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專題強化　摩擦力做功問題　變力做功的計算
[學習目標]　
1.理解摩擦力做功的特點，會分析一對相互作用的摩擦力的做功情況(難點)。
2.掌握一般的變力做功的求解方法(重難點)。
一、摩擦力做功
如圖所示，在光滑的水平面上，物體A放在長為l的木板B的右端，現用水平力F向右拉木板。
(1)若物體A相對木板B滑動，當B前進x時，物體A從木板B左端滑下。已知A、B間的滑動摩擦力為Ff，求摩擦力分別對A、B做了多少功？這一對滑動摩擦力做功的總和為多少？
(2)若物體A相對木板B沒有滑動，已知當B前進x時，物體A受到的靜摩擦力為Ff′，求靜摩擦力分別對A、B做了多少功？這一對靜摩擦力做功的總和為多少？
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1．不論是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，都可以是動力也可以是阻力，也可能與位移方向垂直，所以不論是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，既可能對物體做正功，也可能對物體做負功，還可能不對物體做功。
2．一對相互作用的靜摩擦力等大反向且物體之間相對靜止，即兩個物體的對地位移相同，由W＝Flcos α可判斷兩個相互作用的靜摩擦力做功的總和為零。
3．一對相互作用的滑動摩擦力等大反向但物體之間相對滑動，即兩個物體的對地位移不相同，由W＝Flcos α可判斷兩個相互作用的滑動摩擦力做功的總和不為零，且兩力做功的總和一定為負值。
例1　如圖所示，一子彈以水平速度射入放置在光滑水平面上原來靜止的木塊，并留在木塊中，在此過程中子彈鉆入木塊的深度為d，木塊的位移為l，木塊與子彈間的摩擦力大小為F，則(　　)
A．F對木塊做功為－Fl
B．F對木塊做功為F(l＋d)
C．F對子彈做功為－Fd
D．F對子彈做功為－F(l＋d)
例2　如圖所示，同一物體分別沿斜面AO、BO、CO自斜面頂點由靜止開始下滑，該物體與各斜面間的動摩擦因數均相同，在滑行過程中克服摩擦力做功分別為WA、WB和WC，則(　　)
A．WA>WB>WC B．WA＝WB>WC
C．WA>WB＝WC D．WA＝WB＝WC
二、求變力做功的方法
1．將變力做功轉化為恒力做功
(1)平均值法
當力的方向不變，大小隨位移按線性規律變化時，可先求出力在這段位移內的平均值＝，再由W＝lcos α計算功，如彈簧彈力做的功。
(2)微元法
功的公式只能計算恒力做功，若一個力的大小不變，只改變方向時，可將運動過程分成很多小段，每一小段內F可看成恒力，求出每一小段內力F做的功，然后累加起來得到整個過程中變力所做的功。
例如物體在水平面上做曲線運動，所受摩擦力大小為μmg，路程為s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
…
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝－μmgs
(3)轉換研究對象法
如圖所示，人站在水平地面上以恒力拉繩，繩對小車的拉力是個變力(大小不變，方向改變)，但人拉繩的力是恒力，于是轉換研究對象，用人對繩子所做的功來求繩子對小車所做的功。
2．用圖像法求功
若已知F－x圖像和P－t圖像，則圖像中圖線與x軸或t軸所圍的面積表示功。如圖甲所示，在位移x0內力F做的功W＝x0。在圖乙中，0～t0時間內做功W＝·t0。
3．用W＝Pt求功
當牽引力為變力，且發動機的功率一定時，由功率的定義式P＝，可得W＝Pt。
例3　如圖所示，在西部的偏遠山區，人們至今還通過“驢拉磨”的方式把小麥顆粒加工成粗面來食用。假設驢拉磨的平均拉力大小F＝300 N，驢做圓周運動的等效半徑r＝1.5 m，則驢拉磨轉動一周所做的功約為(　　)
A．0 B．300 J
C．1 400 J D．2 800 J
當力的大小不變，而方向始終與運動方向相同或相反時，力F做的功與路程有關，W＝Fs或W＝－Fs，其中s為物體通過的路程。
例4　質量為m、初速度為零的物體，在按不同規律變化的合外力作用下都通過位移x0。下列各種情況中合外力做功最多的是(　　)
例5　力F對物體所做的功可由公式W＝F·lcos α求得。但用這個公式求功是有條件的，即力F必須是恒力。而實際問題中，有很多情況是變力在對物體做功。那么，用這個公式不能直接求變力的功，我們就需要通過其他的一些方法來求解力F所做的功。如圖，對于甲、乙、丙、丁四種情況下求解某個力所做的功，下列說法正確的是(　　)
A．甲圖中，若F大小不變，物塊從A到C過程中力F做的功為W＝F(OA－OC)
B．乙圖中，全過程F做的總功為108 J
C．丙圖中，繩長為R，若空氣阻力F阻大小不變，小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功W＝πRF阻
D．丁圖中，F始終保持水平，無論是F緩慢將小球從P拉到Q，還是F為恒力將小球從P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
專題強化　摩擦力做功問題　變力做功的計算
[學習目標]　
1.理解摩擦力做功的特點，會分析一對相互作用的摩擦力的做功情況(難點)。
2.掌握一般的變力做功的求解方法(重難點)。
一、摩擦力做功
如圖所示，在光滑的水平面上，物體A放在長為l的木板B的右端，現用水平力F向右拉木板。
(1)若物體A相對木板B滑動，當B前進x時，物體A從木板B左端滑下。已知A、B間的滑動摩擦力為Ff，求摩擦力分別對A、B做了多少功？這一對滑動摩擦力做功的總和為多少？
(2)若物體A相對木板B沒有滑動，已知當B前進x時，物體A受到的靜摩擦力為Ff′，求靜摩擦力分別對A、B做了多少功？這一對靜摩擦力做功的總和為多少？
答案　(1)滑動摩擦力對A做的功為Ff(x－l)，對B做的功為－Ffx，這一對滑動摩擦力做功的總和為－Ffl。
(2)靜摩擦力對A做的功為Ff′x，對B做的功為－Ff′x，這一對靜摩擦力做功的總和為0。
1．不論是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，都可以是動力也可以是阻力，也可能與位移方向垂直，所以不論是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，既可能對物體做正功，也可能對物體做負功，還可能不對物體做功。
2．一對相互作用的靜摩擦力等大反向且物體之間相對靜止，即兩個物體的對地位移相同，由W＝Flcos α可判斷兩個相互作用的靜摩擦力做功的總和為零。
3．一對相互作用的滑動摩擦力等大反向但物體之間相對滑動，即兩個物體的對地位移不相同，由W＝Flcos α可判斷兩個相互作用的滑動摩擦力做功的總和不為零，且兩力做功的總和一定為負值。
例1　如圖所示，一子彈以水平速度射入放置在光滑水平面上原來靜止的木塊，并留在木塊中，在此過程中子彈鉆入木塊的深度為d，木塊的位移為l，木塊與子彈間的摩擦力大小為F，則(　　)
A．F對木塊做功為－Fl
B．F對木塊做功為F(l＋d)
C．F對子彈做功為－Fd
D．F對子彈做功為－F(l＋d)
答案　D
解析　木塊的位移為l，由W＝Flcos α得F對木塊做功為Fl，子彈的位移為l＋d，木塊對子彈的摩擦力的方向與子彈的位移方向相反，故木塊對子彈的摩擦力做負功，W＝－F(l＋d)，故D正確。
例2　如圖所示，同一物體分別沿斜面AO、BO、CO自斜面頂點由靜止開始下滑，該物體與各斜面間的動摩擦因數均相同，在滑行過程中克服摩擦力做功分別為WA、WB和WC，則(　　)
A．WA>WB>WC
B．WA＝WB>WC
C．WA>WB＝WC
D．WA＝WB＝WC
答案　D
解析　設斜面的傾角為θ，O、D間的水平距離為x，則物體下滑過程中克服摩擦力做功為W＝＝μmgx，與斜面的傾角大小無關，所以有WA＝WB＝WC，D正確。
二、求變力做功的方法
1．將變力做功轉化為恒力做功
(1)平均值法
當力的方向不變，大小隨位移按線性規律變化時，可先求出力在這段位移內的平均值＝，再由W＝lcos α計算功，如彈簧彈力做的功。
(2)微元法
功的公式只能計算恒力做功，若一個力的大小不變，只改變方向時，可將運動過程分成很多小段，每一小段內F可看成恒力，求出每一小段內力F做的功，然后累加起來得到整個過程中變力所做的功。
例如物體在水平面上做曲線運動，所受摩擦力大小為μmg，路程為s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
…
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝－μmgs
(3)轉換研究對象法
如圖所示，人站在水平地面上以恒力拉繩，繩對小車的拉力是個變力(大小不變，方向改變)，但人拉繩的力是恒力，于是轉換研究對象，用人對繩子所做的功來求繩子對小車所做的功。
2．用圖像法求功
若已知F－x圖像和P－t圖像，則圖像中圖線與x軸或t軸所圍的面積表示功。如圖甲所示，在位移x0內力F做的功W＝x0。在圖乙中，0～t0時間內做功W＝·t0。
3．用W＝Pt求功
當牽引力為變力，且發動機的功率一定時，由功率的定義式P＝，可得W＝Pt。
例3　如圖所示，在西部的偏遠山區，人們至今還通過“驢拉磨”的方式把小麥顆粒加工成粗面來食用。假設驢拉磨的平均拉力大小F＝300 N，驢做圓周運動的等效半徑r＝1.5 m，則驢拉磨轉動一周所做的功約為(　　)
A．0 B．300 J
C．1 400 J D．2 800 J
答案　D
解析　利用微元法，將全過程分為很多段累加得驢拉磨轉動一周所做的功W＝Fl＝2πrF＝
2 826 J。故選D。
當力的大小不變，而方向始終與運動方向相同或相反時，力F做的功與路程有關，W＝Fs或W＝－Fs，其中s為物體通過的路程。
例4　質量為m、初速度為零的物體，在按不同規律變化的合外力作用下都通過位移x0。下列各種情況中合外力做功最多的是(　　)
答案　C
解析　F－x圖像與x軸圍成的面積表示做功多少，故C做功最多，C正確。
例5　力F對物體所做的功可由公式W＝F·lcos α求得。但用這個公式求功是有條件的，即力F必須是恒力。而實際問題中，有很多情況是變力在對物體做功。那么，用這個公式不能直接求變力的功，我們就需要通過其他的一些方法來求解力F所做的功。如圖，對于甲、乙、丙、丁四種情況下求解某個力所做的功，下列說法正確的是(　　)
A．甲圖中，若F大小不變，物塊從A到C過程中力F做的功為W＝F(OA－OC)
B．乙圖中，全過程F做的總功為108 J
C．丙圖中，繩長為R，若空氣阻力F阻大小不變，小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功W＝πRF阻
D．丁圖中，F始終保持水平，無論是F緩慢將小球從P拉到Q，還是F為恒力將小球從P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
答案　A
解析　甲圖中，因沿著同一根繩做功的功率相等，則力對繩做的功等于繩對物塊做的功，則物塊從A到C過程中力F做的功為W＝F(OA－OC)，故A正確；乙圖中，因為F－x圖像與x軸圍成的面積表示功，則全過程F做的總功為W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B錯誤；丙圖中，繩長為R，若空氣阻力F阻大小不變，可用微元法得小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功為W＝－F阻·＝－πRF阻，故C錯誤；丁圖中，F始終保持水平，當F為恒力時將小球從P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F緩慢將小球從P拉到Q，F為水平方向的變力，F做的功不能用力乘位移計算，故D錯誤。

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