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2024年中考數學一輪復習精講精練
模塊四 三角形
專題5 銳角三角函數
銳角三角函數 概念 （1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數. （2）在△ABC中，∠C=90°， ∠A的正弦sin A=， ∠A的余弦cos A=， ∠A的正切tan A=.
特殊角的三角函數值 三角函數 30° 45° 60°
sin ɑ
cosɑ
tan ɑ 1
解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有5個元素,即3條邊和2個銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形.
①已知一條直角邊和一個銳角(如a，∠A),其解法為：∠B=90°-∠A；c=； ②已知斜邊和一個銳角(如c，∠A)，其解法為：∠B=90°-∠A；a=； ③已知兩直角邊(如a，b)，其解法為：c2=a2+b2,tan A=； ④已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b2=c2-a2，sin A=.
（1）仰角與俯角：當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角. （2）方位角:目標方向線與正北方向線順時針時的夾角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡度(或坡比)，記作i=.坡面與水平面的夾角(α)，叫做坡角.
【題型一】銳角三角函數的定義
【例1.1】（2023 陜西）如圖，在6×7的網格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（　　）
A． B． C． D．
解：連接AD，則∠ADB＝90°，
∵AD＝＝2，AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故選：A．
【例1.2】（2023 宿遷）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝　　．
解：如圖，連接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
則BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案為：．
【題型二】特殊的銳角三角函數值
【例2.1】（2022 天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【例2.2】（2022 荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　﹣1　．
解：+cos60°﹣（﹣2022）0
＝﹣+﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【例2.3】（2022 貴港）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數值即可求解．
【詳解】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故選A．
【題型三】解直角三角形
【例3.1】（2023 南充）如圖，小兵同學從A處出發向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（　　）
A．米 B．米 C．x sinα米 D．x cosα米
解：由題意得：BC⊥AB，
在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，
∴AC＝＝（米），
∴A，C兩處相距米，
故選：B．
【例3.2】（2023 常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝　 　．
解：設AD＝t，
∵BD＝CD，＝，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，
∴tanB＝＝＝，
故答案為：．
【例3.3】（2023 牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數為 　 　cm．
解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵BC∥OA，
∴∠BCO＝∠AOC，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∵△ODB是等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝2cm，
∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．
∴OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數為（2+2）cm．
故答案為：（2+2）．
【例3.4】（2022 宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（ ）
A． B． C． D．
解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根據折疊可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
設，則，
在中，，
即，
解得：，則，
∴，故C正確．
故選：C．
【例3.5】（2023 河南）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H．經測量，點A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結果精確到）．
解：由題意可知，，，
則，
∴，
∵，，
則，
∴，
∵，則，
∴，
∴，
答：樹的高度為．
【題型四】解直角三角形的應用——方位角問題
【例4.1】（2023 通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數）？（參考數據：．）

解：設與燈塔P的正東方向相交于點C，
根據題意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B處距離燈塔P大約有．
【例4.2】（2023 內蒙古）為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為點和點，行進路線為．點在點的南偏東方向處，點在A點的北偏東方向，行進路線和所在直線的夾角為．

(1)求行進路線和所在直線的夾角的度數；
(2)求檢查點和之間的距離（結果保留根號）．
（1）解：如圖，根據題意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行進路線和所在直線的夾角為．
（2）過點A作，垂足為．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：檢查點和之間的距離為．
【題型五】解直角三角形的應用——仰角俯角問題
【例5.1】（2023 張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數學興趣小組用無人機測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結果精確到1m，參考數據：，，）

解：延長，交的延長線于點C，
則

由題意得，，，
在中，，
則
∴，
在中，，
解得，
∴奇樓的高度約為．
【例5.2】（2023 涼山）超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內的兩處安裝了測速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點都在同一平面內，且在同一直線上．點、點到的距離分別為，且，在處測得點的俯角為，在處測得點的俯角為，小型汽車從點行駛到點所用時間為．

(1)求兩點之間的距離（結果精確到）；
(2)若該隧道限速80千米/小時，判斷小型汽車從點行駛到點是否超速？并通過計算說明理由．（參考數據：）
（1）解：∵點、點到的距離分別為，
∴，，而，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
由題意可得：，，，
∴，，
∴
（2）∵小型汽車從點行駛到點所用時間為．
∴汽車速度為，
∵該隧道限速80千米/小時，
∴，
∵，
∴小型汽車從點行駛到點沒有超速．
【例5.3】（2023 宜賓）渝昆高速鐵路的建成，將會顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國內首創的公鐵平層設計．為測量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點處，測得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂的仰角，左橋墩底的俯角，求的長度．（結果精確到米．參考數據：，）

解：如圖所示，上截取，使得，

∴，
∵
∴，
設，在中，，
∴
又
∴
∴
即米
【題型六】解直角三角形的應用——坡角坡度問題
【例6.1】（2023 遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F在同一平面內，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

(1)求登山纜車上升的高度；
(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）（參考數據：）
（1）解：如圖，過B點作于C，于E，則四邊形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山纜車上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴從山底A處到達山頂處大約需要：
，
答：從山底A處到達山頂處大約需要.
【例6.2】（2023 湖北）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

解：過點作于點，則四邊形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的長約為10米．
1．(2022 濱州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sin A的值為 .
解：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=13
∴sinA=．
故答案為：．
2．（2023 益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
∴sin∠BAC＝＝，
故選：C．
3．（2023 廣元）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標為 　 　．
解：設C（a，0），
∴OC＝a，
∵點A（1，0），點B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝＝
在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，
∴∠OBA＝∠ABC，
過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a＝，
∴C（，0），
故答案為：（，0）．
4．（2023 山東）某數學活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點，在點和建筑物之間選擇一點，測得．用高的測角儀在處測得建筑物頂部的仰角為，在處測得仰角為，則該建筑物的高是_________．

解：由題意可得：四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，

∴，，
在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，，即，
解得，
∴
故答案為：．
5．（2022 常州）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．
解：過點作的垂線交于，
，
四邊形為矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
6．（2023 北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|．
解：原式＝43+2﹣2
＝23+2﹣2
＝5．
7．（2023 蘭州）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”．“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點共線，．結果精確到0.1m）（參考數據：，，，，，）

解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴,
答：“龍”字雕塑的高度為．
8．（2023 大連）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場景．已知，，點關于點的仰角為，則樓的高度為多少？（結果保留整數．參考數據：）

解：如圖所示，延長交于點，

∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：樓的高度為．
9．（2023 重慶）人工海產養殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養殖場捕撈海產品，經測量，A在燈塔C的南偏西方向，B在燈塔C的南偏東方向，且在A的正東方向，米．

(1)求B養殖場與燈塔C的距離（結果精確到個位）；
(2)甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米/每分鐘，請計算說明甲組能否在9分鐘內到達B處？（參考數據：，）
（1）解：如圖，過點作于點，

由題意得：，
，
米，
米，
答：養殖場與燈塔的距離為2545米．
（2）解：米，
米，
則甲組到達處所需時間為（分鐘）分鐘，
所以甲組能在9分鐘內到達處．
10．（2023· 紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數．
(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在発子上，最高可以把籃網掛到離地面米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：）
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）該運動員能掛上籃網，理由如下．
如圖，延長交于點，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴該運動員能掛上籃網．
11．（2023 瀘州）如圖，某數學興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點A出發，沿斜面坡度為的斜坡前進到達點，再沿水平方向繼續前進一段距離后到達點．在點處測得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數據：，，，計算結果用根號表示，不取近似值）．

解：延長，交于點G，過點B作于點F，如圖所示：

則，
∵斜面的坡度為，
∴設，則，
在中，根據勾股定理得：，
即，
解得：，負值舍去，
即，
∵為水平方向，為豎直方向，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古樹的高度為．
1．（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
解：原式
，
答案：B．
2．（2021·云南）在中，，若，則的長是（ ）
A． B． C．60 D．80
解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB==80，
故選D．
3．(2022 陜西)如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，則邊AB的長為(　 　)
A．3 B．3
C．6 D．3
解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3；
∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°；
在Rt△ADC中，tanC==2，
∴AD=2CD=6；
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2；
∴AB==6。
故選D。
4．（2022 荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，，連接AC，過點O作交AC的延長線于P．若，則的值是（ ）
A． B． C． D．3
解：∵P點坐標為（1，1），
則OP與x軸正方向的夾角為45°，
又∵，
則∠BAO=45°，為等腰直角形，
∴OA=OB，
設OC=x，則OB=2OC=2x，
則OB=OA=3x，
∴．
5．（2022 通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點，，都在格點上，以為直徑的圓經過點，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
解：∵為直徑，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：B．
6．（2023 荊州）如圖，無人機在空中處測得某校旗桿頂部的仰角為，底部的俯角為，無人機與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為___________．（，結果精確到0.1）

解：根據題意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案為：．
7．（2023 眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．

解：如圖，過點作交于點，

由題意可知,，
設為x，
，，
根據，可得方程，
解得，
漁船與燈塔C的最短距離是海里，
故答案為：．
8．（2023 廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態，當兩臂，兩臂夾角時，求A，B兩點間的距離．(結果精確到，參考數據，，)

解：連接，作于D，

∵，，
∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B兩點間的距離為．
9．（2023 懷化）為弘揚革命傳統精神，清明期間，某校組織學生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀念碑的通高（碑頂到水平地面的距離），于是師生組成綜合實踐小組進行測量．他們在地面的點用測角儀測得碑頂的仰角為，在點處測得碑頂的仰角為，已知，測角儀的高度是（、、在同一直線上），根據以上數據求烈士紀念碑的通高．（，結果保留一位小數）

解：依題意，四邊形是矩形，米，米，
∵
∴
∴，
∴米，
在中，
∴米
∴米
10．（2023 臨沂）如圖，燈塔A周圍9海里內有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續航行6海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續向西航行，有沒有觸礁的危險？
（參考數據：）

解：過點作，由題意，得：，，，
設，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴漁船沒有觸礁的危險．
11．（2023 隨州）某校學生開展綜合實踐活動，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為，在D處測得建筑物頂端A的仰角為．（已知點A，B，C，D在同一平面內，B，C在同一水平線上）

(1)求點D到地面的距離；
(2)求該建筑物的高度．
（1）解：過點D作，

由題意可得，
∴在Rt中，，
即點D到地面的距離為5米；
（2）如圖，

由題意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：該建筑物的高度為15米．
12．（2023 湖南）隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學樓的高度．
(2)若無人機保持現有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續向前勻速飛行，求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．
（1）解：過點B作于點G，
根據題意可得：，米，，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵長為米，
∴（米），
答：教學樓的高度為米．
（2）解：連接并延長，交于點H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵無人機以米/秒的速度飛行，
∴離開視線的時間為：（秒），
答：無人機剛好離開視線的時間為12秒．

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模塊四 三角形
專題5 銳角三角函數
銳角三角函數 概念 （1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數. （2）在△ABC中，∠C=90°， ∠A的正弦sin A=， ∠A的余弦cos A=， ∠A的正切tan A=.
特殊角的三角函數值 三角函數 30° 45° 60°
sin ɑ
cosɑ
tan ɑ 1
解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有5個元素,即3條邊和2個銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形.
①已知一條直角邊和一個銳角(如a，∠A),其解法為：∠B=90°-∠A；c=； ②已知斜邊和一個銳角(如c，∠A)，其解法為：∠B=90°-∠A；a=； ③已知兩直角邊(如a，b)，其解法為：c2=a2+b2,tan A=； ④已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b2=c2-a2，sin A=.
（1）仰角與俯角：當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角. （2）方位角:目標方向線與正北方向線順時針時的夾角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡度(或坡比)，記作i=.坡面與水平面的夾角(α)，叫做坡角.
【題型一】銳角三角函數的定義
【例1.1】（2023 陜西）如圖，在6×7的網格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（　　）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023 宿遷）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝　　．
【題型二】特殊的銳角三角函數值
【例2.1】（2022 天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【例2.2】（2022 荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　 　．
【例2.3】（2022 貴港）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（ ）
A． B． C． D．
【題型三】解直角三角形
【例3.1】（2023 南充）如圖，小兵同學從A處出發向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（　　）
A．米 B．米 C．x sinα米 D．x cosα米
【例3.2】（2023 常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝　 　．
【例3.3】（2023 牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數為 　 　cm．
【例3.4】（2022 宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（ ）
A． B． C． D．
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【例3.5】（2023 河南）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H．經測量，點A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結果精確到）．
【題型四】解直角三角形的應用——方位角問題
【例4.1】（2023 通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數）？（參考數據：．）

【例4.2】（2023 內蒙古）為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為點和點，行進路線為．點在點的南偏東方向處，點在A點的北偏東方向，行進路線和所在直線的夾角為．
(1)求行進路線和所在直線的夾角的度數；
(2)求檢查點和之間的距離（結果保留根號）．
【題型五】解直角三角形的應用——仰角俯角問題
【例5.1】（2023 張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數學興趣小組用無人機測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結果精確到1m，參考數據：，，）

【例5.2】（2023 涼山）超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內的兩處安裝了測速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點都在同一平面內，且在同一直線上．點、點到的距離分別為，且，在處測得點的俯角為，在處測得點的俯角為，小型汽車從點行駛到點所用時間為．

(1)求兩點之間的距離（結果精確到）；
(2)若該隧道限速80千米/小時，判斷小型汽車從點行駛到點是否超速？并通過計算說明理由．（參考數據：）
【例5.3】（2023 宜賓）渝昆高速鐵路的建成，將會顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國內首創的公鐵平層設計．為測量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點處，測得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂的仰角，左橋墩底的俯角，求的長度．（結果精確到米．參考數據：，）

【題型六】解直角三角形的應用——坡角坡度問題
【例6.1】（2023 遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F在同一平面內，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

(1)求登山纜車上升的高度；
(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）（參考數據：）
【例6.2】（2023 湖北）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

1．(2022 濱州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sin A的值為 .
2．（2023 益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 廣元）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標為 　 　．
4．（2023 山東）某數學活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點，在點和建筑物之間選擇一點，測得．用高的測角儀在處測得建筑物頂部的仰角為，在處測得仰角為，則該建筑物的高是_________．

5．（2022 常州）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．
6．（2023 北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|．
7．（2023 蘭州）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”．“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點共線，．結果精確到0.1m）（參考數據：，，，，，）

8．（2023 大連）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場景．已知，，點關于點的仰角為，則樓的高度為多少？（結果保留整數．參考數據：）

9．（2023 重慶）人工海產養殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養殖場捕撈海產品，經測量，A在燈塔C的南偏西方向，B在燈塔C的南偏東方向，且在A的正東方向，米．

(1)求B養殖場與燈塔C的距離（結果精確到個位）；
(2)甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米/每分鐘，請計算說明甲組能否在9分鐘內到達B處？（參考數據：，）
10．（2023· 紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數．
(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在発子上，最高可以把籃網掛到離地面米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：）
11．（2023 瀘州）如圖，某數學興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點A出發，沿斜面坡度為的斜坡前進到達點，再沿水平方向繼續前進一段距離后到達點．在點處測得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數據：，，，計算結果用根號表示，不取近似值）．

1．（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
2．（2021·云南）在中，，若，則的長是（ ）
A． B． C．60 D．80
3．(2022 陜西)如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，則邊AB的長為(　 　)
A．3 B．3 C．6 D．3
4．（2022 荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，，連接AC，過點O作交AC的延長線于P．若，則的值是（ ）
A． B． C． D．3
5．（2022 通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點，，都在格點上，以為直徑的圓經過點，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023 荊州）如圖，無人機在空中處測得某校旗桿頂部的仰角為，底部的俯角為，無人機與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為___________．（，結果精確到0.1）

7．（2023 眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．

8．（2023 廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態，當兩臂，兩臂夾角時，求A，B兩點間的距離．(結果精確到，參考數據，，)

9．（2023 懷化）為弘揚革命傳統精神，清明期間，某校組織學生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀念碑的通高（碑頂到水平地面的距離），于是師生組成綜合實踐小組進行測量．他們在地面的點用測角儀測得碑頂的仰角為，在點處測得碑頂的仰角為，已知，測角儀的高度是（、、在同一直線上），根據以上數據求烈士紀念碑的通高．（，結果保留一位小數）

10．（2023 臨沂）如圖，燈塔A周圍9海里內有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續航行6海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續向西航行，有沒有觸礁的危險？
（參考數據：）

11．（2023 隨州）某校學生開展綜合實踐活動，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為，在D處測得建筑物頂端A的仰角為．（已知點A，B，C，D在同一平面內，B，C在同一水平線上）

(1)求點D到地面的距離；
(2)求該建筑物的高度．
12．（2023 湖南）隨著科技的發展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學樓的高度．
(2)若無人機保持現有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續向前勻速飛行，求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．

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