側輕繩豎直、右側輕繩與AB平行；現釋放乙，當甲滑至AB中點時輕繩斷開(乙未運動到滑輪處)，甲恰好能通過圓形軌道的最高點D。已知AB長L＝1 m，桌面BC段長l＝0.5 m，甲質量M＝1.4 kg、乙質量m＝
0.1 kg，甲從斜面滑上桌面時速度大小不變，重力加速度大小取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。求：
(1)甲到達斜面底端時重力的瞬時功率；
(2)甲與桌面間的動摩擦因數。
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專題強化　動能定理和機械能守恒定律的綜合應用
[學習目標]　
1.知道動能定理與機械能守恒定律的區別，體會二者在解題時的異同(重難點)。
2.能靈活運用動能定理和機械能守恒定律解決綜合問題(重難點)。
一、動能定理和機械能守恒定律的比較
規律 比較 機械能守恒定律 動能定理
表達式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范圍 只有重力或彈力做功 無條件限制
研究對象 物體與地球組成的系統 質點
物理意義 重力或彈力做功的過程是動能與勢能轉化的過程 合外力做的功是動能變化的量度
應用角度 守恒條件及初、末狀態機械能的形式和大小 動能的變化及合外力做功情況
選用原則 (1)無論直線運動還是曲線運動，條件合適時，兩規律都可以應用，都只考慮初、末狀態，不需要考慮所經歷過程的細節 (2)能用機械能守恒定律解決的問題都能用動能定理解決；能用動能定理解決的問題不一定能用機械能守恒定律解決 (3)動能定理比機械能守恒定律應用更廣泛、更普遍
例1　如圖所示水平軌道BC，左端與半徑為R的四分之一圓軌道AB連接，右端與半徑為r的四分之三圓軌道CDEF連接，圓心分別為O1、O2，質量為m的過山車從高為R的A處由靜止滑下，恰好能夠通過右側圓軌道最高點E，重力加速度為g，不計一切摩擦阻力，求(試用動能定理和機械能守恒定律分別作答)：
(1)過山車在B點時的速度大小；
(2)過山車在C點時對軌道的壓力大小。
答案　(1)　(2)6mg
解析　方法一　運用動能定理
(1)根據動能定理mgR＝mvB2，
解得vB＝。
(2)過山車在E點時由牛頓第二定律有
mg＝m，
從C點到E點，由動能定理有－mg·2r＝mvE2－mvC2
又FC－mg＝m，
由牛頓第三定律，過山車對軌道的壓力大小FC′＝FC＝6mg。
方法二　運用機械能守恒定律
(1)選地面為參考平面，由A到B，對過山車由機械能守恒定律得mgR＋0＝0＋mvB2，
解得vB＝。
(2)過山車在E點時有mg＝m，
從C到E，由機械能守恒定律得mg·2r＋mvE2＝0＋mvC2，
過山車過C點時，受到軌道的支持力大小為FC，FC－mg＝m，
由牛頓第三定律，過山車對軌道的壓力大小為FC′＝FC＝6mg。
例2　(2022·常州市高一期中)一跳臺滑雪運動員在進行場地訓練。某次訓練中，運動員以
30 m/s的速度斜向上跳出，空中飛行后在著陸坡的K點著陸。起跳點到K點的豎直高度差為60 m，運動員總質量(包括裝備)為60 kg，g取10 m/s2。試分析(結果可以保留根號)：
(1)若不考慮空氣阻力，理論上運動員著陸時的速度多大？
(2)若運動員著陸時的速度大小為44 m/s，飛行中克服空氣阻力做功為多少？
答案　(1)10 m/s　(2)4 920 J
解析　(1)不考慮空氣阻力，以著陸點K點所在水平面為參考平面，運動員從起跳到著陸的過程機械能守恒，則有mv02＋mgh＝mv2，解得v＝10 m/s
(2)運動員飛行過程，根據動能定理有mgh－W克阻＝mv12－mv02，解得W克阻＝4 920 J。
二、動能定理和機械能守恒定律的綜合應用
動能定理和機械能守恒定律，都可以用來求能量或速度，但側重點不同，動能定理解決物體運動，尤其計算對該物體的做功時較簡單，機械能守恒定律解決系統問題往往較簡單，兩者的靈活選擇可以簡化運算過程。
例3　如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形軌道在B點平滑連接，軌道半徑為R，一個質量為m的小球將彈簧壓縮至A處。小球從A處由靜止釋放被彈開后，經過B點進入軌道的瞬間對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動恰能沿軌道運動到C點，重力加速度為g，求：
(1)小球在最高點C的速度大小vC；
(2)小球在最低點B的速度大小vB；
(3)釋放小球前彈簧的彈性勢能；
(4)小球由B到C克服阻力做的功。
答案　(1)　(2)　(3)mgR　(4)mgR
解析　(1)在最高點C時，根據牛頓第二定律有m＝mg，解得vC＝
(2)根據牛頓第三定律可知，小球在最低點B時所受支持力大小為FN＝8mg
根據牛頓第二定律有FN－mg＝m，解得vB＝
(3)根據機械能守恒定律可得釋放小球前彈簧的彈性勢能為Ep＝mvB2＝mgR
(4)設小球由B到C克服阻力做的功為W，根據動能定理有－2mgR－W＝mvC2－mvB2
解得W＝mgR。
例4　如圖所示，AB面光滑、傾角θ＝30°的斜面體固定在水平桌面上，桌面右側與光滑半圓形軌道CD相切于C點，圓弧軌道的半徑R＝0.1 m。物塊甲、乙用跨過輕質定滑輪的輕繩連接，開始時乙被按在桌面上，甲位于斜面頂端A點，滑輪左側輕繩豎直、右側輕繩與AB平行；現釋放乙，當甲滑至AB中點時輕繩斷開(乙未運動到滑輪處)，甲恰好能通過圓形軌道的最高點D。已知AB長L＝1 m，桌面BC段長l＝0.5 m，甲質量M＝1.4 kg、乙質量m＝
0.1 kg，甲從斜面滑上桌面時速度大小不變，重力加速度大小取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。求：
(1)甲到達斜面底端時重力的瞬時功率；
(2)甲與桌面間的動摩擦因數。
答案　(1)21 W　(2)0.4
解析　(1)設輕繩斷開時甲速度的大小為v1，
根據機械能守恒定律Mgsin θ－mg＝(M＋m)v12
設甲到達斜面底端時的速度大小為v2，從AB中點到底端的過程根據動能定理Mg×sin θ＝
Mv22－Mv12
甲重力的瞬時功率P＝Mgv2sin θ
解得P＝21 W
(2)設甲到達C、D時的速度大小分別為v3、v4，從B到C根據動能定理－μMgl＝Mv32－Mv22
由C到D過程，由動能定理得－Mg×2R＝Mv42－Mv32
甲恰好能通過圓形軌道的最高點D，根據牛頓第二定律Mg＝M
解得μ＝0.4。

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