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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第六章 圖形的變化
第三節(jié) 圖形的相似
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 相似的有關(guān)概念與相似多邊形 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)圖形的相似部分，每年考查1~3道題,分值為3~12分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握相似的有關(guān)概念與相似多邊形、相似三角形的性質(zhì)與判定、圖形的位似、一線三等角等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 圖形的位似 ☆
考點(diǎn)4 一線三等角問題 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1.相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
2．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．
3．比例中項(xiàng)：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．
4．比例的基本性質(zhì)：= ad=bc（a，b，c，d≠0）
5.黃金分割
黃金分割定義：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．
6．相似多邊形定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．
7．相似多邊形性質(zhì)：
（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；
（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；
（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
1．定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
2．性質(zhì)：
（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
（2）相似三角形的對應(yīng)線段（高、中線、角平分線）成比例；
（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
3．判定方法：
（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；
（4）平行線分線段成比例推論．
4.相似三角形應(yīng)用舉例
利用三角形相似，可以解決一些測量問題，如：
(1)測量不能達(dá)到頂部的物體的高度，通常利用“在同一時(shí)刻高與影長成比例”的原理來解決。
(2)測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)的距離，我們通常構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解。
5.判定三角形相似的思路
①有平行截線用判定定理1；
②有一對等角，找另一對等角或找角的兩邊對應(yīng)成比例；
③有兩邊對應(yīng)成比例找夾角相等或第三邊也成比例或有一對直角；
④直角三角形找一對銳角相等或找兩組直角邊的比相等或斜邊與直角邊成比例；
⑤等腰三角形找頂角相等或一找一對底角相等或底和一腰的比相等。
■考點(diǎn)三　圖形的位似
1．定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質(zhì)：
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；
（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．位似圖形作圖的步驟：
（1）確定位似中心；
（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；
（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；
（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)．
■考點(diǎn)四 一線三等角問題
1.定義：一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫 “K字模型”。
2.原理：三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：
當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
3.一般類型：
4.基本類型：
同側(cè)“一線三等角” 異側(cè)“一線三等角”
■易錯(cuò)提示
1.位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
2.兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；
3.兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；
4.位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；
5.平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。
6.相似三角形是平面幾何中既重要，又比較難學(xué)的一部分內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)中難點(diǎn)之一，一般都是壓軸題中考查，很多時(shí)候會(huì)與反比例函數(shù)或一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合在一起。掌握必要的常見相似模型是非常必要的，這樣我們在解決問題時(shí)可以快速添加輔助線構(gòu)造相似模型解決問題。
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念與相似多邊形
◇典例1： （2023上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察如圖每組圖形，是相似圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似圖形的定義，理解相似圖形的形狀相同是解答本題的關(guān)鍵，本題中只要判斷兩個(gè)圖形的形狀是否相同，即可得到答案．
【詳解】A．兩圖形形狀不同，不符合題意；
B．兩圖形形狀相同，符合題意；
C．兩圖形形狀不同，不符合題意；
D．兩圖形形狀不同，不符合題意．
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣西桂林·九年級(jí)校考期中）下列圖形是相似多邊形的是（ ）
A．所有的等邊三角形 B．所有的矩形
C．所有的菱形 D．所有的平行四邊形
【答案】A
【分析】本題考查了相似多邊形的判定，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的多邊形是相似多邊形，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：A、所有的等邊三角形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，故該選項(xiàng)是正確的；
B、所有的矩形對應(yīng)角相等，邊不一定成比例，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
C、所有的菱形的對應(yīng)角不一定相等，邊不一定成比例，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
D、所有的平行四邊形的對應(yīng)角不一定相等，邊不一定成比例，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
故選：A
2．（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把矩形對折，折痕為，如果矩形和矩形相似，則它們的相似比為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，設(shè)矩形的長，寬，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，即可求得．
【詳解】解：設(shè)矩形的長，寬，
則，
矩形與矩形相似，
，即，
即．
．
故選：A．
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
◇典例2：（2023上·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了相似三角形的判定和勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出，，的長，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解；由網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理得，
A．由勾股定理求得三邊分別為，1，，
∵，
∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似，不符合題意；
B．由勾股定理求得三邊分別為1，，，，
∵，
∴圖中的三角形（陰影部分）與相似，符合題意；
C．由勾股定理求得三邊分別為3，，，
∵，
∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似，不符合題意；
D．由勾股定理求得三邊分別為2，，，
∵，
∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似，不符合題意；
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（江西省2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）出于安全考慮，某村莊準(zhǔn)備在新修的道路轉(zhuǎn)彎處加一個(gè)如圖所示的正三角形的警示牌，用來提醒過往車輛注意安全，已知警示牌的邊長為經(jīng)過一段時(shí)間的使用發(fā)現(xiàn)此警示牌的效果不夠明顯，于是將此警示牌的邊長擴(kuò)大為原來的2倍，那么擴(kuò)大后的警示牌的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵為等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由題可知擴(kuò)大前后的兩個(gè)圖形是相似形，相似比為，
∴面積比為，
∴擴(kuò)大后的面積為，
故選A．
2．（吉林省長春市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗可測量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出的長．
求出和相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出，再根據(jù)外徑的長度解答．
【詳解】解：∵，，
，
∴，
∴，
，
外徑為，
，
．
故選：C．
■考點(diǎn)三　圖形的位似
◇典例3：（2023上·全國·九年級(jí)期末）如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)O，M，N分別是邊，的中點(diǎn)，連接，，，則下列敘述不正確的是（ ）
A．與位似 B．與位似
C．與位似 D．與位似
【答案】B
【分析】本題主要考查了位似三角形，菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理
根據(jù)位似三角形的概念：如果兩個(gè)相似三角形的每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形，結(jié)合菱形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)O，
∴點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，，
∴，
∴與位似，故C不符合題意；
∵M(jìn)是邊的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
同理可得，
∴，，
∴與位似，與位似，故A、D不符合題意；
∵與每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線沒有相交于一點(diǎn)，
∴與不位似，故B符合題意．
故選B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點(diǎn)，則與是位似三角形，此時(shí)與的位似比、位似中心分別是（ ）
A．2、點(diǎn) B．、點(diǎn) C．2、點(diǎn) D．、點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)位似三角形的定義、位似中心的定義解答．
【詳解】點(diǎn)是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點(diǎn)，
各對應(yīng)點(diǎn)的連線交于點(diǎn)，
位似中心是點(diǎn)，
∵與是位似三角形，位似中心到兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的距離之比叫做位似比，
∴與位似比是
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換，掌握位似中心的定義、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期中）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，．若的周長為4，則的周長是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)位似圖形的概念得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】，
與是位似圖形
，
的周長的周長
的周長為4
的周長為
故選：C
■考點(diǎn)四　一線三等角問題
◇典例4：（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．
【詳解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例”．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，，直線與這三條直線分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，則的長為（ ）

A．6 B．4．5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由，利用“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”，即可求出EF的長．
【詳解】解：，
，即，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林·校聯(lián)考一模）如圖，，AF與BE交于點(diǎn)G，若，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解定理的意思．
10．
1．（2021·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)的圖象上，x過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先設(shè)出A的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出C的坐標(biāo)，表示出CE的長度，過點(diǎn)B作BF垂直x軸，證明，由題目條件得出相似比，代換出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，即可求出B的橫坐標(biāo)．
【詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，如圖：
∵點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，且AC⊥x軸，
∴C的坐標(biāo)為，
∴EC=k，
∵BF⊥x軸，CE⊥x軸，
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴ ,
∴，
即,
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)解析式：
當(dāng)時(shí)，，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)及相似三角形，解題關(guān)鍵是將線段比轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似三角形的相似比，由相似三角形的對應(yīng)邊得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）一個(gè)圓錐體容器的主視圖如圖①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如圖②所示，則圖②中，上水面所在圓的半徑長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，，上水面，過點(diǎn)A作，垂足為F，交于點(diǎn)G，則，，，由等腰三角形三線合一，得，；可證，于是，求得．
【詳解】解：如圖，，上水面，過點(diǎn)A作，垂足為F，交于點(diǎn)G，則，
∴
由題知，，
∴，
　即上水面所在圓的半徑長為線段長
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，尋求線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過邊中點(diǎn)，用的值是（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】過作軸于，過作軸于，如圖所示，利用等邊三角形的性質(zhì)及相似得到，代入反比例函數(shù)即可得到．
【詳解】解：過作軸于，過作軸于，如圖所示：

，
，
，
等邊三角形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
由等腰三角形“三線合一”可知，
在中，，，，則，
，
反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過邊中點(diǎn)，
，
，
，即，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求反比例函數(shù)值，涉及等邊三角形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)求值等，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2023·吉林長春·校考二模）如圖，在中，，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；②作直線，與邊相交于點(diǎn)D，與邊相交于點(diǎn)E，連結(jié)．下列說法不一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)作法得：垂直平分，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，然后結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作法得：垂直平分，
∴，，
∴，，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
∴，，，
∴，，
∴，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，D選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．連結(jié)、，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】過點(diǎn)作軸，作，由平行線可得，即，設(shè)點(diǎn)，可用含有的代數(shù)式分別表示，根據(jù)列方程求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作軸，作，
軸，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)，
代入得：，即，
，
，，
，
，
解得：
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與相似三角形，熟練運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)得到邊的關(guān)系并能利用面積列方程是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2023·吉林松原·校考一模）如圖，在中，D是邊上的點(diǎn)，，，則與的面積比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：，，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2023·吉林長春·校考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)、為線段的三等分點(diǎn)，且、在反比例函數(shù)的圖象上，若的面積為12，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】作軸于M，設(shè)，則，由題意可知,然后利用三角形面積公式得到，求得．
【詳解】作軸于M，則，
設(shè)，則
∵，
∴，
∵點(diǎn)、為線段的三等分點(diǎn)，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，表示出A的坐標(biāo)以及的長是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·吉林長春·長春市解放大路學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，將以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D在邊上，交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，推出即可判斷②；利用兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷①；利用相似三角形的性質(zhì)得到，再證明，即可判斷③．
【詳解】解：∵將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ΔADE，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故②正確；
∵，
∴，故①正確；
∴，
∵，
∴，
∴，故③正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記各定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·吉林長春·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊、分別在x軸和y軸上，，點(diǎn)D是邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將沿直線折疊后得到，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則k的值為（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】過作于F，交于E，設(shè)，則，通過證明，得到，解方程組求得m、n的值，即可得到的坐標(biāo)，代入即可求得k的值．
【詳解】解：過作于F，交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
由折疊得：，，
∵，點(diǎn)D是邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，
∴，，，
∴，
易得四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023-吉林長春中考真題）如圖，△ABC和△A’B’C’是以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形, 點(diǎn)A在線段OA’上. 若0A:AA’= 1:2.則△ABC和△A’B’C’的周長之比為 .
[知識(shí)點(diǎn)]求兩個(gè)位似圖形的相似比
[答案] 1:3
[分析]根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案.
[詳解]解: ∵OA:AA’= 1:2.
∴OA:OA’= 1:3,
設(shè)△ABC周長為l1,設(shè)△A’B’C’周長為12,
∵△ABC和△A’B’C’是以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形，
∴l(xiāng)1:l2=1:3.
∴△ABC和△A’B’C'的周長之比為1:3.
故答案為: 1:3.
[點(diǎn)睛]本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì).
11.（2023-吉林白城三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖,當(dāng)用力壓杠桿時(shí),杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),另一端會(huì)向上翹起,石頭就被翹動(dòng)了.在圖②中,杠桿的D端被向上翹起的距離BD = 9cm ,動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA = 3OB ( AB與CD相交于點(diǎn)O) , 要把這塊石頭翹起,至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓 cm.
[知識(shí)點(diǎn)]相似三角形應(yīng)用舉例
[答案] 27
[分析]首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)C向下壓的長度.
[詳解]解:由題意得，AC//BD.
∴ΔAOC∽ΔBOD,
∴AC = 3BD= 27cm,
∴至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓27cm,
故答案為: 27.
[點(diǎn)睛]本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.
12.（2023-吉林松原三模）如圖,D, E分別是ΔABC的邊AB, AC的中點(diǎn),若ΔADE的面積為1 , 則四邊形DBCE的面積等于 。
[知識(shí)點(diǎn)]三角形中位線與三角形面積問題，相似三角形的判定與性質(zhì)綜合
[答案] 3
[分析]根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DE//BC. DE= BC.從而證出ΔADE∽ ΔABC.然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出ΔABC的面積，最后根據(jù)SDBCE= S ABC - SADE即可解答.
[詳解]解: ∵D, E分別是△ABC的邊AB. AC的中點(diǎn)
∴DE//BC. DE= BC..
∴ΔADE∽ ΔABC
∵ΔADE的面積為1,
∴ΔABC的面積為4,
∴SDBCE= S ABC - SADE=4- 1=3.
故答案為: 3.
[點(diǎn)睛]本題主要考查的是三角形中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形中位線的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵。
13.（2022-吉林長春中考真題）如圖①、圖②、圖③均是5 x 5的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的邊長均為1 , 其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中,按下列要求作圖,保留作圖痕跡
(1)網(wǎng)格中A ABC的形狀是 ；
(2)在圖①中確定一點(diǎn),連結(jié)DB、DC,使△DBC與△ABC全等:
(3)在圖②中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn),連結(jié)AE ,使△ABE∽△CBA ；
(4)在圖③中△ABC的邊AB上確定一點(diǎn),在邊BC上確定一點(diǎn)Q ,連結(jié)PQ ,使△PBQ∽△ABC，且相似比為1 :2.
[知識(shí)點(diǎn)]用SSS間接證明三角形全等，勾股定理，與網(wǎng)格問題，判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)綜合
[答案] (1)直角三角形
(2)見解析(答案不唯一)
(3)見解析
(4)見解析
[分析] (1) 運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算出AB, AC, BC的長,再運(yùn)用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論;
(2)作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D,連接BD, CD即可得出△DBC與△ABC全等:
(3)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則可知△ABE∽△CBA:
(4)作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P, Q即為所求.
[詳解] (1) ∵AB2=42+22=20, AC2=22+12=5, BC2=52=25
∴AB2+4C2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,
故答案為:直角三角形;
(2)如圖，點(diǎn)D即為所求作,使△DBC與△ABC全等；
(3)如圖所示，點(diǎn)E即為所作，且使△ABE∽△CBA；
(4) 如圖,點(diǎn)，Q即為所求,使得△PBQ∽△ABC,且相似比為1: 2.
[點(diǎn)睛]本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵.
14.(2021-吉林長春中考真題)如圖,在△ABC中，∠C=90° , AB=5 , BC=3,點(diǎn)D為邊4C的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā),沿折線AB--BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí),連結(jié)PD .作點(diǎn)關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)A’, 連結(jié)A’D、A’A. 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1 )線段AD的長為 .
(2 )用含的代數(shù)式表示線段BP的長.
(3)當(dāng)點(diǎn)(在Δ ABC內(nèi)部時(shí),求的取值范圍.
(4)當(dāng)∠AAD與∠B相等時(shí),直接寫出/的值.
[知識(shí)點(diǎn)]相似三角形，動(dòng)點(diǎn)問題
[答案] (1)2; (2)BP=5.(或者BP=t-5;
(3)[分析] (1) 根據(jù)勾股定理求出AC的長,再根據(jù)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),得到結(jié)果;
(2)由AP=t, AB=5, 得出結(jié)論;
(3)分情況計(jì)算出兩個(gè)臨界值，當(dāng)點(diǎn)A’在AB上時(shí)，DP⊥AB, ΔAPD∽ΔACB, 根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出t=,當(dāng)點(diǎn)A在AC上時(shí)，PD⊥AC,點(diǎn)A'與點(diǎn)C重合, ΔADP∽ΔACB, 根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出t=;最后得出結(jié)論;
(4)根據(jù)要求畫出圖形，利用折疊全等與兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似，證明出三角形相似，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例計(jì)算出各邊的長，最后得到結(jié)果.
[點(diǎn)睛]本題主要考查了直角三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題.相似三角形的判斷與性質(zhì)。勾股定理，解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似證明3角形相似，再結(jié)合勾股定理求出結(jié)論.
1．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）點(diǎn)，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則長度是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)黃金分割的定義，得到，由此計(jì)算得到答案．
【詳解】如圖，
點(diǎn)，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，
，
，
，
故選：．
2．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下面各組圖形中，不是相似圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是相似圖形的識(shí)別，根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，依據(jù)定義即可解決．
【詳解】解：A、兩個(gè)圖形相似，故不符合題意；
B、兩個(gè)圖形相似，故不符合題意;
C、五角星和六角星不相似，故符合題意；
D、所有的圓都相似，故不符合題意，
故選：C．
3．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似
C．菱形都相似 D．正方形都相似
【答案】D
【分析】本題主要考查相似多邊形的判定．根據(jù)相似圖形的判定，對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案．
【詳解】解： A、所有的等腰三角形，邊的比不一定相等，對應(yīng)角不一定對應(yīng)相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
B、所有的直角三角形，邊的比一定相等，而對應(yīng)角不一定對應(yīng)相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C、所有的菱形，對應(yīng)角的度數(shù)一定相同，但對應(yīng)邊的比值不一定相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
D、所有的正方形，邊的比一定相等，而對應(yīng)角也對應(yīng)相等，故正確，符合題意．
故選：D．
4．（2023上·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中校考階段練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．相似多邊形的對應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對應(yīng)角相等
C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形一定是相似多邊形
【答案】D
【分析】此題考查了多邊形的性質(zhì)及判定，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)及定義解答，熟練掌握相似多邊形的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】、 相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
、 相似多邊形的對應(yīng)角相等，此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
、相似多邊形的邊數(shù)相同，此選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
、 對應(yīng)邊成比例，且對應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形是相似多邊形，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選：．
5．（2023上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四邊形四邊形，，，則四邊形與四邊形的周長之比為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了相似多邊形的周長比等于相似比，相似多邊形的周長比等于相似比，根據(jù)性質(zhì)直接可得答案．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的周長比等于相似比．
【詳解】∵四邊形四邊形，，，
∴四邊形與四邊形的周長之比．
故選：D．
6．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠單獨(dú)判定相似于的條件有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定，此題主要考查學(xué)生對相似三角形判定定理的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握．由圖可知與中為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應(yīng)邊成比例即可解答．
【詳解】解：有三個(gè)．
①可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來判定；
②，再加上為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定；
③中不是已知的比例線段的夾角，不正確
④，再加上為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定；
故選：C．
7．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，，要使，只需要添加一個(gè)條件即可，這個(gè)條件不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形判定方法：兩角法、兩邊及其夾角法、三邊法、平行線法．先求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法分析判斷即可．
【詳解】∵，
∴，
∴，
A、添加可利用兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得，故此選項(xiàng)不合題意；
B、添加可利用兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得，故此選項(xiàng)不合題意；
C、添加可利用兩邊及其夾角法：兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故此選項(xiàng)不合題意；
D、添加不能證明，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
8．（2023上·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形邊長均為，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定值求出的邊長，求出三邊的比，再逐項(xiàng)求出各三角形的三邊的比，比相等的即相似，即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由勾股定理得：，，
∵，
∴，
、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似；
、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與相似；
、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似；
、三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與不相似；
故選：．
9．（2023上·北京海淀·九年級(jí)清華附中校考階段練習(xí)）如圖，已知，且，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).
根據(jù)“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”可得，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”可得的值，設(shè)，，則可得，由此可求得的值.
熟練掌握“相似三角形的面積比等于相似比的平方”是解題的關(guān)鍵.
【詳解】，
，
.
，
，
，
設(shè)，
則，
，
即.
故選：D
10．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市東林中學(xué)校考期中）如圖，已知中，，點(diǎn)為邊上任一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若，當(dāng)最大時(shí)，若的半徑為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，連接，可證明，得，則，可知當(dāng)最大時(shí)，則最大，再由，，證明，說明的形狀不變，則為定值，再由，推導(dǎo)出，可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的值最大，所以于是得到問題的答案．
【詳解】解：連接，

∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)最大時(shí)，則最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形狀不變，
∴為定值，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的值最大，
∴，
故選：A．
11．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體在幕布上形成倒立的實(shí)像（點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體的高為，小孔O到地面距離為，則實(shí)像的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：先證明得到，再證明得到，再把①和②相加變形得到，然后把，，代入計(jì)算即可，利用平行線構(gòu)建相似三角形，然后用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系．
【詳解】解：依題意，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
則得，
∴
∴
∵，
∴
解得
故選：A
12．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）圖1是裝滿了液體的高腳杯（數(shù)據(jù)如圖），將其倒出部分液體后，放在水平的桌面上（如圖2），此時(shí)液面（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，，高腳杯前后的兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
13．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)校考期中）如圖，和是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若，的周長為9，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是位似變換的概念，熟記相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)位似圖形的概念，，，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可解答．
【詳解】解：和是位似圖形，
，，
，
，
的的周長是9，
的周長是
故選：A
14．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把放大得到，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則它的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把放大得到，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴的坐標(biāo)為或，即或，
故選D．
15．（2023上·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國家曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是（　　）
A．四邊形與四邊形的相似比為
B．四邊形與四邊形的相似比為
C．四邊形與四邊形的周長比為
D．四邊形與四邊形的面積比為
【答案】D
【分析】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．兩個(gè)位似圖形必須是相似形；對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或共線．先利用位似的性質(zhì)得到，然后根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
，
∴，
四邊形與四邊形的相似比為，周長的比為，面積比為．
故選：D．
16．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，的位似圖形是 （用圖中字母表示），與該三角形的位似比為 ．

【答案】 /
【分析】利用兩個(gè)位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)可判斷的位似圖形是，然后計(jì)算與的比得到位似比．
【詳解】解：以點(diǎn)為位似中心，的位似圖形是，與的位似比為．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：兩個(gè)位似圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行或共線．
17．（2023上·吉林長春·九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到；，，那么與四邊形的面積之比為 ．

【答案】
【分析】本題考查了位似變換，利用位似性質(zhì)得到，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：
∵以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到
∴
∴
故答案為：.
18．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的同側(cè)作等邊三角形，使它與△ABC位似，且相似比為3：1．若四邊形是邊長為6的菱形，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)求出，通過相似比即可得A的坐標(biāo).
【詳解】解：若四邊形是邊長為6的菱形，.
∵是等邊三角形
∴
則
∵，且相似比為3：1
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、位似圖形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
19．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)山東省濟(jì)南第五十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，與是位似圖形，則與的位似比為 ．
【答案】
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)與是位似圖形，由可得兩個(gè)圖形的位似比．利用位似圖形相似之比等于位似之比是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，，則交點(diǎn)就是位似中心，
，
與△的位似比．
故答案為：．
20．（2023上·遼寧錦州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)、成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】主要考查位似圖形的性質(zhì)．
根據(jù)題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質(zhì)得出所在直線與所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，即可求解．
【詳解】解：由圖得：，
設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為：，
所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴位似中心的坐標(biāo)為，
故答案為：．
21．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽市秦都中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)依次為、、．請以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作出的位似圖形，使與相似比為，并寫出點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)．
【答案】作圖見解析，、．
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)以及作位似圖形，根據(jù)位似圖形上對應(yīng)兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比，故連接，且分別延長的一倍，分別記上，再依次連接，即可作答．
【詳解】解：如圖所示；
因?yàn)榕c相似比為，且點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)依次為、、，
所以，，
即、．
22．（2023上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)分別為，．
(1)畫出繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的；
(2)在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作的位似三角形，使與的相似比為；
(3)直接寫出線段與線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可，與關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱；
（2）根據(jù)位似進(jìn)行作圖即可；
（3）由中心對稱、位似的性質(zhì)，判斷作答即可．
【詳解】（1）解：如圖1，即為所求；

（2）解：如圖1，即為所求；
（3）解：由中心對稱、位似的性質(zhì)可知，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了作旋轉(zhuǎn)圖形，中心對稱的性質(zhì)，位似作圖，位似的性質(zhì)．正確作圖是解題的關(guān)鍵．
23．（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，，都在格點(diǎn)上，利用格點(diǎn)按要求完成下列作圖．（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）
(1)圖1中，以為位似中心，位似比為，在格點(diǎn)上將放大得到；請畫出；
(2)圖2中，以線段為邊畫一個(gè)三角形，使它與相似．
(3)圖3中，在線段上畫一個(gè)點(diǎn)，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查了在網(wǎng)格中畫位似圖形和相似三角形，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點(diǎn)的位置．
（1）根據(jù)位似比為，畫出點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)、，然后順次連接即可；
（2）取格點(diǎn)，連接即可；
（3）取格點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)P．
【詳解】（1）解：即為所求
（2）解：即為所求
根據(jù)勾股定理得：，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：點(diǎn)P即為所求，
∵，
∴，，
∴，
∴．
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第六章 圖形的變化
第三節(jié) 圖形的相似
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 相似的有關(guān)概念與相似多邊形 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)圖形的相似部分，每年考查1~3道題,分值為3~12分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握相似的有關(guān)概念與相似多邊形、相似三角形的性質(zhì)與判定、圖形的位似、一線三等角等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 圖形的位似 ☆
考點(diǎn)4 一線三等角問題 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1.相似圖形：形狀相同的圖形叫做 。
2．線段的比：兩條線段的比是 ．
3．比例中項(xiàng)：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的 ．
4．比例的基本性質(zhì)： （a，b，c，d≠0）
5.黃金分割
黃金分割定義：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使 ，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做 ．
6．相似多邊形定義：對應(yīng)角 ，對應(yīng)邊 的兩個(gè)多邊形叫做 ，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的 ．
7．相似多邊形性質(zhì)：
（1）相似多邊形的對應(yīng)邊 ；
（2）相似多邊形的對應(yīng)角 ；
（3）相似多邊形周長的比等于 ，相似多邊形面積的比等于 ．
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
1．定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做 ，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做 ．
2．性質(zhì)：
（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊 ；
（2）相似三角形的對應(yīng)線段（高、中線、角平分線） ；
（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于 ．
3．判定方法：
（1）有兩角 ，兩三角形相似；
（2）兩邊 ，兩三角形相似；
（3）三邊 ，兩三角形相似；
（4） 成比例推論．
4.相似三角形應(yīng)用舉例
利用三角形相似，可以解決一些測量問題，如：
(1)測量不能達(dá)到頂部的物體的高度，通常利用“ ”的原理來解決。
(2)測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)的距離，我們通常構(gòu)造 ，利用相似三角形的性質(zhì)求解。
5.判定三角形相似的思路
①有平行截線用判定定理1；
②有一對等角，找另一對等角或找角的兩邊對應(yīng)成比例；
③有兩邊對應(yīng)成比例找夾角相等或第三邊也成比例或有一對直角；
④直角三角形找一對銳角相等或找兩組直角邊的比相等或斜邊與直角邊成比例；
⑤等腰三角形找頂角相等或一找一對底角相等或底和一腰的比相等。
■考點(diǎn)三　圖形的位似
1．定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做 ，這個(gè)點(diǎn)叫做 ，相似比叫做 ．
2．性質(zhì)：
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以 為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 ；
（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于 ．
3．位似圖形作圖的步驟：
（1）確定 ；
（2）確定原圖形的 ；
（3）確定位似比，即要將圖形 ；
（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的 ；
（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè) ．
■考點(diǎn)四 一線三等角問題
1.定義：一線三等角指的是 ，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫 “ ”。
2.原理：三直角相似可以看著是“ ”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：
當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
3.一般類型：
4.基本類型：
同側(cè)“一線三等角” 異側(cè)“一線三等角”
■易錯(cuò)提示
1.位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
2.兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；
3.兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；
4.位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；
5.平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。
6.相似三角形是平面幾何中既重要，又比較難學(xué)的一部分內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)中難點(diǎn)之一，一般都是壓軸題中考查，很多時(shí)候會(huì)與反比例函數(shù)或一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合在一起。掌握必要的常見相似模型是非常必要的，這樣我們在解決問題時(shí)可以快速添加輔助線構(gòu)造相似模型解決問題。
■考點(diǎn)一　相似的有關(guān)概念與相似多邊形
◇典例1： （2023上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察如圖每組圖形，是相似圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣西桂林·九年級(jí)校考期中）下列圖形是相似多邊形的是（ ）
A．所有的等邊三角形 B．所有的矩形
C．所有的菱形 D．所有的平行四邊形
2．（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把矩形對折，折痕為，如果矩形和矩形相似，則它們的相似比為（ ）
A． B． C．2 D．
■考點(diǎn)二　相似三角形的性質(zhì)與判定
◇典例2：（2023上·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（ ）
A． B．
C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（江西省2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）出于安全考慮，某村莊準(zhǔn)備在新修的道路轉(zhuǎn)彎處加一個(gè)如圖所示的正三角形的警示牌，用來提醒過往車輛注意安全，已知警示牌的邊長為經(jīng)過一段時(shí)間的使用發(fā)現(xiàn)此警示牌的效果不夠明顯，于是將此警示牌的邊長擴(kuò)大為原來的2倍，那么擴(kuò)大后的警示牌的面積是（ ）
A． B． C． D．
2．（吉林省長春市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗可測量零件的內(nèi)孔直徑．若，且量得，則零件的厚度為（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)三　圖形的位似
◇典例3：（2023上·全國·九年級(jí)期末）如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)O，M，N分別是邊，的中點(diǎn)，連接，，，則下列敘述不正確的是（ ）
A．與位似 B．與位似
C．與位似 D．與位似
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點(diǎn)，則與是位似三角形，此時(shí)與的位似比、位似中心分別是（ ）
A．2、點(diǎn) B．、點(diǎn) C．2、點(diǎn) D．、點(diǎn)
2．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期中）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，．若的周長為4，則的周長是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
■考點(diǎn)四　一線三等角問題
◇典例4：（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，，直線與這三條直線分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，則的長為（ ）

A．6 B．4．5 C．3 D．2
2．（2022·吉林·校聯(lián)考一模）如圖，，AF與BE交于點(diǎn)G，若，，，則的值為（　　）
A． B． C． D．1
10．
1．（2021·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)的圖象上，x過點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）一個(gè)圓錐體容器的主視圖如圖①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如圖②所示，則圖②中，上水面所在圓的半徑長為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過邊中點(diǎn)，用的值是（ ）

A． B．3 C． D．
4．（2023·吉林長春·校考二模）如圖，在中，，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；②作直線，與邊相交于點(diǎn)D，與邊相交于點(diǎn)E，連結(jié)．下列說法不一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．連結(jié)、，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（2023·吉林松原·校考一模）如圖，在中，D是邊上的點(diǎn)，，，則與的面積比是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林長春·校考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)、為線段的三等分點(diǎn)，且、在反比例函數(shù)的圖象上，若的面積為12，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2023·吉林長春·長春市解放大路學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，將以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D在邊上，交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2022·吉林長春·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊、分別在x軸和y軸上，，點(diǎn)D是邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將沿直線折疊后得到，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則k的值為（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
10．（2023-吉林長春中考真題）如圖，△ABC和△A’B’C’是以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形, 點(diǎn)A在線段OA’上. 若0A:AA’= 1:2.則△ABC和△A’B’C’的周長之比為 .
11.（2023-吉林白城三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖,當(dāng)用力壓杠桿時(shí),杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),另一端會(huì)向上翹起,石頭就被翹動(dòng)了.在圖②中,杠桿的D端被向上翹起的距離BD = 9cm ,動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA = 3OB ( AB與CD相交于點(diǎn)O) , 要把這塊石頭翹起,至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓 cm.
12.（2023-吉林松原三模）如圖,D, E分別是ΔABC的邊AB, AC的中點(diǎn),若ΔADE的面積為1 , 則四邊形DBCE的面積等于 。
13.（2022-吉林長春中考真題）如圖①、圖②、圖③均是5 x 5的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的邊長均為1 , 其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中,按下列要求作圖,保留作圖痕跡
(1)網(wǎng)格中A ABC的形狀是 ；
(2)在圖①中確定一點(diǎn),連結(jié)DB、DC,使△DBC與△ABC全等:
(3)在圖②中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn),連結(jié)AE ,使△ABE∽△CBA ；
(4)在圖③中△ABC的邊AB上確定一點(diǎn),在邊BC上確定一點(diǎn)Q ,連結(jié)PQ ,使△PBQ∽△ABC，且相似比為1 :2.
14.(2021-吉林長春中考真題)如圖,在△ABC中，∠C=90° , AB=5 , BC=3,點(diǎn)D為邊4C的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā),沿折線AB--BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí),連結(jié)PD .作點(diǎn)關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)A’, 連結(jié)A’D、A’A. 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1 )線段AD的長為 .
(2 )用含的代數(shù)式表示線段BP的長.
(3)當(dāng)點(diǎn)(在Δ ABC內(nèi)部時(shí),求的取值范圍.
(4)當(dāng)∠AAD與∠B相等時(shí),直接寫出/的值.
1．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）點(diǎn)，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則長度是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下面各組圖形中，不是相似圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似
C．菱形都相似 D．正方形都相似
4．（2023上·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中校考階段練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．相似多邊形的對應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對應(yīng)角相等
C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形一定是相似多邊形
5．（2023上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四邊形四邊形，，，則四邊形與四邊形的周長之比為（　　）
A． B． C． D．
6．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠單獨(dú)判定相似于的條件有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
7．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，，要使，只需要添加一個(gè)條件即可，這個(gè)條件不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形邊長均為，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中相似的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023上·北京海淀·九年級(jí)清華附中校考階段練習(xí)）如圖，已知，且，則（　　）
A． B． C． D．
10．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市東林中學(xué)校考期中）如圖，已知中，，點(diǎn)為邊上任一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若，當(dāng)最大時(shí)，若的半徑為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
11．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體在幕布上形成倒立的實(shí)像（點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體的高為，小孔O到地面距離為，則實(shí)像的高度為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）圖1是裝滿了液體的高腳杯（數(shù)據(jù)如圖），將其倒出部分液體后，放在水平的桌面上（如圖2），此時(shí)液面（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)校考期中）如圖，和是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若，的周長為9，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把放大得到，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則它的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．或
15．（2023上·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個(gè)國家曾發(fā)行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出相關(guān)的幾何圖形（圖2），我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2中的四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是（　　）
A．四邊形與四邊形的相似比為
B．四邊形與四邊形的相似比為
C．四邊形與四邊形的周長比為
D．四邊形與四邊形的面積比為
16．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，的位似圖形是 （用圖中字母表示），與該三角形的位似比為 ．

17．（2023上·吉林長春·九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，以點(diǎn)為位似中心，將放大后得到；，，那么與四邊形的面積之比為 ．

18．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的同側(cè)作等邊三角形，使它與△ABC位似，且相似比為3：1．若四邊形是邊長為6的菱形，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ．
19．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)山東省濟(jì)南第五十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，與是位似圖形，則與的位似比為 ．
20．（2023上·遼寧錦州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)、成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為 ．

21．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽市秦都中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)依次為、、．請以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作出的位似圖形，使與相似比為，并寫出點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)．
22．（2023上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)分別為，．
(1)畫出繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的；
(2)在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作的位似三角形，使與的相似比為；
(3)直接寫出線段與線段的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．
23．（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，，都在格點(diǎn)上，利用格點(diǎn)按要求完成下列作圖．（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）
(1)圖1中，以為位似中心，位似比為，在格點(diǎn)上將放大得到；請畫出；
(2)圖2中，以線段為邊畫一個(gè)三角形，使它與相似．
(3)圖3中，在線段上畫一個(gè)點(diǎn)，使．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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