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專題強化　多物體組成的系統機械能守恒問題
[學習目標]　
1.能靈活應用機械能守恒定律的三種表達形式(重點)。
2.會分析多個物體組成的系統的機械能守恒問題(重難點)。
3.掌握非質點類物體的機械能守恒問題的處理方法(重難點)。
一、多物體組成的系統機械能守恒問題
1．當動能、勢能僅在系統內相互轉化或轉移時，系統的機械能守恒。
一般選系統為研究對象來列機械能守恒方程。含彈簧的系統，要注意與彈簧接觸的物體往往機械能不守恒，而是含有彈簧和物體的整個系統機械能守恒。常見情景如圖所示：
2．機械能守恒定律表達式的選取技巧
(1)當研究對象為單個物體時，可優先考慮應用表達式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp來求解。
(2)當研究對象為兩個物體組成的系統時：
①若兩個物體的重力勢能都在減小(或增加)，動能都在增加(或減小)，可優先考慮應用表達式ΔEk＝－ΔEp來求解。
②若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優先考慮用表達式ΔEA＝－ΔEB來求解。
③從機械能的轉化角度來看，系統中某一類型機械能的減少量等于系統中其他類型機械能的增加量，可用E減＝E增來列式。
3．對于關聯物體的機械能守恒問題，應注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系、位移與高度變化量Δh的關系。
例1　如圖所示，一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑的輕質定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質量為m，靜止于地面；b球質量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好被拉緊。從靜止開始釋放b球，則當b球剛落地時a球的速度為(不計空氣阻力，重力加速度為g)(　　)
A. B. C. D.
例2　如圖所示，質量都是m的物體A和B，通過不可伸長的輕繩跨過輕質定滑輪相連，光滑固定斜面，傾角為θ，不計繩子和滑輪之間的摩擦及空氣阻力。開始時A物體離地的高度為h，B物體位于斜面的底端且與B相連的繩與斜面平行，用手托住A物體，A、B兩物體均靜止，重力加速度為g，撤去手后，
(1)求A物體將要落地時的速度大小；
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(2)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續沿斜面上升，求B物體在斜面上上升的最遠點離地面的高度(B未與滑輪相撞)。
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例3　如圖所示，有一輕質桿可繞O點在豎直平面內自由轉動，在桿的另一端和中點各固定一個質量均為m的小球A、B，桿長為L，重力加速度為g。開始時，桿靜止在水平位置，則無初速度釋放后桿轉到豎直位置時，求A、B兩小球的速度大小。
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二、非質點類物體的機械能守恒問題
1．在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。
2．物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。
例4　如圖所示，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕質小滑輪，不計滑輪大小，開始時下端A、B相平齊，當略有擾動時其A端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大？(重力加速度為g)
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例5　如圖所示，粗細均勻、兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動，當兩液面高度相等時，右側液面下降的速度為(不計管壁對液體的阻力，重力加速度大小為g)(　　)
A.
B.
C.
D.
專題強化　多物體組成的系統機械能守恒問題
[學習目標]　
1.能靈活應用機械能守恒定律的三種表達形式(重點)。
2.會分析多個物體組成的系統的機械能守恒問題(重難點)。
3.掌握非質點類物體的機械能守恒問題的處理方法(重難點)。
一、多物體組成的系統機械能守恒問題
1．當動能、勢能僅在系統內相互轉化或轉移時，系統的機械能守恒。
一般選系統為研究對象來列機械能守恒方程。含彈簧的系統，要注意與彈簧接觸的物體往往機械能不守恒，而是含有彈簧和物體的整個系統機械能守恒。常見情景如圖所示：
2．機械能守恒定律表達式的選取技巧
(1)當研究對象為單個物體時，可優先考慮應用表達式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp來求解。
(2)當研究對象為兩個物體組成的系統時：
①若兩個物體的重力勢能都在減小(或增加)，動能都在增加(或減小)，可優先考慮應用表達式ΔEk＝－ΔEp來求解。
②若A物體的機械能增加，B物體的機械能減少，可優先考慮用表達式ΔEA＝－ΔEB來求解。
③從機械能的轉化角度來看，系統中某一類型機械能的減少量等于系統中其他類型機械能的增加量，可用E減＝E增來列式。
3．對于關聯物體的機械能守恒問題，應注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系、位移與高度變化量Δh的關系。
例1　如圖所示，一不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑的輕質定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質量為m，靜止于地面；b球質量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好被拉緊。從靜止開始釋放b球，則當b球剛落地時a球的速度為(不計空氣阻力，重力加速度為g)(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　a、b兩球組成的系統機械能守恒，設b球剛落地時的速度大小為v，則整個過程中系統動能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系統重力勢能的減少量Ep減＝3mgh－mgh＝2mgh，由機械能守恒定律得Ek增＝Ep減，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正確。
例2　如圖所示，質量都是m的物體A和B，通過不可伸長的輕繩跨過輕質定滑輪相連，光滑固定斜面，傾角為θ，不計繩子和滑輪之間的摩擦及空氣阻力。開始時A物體離地的高度為h，B物體位于斜面的底端且與B相連的繩與斜面平行，用手托住A物體，A、B兩物體均靜止，重力加速度為g，撤去手后，
(1)求A物體將要落地時的速度大小；
(2)A物體落地后，B物體由于慣性將繼續沿斜面上升，求B物體在斜面上上升的最遠點離地面的高度(B未與滑輪相撞)。
答案　(1)　(2)h(1＋sin θ)
解析　(1)兩物體組成的系統機械能守恒，得：
mgh－mghsin θ＝(m＋m)v2
解得：v＝
(2)當A物體落地后，B物體由于慣性將繼續上升，此時繩子松弛，對B物體而言，只有重力做功，故B物體的機械能守恒，設其上升的最遠點離地面的高度為H，根據機械能守恒定律得：
mv2＝mg(H－hsin θ)，
解得H＝h(1＋sin θ)。
例3　如圖所示，有一輕質桿可繞O點在豎直平面內自由轉動，在桿的另一端和中點各固定一個質量均為m的小球A、B，桿長為L，重力加速度為g。開始時，桿靜止在水平位置，則無初速度釋放后桿轉到豎直位置時，求A、B兩小球的速度大小。
答案　　
解析　把A、B兩小球和桿看成一個系統，對系統而言，只有重力做功，系統的機械能守恒。
以A球在最低點的位置為零勢能位置，則
初狀態：系統的動能為Ek1＝0，重力勢能為Ep1＝2mgL，
末狀態(即桿轉到豎直位置)：
系統的動能為Ek2＝mvA2＋mvB2，
重力勢能為Ep2＝mg，
由機械能守恒定律得2mgL＝mgL＋mvA2＋mvB2，
又因為在桿自由轉動過程中A、B兩球的角速度相同，則vA＝2vB，
聯立解得vA＝，vB＝。
二、非質點類物體的機械能守恒問題
1．在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。
2．物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。
例4　如圖所示，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕質小滑輪，不計滑輪大小，開始時下端A、B相平齊，當略有擾動時其A端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大？(重力加速度為g)
答案　
解析　方法一　取整個鐵鏈為研究對象：
設整個鐵鏈的質量為m，初始位置的重心在A點上方L處，末位置的重心在A點，則重力勢能的減少量為：ΔEp＝mg·L
由機械能守恒得：mv2＝mg·L，則v＝。
方法二　將鐵鏈看成兩段：
鐵鏈由初始狀態到剛離開滑輪時，等效于左側鐵鏈BB′部分移到AA′位置，如圖所示。
重力勢能減少量為ΔEp＝mg·
由機械能守恒得：mv2＝mg·
則v＝。
例5　如圖所示，粗細均勻、兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動，當兩液面高度相等時，右側液面下降的速度為(不計管壁對液體的阻力，重力加速度大小為g)(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　當兩液面高度相等時，相當于右側最上方長度的液體移到左側最上方，減少的重力勢能轉化為全部液體的動能，根據機械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得v＝，選項A正確。

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