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專題強化　功能關系及其應用
[學習目標]　
1.掌握常見的功能關系，理解功與能的關系(重點)。
2.能夠靈活選用功能關系分析問題(重難點)。
一、幾種典型的功能關系
如圖，質量為m的物塊在恒定外力F的作用下由靜止向上加速運動了h，此過程外力做功多少？物塊重力勢能變化了多少？物塊動能變化了多少？物塊機械能變化了多少？(空氣阻力不計，重力加速度為g)
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功能關系 表達式 物理意義 正功、負功含義
重力做功等于重力勢能________ WG＝________ 重力做功是重力勢能變化的原因 WG>0 重力勢能____
WG<0 重力勢能____
WG＝0 重力勢能____
彈簧彈力做功等于彈性勢能________ W彈＝________ 彈力做功是彈性勢能變化的原因 W彈>0 彈性勢能____
W彈<0 彈性勢能____
W彈＝0 彈性勢能____
合外力做功等于________變化 W合＝________ 合力做功是物體動能變化的原因 W合>0 動能____
W合<0 動能____
W合＝0 動能____
機械能的變化 W其他＝_______ 除重力或系統內彈力外其他力做功是機械能變化的原因 W其他>0 機械能____
W其他<0 機械能____
W其他＝0 機械能____
一對滑動摩擦力做功與內能增加量 Ffl相對＝Q(l相對指相對路程) 滑動摩擦力與________________的乘積等于產生的熱量
功和能一樣嗎？二者有何關系？
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例1　質量為m的物體在升降機中，隨升降機豎直向上以大小為g(g為重力加速度)的加速度做勻減速直線運動，上升高度為h，在此過程中，物體的機械能(　　)
A．增加mgh B．減少mgh
C．增加mgh D．減少mgh
例2　如圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的圓弧軌道，半徑OA水平、OB豎直，一個質量為m的小球(可視為質點)自A點的正上方P點由靜止開始自由下落，小球沿圓弧軌道到達最高點B時恰好對軌道沒有壓力，已知AP＝2R，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則小球從P到B的運動過程中(　　)
A．重力做功2mgR
B．機械能減少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
二、熱量的產生與摩擦力做功
如圖，質量為M、長為l0的木板靜止放置于光滑地面上，一質量為m的物塊以速度v0從左端沖上木板，物塊和木板間的滑動摩擦力大小為Ff。當物塊滑至木板最右端時，兩者恰好達到共同速度v，且此時木板位移為l。
(1)此過程中物塊的位移大小為多少？對物塊列出動能定理表達式。
(2)對木板列出動能定理的表達式。
(3)一對摩擦力對系統做的功為多少？(用Ff、l0表示)；系統動能變化量為多少？(用M、m、v0、v表示)；系統摩擦力做功的過程中產生的熱量是多少？(用M、m、v0、v表示)，產生的熱量與一對滑動摩擦力對系統做功的大小相等嗎？這說明什么？
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例3　如圖所示，質量為m0、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上。質量為m的小物塊(可視為質點)放在小車的最左端。現在一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開始做勻加速直線運動，物塊和小車之間的摩擦力大小為Ff。經過時間t，小車運動的位移為x，物塊剛好滑到小車的最右端(　　)
A．此時物塊的動能為F(x＋l)
B．這一過程中，物塊對小車所做的功為Ff(x＋l)
C．這一過程中，物塊和小車增加的機械能為Fx
D．這一過程中，物塊和小車產生的熱量為Ffl
例4　如圖，木塊靜止在光滑水平桌面上，一子彈(可視為質點)水平射入木塊的深度為d時，子彈與木塊相對靜止，在子彈入射的過程中，木塊沿水平桌面移動的距離為x，木塊對子彈的平均阻力大小為Ff，那么在這個過程中，下列說法不正確的是(　　)
A．木塊的動能增量為Ffx
B．子彈的動能減少量為Ff(x＋d)
C．系統的機械能減少量為Ffd
D．系統產生的熱量為Ff(x＋d)
專題強化　功能關系及其應用
[學習目標]　
1.掌握常見的功能關系，理解功與能的關系(重點)。
2.能夠靈活選用功能關系分析問題(重難點)。
一、幾種典型的功能關系
如圖，質量為m的物塊在恒定外力F的作用下由靜止向上加速運動了h，此過程外力做功多少？物塊重力勢能變化了多少？物塊動能變化了多少？物塊機械能變化了多少？(空氣阻力不計，重力加速度為g)
答案　由功的定義，知此過程外力做功Fh
物塊重力勢能增加了mgh
對物塊在此過程，由動能定理有Fh－mgh＝mv2－0
則ΔEk＝(F－mg)h
物塊機械能變化量ΔE＝mv2＋mgh
故ΔE＝Fh。
功能關系 表達式 物理意義 正功、負功含義
重力做功等于重力勢能減少量 WG＝－ΔEp 重力做功是重力勢能變化的原因 WG>0 重力勢能減少
WG<0 重力勢能增加
WG＝0 重力勢能不變
彈簧彈力做功等于彈性勢能減少量 W彈＝－ΔEp 彈力做功是彈性勢能變化的原因 W彈>0 彈性勢能減少
W彈<0 彈性勢能增加
W彈＝0 彈性勢能不變
合外力做功等于動能變化 W合＝ΔEk 合力做功是物體動能變化的原因 W合>0 動能增加
W合<0 動能減少
W合＝0 動能不變
機械能的變化 W其他＝ΔE機 除重力或系統內彈力外其他力做功是機械能變化的原因 W其他>0 機械能增加
W其他<0 機械能減少
W其他＝0 機械能守恒
一對滑動摩擦力做功與內能增加量 Ffl相對＝Q(l相對指相對路程) 滑動摩擦力與相對路程的乘積等于產生的熱量
功和能一樣嗎？二者有何關系？
答案　不一樣。二者的關系：
①功是能量轉化的量度。
②力的做功過程就是能量轉化的過程；不同的力做功，對應不同形式的能的轉化。
③做功的多少與能量轉化的多少在數值上相等。
例1　質量為m的物體在升降機中，隨升降機豎直向上以大小為g(g為重力加速度)的加速度做勻減速直線運動，上升高度為h，在此過程中，物體的機械能(　　)
A．增加mgh B．減少mgh
C．增加mgh D．減少mgh
答案　C
解析　物體減速上升，加速度方向向下，由牛頓第二定律可得mg－F＝ma，解得F＝mg，除重力外的其他力所做的功等于機械能的變化量，力F做正功，機械能增加，增加量為ΔE＝Fh＝mgh，故選C。
例2　如圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的圓弧軌道，半徑OA水平、OB豎直，一個質量為m的小球(可視為質點)自A點的正上方P點由靜止開始自由下落，小球沿圓弧軌道到達最高點B時恰好對軌道沒有壓力，已知AP＝2R，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則小球從P到B的運動過程中(　　)
A．重力做功2mgR
B．機械能減少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
答案　B
解析　P、B高度差為R，重力做功為mgR，A錯誤；到達最高點B時恰好對軌道沒有壓力，則mg＝m，得vB＝，所以合外力做功W＝mvB2＝mgR，C錯誤；以OA所在平面為參考平面，初始機械能為E1＝2mgR，末狀態機械能為E2＝mgR＋mvB2，機械能增量為ΔE＝E2－E1＝－mgR，則W克f＝mgR，B正確，D錯誤。
二、熱量的產生與摩擦力做功
如圖，質量為M、長為l0的木板靜止放置于光滑地面上，一質量為m的物塊以速度v0從左端沖上木板，物塊和木板間的滑動摩擦力大小為Ff。當物塊滑至木板最右端時，兩者恰好達到共同速度v，且此時木板位移為l。
(1)此過程中物塊的位移大小為多少？對物塊列出動能定理表達式。
(2)對木板列出動能定理的表達式。
(3)一對摩擦力對系統做的功為多少？(用Ff、l0表示)；系統動能變化量為多少？(用M、m、v0、v表示)；系統摩擦力做功的過程中產生的熱量是多少？(用M、m、v0、v表示)，產生的熱量與一對滑動摩擦力對系統做功的大小相等嗎？這說明什么？
答案　(1)物塊位移大小x＝l＋l0，由動能定理
－Ff(l＋l0)＝mv2－mv02①
(2)Ffl＝Mv2②
(3)由①②式相加
－Ff(l＋l0)＋Ffl＝mv2＋Mv2－mv02③
即－Ffl0＝mv2＋Mv2－mv02④
一對摩擦力對系統做功為－Ffl0
系統動能變化量為mv2＋Mv2－mv02
系統摩擦力做功過程中產生的熱量
Q＝mv02－(mv2＋Mv2)
由④式知，摩擦力做功產生的熱量與一對滑動摩擦力對系統做功的大小相等，故有Ffl相對＝Q(l相對指相對路程)。
例3　如圖所示，質量為m0、長度為l的小車靜止在光滑的水平面上。質量為m的小物塊(可視為質點)放在小車的最左端。現在一水平恒力F作用在小物塊上，使物塊從靜止開始做勻加速直線運動，物塊和小車之間的摩擦力大小為Ff。經過時間t，小車運動的位移為x，物塊剛好滑到小車的最右端(　　)
A．此時物塊的動能為F(x＋l)
B．這一過程中，物塊對小車所做的功為Ff(x＋l)
C．這一過程中，物塊和小車增加的機械能為Fx
D．這一過程中，物塊和小車產生的熱量為Ffl
答案　D
解析　對物塊分析，物塊的位移為x＋l，根據動能定理得(F－Ff)(x＋l)＝Ek－0，所以物塊到達小車最右端時的動能為(F－Ff)(x＋l)，故A錯誤；對小車分析，小車的位移為x，所以物塊對小車所做的功為Ffx，故B錯誤；物塊和小車產生的熱量Q＝Ffs相對＝Ffl，故D正確；根據功能關系得，外力F做的功轉化為小車和物塊的機械能和摩擦產生的內能，則有F(l＋x)＝ΔE＋Q，則ΔE＝F(l＋x)－Ffl，故C錯誤。
例4　如圖，木塊靜止在光滑水平桌面上，一子彈(可視為質點)水平射入木塊的深度為d時，子彈與木塊相對靜止，在子彈入射的過程中，木塊沿水平桌面移動的距離為x，木塊對子彈的平均阻力大小為Ff，那么在這個過程中，下列說法不正確的是(　　)
A．木塊的動能增量為Ffx
B．子彈的動能減少量為Ff(x＋d)
C．系統的機械能減少量為Ffd
D．系統產生的熱量為Ff(x＋d)
答案　D
解析　子彈對木塊的作用力大小為Ff，木塊相對于桌面的位移為x，則子彈對木塊做功為Ffx，根據功能關系，木塊動能的增量等于子彈對木塊做的功，即為Ffx，故A正確；木塊對子彈的阻力做功為 W＝－Ff(x＋d)，根據功能關系得知：子彈動能的減少量等于子彈克服阻力做的功，大小為Ff(x＋d)，故B正確；子彈相對于木塊的位移大小為d，則系統克服阻力做功為Ffd，根據功能關系可知，系統機械能的減少量為Ffd，產生的熱量為Ffd，故C正確，D錯誤。

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