資源簡介

1.4 角平分線 第2課時
素養目標
1.知道三角形三個內角平分線的性質.
2.會應用角平分線定理解決問題.
◎重點:角平分線定理的應用.
預習導學
知識點一 三角形三個內角平分線的性質
閱讀課本本課時“例2”中的內容,思考下列問題.
1.(1)為證明三條角平分線相交于一點,例2證法的思路是什么
(2)“設∠ABC和∠BAC的角平分線相交于點P,證∠BCA的角平分線經過點P.”以上思路證明“三角形的三條角平分線相交于一點”可行嗎
2.已知△ABC中,BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,且交于點P,若P到邊AB的距離為3 cm,△ABC的周長為18 cm,則△ABC的面積為　 　cm2.
歸納總結　三角形的三條角平分線交于一點,若設這一點到其中一邊的距離為m,三邊長分別為a、b、c,則三角形的面積S=　 　.若三角形的周長為C,則三角形的面積S=　 　.
【答案】1.(1)先作出兩條角平分線的交點,再證明這個交點在第三條角平分線上.
(2)可行.
2.27
歸納總結　m(a+b+c)　mC
知識點二 角平分線定理的應用
閱讀課本本課時“例3”中的內容,思考下列問題.
1.(1)在例3中(1)問解法的啟發下,你能求出AB的長嗎
(2)根據AB的長,在證明AB=AC+CD時,你能想到其他的方法嗎 并說明理由.
2.如圖,若將上題中條件“Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改為“△ABC中,∠C=2∠B”請問上題中的結論是否仍然成立 證明你的猜想.
歸納總結　證明一條較長的線段和兩條較短線段相等時,常利用　 　的性質或　 　的方法,將兩條較短線段轉化到較長的線段上.
【答案】1.(1)能,在Rt△ABC中,AC=(4+4)cm,由勾股定理有AB===×(4+4)=(8+4)cm.
(2)能,因為AC=(4+4)cm,CD=4 cm,
AB=(8+4)cm,∴AB=AC+CD.
2.解:結論仍然成立.
理由如下:∵AD是∠CAB的角平分線,
∴將△CAD沿AD折疊,使點C落在AB邊上的C'處,
∴△ACD≌△AC'D,
∴AC=AC',CD=C'D,∠C=∠1=2∠B.
又∵∠1=∠2+∠B,∴∠2=∠B,
∴C'D=C'B,∴AB=AC'+BC'=AC+CD,
即AB=AC+CD.
歸納總結　角平分線　折疊
合作探究
任務驅動一 如圖,已知∠AOB,點M、N.求作一點P,使得它到∠AOB兩邊的距離相等,且到M、N兩點的距離也相等.則點P為　 　.
方法歸納交流　三角形的內角平分線的交點有一個,外角平分線的交點有三個,它們到三條線段的距離都相等.
【答案】∠AOB的平分線和MN的垂直平分線的交點
任務驅動二 如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線BD與∠ACB的外角平分線CE交于點P.求證:點P到三邊AB、BC、CA所在的直線的距離相等.
【答案】證明:如圖,過點P作三邊AB、BC、CA所在直線的垂線,垂足分別是Q、M、N.垂線段PQ、PM、PN,即點P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離.
∵P是∠ABC的平分線BD上的一點,∴PM=PQ.
∵P是∠ACM的平分線CE上的一點,∴PM=PN.
∴PQ=PM=PN.∴點P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等.
任務驅動三 如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60.其三條角平分線交于點O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　 　.
【答案】4∶5∶6
任務驅動四 先閱讀下面的材料,然后解答問題:
已知:如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角平分線,交BC邊于點D.
求證:AC=AB+BD.
證明:如圖1,在AC上截取AE=AB,連接DE,則由已知條件易知,△ADB≌△ADE(SAS),
∴∠AED=∠B=90°,DE=DB.
又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC.∴AC=AE+EC=AB+BD.
解決問題:現將原題中的“AD是內角平分線,交BC邊于點D”換成“AD是外角平分線,交BC邊的延長線于點D,如圖2”,其他條件不變,請你猜想線段AC、AB、BD之間的數量關系,并證明你的猜想.
方法歸納交流　這種證明一條線段等于另外兩條線段之和的方法稱為“截長法”.即　 　.
【答案】解:猜想BD=AB+AC.
如圖,在CA的延長線上截取AE=AB,連接DE.
則由已知條件易知:△ADB≌△ADE(SAS).∴∠AED=∠ABD=90°,DB=DE,
又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形.∴DE=EC.
∴BD=DE=AE+AC=AB+AC.
方法歸納交流
在較長的線段上截取一個較短的線段的長,再證明余下的線段和另一較短的線段相等

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