資源簡介

1.1 等腰三角形 第4課時
素養目標
1.會判定一個三角形是等邊三角形.
2.知道含30°角的直角三角形的性質,并能利用其解決簡單的問題.
3.經歷探究含30°角的直角三角形性質的過程,逐步養成合情推理的習慣.
◎重點:含30°角的直角三角形性質定理的探究與證明.
預習導學
知識點一 等邊三角形的判定
閱讀課本“一個三角形滿足……”至本頁末的內容,并完成下面的問題.
1.一個三角形滿足什么條件為等邊三角形 請證明.
2.一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形 請你證明自己的結論.
歸納總結　　 　或　 　相等的三角形是等邊三角形;有一個角是　 　度或　 　相等的等腰三角形是等邊三角形.
【答案】1.(1)三邊相等;
(2)三個角相等.(證明略)
2.(1)條件1:腰和底相等.條件2:有一個角等于60°.
(2)證明思路:等腰三角形有一個角是60°,則其他兩個角都是60°.根據等角對等邊,可以得到三條邊都相等,所以這個等腰三角形是等邊三角形.
歸納總結　三條邊　三個角　60　腰和底
知識點二 含30 °角的直角三角形的性質 　
閱讀課本本節“做一做”至“隨堂練習”上面的內容,解決下列問題.
1.完成課本“做一做”中的問題.
2.在你所拼得的等邊三角形中,有哪些線段存在相等關系
3.30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系 你能證明嗎
(1)在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的　 　等于　 　.
(2)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求證:BC=AB.
歸納總結　在直角三角形中,如果一個銳角等于30度,那么它所對的　 　等于斜邊的　 　.
【答案】1.如圖,可以拼成一個等邊三角形.
理由:∵△ABC≌△ADC,
∴AB=AD.
又∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴∠ABD=60°,
∴△ABD是等邊三角形.(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)
2.AB=AD=BD,BC=CD.
3.(1)直角邊　斜邊的一半
(2)證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠B=60°.
延長BC至D,使CD=BC,連接AD(如圖所示).
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.
∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等),∠BAD=60°,
∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形),
∴BC=BD=AB.
歸納總結　直角邊　一半
合作探究
任務驅動一 如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是邊BC上的動點,則AP的長不可能是 ( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
【答案】D
任務驅動二 如圖,在△ABC中,AB=AC,DA⊥AB,∠BAC=120°,BD=4,求DC.
【變式訓練】如圖,D是等邊△ABC的邊BC的中點,DE⊥AC.若AB=4,則CE=　 　.
歸納總結　注意“30°的角所對直角邊等于　 　”在直角三角形中的應用.
【答案】解:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵DA⊥AB,BD=4,∴AD=2.
∵∠DAC=120°-90°=30°,
∴∠DAC=∠C,∴CD=AD=2.
【變式訓練】
1
歸納總結　斜邊的一半
任務驅動三 如圖,在等邊三角形ABC中,D,E,F分別是BC,AC,AB上的點,
DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,求證:△DEF是等邊三角形.
【答案】證明:在等邊三角形ABC中,∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴∠AEF=∠BFD=∠CDE=30°,
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°,
∴△DEF是等邊三角形.
任務驅動四 如圖,O是線段AD的中點,分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連接AC和BD,與OB、OC分別相交于點E、F.求證:(1)DB=AC;(2)△OEF是等邊三角形.
【答案】證明:(1)證法不唯一.∵△DOC和△ABO都是等邊三角形,且O是線段AD的中點,
∴OD=OC=OB=OA,∠COD=∠AOB=60°,
∴∠DOB=∠AOC,∴△DOB≌△COA,∴DB=AC.
(2)由(1)知△DOB≌△COA,∴∠OAC=∠OBD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,∴∠OAC=∠ODB.
又∵∠BOA=∠DOC=60°,OA=OD,
∴△AOE≌△DOF,∴OE=OF.
又∵∠EOF=180°-60°-60°=60°,
∴△OEF是等邊三角形.

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