資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第六章 圖形的變化
第二節 圖形的軸對稱、平移與旋轉
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圖形的軸對稱 ☆ 吉林中考中，有關圖形的軸對稱、平移與旋轉部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握圖形的軸對稱、平移、旋轉和最短路徑等考點。
考點2 圖形的平移 ☆☆
考點3 圖形的旋轉 ☆☆
考點4 最短路徑問題 ☆
■考點一　圖形的軸對稱
1.軸對稱圖形與軸對稱
軸對稱圖形 軸對稱
圖形
定義 如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸 如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸
性質
(1)對應線段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′
(2)對應角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′
(3)對應點所連的線段被對稱軸垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′
區別 (1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言； (2)對稱軸不一定只有一條 (1)軸對稱是指③__兩個__圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形； (2)只有一條對稱軸
關系 (1)沿對稱軸對折，兩部分重合； (2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱 (1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合； (2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形
2.軸對稱作（畫）圖
（1）畫圖形的對稱軸
如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，因此我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這個圖形的對稱軸.
對于軸對稱圖形，只要找到任意一對對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸.
（2）畫軸對稱圖形
由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線的對稱點；連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分.
幾何圖形都可以看作是由點組成.對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段的端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.
畫軸對稱圖形的步驟；
①確定原圖形的特殊點；
②作出所有特殊點關于對稱軸的對稱點；
③按原圖形的順序順次連接相應的對稱點.
點撥
“特殊點”是指能確定圖形形狀、大小及位置的關鍵點.如果是多邊形，這些點就是指所有的頂點；如果是線段，這些點就是指線段的兩個端點等.
■考點二　圖形的平移
1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移變換。
2.平移的性質：1）平移前后的兩個圖形形狀和大小完全相同，對應角相等，對應邊相等， 平移前后兩個圖形的周長和面積相等。
2）對應線段（或對應邊）平行(或在同一直線上)且相等。
3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等。
3.平面直角坐標系內平移變化
■考點三　圖形的旋轉
1.旋轉的概念
（1）把一個圖形 的圖形變換叫做旋轉..點O叫做 ，轉動的角叫做 ,如果圖形上的點A經過旋轉變為點A′，那么，這兩個點叫做這個旋轉的對應點.
（2）旋轉的三個要素： .
2.旋轉的性質
(1)對應點到 的距離相等（OA= OA′）；　　
(2) 等于旋轉角；　
(3)旋轉前、后的圖形全等( ).
知識要點：圖形繞某一點旋轉，既可以按 也可以按 .
3.旋轉的作圖
在畫旋轉圖形時，首先確定 ，其次確定圖形的 ，再將這些關鍵點沿 旋轉指定的角度，然后連接 ，形成 ．
知識要點：
作圖的步驟：
(1)連接圖形中的每一個 ；
(2)把連線按要求（ ）繞旋轉中心旋轉 （旋轉角）；
　　(3)在角的一邊上截取關鍵點到 的距離，得到各點的 ；
　　(4)連接所得到的各對應點.
■考點四 最短路徑問題
最短路徑的基本原理：
①兩點之間，線段 。如圖， 號線最短
②點到直線的距離 。如圖， 最短。
③垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離 。如圖，MN是垂直平分線，CA= CB 。
2.最短路徑問題類型
（1）確定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題；
（2）確定終點的最短路徑問題：與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題；
（3）確定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；
（4）全局最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。
■易錯提示
1.找對稱點時，所找對稱點最好是圖形的頂點或拐點，這樣作出的圖形更準確.
2.旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉的關鍵．
3.旋轉中心是點而不是線，旋轉必須指出旋轉方向．
4.旋轉的范圍是平面內的旋轉，否則有可能旋轉成立體圖形，因而要注意此點．
5.全等的圖形不一定是成軸對稱的，成軸對稱的圖形一定是全等的，所以成軸對稱的兩個圖形中，對應線段相等，對應角相等.
6.由一個基本圖案可以通過平移、旋轉和軸對稱以及中心對稱等方法變換出一些復合圖案．
7.利用旋轉設計圖案關鍵是利用旋轉中的三個要素（①旋轉中心； ②旋轉方向； ③旋轉角度）設計圖案．通過旋轉變換不同角度或者繞著不同的旋轉中心向著不同的方向進行旋轉都可設計出美麗的圖案．
8.求直線異側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置.
9.求直線同側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置.
10.平移，旋轉和中心對稱都是全等的圖形變化。變化前后的圖形都是全等的。
11.中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系
中心對稱 中心對稱圖形
區別 (1)是針對兩個圖形而言的； (2)是指兩個圖形的位置關系 (1)是針對一個圖形而言的； (2)是指具有某種性質的一個圖形
聯系 (1)都是通過把圖形旋轉180°重合來定義的； (2)兩者可相互轉化，若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反之，若把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱
■考點一　圖形的對稱
◇典例1： （2022上·貴州黔南·八年級階段練習）2021年是農歷辛丑牛年，習近平總書記勉勵全國各族人民在新的一年發揚“為民服務孺子牛、創新發展拓荒牛、艱苦奮斗老黃?！本瘢成鐓^也開展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對稱圖形的是（　?。?br/>B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·黑龍江雞西·八年級統考階段練習）在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在的（　?。?br/>A．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點
2．（2023上·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）下列軸對稱圖形中，對稱軸最多的是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　圖形的平移
◇典例2：（2024上·黑龍江綏化·七年級校考期末）下列運動屬于平移的是（ ）
A．蕩秋千 B．地球繞著太陽轉
C．風箏在空中隨風飄動 D．急剎車時，汽車在地面上的滑動
◆變式訓練
1．（2023下·七年級課時練習）如圖，通過平移就能達到陰影部分位置的圖形共有______塊（注意：陰影部分本身除外）（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023上·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）將圖①中周長為40的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號正方形和5號長方形，并將它們按圖②的方式放入周長58的長方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長為 （　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
■考點三　圖形的旋轉
◇典例3：（2023上·湖北·九年級校聯考階段練習）如圖，將繞點 C 按逆時針方向旋轉至，使點 D 落在的延長線上．已知，，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·山東臨沂·九年級統考期中）將含有角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標系中，在軸上，若，將三角板繞原點順時針旋轉，則點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南信陽·九年級統考期中）將菱形按如圖所示的方式放置，繞原點將菱形順時針旋轉，每次旋轉，點的對應點依次為、、、…，若，，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
■考點四　最短路徑問題
◇典例4：（2023上·四川巴中·七年級校考階段練習）下列四個生活中產生的現象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B架設電線，總是盡可能沿著線段AB方向架設；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．
其中可用公理“兩點之間，線段最短”來解釋的現象有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
◆變式訓練
1．（2023上·遼寧本溪·八年級校考階段練習）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米．若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
2．（2023上·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）如圖，一圓柱體的底面周長為，高為，是直徑，一只螞蟻從點出發沿著圓柱體的表面爬行到點的最短路程是（　?。?br/>
A． B． C． D．
1．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，在中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學?？既＃┤鐖D，在中，根據圖中圓規作圖的痕跡，可用無刻度直尺畫一條直線將的周長分成相等兩部分的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結論錯誤的是( )

A．是的平分線 B．
C．點在線段的垂直平分線上 D．
5．（2023·吉林松原·統考二模）把圖中的圖案繞著它的中心旋轉一定角度后與自身重合，則這個旋轉角度至少為（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·吉林長春·校考三模）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023-吉林長春一模）如圖,在一塊長為10米,寬為S米的矩形土地中間鋪一條彎曲的石子路 ,石子路的左邊線向右平移x米就是它的右邊線,其余部分種草,則草地面積為 平方米，(用含x的式子表示)
8.（2023-吉林長春模擬預測）如圖,在△ABC中,通過尺規作圖,得到直線DE和射線AF ,仔細觀察作圖痕跡,若∠B=42°， ∠C=50° ,則∠EAF= 。
9.（2021-吉林中考真題）如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(0, 3) ,點B的坐標為(4.0) ,連接AB ,若將ΔABO繞點B順時針旋轉90° , 得到△A'BO',則點A的坐標為 。
10.（2023-吉林長春一模）圖①、圖②、圖③均是2x 2的正方形網格,每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、E、F、G、H、0均在格點上,只用無刻度的直尺，在給定的網格中,分別按下列要求畫圖,保留作圖痕跡.
(1)在圖①中,畫出△ABC的對稱軸;
(2)在圖②中,點是線段DE上的一點,畫出點關于直線的對稱點Q ;
(3)在圖③中,點M是線段0G上一點,在線段0H上確定一點N , 使得OM=ON .
11.（2023-吉林長春二模）在下面的正方形網格中按要求作圖.
(1)在圖①中將△ABC平移,使點A與點C重合,得到△CPQ;
(2)在圖②中將△ABC繞點C逆時針旋轉90° , 得到△MNC ;
(3)在圖③中作△FGH ,使其與△ABC關于線段DE對稱.
1．（2023上·福建寧德·七年級校考期中）在一個長為、寬為、高為的長方體上，居中截去一個長為、寬為、深為的長方體后，得到一個如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點處，沿著幾何體的表面到幾何體上和相對的頂點處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川宜賓·八年級?？计谥校┰谌?形中，到三個頂點距離相等的點是（ ）
A．三條高線所在直線的交點 B．三條中線的交點
C．三條 平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點
3．（2022上·內蒙古赤峰·八年級統考期末）下面圖形中，不是軸對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
4．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在由小正三角形組成的網格中，已有6個小正三角形涂黑，還需涂黑n個小正三角形，使它們和原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則n的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
5．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）點關于軸對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024下·全國·七年級假期作業）下列生活現象中，屬于平移現象的是（ ）
A．急剎車時汽車在地面滑行 B．風車的轉動
C．投影片的文字經投影轉換到屏幕上 D．鐘擺的擺動
7．（2023下·全國·八年級假期作業）如圖，要將圖①中的圖形N平移后得到圖②，則下列關于圖形N的平移方法中，正確的是（ ）
A．向下平移1格 B．向上平移1格
C．向上平移2格 D．向下平移2格
8．（2023上·山東德州·九年級統考期中）中，，將繞點O順時針旋轉，點A的對應點記為C，點B的對應點記為D，順次連接得到四邊形．所得到的四邊形為（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，在正方形中，，E為邊上一點，點F在邊上，且，將點E繞著點F順時針旋轉得到點G，連接，則的長的最小值為（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．
10．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）如圖，將繞點C順時針旋轉得到，連接，若于點H，，則旋轉角為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·遼寧大連·九年級統考期中）把圖中的風車圖案繞著中心順時針旋轉，旋轉后的圖案與原來的圖案重合，旋轉角的度數至少為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河北石家莊·八年級?？茧A段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·吉林長春·八年級吉林省實驗?？计谥校┤鐖D，長方體的底面是邊長為的正方形，側面都是長為的長方形．點是的中點，在長方體下底面的點處有一只螞蟻，它想吃到上底面點處的蜂蜜，則沿著表面需要爬行的最短路程是，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，已知圓柱底面的周長為6cm，圓柱的高為3cm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的長度至少為（ ）
A． B． C． D．6cm
15．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，正方體的棱長為2，E是的中點．已知一只螞蟻沿正方體的表面從點A出發，到達點E，則它運動的最短路程為（ ）
A． B．4 C． D．5
16．（2022上·四川眉山·八年級統考期末）如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上，放著一根長方體木塊，它較長的棱和草地的寬平行且棱長大于，木塊從正面看是邊長為的正方形，一只螞蟻從點出發到達點處需要走的最短路程為（ ）

A．13 B． C． D．
17．（2023上·寧夏吳忠·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，，沿過點B的直線折疊這個三角形使C點落在邊上的E點處，折痕為，則的周長為 ．
18．（2023上·河南安陽·八年級校考期末）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為 ．
19．（2023上·湖北武漢·七年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┤鐖D，將直角沿斜邊的方向平移到的位置，交于點，，，則線段的長為 ．
20．（2023上·吉林白城·九年級統考期末）如圖，將含有的直角三角板ABC繞點B按順時針轉動一個角度到A1BC1的位置，使得點A、B、在同一條直線上，那么轉動的這個角度等于
21．（2023上·江蘇淮安·八年級校考階段練習）如圖，長方體的底面是邊長的正方形，高為． 如果從點開始經過4個側面纏繞2圈到達，那么所用細線最短需要 ．
22．（2023上·河南安陽·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，，網格中每個小正方形的邊長都是1個單位長度．
(1)畫出關于軸對稱的；
(2)在軸上找一點，使的周長最短（不寫做法，只保留作痕跡）．
(3)求的面積．
23．（2023上·四川達州·八年級校考期末）如圖，一只小螞蟻要從A點沿長方體木塊表面爬到B點處吃蜜糖，已知長方體木塊的長、寬、高分別為、、，試計算小螞蟻爬行的最短距離．
24．（2023上·河南駐馬店·九年級林百欣中學校考期末）如圖，在中，，，點在邊上，以點為中心，將線段順時針旋轉得到線段，連接．
(1)求證：平分；
(2)連接交于點，過點作，交的延長線于點．補全圖形，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．
25．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市秦都中學校考階段練習）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知點A、B、C的坐標依次為、、．請以原點O為位似中心，在第一象限內作出的位似圖形，使與相似比為，并寫出點A、B的對應點、的坐標．
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第六章 圖形的變化
第二節 圖形的軸對稱、平移與旋轉
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圖形的軸對稱 ☆ 吉林中考中，有關圖形的軸對稱、平移與旋轉部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握圖形的軸對稱、平移、旋轉和最短路徑等考點。
考點2 圖形的平移 ☆☆
考點3 圖形的旋轉 ☆☆
考點4 最短路徑問題 ☆
■考點一　圖形的軸對稱
1.軸對稱圖形與軸對稱
軸對稱圖形 軸對稱
圖形
定義 如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸 如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸
性質
(1)對應線段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′
(2)對應角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′
(3)對應點所連的線段被對稱軸垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′
區別 (1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言； (2)對稱軸不一定只有一條 (1)軸對稱是指③__兩個__圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形； (2)只有一條對稱軸
關系 (1)沿對稱軸對折，兩部分重合； (2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱 (1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合； (2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形
2.軸對稱作（畫）圖
（1）畫圖形的對稱軸
如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，因此我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這個圖形的對稱軸.
對于軸對稱圖形，只要找到任意一對對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸.
（2）畫軸對稱圖形
由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線的對稱點；連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分.
幾何圖形都可以看作是由點組成.對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段的端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.
畫軸對稱圖形的步驟；
①確定原圖形的特殊點；
②作出所有特殊點關于對稱軸的對稱點；
③按原圖形的順序順次連接相應的對稱點.
點撥
“特殊點”是指能確定圖形形狀、大小及位置的關鍵點.如果是多邊形，這些點就是指所有的頂點；如果是線段，這些點就是指線段的兩個端點等.
■考點二　圖形的平移
1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移變換。
2.平移的性質：1）平移前后的兩個圖形形狀和大小完全相同，對應角相等，對應邊相等， 平移前后兩個圖形的周長和面積相等。
2）對應線段（或對應邊）平行(或在同一直線上)且相等。
3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等。
3.平面直角坐標系內平移變化
■考點三　圖形的旋轉
1.旋轉的概念
（1）把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉..點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角(如∠AO A′),如果圖形上的點A經過旋轉變為點A′，那么，這兩個點叫做這個旋轉的對應點.
（2）旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.
2.旋轉的性質
(1)對應點到旋轉中心的距離相等（OA= OA′）；　　
(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；　
(3)旋轉前、后的圖形全等(△ABC≌△).
知識要點：圖形繞某一點旋轉，既可以按順時針旋轉也可以按逆時針旋轉.
3.旋轉的作圖
在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形．
知識要點：
作圖的步驟：
(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；
(2)把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；
　　(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；
　　(4)連接所得到的各對應點.
■考點四 最短路徑問題
最短路徑的基本原理：
①兩點之間，線段 最短 。如圖， ② 號線最短
②點到直線的距離 最短 。如圖， PC 最短。
③垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離 相等 。如圖，MN是垂直平分線，CA= CB 。
2.最短路徑問題類型
（1）確定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題；
（2）確定終點的最短路徑問題：與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題；
（3）確定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；
（4）全局最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。
■易錯提示
1.找對稱點時，所找對稱點最好是圖形的頂點或拐點，這樣作出的圖形更準確.
2.旋轉是圍繞一點旋轉一定的角度的圖形變換，因而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖形能夠重合，這時判斷旋轉的關鍵．
3.旋轉中心是點而不是線，旋轉必須指出旋轉方向．
4.旋轉的范圍是平面內的旋轉，否則有可能旋轉成立體圖形，因而要注意此點．
5.全等的圖形不一定是成軸對稱的，成軸對稱的圖形一定是全等的，所以成軸對稱的兩個圖形中，對應線段相等，對應角相等.
6.由一個基本圖案可以通過平移、旋轉和軸對稱以及中心對稱等方法變換出一些復合圖案．
7.利用旋轉設計圖案關鍵是利用旋轉中的三個要素（①旋轉中心； ②旋轉方向； ③旋轉角度）設計圖案．通過旋轉變換不同角度或者繞著不同的旋轉中心向著不同的方向進行旋轉都可設計出美麗的圖案．
8.求直線異側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置.
9.求直線同側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置.
10.平移，旋轉和中心對稱都是全等的圖形變化。變化前后的圖形都是全等的。
11.中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系
中心對稱 中心對稱圖形
區別 (1)是針對兩個圖形而言的； (2)是指兩個圖形的位置關系 (1)是針對一個圖形而言的； (2)是指具有某種性質的一個圖形
聯系 (1)都是通過把圖形旋轉180°重合來定義的； (2)兩者可相互轉化，若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反之，若把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱
■考點一　圖形的對稱
◇典例1： （2022上·貴州黔南·八年級階段練習）2021年是農歷辛丑牛年，習近平總書記勉勵全國各族人民在新的一年發揚“為民服務孺子牛、創新發展拓荒牛、艱苦奮斗老黃?！本瘢成鐓^也開展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對稱圖形的是（　?。?br/>B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別；把某個圖形沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個圖形是軸對稱圖形．
【詳解】解：A、C、D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：B．
◆變式訓練
1．（2023上·黑龍江雞西·八年級統考階段練習）在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在的（　　）
A．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點
【答案】A
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等是解答本題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質解答即可．
【詳解】解：根據題意得：當木凳所在位置到A、B、C三個頂點的距離相等時，游戲公平，
∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，
∴凳子應放的最適當的位置是在的三邊垂直平分線的交點．
故選：A．
2．（2023上·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）下列軸對稱圖形中，對稱軸最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的對稱軸的定義即可求解，熟練掌握軸對稱圖形的對稱軸的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：的對稱軸有1條，
的對稱軸有1條，
的對稱軸有3條，
的對稱軸有2條，
則對稱軸最多的是，
故選C．
■考點二　圖形的平移
◇典例2：（2024上·黑龍江綏化·七年級?？计谀┫铝羞\動屬于平移的是（ ）
A．蕩秋千 B．地球繞著太陽轉
C．風箏在空中隨風飄動 D．急剎車時，汽車在地面上的滑動
【答案】D
【分析】此題考查的是平移的判斷，掌握平移的定義是解決此題的關鍵．根據平移的定義：在平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移，逐一判斷即可．
【詳解】A．蕩秋千不屬于平移，故本選項不符合題意；
B．地球繞著太陽轉不屬于平移，故本選項不符合題意；
C．風箏在空中隨風飄動不屬于平移，故本選項不符合題意；
D．急剎車時，汽車在地面上的滑動屬于平移，故本選項符合題意；
故選D．
◆變式訓練
1．（2023下·七年級課時練習）如圖，通過平移就能達到陰影部分位置的圖形共有______塊（注意：陰影部分本身除外）（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】略
2．（2023上·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）將圖①中周長為40的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號正方形和5號長方形，并將它們按圖②的方式放入周長58的長方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長為 （　?。?br/>A．44 B．48 C．46 D．50
【答案】B
【分析】此題考查整式加減的應用，平移的性質，利用平移的性質將不規則圖形變化為規則圖形進而求解，解題的關鍵是設出未知數，列代數式表示各線段進而解決問題．
設1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y，則3號正方形的邊長為，4號正方形的邊長為，5號長方形的長為，寬為，根據圖1中長方形的周長為40，求得，根據圖中長方形的周長為58，求得，根據平移得：沒有覆蓋的陰影部分的周長為四邊形的周長，計算即可得到答案．
【詳解】解：設1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y，則3號正方形的邊長為，4號正方形的邊長為，5號長方形的長為，寬為，
由圖1中長方形的周長為40，可得，，
解得：，
如圖，∵圖2中長方形的周長為58，
∴，
∴，
根據平移得：沒有覆蓋的陰影部分的周長為四邊形的周長，
∴
；
故選：B．
■考點三　圖形的旋轉
◇典例3：（2023上·湖北·九年級校聯考階段練習）如圖，將繞點 C 按逆時針方向旋轉至，使點 D 落在的延長線上．已知，，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．由三角形內角和定理求出，由旋轉的性質得到，即可得到答案．
【詳解】解：，，
由于將繞點 C 按逆時針方向旋轉至，使點 D 落在的延長線上，
，
，
，
，
．
故選A．
◆變式訓練
1．（2023上·山東臨沂·九年級統考期中）將含有角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標系中，在軸上，若，將三角板繞原點順時針旋轉，則點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了坐標與圖形變化和旋轉求出旋轉后與軸夾角為，然后求出點的橫坐標與縱坐標，從而得解．
【詳解】如圖，
三角板繞原點順時針旋轉，
旋轉后與軸夾角為，
，
，
點的橫坐標為，
縱坐標為，
所以，點的坐標為．
故選：C．
2．（2023上·河南信陽·九年級統考期中）將菱形按如圖所示的方式放置，繞原點將菱形順時針旋轉，每次旋轉，點的對應點依次為、、、…，若，，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質、勾股定理、點的坐標規律，連接交于點，求出，從而得出，，，，…，每旋轉次回到起點，由此即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接交于點，
，
四邊形為菱形，，
，，
，，
，
繞原點將菱形順時針旋轉，每次旋轉，點的對應點依次為、、、…，
，，，，…，
每旋轉次回到起點，
，
的坐標為與相同為，
故選：D．
■考點四　最短路徑問題
◇典例4：（2023上·四川巴中·七年級?？茧A段練習）下列四個生活中產生的現象：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B架設電線，總是盡可能沿著線段AB方向架設；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．
其中可用公理“兩點之間，線段最短”來解釋的現象有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】本題考查了直線與線段的辨析，區分“兩點之間，線段最短”與“兩點確定一條直線”是解題關鍵．
【詳解】解：①②屬于兩點確定一條直線，不符合題意；
③④屬于兩點之間，線段最短，符合題意．
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·遼寧本溪·八年級?？茧A段練習）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米．若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理求最短路徑問題，熟練掌握先把立體圖形展開成平面圖形，構造直角三角形，根據兩點之間，線段最短，計算求解即可．
將長方體展開，然后連接，利用勾股定理求的長即可．
【詳解】解：如圖，長方體的展開圖如下：
∴，，
由勾股定理得，，
∴最短的路徑長為厘米，
故選：D．
2．（2023上·河南駐馬店·八年級校考階段練習）如圖，一圓柱體的底面周長為，高為，是直徑，一只螞蟻從點出發沿著圓柱體的表面爬行到點的最短路程是（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查勾股定理解決最短距離問題，根據展開圖是矩形，找到點點，連接，根據勾股定理求解即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，圓柱側面展開圖如圖所示，連接，
，，

∴，
故選：B．
1．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據作圖可得，進而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：根據作圖可得，故A，C正確；
∴在的垂直平分線上，
∴，故D選項正確，
而不一定成立，故B選項錯誤，
故選：B．
【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．
2．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，在中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據尺規作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，根據垂直平分線的性質和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質進行判斷即可．
【詳解】根據尺規作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，
，
，
，
綜上，正確的是A、C、D選項，
故選：B．
【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
3．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖，在中，根據圖中圓規作圖的痕跡，可用無刻度直尺畫一條直線將的周長分成相等兩部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形內角和定理求得，則，根據三線合一即可求解．
【詳解】解：∵在中，
∴，
∴，
∴，
則作圖為的角平分線，將的周長分成相等兩部分，
A選項作圖為的角平分線，B選項為的角平分線，不合題意，
C選項為的角平分線，符合題意，
D選項為的垂直平分線，不合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．
4．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結論錯誤的是( )

A．是的平分線 B．
C．點在線段的垂直平分線上 D．
【答案】D
【分析】A根據作圖的過程可以判定是的角平分線；B利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質來求的度數；C利用等角對等邊可以證得，由線段垂直平分線的判定可以證明點在的垂直平分線上；D利用角所對的直角邊是斜邊的一半求出，進而可得，則．
【詳解】解：根據作圖方法可得是的平分線，故A正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，故B正確，不符合題意；
∵，
∴，
∴點在的垂直平分線上，故C正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則，故D錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題主要考查角平分線的尺規作圖，角平分線的定義，等角對等邊，線段垂直平分線的判定，含直角三角形的性質等知識，能夠熟練通過尺規作圖的痕跡得出是角平分線是解題關鍵．
5．（2023·吉林松原·統考二模）把圖中的圖案繞著它的中心旋轉一定角度后與自身重合，則這個旋轉角度至少為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圖形旋轉對稱性，用除以計算即可得解．
【詳解】解：，
旋轉的角度是的整數倍，
旋轉的角度至少是．
故選：B．
【點睛】本題考查了旋轉對稱圖形，仔細觀察圖形求出旋轉角是的整數倍是解題的關鍵．
6．（2023·吉林長春·校考三模）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
7．（2023-吉林長春一模）如圖,在一塊長為10米,寬為S米的矩形土地中間鋪一條彎曲的石子路 ,石子路的左邊線向右平移x米就是它的右邊線,其余部分種草,則草地面積為 平方米，(用含x的式子表示)
[知識點]用代數式表示式，利用平移的性質求解
[答案] (50- 5x)
[分析]根據平移可知，綠地部分拼成的圖形長為(10-x)米,寬為5米,然后進行計算即可.
[詳解]解:依題意草地部分拼成的圖形長為(10-x)米,寬為5米，
:草地面積為5x (10-x)= (50- 5x)平方米. ,
故答案為: (50- 5x).
[點睛]本題考查了列代數式，平移的性質， 熟練掌握平移的性質是解題的關鍵.
8.（2023-吉林長春模擬預測）如圖,在△ABC中,通過尺規作圖,得到直線DE和射線AF ,仔細觀察作圖痕跡,若∠B=42°， ∠C=50° ,則∠EAF= 。
[知識點]三角形內角和定理的應用，作角平分線(尺規作圖），線段垂直平分線的性質，作垂線(尺規作圖)
[答案] 23
[分析]根據基本作圖得到DE垂直平分AB. AF平分∠EAC,則根據線段垂直平分線的性質得到EA= EB,所以∠EAB=∠B-42°,再利用三角形內角和定理計算出∠BAC= 88°,則∠EAC=46°，然后利用角平分線的定義求解.
[詳解]解:由作圖得DE垂直平分AB, AF平分∠EAC,
∴EA=EB， ∠EAF= ∠CCAF,
∴∠EAB=∠B=42°,
∵∠CBAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-50°=88°,
∴∠EAC=∠BAC-∠E4B=88°-42° =46°，
∴∠EAF=239.
故答案為: 23°.
[點睛]本題考查了作圖-基本作圖:熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵.也考查了三角形內角和定理、線段垂直平分線的性質及角平分線的定義.
9.（2021-吉林中考真題）如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(0, 3) ,點B的坐標為(4.0) ,連接AB ,若將ΔABO繞點B順時針旋轉90° , 得到△A'BO',則點A的坐標為 。
[知識點]求繞某點 (非原點)旋轉90度的點的坐標
[答案] (7,4)
[分析]根據旋轉的性質可求得0A和O'B的長度,進而可求得點A’的坐標.
[詳解]解:作AC⊥x軸于點C.
由旋轉可得∠0'=90°，O'B⊥x軸,
∴四邊形O'BCA'為矩形，
∴BC= AO'=0A=3. A'C= O'B=OB=4,
∴點A坐標為(7,4).
故答案為: (7,4).
[點睛]此題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是根據旋轉找到題目中線段之間的關系.
10.（2023-吉林長春一模）圖①、圖②、圖③均是2x 2的正方形網格,每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、E、F、G、H、0均在格點上,只用無刻度的直尺，在給定的網格中,分別按下列要求畫圖,保留作圖痕跡.
(1)在圖①中,畫出△ABC的對稱軸;
(2)在圖②中,點是線段DE上的一點,畫出點關于直線的對稱點Q ;
(3)在圖③中,點M是線段0G上一點,在線段0H上確定一點N , 使得OM=ON .
[知識點]畫軸對稱圖形,畫對稱軸
[答案] (1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
[分析] (1) 根據網格的特點與軸對稱的性質畫出對稱軸即可求解;
(2)根據軸對稱的性質，過PF與的交點，作射線EQ交DF于點Q,則點Q即為所求;
(3)根據網格的特點作大正方形的對角線，連接MH.過MH與對角線的交點，作射線GN,交網格于點N,OM=ON,點N即為所求.
[詳解] (1)解:如圖所示,
(2)解:如圖所示，點Q即為所求;
(3)解:如圖所示，點N即為所求.
[點睛]本題考查了畫軸對稱，畫軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.
11.（2023-吉林長春二模）在下面的正方形網格中按要求作圖.
(1)在圖①中將△ABC平移,使點A與點C重合,得到△CPQ;
(2)在圖②中將△ABC繞點C逆時針旋轉90° , 得到△MNC ;
(3)在圖③中作△FGH ,使其與△ABC關于線段DE對稱.
[知識點]平移(作圖)，畫軸對稱圖形，畫旋轉圖形
[答案] (1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
[分析] (1) 將點A、B、C向右平移一個單位長度，再向下平移兩個單位長度,最后依次連接各點即可;
(2)先分別作出點A、B、 C繞點C逆時針旋轉90°的對應點，再依次連接即可;
(3)先分別作出點A、B、C關于線段DE的對稱點，再依次連接即可;
[詳解] (1)解:如圖，△CPQ為所作;
(2) 解:如圖，△MNC為所作;
(3)解:如圖，△FGH為所作.
[點睛]本題主要考查了平移作圖,旋轉作圖，軸對稱作圖，解題的關鍵是掌握旋轉變換和平移變換以及軸對稱的特征，畫出原三角形各個頂點的對應點是解題的關鍵.
1．（2023上·福建寧德·七年級?？计谥校┰谝粋€長為、寬為、高為的長方體上，居中截去一個長為、寬為、深為的長方體后，得到一個如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點處，沿著幾何體的表面到幾何體上和相對的頂點處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了長方體展成平面圖形，熟練掌握兩點之間線段最短，利用勾股定理求最短路徑，是解答本題的關鍵．
根據兩點之間線段最短即可確定螞蟻爬行的最短路徑為，利用勾股定理求出，由此得到答案．
【詳解】解：如圖，將圖中的幾何體上表面展開，連接，則螞蟻需要爬行的最短路徑為的長，
根據題意得：
，，
由勾股定理得：，
，
螞蟻需要爬行的最短路徑的長為，
故選．
2．（2023上·四川宜賓·八年級?？计谥校┰谌?形中，到三個頂點距離相等的點是（ ）
A．三條高線所在直線的交點 B．三條中線的交點
C．三條 平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點
【答案】D
【分析】由題意直接根據垂直平分線的性質，進行分析即可得出答案．
本題考查的是垂直平分線的性質，熟練掌握垂直平分線到線段兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
【詳解】解：到三個頂點距離相等的點是三邊垂直平分線的交點，
故選：D．
3．（2022上·內蒙古赤峰·八年級統考期末）下面圖形中，不是軸對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，解題的關鍵是尋找對稱軸，看圖形對折后兩部分是否完全重合．據此解答即可．
【詳解】解：A．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．該圖形不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：B．
4．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在由小正三角形組成的網格中，已有6個小正三角形涂黑，還需涂黑n個小正三角形，使它們和原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則n的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】本題考查了利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是掌握常見圖形的性質和軸對稱圖形的性質．由等邊三角形有三條對稱軸可得答案．
【詳解】解：如圖所示，n的最小值為3．
故選：C．
5．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）點關于軸對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了關于軸對稱的點的坐標，根據關于軸對稱的點的坐標規律：橫坐標相同，縱坐標互為相反數，即可得出答案，熟練掌握關于軸對稱的點的坐標規律是解此題的關鍵．
【詳解】解：點關于軸對稱的點的坐標為，
故選：A．
6．（2024下·全國·七年級假期作業）下列生活現象中，屬于平移現象的是（ ）
A．急剎車時汽車在地面滑行 B．風車的轉動
C．投影片的文字經投影轉換到屏幕上 D．鐘擺的擺動
【答案】A
【解析】略
7．（2023下·全國·八年級假期作業）如圖，要將圖①中的圖形N平移后得到圖②，則下列關于圖形N的平移方法中，正確的是（ ）
A．向下平移1格 B．向上平移1格
C．向上平移2格 D．向下平移2格
【答案】D
【解析】略
8．（2023上·山東德州·九年級統考期中）中，，將繞點O順時針旋轉，點A的對應點記為C，點B的對應點記為D，順次連接得到四邊形．所得到的四邊形為（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】本題考查了菱形的判定、旋轉的性質等知識點，由旋轉知識可得，，可得，即可得四邊形ABCD為菱形，熟練掌握旋轉的性質是解題關鍵．
【詳解】解：如圖：是繞點O順時針旋轉180°所得，
由旋轉可知，，，
∵，
∴，
∴四邊形為菱形，
故選：．
9．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，在正方形中，，E為邊上一點，點F在邊上，且，將點E繞著點F順時針旋轉得到點G，連接，則的長的最小值為（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
過點G作，垂足為H，可得，根據正方形的性質可得，根據旋轉的性質可得，然后利用同角的余角相等可得，從而可證，進而可得，最后可得點G在與平行且與的距離為的直線上，從而可得當點G在邊上時，的值最小，進行計算即可解答.
【詳解】解：過點G作，垂足為H，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
由旋轉得：，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴點G在與平行且與的距離為1的直線上，
∴當點G在邊上時，最小且，
∴的最小值為4，
故選：C．
10．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）如圖，將繞點C順時針旋轉得到，連接，若于點H，，則旋轉角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了旋轉變換的性質、等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，應牢固掌握旋轉變換的性質，由旋轉變換的性質知，根據于點H，，可求出的度數，進而可求出旋轉角的度數．
【詳解】解：將繞點C順時針旋轉得到，
，
，
，
，
，
，
．
故選：C．
11．（2023上·遼寧大連·九年級統考期中）把圖中的風車圖案繞著中心順時針旋轉，旋轉后的圖案與原來的圖案重合，旋轉角的度數至少為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．圖案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圓心角是，并且圓具有旋轉不變性，因而旋轉90度的整數倍，就可以與自身重合．
【詳解】解：該圖形被平分成四部分，旋轉90度的整數倍，就可以與自身重合，旋轉角至少為．
故選：C．
12．（2023上·河北石家莊·八年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【詳解】、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：．
13．（2023上·吉林長春·八年級吉林省實驗?？计谥校┤鐖D，長方體的底面是邊長為的正方形，側面都是長為的長方形．點是的中點，在長方體下底面的點處有一只螞蟻，它想吃到上底面點處的蜂蜜，則沿著表面需要爬行的最短路程是，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平面展開,最短問題，勾股定理及兩點之間線段最短，將棱柱展開，根據兩點之間線段最短即可得到最短路徑，利用勾股定理解答即可，將棱柱的側面展開圖正確畫出來是解題的關鍵．
【詳解】解：將棱柱展開如圖所示，
∵棱柱的底面是邊長為的正方形，側面都是長為的長方形，點是的中點，
∴，
∴，
故選：．
14．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，已知圓柱底面的周長為6cm，圓柱的高為3cm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的長度至少為（ ）
A． B． C． D．6cm
【答案】B
【解析】略
15．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，正方體的棱長為2，E是的中點．已知一只螞蟻沿正方體的表面從點A出發，到達點E，則它運動的最短路程為（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【解析】略
16．（2022上·四川眉山·八年級統考期末）如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上，放著一根長方體木塊，它較長的棱和草地的寬平行且棱長大于，木塊從正面看是邊長為的正方形，一只螞蟻從點出發到達點處需要走的最短路程為（ ）

A．13 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理與最短路徑問題，從不同的方向看幾何體，將木塊展開，然后根據兩點之間線段最短利用勾股定理解答即可．
【詳解】解：如圖所示，將木塊展開，
由題意得，展開后的長方形的長為，寬為，
∴一只螞蟻從點出發到達點處需要走的最短路程為，
故選A．

17．（2023上·寧夏吳忠·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，，沿過點B的直線折疊這個三角形使C點落在邊上的E點處，折痕為，則的周長為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了翻折變換的性質，熟記翻折前后兩個圖形能夠完全重合得到相等的線段是解題的關鍵．根據翻折變換的性質可得，然后求出，再根據三角形的周長列式求解即可．
【詳解】沿折疊點落在邊上的點處，
的周長
故答案為5．
18．（2023上·河南安陽·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校c關于軸對稱的點的坐標為 ．
【答案】(-2,3)
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱，關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標相同，據此可得答案．
【詳解】解：在平面直角坐標系xOy中，點(2,3)關于軸對稱的點的坐標為(-2,3)，
故答案為：(-2,3)．
19．（2023上·湖北武漢·七年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）如圖，將直角沿斜邊的方向平移到的位置，交于點，，，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了平移，線段的和差，解決問題的關鍵是熟練掌握平移的性質，線段和差的計算．根據平移性質得到，結合，推出．
【詳解】解：的是直角三角形沿著斜邊的方向平移后得到的，
，
，
，
故答案為：．
20．（2023上·吉林白城·九年級統考期末）如圖，將含有的直角三角板ABC繞點B按順時針轉動一個角度到A1BC1的位置，使得點A、B、在同一條直線上，那么轉動的這個角度等于 。
【答案】
【分析】本題考查了旋轉的性質，正確記憶三角板的角的度數，理解旋轉角的概念，是解決本題的關鍵．
根據三角尺的度數以及旋轉的性質可得為旋轉角，，接下來，根據平角等于求出即可．
【詳解】 ，，是旋轉得到，
，
三角板中旋轉角是，
，即旋轉角為．
故答案為：．
21．（2023上·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）如圖，長方體的底面是邊長的正方形，高為． 如果從點開始經過4個側面纏繞2圈到達，那么所用細線最短需要 ．
【答案】10
【分析】本題考查勾股定理得實際應用—最短路徑問題，將長方體展開，利用勾股定理求出最短距離即可．
【詳解】解：將長方體展開如圖：
∵點開始經過4個側面纏繞2圈到達，
∴展開后：，
由勾股定理得：；
故答案為：10．
22．（2023上·河南安陽·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，，網格中每個小正方形的邊長都是1個單位長度．
(1)畫出關于軸對稱的；
(2)在軸上找一點，使的周長最短（不寫做法，只保留作痕跡）．
(3)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱，軸對稱最短路徑問題，求三角形面積：
（1）根據關于x軸對稱的點橫坐標相同，縱坐標互為相反數找到A、B、C對應點的位置，然后順次連接即可；
（2）如圖所示，作點A關于y軸的對稱點D，連接交y軸于P，點P即為所求；
（3）利用網格的特點結合三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，作點A關于y軸的對稱點D，連接交y軸于P，點P即為所求；
（3）解：．
23．（2023上·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，一只小螞蟻要從A點沿長方體木塊表面爬到B點處吃蜜糖，已知長方體木塊的長、寬、高分別為、、，試計算小螞蟻爬行的最短距離．
【答案】
【分析】本題考查了平面展開最短路線問題，勾股定理的應用，根據題意畫出不同數值的三種情況，根據勾股定理求出每種情況的，再比較即可．
【詳解】解：展開后有三種不同的情況如圖，
如圖1，，
如圖2，，
如圖3，，
，
小螞蟻爬行的最短路線為．
24．（2023上·河南駐馬店·九年級林百欣中學校考期末）如圖，在中，，，點在邊上，以點為中心，將線段順時針旋轉得到線段，連接．
(1)求證：平分；
(2)連接交于點，過點作，交的延長線于點．補全圖形，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
【分析】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的判定等知識，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．
（1）由旋轉可得可得，然后“”可證，可得結論；
（2）在上截取，連接，在延長線時取點，使，連接，由“”證明，，可得，，，由平行線的性質及等量代換可得，，即可得結論．
【詳解】（1）證明：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
證明：如圖，在上截取，連接，在延長線時取點，使，連接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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