資源簡介

1.3 線段的垂直平分線 第1課時
素養目標
1.會證明線段的垂直平分線的性質定理.
2.會判定一條直線是已知線段的垂直平分線.
◎重點:會證明線段的垂直平分線性質定理.
預習導學
知識點一 線段的垂直平分線的性質定理
閱讀課本本課時“想一想”之前的內容,思考下列問題.
1.當一條直線MN滿足哪些條件時,它就是線段AB的垂直平分線
2.若P是直線MN上任意一點,則PA與PB有什么關系呢 △PAB是什么三角形
3.除了課本上所給的證明方法外,你還能想出其他的證明PA與PB關系的方法嗎
歸納總結　 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離　 　.
【答案】1.直線MN垂直于線段AB,并且平分線段AB.
2.PA=PB,△PAB是等腰三角形.
3.能,如圖,在Rt△PAC中,由勾股定理有PA=,同理
PB=.∵AC=BC,∴PA=PB.
歸納總結　相等
知識點二 線段的垂直平分線的性質定理的逆定理
閱讀課本本課時“想一想”至“隨堂練習”之間的內容,思考下列問題.
1.線段的垂直平分線的性質定理的條件是什么 結論呢
2.你能寫出它的逆命題嗎
3.請你完善下列解題過程.
已知:如圖,線段AB,P為平面內一點,且PA=PB.
求證:點P在線段AB的垂直平分線上.
歸納總結　 到一條線段兩端點距離相等的點,在這條線段的　 　上.
【答案】1.條件:線段垂直平分線上一點.
結論:這一點到這條線段兩個端點的距離相等.
2.逆命題:到一條線段兩端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.
3.證明:方法一:取AB的中點C,連接PC,
∵AC=BC,PA=PB,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SSS),
∴∠PCA=∠PCB=90°.
即PC垂直AB并且通過線段AB的中點C,所以點P在線段AB的垂直平分線上.
方法二:過點P作已知線段AB的垂線PC.
∵PA=PB,PC=PC.
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL),
∴AC=BC.
即點P在線段AB的垂直平分線上.
歸納總結　 垂直平分線
合作探究
任務驅動一 閱讀課本“例1”的內容,請你用其他方法進行證明.
方法歸納交流　證明某一條直線是另一條線段的垂直平分線有哪兩種方法
【答案】
證明:記AO與BC的交點為D.
∵AB=AC,OB=OC,AO=AO,
∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠AOB=∠AOC,
∴∠BOD=∠COD.
又∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD,
∴△OBD≌△OCD(AAS),
∴BD=CD,∠ODB=∠ODC=90°,
即直線AO垂直平分線段BC.
方法歸納交流
第一種:根據線段垂直平分線的定義,也就是經過線段的中點,并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.使用這種方法必須滿足兩個條件:一是垂直,二是平分.
第二種:可以證明有兩個點都在線段的垂直平分線上,根據兩點確定一條直線,就可以判斷這兩點所在的直線就是這條線段的垂直平分線.
任務驅動二 在△ABC中,AB=AC,BC=10,AB的垂直平分線與AC的垂直平分線分別交BC于點D、E且DE=4,則AD+AE的值為( )
A.6　　　　　　　　　B.10
C.6或14 D.6或10
【變式訓練】如圖,在△ABC中,DE是BC的垂直平分線,BE=3 cm,△ACD的周長是13 cm,求△ABC的周長.
方法歸納交流　如何求幾條線段長度的和
【答案】C
【變式訓練】
解:∵DE是BC的垂直平分線,
∴BC=2BE=6 cm,BD=CD.
∵AD+DC+AC=13 cm,∴AD+BD+AC=13 cm,
∴AB+AC+BC=13+6=19 cm.
方法歸納交流
利用線段的垂直平分線的性質轉化為已知長度的線段再求解.
任務驅動三 在平面直角坐標系中,已知A(-1,3),B(-1,-1).下列四個點中,在線段AB垂直平分線上的點是( )
A.(0,2) B.(-3,1)
C.(1,2) D.(1,0)
方法歸納交流　通過觀察可知AB平行于　 　軸,則AB的垂直平分線平行于　 　軸,只要計算出AB的　 　的縱坐標,判斷答案中縱坐標是否與中點的縱坐標一致即可.
【答案】B
方法歸納交流
y　x　中點
任務驅動四 如圖,P是∠AOB的平分線OM上任意一點,PE⊥OA于點E,PF⊥OB于點F,連接EF.求證:OP垂直平分EF.
方法歸納交流　證明直線是線段的垂直平分線時,可以證明直線上的兩點到線段兩個端點的距離　 　,則這兩點確定的直線就是線段的　 　.
【答案】證明:∵PE⊥OA于點E,PF⊥OB于點F,
∴∠PEO=90°=∠PFO.
在△PEO和△PFO中,
∴△PEO≌△PFO(AAS),
∴PE=PF,EO=FO,
∴O、P在EF的垂直平分線上,∴OP垂直平分EF.
方法歸納交流
相等　垂直平分線

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