資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第七章 統計與概率
第二節 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 事件與概率 ☆ 吉林中考中，有關概率部分，每年考查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握事件與概率、概率的計算等考點。
考點2 概率的計算 ☆☆☆
■考點一　事件與概率
1.隨機事件
事件分為 ，確定性事件又分必然事件和不可能事件兩種，即：
①確定性事件： ；
②隨機事件；
(1)確定性事件：在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為 ；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為 ，必然事件與不可能事件統稱 .
(2)隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為 。
2.隨機事件的可能性
一般地，隨機事件發生的可能性是 的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同.
(1)隨機事件發生的可能性有大小之分，常大致分為“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”這5種.
(2)比較隨機事件發生的可能性的大小，先要準確找到所有可能出現的 ，然后分情況，看每種情況占所有可能出現的結果的比例的大小而定.
3.概率
(1)定義：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A)。
(2)公式：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為 。
（3）求與面積有關的概率，可將概率轉換為面積的比，即：
P(A)= 。
■考點二　概率的計算
1.事件概率的取值范圍
(1)事件發生可能性大小的表示：可以用線段圖表示“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”之間的概率大小.
(2)事件發生概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
需特別指出：
當A為必然事件時，P(A)=1.
當A為不可能事件時，P(A)= .
當A為隨機事件時，02.用列舉法求概率的條件
(1)一次試驗中，可能出現的結果只有 個
(2)一次試驗中，各種結果出現的可能性 .
3.概率的求法
(1)直接列舉法：求簡單隨機事件的 ，容易得到所有等可能的結果總數n和事件A包含的結果數m，可直接套用公式 求出其概率.例如：拋擲一枚均勻的硬幣，出現正面的概率是，用符號表示就是P(正面) 。
(2)用列表法求概率：
列表法是指用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的 ，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.
(3)用樹狀(形)圖法求概率：
樹狀（形）圖法是指用 （形）圖的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出 的方法.
①樹狀（形）圖法同樣適用于各種情況出現的 求概率的問題.
②在求可能事件的概率用列表法或畫樹狀（形）圖法時，應注意各種情況出現的可能性務必相同
③在列表或畫樹狀（形）圖求概率時，各種情況出現的可能性 ，也不能遺漏。
4.用頻率估計概率
(1)在我們的日常生活中存在著大量隨機事件我們已經學習了用 求某些隨機事件發生的概率，但是當試驗的所有可能結果不是有限個，或者各種可能結果發生的可能性不相等時，可通過用頻率估計某些隨機事件發生的概率的 .
(2)隨機事件的概率雖然是隨機的、無法預測的，但隨著大量重復試驗次數的增加，隱含的規律逐漸顯現，事件發生的頻率逐漸 .正因為不確定現象發生的頻率有這種趨于穩定的特點，我們可以用平穩時的 估計這一隨機事件在每次試驗時發生的機會的 .
(3)某一隨機事件發生的頻率無限地接近于 .
一般地，在大量重復試驗下，隨機事件A發生的 。(這里n是總試驗次數，它必須相當大，m是在n次試驗中事件A發生的次數)會穩定到某個常數p.于是，我們用p這個常數表示事件A發生的概率，即 。
■易錯提示
1.必然發生的事件和不可能發生的事件均為“確定事件”，隨機事件又稱為“不確定事件”；
2.要知道事件發生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發生的事件發生的可能性最大，不可能發生的事件發生的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同.
3.概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值；
4.概率反映了隨機事件發生的可能性的大小；
5.事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，06.畫樹狀圖法的應用條件：當一次試驗涉及兩個或更多的步驟時，為了不重復、不遺漏地列出所有可能出現的結果,通常采用畫樹狀圖法來求概率.
7.列表法的應用條件：如果一次試驗涉及兩個步驟,并且可能出現的結果數目我多時，為了不重復、不遺漏地列出所有可能的結果,通常采用列表法．
8.用試驗去估計隨機事件發生的概率應盡可能多地增加試驗次數，當試驗次數很大時，結果將較為精確.
9.運用隨機事件出現的頻率估計隨機事件發生的概率大小的幾點注意用頻率估計事件發生的概率時，需要注意以下幾點：
(1)頻率和概率是兩個不同的概念，兩者既有區別又有聯系.事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的.當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定；當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.
(2)通過試驗用頻率估計概率的大小，方法多種多樣，但無論選擇哪種方法，都必須保證試驗應在相同的條件下進行，否則結果會受到影響.在相同條件下，試驗的次數越多，就越有可能得到較準確的估計值，但每個人所得的值并不一定相同.
(3)頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.例如：隨機拋擲一枚1元硬幣時，理論上“落地后正面朝上”發生的概率為，可拋擲1000次硬幣，并不能保證落地后恰好有500次正面朝上，但經大量的重復試驗發現：“落地后正面朝上”發生的頻率就在一附近波動，
(4)事件的概率需要用穩定時的頻率來估計.它需要做大量的試驗才能較準確.需要注意的是，1次試驗的結果是隨機的、無法預測的，不受概率的影響。
(5)雖然用試驗的方法可以幫助我們估計隨機事件發生的機會的大小，但有時恰好沒有相關實物，或者用實物進行試驗困難很大時，我們就需要用替代物進行模擬試驗.
10.進行模擬試驗時應注意：①模擬試驗的多樣性，即同一試驗可以有多種多樣的替代物；②模擬試驗必須在相同的條件下進行。
■考點一　事件與概率
◇典例1： （2023上·四川自貢·九年級校考階段練習）下列詩句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．黃河入海流 B．鋤禾日當午 C．手可摘星辰 D．大漠孤煙直
◆變式訓練
1．（2023上·全國·九年級專題練習）在如圖所示的電路圖中，若閉合、、、中任意一個開關，則小燈泡發光的概率為（　　）．
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江臺州·九年級校考階段練習）下列事件，是隨機事件的為（ ）
A．一個三角形的外角和為 B．擲一枚正六面體骰子，點數為5
C．明天的太陽從西邊升起 D．在只裝了紅球的袋子里，摸出一個白球
■考點二　概率的計算
◇典例2：（2023下·上海·八年級專題練習）口袋里裝有五個大小形狀都相同，所標數字不同的小球，小球所標的數字分別是，，，2，3，先隨機抽取一個球得到的數字記為k，放回后再抽一個球得到的數字記為b，則滿足條件關于x的一次函數的圖象不經過第四象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·全國·九年級期中）盒玩的販售方式是將一款玩具裝在盒子中販賣，購買者只能從外盒知道購買的是哪一系列玩具，但無法知道是系列中的哪一款，圖1、圖2分別為動物系列，汽車系列盒玩中所有可能出現的款式．
已知小友喜歡圖1中的款、款，喜歡圖2中的款，若他打算購買圖1的盒玩一盒，且他買到圖1中每款玩具的機會相等；他也打算購買圖2的盒玩一盒，且他買到圖2中每款玩具的機會相等，則他買到的兩盒盒玩內的玩具都是他喜歡的款式的概率為何（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西太原·九年級校考階段練習）一個密閉不透明的盒子里有若干個紅球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計紅球的個數，小強向其中放入20個白球，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復，共摸球500次，其中50次摸到白球，估計盒中大約有紅球（ ）
A．150 B．180 C．200 D．220
1．（2021·吉林·統考一模）柜子里有5雙鞋，取出一只鞋是右腳鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年級上吉林長春期末）下列說法正確的是( )
A.“買中獎率為1%的獎券100張,一定中獎”是必然事件
B .“汽車累積行駛0000km ,從未出現故障”是不可能事件
C .天氣預報說“明天的降水概率為70%”,意味著明天一定下雨
D .“清明時節雨紛紛”為隨機事件
3.（23-24九年級上吉林白山期末）下列事件是隨機事件的是( )
A.長為3cm, Scm, 9cm的三條線段能圍成一個三角形
B .射擊運動員射擊一次,命中靶心
C .平面內兩直線相交,對頂角相等
D.直角三角形的兩個銳角互余
4.（23-24九年級上吉林四平期末）春節假期歐亞商場為了吸引|顧客,舉行有獎酬賓活動:凡購物滿100元,均可得到一次摸獎的機會.不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共20個,除顏色外無其他差別,隨機摸出一個小球,如果摸到紅色小球則有機會以優惠價188元購買大福字”一個.如圖顯示了活動第一天開展上述摸球活動的獲獎的結果.李老師在活動第二天去購物,剛好消費了100元,推測李老師能以優惠價購買“大福字”的概率為 .
5.（23-24九年級上吉林長春期末）在一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球共20個,這些小球除了顏色不同外其它特質均相同.欣欣同學進行了摸球試驗,每次摸出一個小球記下顏色,然后放回袋中攪拌均勻,再從中摸出一個.如此重復,經大量的試驗發現摸到紅球的頻率穩定在0.60左右,由此可以估計袋中紅球的個數為 個.
6．（2023·吉林長春·統考中考真題）班級聯歡會上有一個抽獎活動，每位同學均參加一次抽獎，活動規則下：將三個完全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個杯子內放入一個彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、紅色、綠色．參加活動的同學先從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色后再將杯子倒置于桌面，重新打亂杯子的擺放位置，再從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色．若兩次選中的彩蛋顏色不同則獲一等獎，顏色相同則獲二等獎．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求某同學獲一等獎的概率．

7．（2023·吉林·統考中考真題）2023年6月4日，“神舟”十五號載人飛船返回艙成功著陸．某校為弘揚愛國主義精神，舉辦以航天員事跡為主題的演講比賽，主題人物由抽卡片決定，現有三張不透明的卡片，卡片正面分別寫著費俊龍、鄧清明、張陸三位航天員的姓名，依次記作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三張卡片正面向下洗勻后，甲選手從中隨機抽取一張卡片，記錄航天員姓名后正面向下放回，洗勻后乙選手再從中隨機抽取一張卡片．請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩位選手演講的主題人物是同一位航天員的概率．
8．（2022·吉林長春·統考中考真題）拋擲一枚質地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結果：“出現正面”或“出現反面”．正面朝上記2分，反面朝上記1分．小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分數之和不大于3的概率．
9．（2022·吉林·統考中考真題）長白山國家級自然保護區、松花湖風景區和凈月潭國家森林公園是吉林省著名的三個景區．甲、乙兩人用抽卡片的方式決定一個自己要去的景區．他們準備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長白山、松花湖、凈月潭．卡片除正面景區名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機抽取一張卡片，記下景區名稱后正面向下放回，洗勻后乙再從中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長白山的概率．
10．（2021·吉林·統考中考真題）第一盒中有1個白球、1個黑球，第二盒中有1個白球，2個黑球．這些球除顏色外無其他差別，分別從每個盒中隨機取出1個球，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的2個球都是白球的概率．
11．（2021·吉林長春·統考中考真題）在一個不透明的口袋中裝有三個小球，分別標記數字1、2、3，每個小球除數字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戲，兩人各摸一個球，誰摸到的數字大誰獲勝，摸到相同數字記為平局．小明從口袋中摸出一個小球記下數字后放回并攪勻，小亮再從口袋中摸出一個小球．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明獲勝的概率．
13．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖所示某地鐵站有三個閘口．

(1)一名乘客隨機選擇此地鐵閘口通過時，選擇A閘口通過的概率為 ．
(2)當兩名乘客隨機選擇此地鐵閘口通過時，請用樹狀圖或列表法求兩名乘客選擇不同閘口通過的概率．
12．（2023·吉林長春·校考模擬預測）生活在數字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖①）來表示不同的信息，類似地，可通過在網格中，對每一個小方格涂色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網格中只有一個小方格（如圖②），
通過涂色或不涂色可表示兩個不同的信息．

(1)用樹狀圖（或列表）的方法，求圖③可表示不同信息的總個數（圖中標號1、2表示兩個不同位置的小方格，下同）．
(2)圖④為2×2的網格圖，它可表示不同信息的總個數為_____．
13．（2023·吉林松原·統考二模）甲口袋中裝有白色、黑色兩頂帽子，這兩頂帽子除顏色外無其他差別；乙口袋中裝有白色、黑色兩條圍脖，這兩條圍脖除顏色外無其他差別．從甲口袋中隨機取出一頂帽子，從乙口袋中隨機取出一條圍脖，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的帽子和圍脖都是黑色的概率．
14．（2023·吉林松原·校聯考三模）某校為紀念歷史，緬懷先烈，舉行以“致敬抗美援朝，爭做時代新人”為主題的故事會，校團委將抗美援朝中四位歷史英雄人物頭像制成編號為A，B，C，D的四張卡片（除編號和頭像外其余完全相同），活動時先將四張卡片背面朝上洗勻放好，再從中隨機抽取一張，記下卡片上的英雄人物，然后放回．學生根據所抽取的卡片來講述他們波瀾壯闊、可歌可泣的歷史事跡．請用列表或畫樹狀圖的方法求小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的概率．

1．（2023下·江蘇·八年級專題練習）投擲兩枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，則下列事件為必然事件的是（　　）
A．兩枚骰子向上一面的點數和大于1
B．兩枚骰子向上一面的點數和等于3
C．兩枚骰子向上一面的點數和等于7
D．兩枚骰子向上一面的點數和大于12
2．（2023上·浙江金華·九年級校考期中）在一個不透明的盒子里有形狀、大小相同的黃球2個、紅球3個，從盒子里任意摸出1個球，摸到黃球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022上·內蒙古赤峰·九年級統考期末）下列說法正確的是（ ）
A．任意畫一個三角形，其內角和為，這是隨機事件
B．投擲一枚質地均勻的硬幣次，正面朝上的次數一定是次
C．從，，，，中任取一個數是偶數的可能性比較大
D．直徑是圓中最長的弦
4．（2022上·黑龍江大慶·九年級大慶市第三十六中學校考期末）欣欣快餐店備有6種價格不同的菜，每份價格（元）分別為1，2，3，4，5，6．若某人任選兩種不同價格的菜各一份，兩種菜的價格和超過6元的概率是( )
A． B． C． D．
5．（2023上·河南鄭州·九年級校考期中）年月，河南省將設立所高校的消息備受關注．現有張卡片，正面分別寫有代表新建高校位置的漢字——“南陽”“濮陽”“商丘”“周口”，它們除此之外完全相同，把這張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面漢字均含漢字“陽”的概率是（ ）

A． B． C． D．
6．（2024上·天津南開·九年級統考期末）下列說法中，正確的是（ ）
A．事件發生的可能性越大，它的概率越接近1 B．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件
C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票就一定會中獎 D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得
7．（2023上·湖南衡陽·九年級校考期末）七年級一班同學組織了元旦聯歡會，文藝委員準備在“橫掃千軍”“飛花令”“成語接龍”“看圖猜詩詞”四個項目中選擇兩個，則她選中“飛花令”和“看圖猜詩詞”的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·山東棗莊·九年級統考期中）一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有40次摸到白球．請你估計這個口袋中有（ ）個紅球．
A．2 B．3 C．6 D．8
9．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統計了某結果出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，則符合這一結果的試驗最有可能的是（ ）
A．玩“石頭”“剪刀”“布”時，小亮隨機出的是“石頭”
B．擲一枚質地均勻的硬幣，落地后“正面”朝上的概率
C．投擲一枚骰子，點數“6”朝上的概率
D．袋子中有除顏色外其余都相同的1個紅球和2個黃球，從中任取一球是黃球
10．（2023上·福建福州·九年級校考階段練習）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發現，摸出黃球的頻率穩定在左右，則袋子中黃球的個數最有可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）在一個不透明的口袋中裝有4個白球和若干個紅球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在附近，則口袋中紅球可能有（ ）
A．8個 B．12個 C．16個 D．20個
12．（2023上·河南商丘·九年級校聯考階段練習）某淘寶商家為“雙大促”提前進行了預熱抽獎，通過后臺的數據顯示轉盤指針落在“元優惠券”區域的統計數據如下表．若隨機轉動轉盤一次，得到“元優惠券”的概率為（精確到）（ ）
轉動轉盤的次數
落在“元優惠券”區域的次數
落在“元優惠券”區域的頻率
A． B． C． D．
13．（2023上·吉林長春·九年級吉林大學附屬中學校考期末）拋物線與軸交于點、．若點的坐標為，則點的坐標為 ．
14．（2023上·新疆昌吉·九年級校考期末）在一個不透明的口袋中有顏色不同的紅、白兩種小球，其中紅球只，白球只，若從袋中任取一個球，摸出白球的概率為，則 ．
15．（2023上·吉林白城·九年級統考期末）有6張看上去無差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5，6，隨機抽取1張后，放回并混在一起，再隨機抽取1張，則兩次取出的數字都是奇數的概率為
16．（2023上·吉林白山·九年級統考期末）將分別標有“學”“習”“強”“國”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“強國”的概率是 ．
17．（2023上·甘肅隴南·九年級統考期末）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果試驗的次數增多，數字“1”朝上的頻率逐漸接近的值是 ．
18．（2023上·江西南昌·九年級南昌市心遠中學校考期中）（1）一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來的前提下，小明為估計其中的白球數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…，不斷重復上述過程，小明共換了100次，其中20次摸到黑球．根據上述數據，估計口袋中的白球大約有多少個？
（2）如圖，P是正方形內一點，繞著點B旋轉后能到達的位置，若．求線段的長．
19．（2024上·甘肅定西·九年級校聯考期末）2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州開幕．小明和小亮相約一起去亞運會比賽現場為中國隊加油，比賽現場的觀賽區分為A、B、C、D四個區域，購票以后系統隨機分配觀賽區域．
(1)小明購買門票在A區觀賽的概率為________；
(2)求小明和小亮在同一區域觀看比賽的概率．（請用畫樹狀圖或列表說明理由）
20．（2023上·山東煙臺·九年級統考期末）小南發現操場中有一個不規則的封閉圖形（如圖），為了計算它的面積，他在封閉圖形內畫了一個半徑為的圓，在不遠處向封閉圖形內鄭石子，若石子落在封閉圖形外部，則重鄭．記錄結果如下：
石子落在圓內（含圓上）的次數 14 43 93 150
石子落在陰影部分的次數 19 85 186 300
根據以上數據，小南得到了封閉圖形的面積．
請根據以上信息，回答下列問題：
(1)估計石子落在陰影部分的概率___________；
(2)估計封閉圖形的面積，并寫出推理過程．
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第七章 統計與概率
第二節 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 事件與概率 ☆ 吉林中考中，有關概率部分，每年考查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握事件與概率、概率的計算等考點。
考點2 概率的計算 ☆☆☆
■考點一　事件與概率
1.隨機事件
事件分為確定性事件和隨機事件，確定性事件又分必然事件和不可能事件兩種，即：
①確定性事件：必然事件、不可能事件；
②隨機事件；
(1)確定性事件：在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為不可能事件，必然事件與不可能事件統稱確定事件.
(2)隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件。
2.隨機事件的可能性
一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同.
(1)隨機事件發生的可能性有大小之分，常大致分為“可能性極小”、“不太可能”、“可能”、“很可能”、“可能性極大”這5種.
(2)比較隨機事件發生的可能性的大小，先要準確找到所有可能出現的結果，然后分情況，看每種情況占所有可能出現的結果的比例的大小而定.
3.概率
(1)定義：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A)。
(2)公式：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為 。
（3）求與面積有關的概率，可將概率轉換為面積的比，即：
P(A)=。
■考點二　概率的計算
1.事件概率的取值范圍
(1)事件發生可能性大小的表示：可以用線段圖表示“可能發生”、“很可能發生”、“不大可能發生”、“必然發生”、“不可能發生”之間的概率大小.
(2)事件發生概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
需特別指出：
當A為必然事件時，P(A)=1.
當A為不可能事件時，P(A)=0.
當A為隨機事件時，02.用列舉法求概率的條件
(1)一次試驗中，可能出現的結果只有有限個
(2)一次試驗中，各種結果出現的可能性大小相等.
3.概率的求法
(1)直接列舉法：求簡單隨機事件的概率，容易得到所有等可能的結果總數n和事件A包含的結果數m，可直接套用公式 求出其概率.例如：拋擲一枚均勻的硬幣，出現正面的概率是，用符號表示就是P(正面)
(2)用列表法求概率：
列表法是指用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.
(3)用樹狀(形)圖法求概率：
樹狀（形）圖法是指用樹狀（形）圖的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.
①樹狀（形）圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時求概率的問題.
②在求可能事件的概率用列表法或畫樹狀（形）圖法時，應注意各種情況出現的可能性務必相同
③在列表或畫樹狀（形）圖求概率時，各種情況出現的可能性不能重復，也不能遺漏。
4.用頻率估計概率
(1)在我們的日常生活中存在著大量隨機事件我們已經學習了用列表法和畫樹狀圖法求某些隨機事件發生的概率，但是當試驗的所有可能結果不是有限個，或者各種可能結果發生的可能性不相等時，可通過用頻率估計某些隨機事件發生的概率的大小.
(2)隨機事件的概率雖然是隨機的、無法預測的，但隨著大量重復試驗次數的增加，隱含的規律逐漸顯現，事件發生的頻率逐漸穩定到某一個數值.正因為不確定現象發生的頻率有這種趨于穩定的特點，我們可以用平穩時的頻率估計這一隨機事件在每次試驗時發生的機會的大小.
(3)某一隨機事件發生的頻率無限地接近于理論概率.
一般地，在大量重復試驗下，隨機事件A發生的頻率。(這里n是總試驗次數，它必須相當大，m是在n次試驗中事件A發生的次數)會穩定到某個常數p.于是，我們用p這個常數表示事件A發生的概率，即P(A)=p
■易錯提示
1.必然發生的事件和不可能發生的事件均為“確定事件”，隨機事件又稱為“不確定事件”；
2.要知道事件發生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發生的事件發生的可能性最大，不可能發生的事件發生的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同.
3.概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值；
4.概率反映了隨機事件發生的可能性的大小；
5.事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，06.畫樹狀圖法的應用條件：當一次試驗涉及兩個或更多的步驟時，為了不重復、不遺漏地列出所有可能出現的結果,通常采用畫樹狀圖法來求概率.
7.列表法的應用條件：如果一次試驗涉及兩個步驟,并且可能出現的結果數目我多時，為了不重復、不遺漏地列出所有可能的結果,通常采用列表法．
8.用試驗去估計隨機事件發生的概率應盡可能多地增加試驗次數，當試驗次數很大時，結果將較為精確.
9.運用隨機事件出現的頻率估計隨機事件發生的概率大小的幾點注意用頻率估計事件發生的概率時，需要注意以下幾點：
(1)頻率和概率是兩個不同的概念，兩者既有區別又有聯系.事件的概率是一個確定的常數，而頻率是不確定的.當試驗次數較少時，頻率的大小搖擺不定；當試驗次數增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩定在概率附近.
(2)通過試驗用頻率估計概率的大小，方法多種多樣，但無論選擇哪種方法，都必須保證試驗應在相同的條件下進行，否則結果會受到影響.在相同條件下，試驗的次數越多，就越有可能得到較準確的估計值，但每個人所得的值并不一定相同.
(3)頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.例如：隨機拋擲一枚1元硬幣時，理論上“落地后正面朝上”發生的概率為，可拋擲1000次硬幣，并不能保證落地后恰好有500次正面朝上，但經大量的重復試驗發現：“落地后正面朝上”發生的頻率就在一附近波動，
(4)事件的概率需要用穩定時的頻率來估計.它需要做大量的試驗才能較準確.需要注意的是，1次試驗的結果是隨機的、無法預測的，不受概率的影響。
(5)雖然用試驗的方法可以幫助我們估計隨機事件發生的機會的大小，但有時恰好沒有相關實物，或者用實物進行試驗困難很大時，我們就需要用替代物進行模擬試驗.
10.進行模擬試驗時應注意：①模擬試驗的多樣性，即同一試驗可以有多種多樣的替代物；②模擬試驗必須在相同的條件下進行。
■考點一　事件與概率
◇典例1： （2023上·四川自貢·九年級校考階段練習）下列詩句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．黃河入海流 B．鋤禾日當午 C．手可摘星辰 D．大漠孤煙直
【答案】C
【分析】此題主要考查了必然事件，不可能事件，隨機事件的概念．理解概念是解決這類基礎題的主要方法．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，據此逐項分析即可．
【詳解】解：A、是必然事件，故不符合題意；
B、是隨機事件，故不符合題意；
C、是不可能事件，故符合題意；
D、是隨機事件，故不符合題意；
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·全國·九年級專題練習）在如圖所示的電路圖中，若閉合、、、中任意一個開關，則小燈泡發光的概率為（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了等可能性事件的概率計算，理解等可能性事件的概率計算公式是解答本題的關鍵，“如果事件發生的各種結果的可能性相同且互相排斥，結果總數為n，事件A包含其中的結果數為，那么事件A發生的概率為．”，閉合、、、中任意一個開關，只有閉合時能夠讓燈泡發光，即該事件中，，根據公式計算即可得到答案．
【詳解】根據題意，閉合、、中任意一個開關，燈泡均不發光，只有閉合時能夠讓燈泡發光，
∴能夠讓燈泡發光的概率為，
故選：C．
2．（2023上·浙江臺州·九年級校考階段練習）下列事件，是隨機事件的為（ ）
A．一個三角形的外角和為 B．擲一枚正六面體骰子，點數為5
C．明天的太陽從西邊升起 D．在只裝了紅球的袋子里，摸出一個白球
【答案】B
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件；根據事件發生的可能性大小判斷即可，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．
【詳解】解：A、一個三角形的外角和為，是必然事件，不符合題意；
B、擲一枚正六面體骰子，點數為5，是隨機事件，符合題意；
C、明天的太陽從西邊升起，是不可能事件，不符合題意；
D、在只裝了紅球的袋子里，摸出一個白球，是不可能事件，不符合題意；
故選：B．
■考點二　概率的計算
◇典例2：（2023下·上海·八年級專題練習）口袋里裝有五個大小形狀都相同，所標數字不同的小球，小球所標的數字分別是，，，2，3，先隨機抽取一個球得到的數字記為k，放回后再抽一個球得到的數字記為b，則滿足條件關于x的一次函數的圖象不經過第四象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．也考查了一次函數的性質．畫樹狀圖，共有25個等可能的結果，滿足條件關于x的一次函數的圖象不經過第四象限的結果有6個，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：根據題意可得：
當時，不經過第四象限，
即當時，不經過第四象限，
畫樹狀圖如圖：
共有25個等可能的結果，滿足條件關于x的一次函數的圖象不經過第四象限的結果有6個，
∴滿足條件關于x的一次函數的圖象不經過第四象限的概率為，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·全國·九年級期中）盒玩的販售方式是將一款玩具裝在盒子中販賣，購買者只能從外盒知道購買的是哪一系列玩具，但無法知道是系列中的哪一款，圖1、圖2分別為動物系列，汽車系列盒玩中所有可能出現的款式．
已知小友喜歡圖1中的款、款，喜歡圖2中的款，若他打算購買圖1的盒玩一盒，且他買到圖1中每款玩具的機會相等；他也打算購買圖2的盒玩一盒，且他買到圖2中每款玩具的機會相等，則他買到的兩盒盒玩內的玩具都是他喜歡的款式的概率為何（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率．列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．
【詳解】解：列表如下：
由表知，共有30種等可能結果，其中他買到的兩盒盒玩內的玩具都是他喜歡的款式的有2種結果，
所以他買到的兩盒盒玩內的玩具都是他喜歡的款式的概率為，
故選：A．
2．（2023上·山西太原·九年級校考階段練習）一個密閉不透明的盒子里有若干個紅球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計紅球的個數，小強向其中放入20個白球，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復，共摸球500次，其中50次摸到白球，估計盒中大約有紅球（ ）
A．150 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，可根據“白球數量÷紅白球總數=白球所占比例”來列等量關系式，其中“紅白球總數=紅球個數+白球個數”，“白球所占比例=隨機摸到白球的次數÷總共摸球的次數”
【詳解】設盒子里有紅球x個，
解得：
經檢驗得是方程的解
答：盒中大約有紅球180個
故選：B
1．（2021·吉林·統考一模）柜子里有5雙鞋，取出一只鞋是右腳鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因為左右腳穿的鞋的數目相同，5雙鞋中右腳穿的鞋有5只，根據概率公式解答即可．
【詳解】解：5雙鞋就是10只，其中右腳的有5只，所以取出一只鞋是右腳鞋的概率是．
故選：A．
【點睛】本題考查求概率，掌握概率公式是解題的關鍵．
2.（23-24九年級上吉林長春期末）下列說法正確的是( )
A.“買中獎率為1%的獎券100張,一定中獎”是必然事件
B .“汽車累積行駛0000km ,從未出現故障”是不可能事件
C .天氣預報說“明天的降水概率為70%”,意味著明天一定下雨
D .“清明時節雨紛紛”為隨機事件
[知識點]事件的分類，概率的意義理解.
[答案] D
[分析]本題考查了隨機事件.概率的意義,根據隨機事件的概念概率的意義逐項分析即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵。
[詳解]解: A.“買中獎率為1%的獎券100張,一定中獎"是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意;
B、“汽車累積行駛0000km,從未出現故障”是隨機事件，原說法錯誤，不符合題意;
C.天氣預報說“明天的降水概率為70%”，意味著明天可能下雨，原說法錯誤，不符合題意;
D.“清明時節雨紛紛”為隨機事件，原說法正確，符合題意;
故選: D.
3.（23-24九年級上吉林白山期末）下列事件是隨機事件的是( )
A.長為3cm, Scm, 9cm的三條線段能圍成一個三角形
B .射擊運動員射擊一次,命中靶心
C .平面內兩直線相交,對頂角相等
D.直角三角形的兩個銳角互余
[知識點]對頂角的定義,構成三角形的條件,直角三角形的兩個銳角互余,事件的分類 .
[答案] B
[分析]本題考查了隨機事件:在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.稱為隨機事件.以及對頂角、鄰補角和直角三角形的性質.據確定事件和隨機事件的定義分別對各選項進行判斷.
[詳解]解:∵ A. 3+5-8<9,
∴長為3cm, 5cm, 9cm的三條線段不能圍成一個三角形， 它是不可能事件，A選項不符合題意;
B.射擊運動員射擊一次， 命中靶心，它是隨機事件，B選項符合題意;
C.平面內兩直線相交，對頂角相等，它是必然事件，C選項符合題意;
D.直角三角形的兩個銳角互余，它是必然事件，D選項符合題意.
故選: B.
4.（23-24九年級上吉林四平期末）春節假期歐亞商場為了吸引|顧客,舉行有獎酬賓活動:凡購物滿100元,均可得到一次摸獎的機會.不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共20個,除顏色外無其他差別,隨機摸出一個小球,如果摸到紅色小球則有機會以優惠價188元購買大福字”一個.如圖顯示了活動第一天開展上述摸球活動的獲獎的結果.李老師在活動第二天去購物,剛好消費了100元,推測李老師能以優惠價購買“大福字”的概率為 .
[知識點]由頻率估計概率
[答案] 0.35
[分析]本題主要考查利用頻率估計概率，在同樣條件下，做大量的重復試驗,利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數,可以估計這個事件發生的概率.隨著摸球次數的增加，“摸到紅球’的頻率逐漸穩定于0.35,據此利用頻率估計概率即可.
[詳解]解:由題意知，隨著摸球次數的增加，“摸到紅球的頻率逐漸穩定于0.35,
所以推測李老師能以優惠價購買“大福字的概率為0.35.
故答案為: 0.35.
5.（23-24九年級上吉林長春期末）在一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球共20個,這些小球除了顏色不同外其它特質均相同.欣欣同學進行了摸球試驗,每次摸出一個小球記下顏色,然后放回袋中攪拌均勻,再從中摸出一個.如此重復,經大量的試驗發現摸到紅球的頻率穩定在0.60左右,由此可以估計袋中紅球的個數為 個.
[知識點]已知概率求數量,由頻率估計概率
[答案] 12
[分析]本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，在大量反復試驗下，頻率的穩定值即為概率值得到摸到紅球的概率為0.60，再用球的總數乘以摸到紅球的概率即可求出紅球的數量.
[詳解]解:∵經大量的試驗發現摸到紅球的頻率穩定在0.60左右，
∴摸到紅球的概率為0.60,
.可以估計袋中紅球的個數為20x 0.60= 12個，
故答案為: 12.
6．（2023·吉林長春·統考中考真題）班級聯歡會上有一個抽獎活動，每位同學均參加一次抽獎，活動規則下：將三個完全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個杯子內放入一個彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、紅色、綠色．參加活動的同學先從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色后再將杯子倒置于桌面，重新打亂杯子的擺放位置，再從中隨機選中一個杯子，記錄杯內彩蛋顏色．若兩次選中的彩蛋顏色不同則獲一等獎，顏色相同則獲二等獎．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求某同學獲一等獎的概率．

【答案】
【分析】依題意畫出樹狀圖，運用概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有種可能，獲一等獎即兩次顏色不相同的可能有種，
則某同學獲一等獎的概率為：，
答：某同學獲一等獎的概率為．
【點睛】本題考查了樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵．
7．（2023·吉林·統考中考真題）2023年6月4日，“神舟”十五號載人飛船返回艙成功著陸．某校為弘揚愛國主義精神，舉辦以航天員事跡為主題的演講比賽，主題人物由抽卡片決定，現有三張不透明的卡片，卡片正面分別寫著費俊龍、鄧清明、張陸三位航天員的姓名，依次記作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三張卡片正面向下洗勻后，甲選手從中隨機抽取一張卡片，記錄航天員姓名后正面向下放回，洗勻后乙選手再從中隨機抽取一張卡片．請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩位選手演講的主題人物是同一位航天員的概率．
【答案】
【分析】分別使用樹狀圖法或列表法將甲乙兩位選手抽取卡片的結果表示出來，第一次共有3種不同的抽取情況，第二次同樣也各有3種不同的抽取情況，所有等可能出現的結果有9種，找出兩次卡片相同的抽取結果，即可算出概率．
【詳解】解：解法一：畫樹狀圖，根據題意，畫樹狀圖結果如下：

由樹狀圖可以看出，所有等可能出現的結果一共有9種，而兩張卡片中相同的結果有3種，
所以甲、乙兩位選手演講的主題人物是同一位航天員的概率．
解法二：用列表法，根據題意，列表結果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出現的結果一共有9種，而兩張卡片中相同的結果有3種，
所以甲、乙兩位選手演講的主題人物是同一位航天員的概率．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用圖表的形式將第一次、第二次抽取所可能發生的情況一一列出，避免遺漏．
8．（2022·吉林長春·統考中考真題）拋擲一枚質地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結果：“出現正面”或“出現反面”．正面朝上記2分，反面朝上記1分．小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次分數之和不大于3的概率．
【答案】
【分析】采用列表法列舉即可求解．
【詳解】根據題意列表如下：
由表可知，總的可能結果有4種，兩次之和不大于3的情況有3種，
故所求概率為：3÷4=，
即兩次分數之和不大于3的概率為．
【點睛】本題考查了用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率的知識，掌握用列表法或者樹狀圖法列舉求解概率是解答本題的關鍵．
9．（2022·吉林·統考中考真題）長白山國家級自然保護區、松花湖風景區和凈月潭國家森林公園是吉林省著名的三個景區．甲、乙兩人用抽卡片的方式決定一個自己要去的景區．他們準備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長白山、松花湖、凈月潭．卡片除正面景區名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機抽取一張卡片，記下景區名稱后正面向下放回，洗勻后乙再從中隨機抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長白山的概率．
【答案】甲、乙兩人都決定去長白山的概率為．
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中兩人都決定去長白山的結果有1種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：長白山、松花湖、凈月潭依次用字母A，B，C表示，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩人都決定去長白山的結果有1種，
∴甲、乙兩人都決定去長白山的概率為．
【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及隨機事件等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數與總情況數之比．
10．（2021·吉林·統考中考真題）第一盒中有1個白球、1個黑球，第二盒中有1個白球，2個黑球．這些球除顏色外無其他差別，分別從每個盒中隨機取出1個球，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的2個球都是白球的概率．
【答案】
【分析】用列表法表示所有可能出現的結果情況，進而得出兩次都是白球的概率即可．
【詳解】解：用列表法表示所有可能出現的結果情況如下：
白 黑
白 白、白 黑、白
黑1 白、黑1 黑1、黑
黑2 白、黑2 黑、黑2
共有6種等可能出現的結果情況，其中兩球都是白球的有1種，
所以取出的2個球都是白球的概率為．
答：取出的2個球都是白球的概率為．
【點睛】本題考查簡單事件的概率，正確列表或者畫樹狀圖是解題關鍵．
11．（2021·吉林長春·統考中考真題）在一個不透明的口袋中裝有三個小球，分別標記數字1、2、3，每個小球除數字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戲，兩人各摸一個球，誰摸到的數字大誰獲勝，摸到相同數字記為平局．小明從口袋中摸出一個小球記下數字后放回并攪勻，小亮再從口袋中摸出一個小球．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求小明獲勝的概率．
【答案】小明獲勝的概率為
【分析】畫樹狀圖，共有9個等可能的結果，小明獲勝的有3個，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，其中小明獲勝的有3種，
故小明獲勝的概率為．
【點睛】本題主要考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適用于兩步完成事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．注意概率中放回實驗和不放回實驗的區分，本題屬于放回實驗．
13．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖所示某地鐵站有三個閘口．

(1)一名乘客隨機選擇此地鐵閘口通過時，選擇A閘口通過的概率為 ．
(2)當兩名乘客隨機選擇此地鐵閘口通過時，請用樹狀圖或列表法求兩名乘客選擇不同閘口通過的概率．
【答案】(1)選擇A閘口通過的概率為；
(2)兩名乘客選擇不同閘口通過的概率；
【分析】（1）直接根據概率公式計算；
（2）畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果，找出兩名乘客選擇不同閘口通過的結果數，然后根據概率公式計算．
【詳解】（1）解：一共有三個閘口，
∴選擇A閘口通過的概率為；
（2）解：畫樹狀圖為：

共有9種等可能的結果，其中兩名乘客選擇不同閘口通過的結果數為6，
所以兩名乘客選擇不同閘口通過的概率；
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
12．（2023·吉林長春·校考模擬預測）生活在數字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖①）來表示不同的信息，類似地，可通過在網格中，對每一個小方格涂色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網格中只有一個小方格（如圖②），
通過涂色或不涂色可表示兩個不同的信息．

(1)用樹狀圖（或列表）的方法，求圖③可表示不同信息的總個數（圖中標號1、2表示兩個不同位置的小方格，下同）．
(2)圖④為2×2的網格圖，它可表示不同信息的總個數為_____．
【答案】(1)4
(2)16
【分析】（1）根據題意畫樹狀圖，即可得到答案；
（2）根據題意畫樹狀圖，即可得到答案．
【詳解】（1）解：樹狀圖如下：

共有4種等可能結果，
即圖③可表示不同信息的總個數為4；
（2）解：樹狀圖如下：
共有16種等可能結果，
即圖④可表示不同信息的總個數為16，
故答案為：16．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求簡單概率，正確畫出樹狀圖是解題關鍵．
13．（2023·吉林松原·統考二模）甲口袋中裝有白色、黑色兩頂帽子，這兩頂帽子除顏色外無其他差別；乙口袋中裝有白色、黑色兩條圍脖，這兩條圍脖除顏色外無其他差別．從甲口袋中隨機取出一頂帽子，從乙口袋中隨機取出一條圍脖，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的帽子和圍脖都是黑色的概率．
【答案】
【分析】列表或列樹狀圖表示所有結果數，根據概率公式計算即可
【詳解】解：解法一：根據題意，列表如下：
白帽子 黑帽子
白圍脖 （白帽子，白圍脖） （黑帽子，白圍脖）
黑圍脖 （白帽子，黑圍脖） （黑帽子，黑圍脖）
由表可以看出，所有可能出現的結果共4種，這些結果出現的可能性相等，其中帽子和圍脖都是黑色的情況數有1種，P（帽子和圍脖都是黑色）．
解法二：根據題意，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可以看出，所有可能出現的結果共4種，這些結果出現的可能性相等，其中帽子和圍脖都是黑色的情況數有1種，（帽子和圍脖都是黑色）．
【點睛】本題考查列舉法求概率的：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．
14．（2023·吉林松原·校聯考三模）某校為紀念歷史，緬懷先烈，舉行以“致敬抗美援朝，爭做時代新人”為主題的故事會，校團委將抗美援朝中四位歷史英雄人物頭像制成編號為A，B，C，D的四張卡片（除編號和頭像外其余完全相同），活動時先將四張卡片背面朝上洗勻放好，再從中隨機抽取一張，記下卡片上的英雄人物，然后放回．學生根據所抽取的卡片來講述他們波瀾壯闊、可歌可泣的歷史事跡．請用列表或畫樹狀圖的方法求小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的概率．

【答案】
【分析】根據列表法求出所有等可能結果數，再根據概率公式求解即可．
【詳解】解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
共有16種等可能的結果數，其中小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物的結果有4種，所以小強和小葉抽到的兩張卡片恰好是同一英雄人物概率為．
【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，注意放回實驗還是不放回實驗是解題的關鍵．
1．（2023下·江蘇·八年級專題練習）投擲兩枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，則下列事件為必然事件的是（　　）
A．兩枚骰子向上一面的點數和大于1
B．兩枚骰子向上一面的點數和等于3
C．兩枚骰子向上一面的點數和等于7
D．兩枚骰子向上一面的點數和大于12
【答案】A
【分析】本題考查了事件的分類，根據必然事件，不可能事件，隨機事件的概念判斷即可．
【詳解】解：A選項是必然事件，符合題意；
B選項是隨機事件，不符合題意；
C選項是隨機事件，不符合題意；
D選項是不可能事件，不符合題意；
故選：A．
2．（2023上·浙江金華·九年級校考期中）在一個不透明的盒子里有形狀、大小相同的黃球2個、紅球3個，從盒子里任意摸出1個球，摸到黃球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用概率公式直接進行計算即可．掌握概率公式，是解題的關鍵．
【詳解】∵盒子里有形狀、大小相同的黃球2個、紅球3個，
∴從盒子里任意摸出1個球，摸到黃球的概率是；
故選：A．
3．（2022上·內蒙古赤峰·九年級統考期末）下列說法正確的是（ ）
A．任意畫一個三角形，其內角和為，這是隨機事件
B．投擲一枚質地均勻的硬幣次，正面朝上的次數一定是次
C．從，，，，中任取一個數是偶數的可能性比較大
D．直徑是圓中最長的弦
【答案】D
【分析】本題考查了概率及隨機事件，圓的基本性質，熟練掌握概率及隨機事件的相關概念是解答本題的關鍵．
根據概率及隨機事件的相關概念對每一個選項進行分析，只有選項符合題意．
【詳解】解：根據題意得：
選項中，任意畫一個三角形，其內角和為，這是不可能事件，原說法不正確，故不符合題意；
選項中，投擲一枚質地均勻的硬幣次，正面朝上的次數可能是次，原說法不正確，故不符合題意；
選項中，從，，，，中任取一個數是偶數的可能性比較小，原說法不正確，故不符合題意；
選項中，直徑是圓中最長的弦，原說法正確，故符合題意．
故選：．
4．（2022上·黑龍江大慶·九年級大慶市第三十六中學校考期末）欣欣快餐店備有6種價格不同的菜，每份價格（元）分別為1，2，3，4，5，6．若某人任選兩種不同價格的菜各一份，兩種菜的價格和超過6元的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．
【詳解】解：列表如下：
由表知，共有種等可能結果，其中兩種菜的價格和超過元的有種，
所以兩種菜的價格和超過元的概率為，
故選：B．
5．（2023上·河南鄭州·九年級校考期中）年月，河南省將設立所高校的消息備受關注．現有張卡片，正面分別寫有代表新建高校位置的漢字——“南陽”“濮陽”“商丘”“周口”，它們除此之外完全相同，把這張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面漢字均含漢字“陽”的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，先畫樹狀圖所有種等可能的結果數，找出這兩張卡片正面漢字均含漢字“陽”的結果數，然后根據概率公式求解，解題的關鍵是利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果，再從中選出符合事件或的結果數目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．
【詳解】如圖，

畫樹狀圖所有種等可能的結果數，兩張卡片正面漢字均含漢字“陽”的結果數有種，
∴兩張卡片正面漢字均含漢字“陽”的概率是，
故選：．
6．（2024上·天津南開·九年級統考期末）下列說法中，正確的是（ ）
A．事件發生的可能性越大，它的概率越接近1
B．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件
C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票就一定會中獎
D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得
【答案】A
【分析】根據必然事件，隨機事件，不可能事件的特點，以及列表法與樹狀圖法逐一判斷即可．
【詳解】A．事件發生的可能性越大，它的概率越接近1，故A符合題意；
B．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機事件，故B不符合題意；
C．某種彩票中獎的概率是，因此買100張該種彩票就可能會中獎，故C不符合題意；
D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率不可以用列舉法求得，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了概率的意義，隨機事件，概率公式，列表法與樹狀圖法，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．
7．（2023上·湖南衡陽·九年級校考期末）七年級一班同學組織了元旦聯歡會，文藝委員準備在“橫掃千軍”“飛花令”“成語接龍”“看圖猜詩詞”四個項目中選擇兩個，則她選中“飛花令”和“看圖猜詩詞”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件用到的知識點為:概率所求情況數與總情況數之比．
畫樹狀圖得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式計算可得．
【詳解】解：“橫掃千軍”“飛花令”“成語接龍”“看圖猜詩詞”四個項目分別用A、B、C、D表示，畫出樹狀圖如下;
共有12種等可能的情況數，其中她選中“飛花令”和“看圖猜詩詞”的有2種，
則她選中“飛花令”和“看圖猜詩詞”的概率為．
故選：B
8．（2023上·山東棗莊·九年級統考期中）一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有40次摸到白球．請你估計這個口袋中有（ ）個紅球．
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，根據大量反復試驗下頻率的穩定值即為概率值求出摸到白球的概率為，由此根據概率計算公式求出白球的數量，進而求出紅球的個數即可．
【詳解】解：由題意得，摸到白球的頻率為，即摸到白球的概率為，
∴口袋中有白球個，
∴估計這個口袋中有個紅球，
故選C．
9．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統計了某結果出現的頻率，繪制了如圖的折線統計圖，則符合這一結果的試驗最有可能的是（ ）
A．玩“石頭”“剪刀”“布”時，小亮隨機出的是“石頭”
B．擲一枚質地均勻的硬幣，落地后“正面”朝上的概率
C．投擲一枚骰子，點數“6”朝上的概率
D．袋子中有除顏色外其余都相同的1個紅球和2個黃球，從中任取一球是黃球
【答案】B
【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，用概率公式求概率，正確求出各試驗的概率是解題關鍵，利用折線統計圖可得出試驗的頻率在左右，進而得出答案．
【詳解】解：A、在“石關、剪刀、布”的游戲中，小亮隨機出的是“石頭”概率為，不符合這一結果，故此選項不符合題意；
B、擲一枚質地均勻的硬幣，落地后“正面”朝上的概率為，符合這一結果，故此選項符合題意；
C、投擲一枚骰子，點數“6”朝上的概率為，不符合這一結果，故此選項不符合題意；
D、袋子中有除顏色外其余都相同的1個紅球和2個黃球，從中任取一球是黃球的概率為，不符合這一結果，故此選項不符合題意．
故選：B．
10．（2023上·福建福州·九年級校考階段練習）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發現，摸出黃球的頻率穩定在左右，則袋子中黃球的個數最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了用頻率估計概率．熟練掌握大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解題的關鍵．
由題意知，摸出黃球的概率為，根據，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，摸出黃球的概率為，
∴袋子中黃球的個數最有可能是個，
故選：D．
11．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）在一個不透明的口袋中裝有4個白球和若干個紅球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在附近，則口袋中紅球可能有（ ）
A．8個 B．12個 C．16個 D．20個
【答案】C
【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，掌握大量反復試驗下頻率穩定值即概率是解題關鍵．由摸到白球的頻率穩定在附近得出口袋中得到白色球的概率，進而求出紅球個數即可．
【詳解】解：設袋中紅球的個數為x，
根據題意，得：
，
解得，
經檢驗是分式方程的解，
口袋中紅球可能有16個，
故選：C．
12．（2023上·河南商丘·九年級校聯考階段練習）某淘寶商家為“雙大促”提前進行了預熱抽獎，通過后臺的數據顯示轉盤指針落在“元優惠券”區域的統計數據如下表．若隨機轉動轉盤一次，得到“元優惠券”的概率為（精確到）（ ）
轉動轉盤的次數
落在“元優惠券”區域的次數
落在“元優惠券”區域的頻率
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查多次隨機事件的概率等于頻率，根據表格直接求解即可得到答案；
【詳解】解：由表可得，
得到“元優惠券”的概率為，
精確到為：，
故選：C．
13．（2023上·吉林長春·九年級吉林大學附屬中學校考期末）拋物線與軸交于點、．若點的坐標為，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查拋物線與x軸的交點，求出拋物線的對稱軸為直線，根據對稱性即可求解.
【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，
根據對稱性，則點，
故答案為：.
14．（2023上·新疆昌吉·九年級校考期末）在一個不透明的口袋中有顏色不同的紅、白兩種小球，其中紅球只，白球只，若從袋中任取一個球，摸出白球的概率為，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了概率公式的應用，根據題意，由概率公式可得方程：，解此方程即可求得答案．
【詳解】解：根據題意得：
，
解得：，
經檢驗：是原分式方程的解．
故答案為：．
15．（2023上·吉林白城·九年級統考期末）有6張看上去無差別的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5，6，隨機抽取1張后，放回并混在一起，再隨機抽取1張，則兩次取出的數字都是奇數的概率為 。
【答案】/
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率．列表法展示所有36種等可能的結果數，再找出兩次抽取的數字都是奇數的結果數，然后根據概率公式求解．
【詳解】解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36種等可能的結果數，其中兩次抽取的數字都是奇數的結果數為9，
所以隨機抽取一張，兩次抽取的數字都是奇數的概率．
故答案為：．
16．（2023上·吉林白山·九年級統考期末）將分別標有“學”“習”“強”“國”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“強國”的概率是 ．
【答案】
【分析】本題考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發生的概率．根據題意依次列舉出可能出現的情況即可算出本題答案．
【詳解】解：根據題意將情況一一列舉出來，如圖所示：
設：兩次摸出的球上的漢字組成“強國”的事件為A，
共有12種等可能的結果，其中事件A發生有2種結果，
∴，
故答案為：．
17．（2023上·甘肅隴南·九年級統考期末）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果試驗的次數增多，數字“1”朝上的頻率逐漸接近的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，實驗次數越多，出現某個數的變化趨勢越接近于它所占總數的概率．根據概率公式直接求解即可．
【詳解】解：如果試驗的次數增多，出現數字“1”的頻率的變化趨勢是接近．
故答案為：．
18．（2023上·江西南昌·九年級南昌市心遠中學校考期中）（1）一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來的前提下，小明為估計其中的白球數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…，不斷重復上述過程，小明共換了100次，其中20次摸到黑球．根據上述數據，估計口袋中的白球大約有多少個？
（2）如圖，P是正方形內一點，繞著點B旋轉后能到達的位置，若．求線段的長．
【答案】（1）估計口袋中的白球大約有12個；（2）線段的長為．
【分析】本題主要考查的是用頻率估計概率和旋轉變換的性質．
（1）由小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，可估計出摸到白球的概率為，設口袋中約有x個白球，依據概率公式列出關于x的方程求解即可；
（2）根據旋轉變換的性質可知，，再根據勾股定理列式求解即可得到的長度．
【詳解】解：（1）由題可得出摸到黑球的概率是：，
因此摸到白球概率是，
設口袋中約有x個白球，由題可得
，
解得：，經檢驗，是原方程的解
答：估計口袋中的白球大約有12個；
（2）∵繞著點B旋轉后能到達的位置，
∴，，
，
答：線段的長為．
19．（2024上·甘肅定西·九年級校聯考期末）2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州開幕．小明和小亮相約一起去亞運會比賽現場為中國隊加油，比賽現場的觀賽區分為A、B、C、D四個區域，購票以后系統隨機分配觀賽區域．
(1)小明購買門票在A區觀賽的概率為________；
(2)求小明和小亮在同一區域觀看比賽的概率．（請用畫樹狀圖或列表說明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
（1）直接根據概率公式計算即可；
（2）畫出樹狀圖，用符合條件的情況數除以所有等可能發生的情況數即可．
【詳解】（1）小明購買門票在A區觀賽的概率為．
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結果，其中小明和小亮在同一區域觀看比賽的結果有4種，
∴小明和小亮在同一區域觀看比賽的概率為．
20．（2023上·山東煙臺·九年級統考期末）小南發現操場中有一個不規則的封閉圖形（如圖），為了計算它的面積，他在封閉圖形內畫了一個半徑為的圓，在不遠處向封閉圖形內鄭石子，若石子落在封閉圖形外部，則重鄭．記錄結果如下：
石子落在圓內（含圓上）的次數 14 43 93 150
石子落在陰影部分的次數 19 85 186 300
根據以上數據，小南得到了封閉圖形的面積．
請根據以上信息，回答下列問題：
(1)估計石子落在陰影部分的概率___________；
(2)估計封閉圖形的面積，并寫出推理過程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數與總情況數之比．
（1）大量試驗時，頻率可估計概率；
（2）利用概率，求出圓的面積比總面積的值，計算出封閉圖形面積．
【詳解】（1）解：觀察表格得：
隨著投擲次數的增大，估計石子落在陰影部分的概率為；
（2）解：設封閉圖形的面積為a，根據題意得：，
解得：，
則封閉圖形的面積為．
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