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判別式與韋達定理
根的判別式和韋達定理是實系數一元二次方程的重要基礎知識，利用它們可進一步研究根的性質，也可以將一些表面上看不是一元二次方程的問題轉化為一元二次方程來討論.
1．判別式的應用
例1?已知實數a、b、c、R、P滿足條件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.
求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實根.
證明:?△=（2b）2-4ac.①
若一元二次方程有實根，
必須證△≥0.由已知條件有2b=-（Pc+Ra），
代入①，得
△=（Pc+Ra）2-4ac
=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac
=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.
∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，
（1）當ac≥0時，有△≥0；
（2）當ac＜0時，有△=（2b）2-4ac＞0.
（1）、（2）證明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有實數根.
例2 k是實數，O是數軸的原點，A是數軸上的點，它的坐標是正數a.P是數軸上另一點,坐標是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.
（1）k為何值時，x有兩個解x1，x2（設x1＜x2）；
（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按從小到大的順序排列，并用不等號“＜”連接.
解?（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即
x2+kax-ka2=0，當判別式△＞0時有兩解，這時
△=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.
∵a＞0， ∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.
（2）x1＜0＜x2＜a.
例3 證明不可能分解為兩個一次因式之積.
分析? 若視原式為關于x的二次三項式，則可利用判別式求解.
證明:?
將此式看作關于x的二次三項式，則判別式
△=
顯然△不是一個完全平方式，故原式不能分解為兩個一次因式之積.
已知x，y，z是實數，且x+y+z=a……①
x2+y2+z2=a……②
求證：0≤x≤, 0≤y≤?, 0≤z≤.
分析:? 將①代入②可消去一個字母，如消去z，然后整理成關于y的二次方程討論.
證明:? 由①得z=a-x-y，代入②整理得
此式可看作關于y的實系數一元二次方程，據已知此方程有實根，故有
△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0
≥0≤x≤
同理可證：0≤y≤，0≤z≤.
例5 設a1，a2，a3，b是滿足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b的實數.
求證：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.
證明: 由已知可得
≤0.
設
則
∵a3是實數，? 故△≥0，即有
（a1+a2）2≥（）-2a1a2+4b+r
≥2（）-（a1+a2）2+4b.
于是（a1+a2）2≥（）+2b，∴a1a2≥b.
同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得
a1a2+a2a3+a3a1≥3b.
例6 設a、b、c為實數，方程組與均無實數根.
求證:對于一切實數x都有.
證明:? 由已知條件可以推出a≠0，因為若a=0，則方程組,至少有一個有實數解.
進一步可知，方程ax2+bx+c=±x無實根，因此判別式△=(b1)2-4ac＜0，
于是? （b-1）2+（b+1）-8ac＜0.
即? 4ac-b2＞1.
∴＞.
2．韋達定理的應用
假設x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.證明這時x13、x23是方程
的根.
證明：? 由已知條件得
∴
=a3+d3+3abc+3bcd，
由韋達定理逆定理可知，、是方程
的根.
例8 已知兩個系數都是正數的方程
a1x2+b1x+c1=0…… ①
a2x2+b2x+c2=0……②
都有兩個實數根，求證：
（1）這兩個實數根都是負值；
（2） 方程?a1a2x2+b1b2x+c1c2=0…… ③也有兩個負根.
證明：? ∵方程①有兩個實數根，∴＞0.? ④
同理＞0.???? ????????????⑤
又a1、b1、c1都是正數，∴＞0，＜0.
由此可知方程①的兩根是負值.同樣可證方程②的兩根也是負值.
顯然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，???? ⑥
由＞0，得＞???????????? ⑦
∴△
=
≥
=＞0，
∴方程③也有兩個實數根.
又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，
∴＞0，? ＜0.
由此可知方程③的兩個根也是負值.
例9 對自然數n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根為αn和βn.求下式的值：
+
解：? 由韋達定理得
=
而? =（n≥3），
∴原式=+
=
例10 首項不相等的兩個二次方程
（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0??? ①
及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0? ②
（其中a，b為正整數）有一公共根，求的值.
解：? 由題得知，a，b為大于1的整數，且a≠b.設x0是方程①②的公共根，則x0≠1，否則將x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并經變形得
???? ③
及??? ④
所以a，b是關于t的方程
相異的兩根，因此
于是?? ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.
由?? 或， 解得?? 或
∴
例11? 設實數a，b，c滿足
????
求證:1≤a≤9.
證明：? 由（1）得bc=a2-8a+7.
（1）-（2）得? b+c=
所以實數b，c可看成一元二次方程
的兩根，則有△≥0，即
≥0，
即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.
例12 求證：對任一矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形A 和矩形B的周長和面積比都等于常數k（k≥1）.
分析? 設矩形A及B的長度分別是a，b及x，y，為證明滿足條件的矩形B存在，只須證明方程組
? （k，a，b為已知數）有正整數解即可.
再由韋達定理，其解x，y可以看作是二次方程
z2-k（a+b）z+kab=0的兩根.
∵k≥1，故判別式
△?=k2（a+b）2-4kab≥k2（a+b）2-4k2ab=k2（a-b）2≥0，
∴上述二次方程有兩實根z1，z2.
又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，
從而，z1＞0，z2＞0，即方程組恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B總是存在的.
練習
1．填空題
（1） 設方程x-=1987的兩根為m，n（m＞n），則代數式的值是_______;
（2）若r和s是方程x2-px+q=0的兩非零根,則以r2+和s2+為根的方程是______________________;
（3）已知方程x2-8x+15=0的兩根可以寫成a2+b2與a-b,其中a與b是方程x2+px+q=0的兩根,那么|p|-q=__________.
2.選擇題
(1)若p,q都是自然數,方程px2-qx+1985=0的兩根都是質數,則12p2+q的值等于(?? ).
(A)404? (B)1998? (C)414? (D)1996
(2)方程(1984x)2-1983·1985x-1=0的較大根為r,x2+1983x-1984=0的較小根為s,則r-s等于(?? ).
(A)? (B)1985 ? (C)? (D)-
(3)x2+px+q2=0(p≠0)的兩個根為相等的實數，則x2-qx+p2=0的兩個根必為（?? ）.
(A)?非實數? (B)相等兩實數? (C)非實數或相等兩實數? (D)實數
（4）如果關于方程mx2-2（m+2）x+m+5=0沒有實數根，那么關于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的實根個數為
(A)2? (B)1? (C)0? (D)不確定
3． 設a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的兩個根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的兩個根是-1和1-；a1x2+b1x+c1=0的兩根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.
4.常數a是滿足1≤a≤50的自然數.若關于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的兩根都是自然數,試求a的值.
5.設x2、x2為正系數方程ax2+bx+c=0的兩根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求證:
(1)?如果m＜n，那么方程有不等的實數根；
(2)?如果m＞n，那么方程沒有實數根.
6．求作一個以兩正數α，β為根的二次方程，并設α，β滿足
7． 當a，b為何值時，方程x2+（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有實根？
8． 試證：1986不能等于任何一個整系數二次方程ax2+bx+c=0的判別式的值.
9． 方程x2+ax+1=b的根是自然數，證明a2+b2是合數.
10． 不用輔助工具解答：
（1）證滿足的根在和197.99494949…間；
（2）同（1）證＜1.41421356.
?
練習答案:
1.(1)
(2)
(3)3.
2. C??? B?? A.
3.
4.x=a+2±由于x為自然數，可知a為完全平方數
即a=1，4，9，16，25，36，49.
5. 略
6. 3x2-7x+2=0.
7. 因為方程有實根,所以判別式
8. 設1986=4k+2(其中k是自然數).
令△=b2-4ac=4k+2,這時b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,這時b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.這時等式左邊的數能被4整除,而右邊的數不能被4整除,得出矛盾,故命題得證.
10.由，可得x2-198x+1=0,其根

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