資源簡介

2024年中考數學一輪復習精講精練
模塊四 三角形
專題4 相似三角形
相似 比例線段 比例線段 在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即a∶b＝c∶d，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
比例的基本性質 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
平行線分線段成比例和黃金分割 平行線分線段成比例 ①如圖1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推論：如圖2，∵EF∥BC，∴＝，或.
黃金分割 如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．其中＝≈0.618.
相似三角形 性質 (1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比等于相似比。 (2)相似三角形周長的比等于相似比。 (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比。
判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。 (2)三邊對應成比例，兩三角形相似。 (3)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。 (4)兩角對應相等，兩三角形相似。。
位似 定義 如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點A，A′的連線都經過同一個點O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心，k就是這兩個相似多邊形的相似比．
性質 ①位似多邊形一定相似，位似多邊形具有相似多邊形的一切性質； ②位似多邊形上任意一對對應點連線都經過位似中心，并且到位似中心的距離之比等于相似比.
找位似中心的方法 將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
相似 畫位似圖形的步驟 （1）確定位似中心； （2）確定原圖形的關鍵點； （3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數； （4）作出原圖形中各關鍵點的對應點； （5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．
相似模型 A字型 （1）如圖1，公共角所對的邊平行(DE∥BC)，則△ADE∽△ABC； （2）如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一組角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，則△AED∽△ABC.
8字型 （1）如圖1，對頂角的對邊平行(AB∥CD)，則△ABO∽△DCO； （2）如圖2，對頂角的對邊不平行，且有另一對角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，則△ABO∽△CDO.
母子型 已知：，結論：
一線三等角型（K型圖） 已知：∠B=∠ACE=∠D，結論：△ABC∽△CDE
雙垂型 已知：∠C=90°，CD為斜邊AB上的高 結論：△ABC∽△ACD∽△CBD
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【題型一】比例線段
【例1.1】（2022 麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（ ）
A． B．1 C． D．2
解：過點作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，
根據題意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故選：C
【例1.2】（2023 安徽）如圖，點在正方形的對角線上，于點，連接并延長，交邊于點，交邊的延長線于點．若，，則（ ）

A． B． C． D．
解：∵四邊形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
則，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故選：B．
【題型二】相似三角形的性質與判定
【例2.1】（2023 重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應邊的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
解：∵兩個相似三角形周長的比為1：4，
∴這兩個三角形對應邊的比為1：4，
故選：B．
【例2.2】（2023 重慶）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：B.
【例2.3】（2023 樂山）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．

解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【例2.4】（2023 黃岡）如圖，矩形中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P，作射線，過點C作的垂線分別交于點M，N，則的長為（ ）

A． B． C． D．4
解：如圖，設與交于點O，與交于點R，作于點Q，

矩形中，，
，
．
由作圖過程可知，平分，
四邊形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
設，則，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故選：A．
【例2.5】（2023 赤峰）如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結論，①，②，③，④．正確的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
解：由折疊性質可知：，
∵，
∴．
∴．
∴．
故正確；
∵，，
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故正確；
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴與不相似．
∴．
∴與不平行．
故錯誤；
故選：A．
【例2.6】（2023 湖南）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；
(2)若，求的長．
（1）證明：∵是斜邊上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【例2.7】（2023 湖南）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

(1)證明：．
(2)求線段的長．
（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【例2.8】（2023 眉山）如圖，中，點E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：；
(2)點G是線段上一點，滿足，交于點H，若，求的長．
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
是的中點，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
設,則，
可得方程，
解得，
即的長為．
【例2.9】（2023 內蒙古）已知正方形ABCD，E是對角線AC上一點．
（1）如圖1，連接BE，DE．求證：△ABE≌△ADE；
（2）如圖2，F是DE延長線上一點，DF交AB于點G，BF⊥BE．判斷△FBG的形狀并說明理由；
（3）在第（2）題的條件下，BE＝BF＝2．求的值．
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝∠EDC，
∴∠FGB＝∠EBC，
∵BF⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴BF＝GF，
∴△FBG是等腰三角形．
（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∴∠BAC＝∠F，
∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，
∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AE＝AG，
∵EF＝＝＝2，BF＝GF＝2，
∴GE＝EF﹣GF＝2﹣2，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE＝DE＝2，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴＝＝＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴的值為﹣1．
【例2.10】（2023 蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．
（1）求證：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的長．
（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所對的圓周角為∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如圖，過點C作CG⊥AB，垂足為G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．
【題型三】相似三角形的應用
【例3.1】（2023 南充）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（ ）

A． B． C． D．
解：如圖所示，

由圖可知，，，
.
根據鏡面的反射性質，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，
，，.
.
.
故選：B.
【例3.2】（2023 攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據以上測量數據，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
解：設BD＝x m，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可證△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x＝48，
經檢驗，x＝48是原方程的解，
∴＝，
∴AB＝36m，
∴該古建筑AB的高度為36m．
【題型四】位似變換
【例4.1】（2023 遂寧）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（ ）

A． B． C． D．
解：由圖得：，
設直線的解析式為：，將點代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為：，
所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，
∴當時，，
∴位似中心的坐標為，
故選：A．
【例4.2】（2023 嘉興）如圖，在直角坐標系中，的三個頂點分別為，現以原點O為位似中心，在第一象限內作與的位似比為2的位似圖形，則頂點的坐標是（　　）

A． B． C． D．
解：∵的位似比為2的位似圖形是，且，
，即，
故選：C．
【例4.3】（2023 盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為 　 　．
解：∵以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，可以得到△A'B'O，點A的坐標為（2，6），
∴點A'的坐標是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．
故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．
1．（2022 哈爾濱）如圖，相交于點E，，則的長為（ ）
A． B．4 C． D．6
解：∵ ∴ ∴
∵，∴
∵ ∴ 故選：C．
2．（2023 朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標為（2，2），
∴點A的對應點A′的坐標為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故選：D．
3．（2023 內江）如圖，在中，點D、E為邊的三等分點，點F、G在邊上，，點H為與的交點．若，則的長為（　　）

A．1 B． C．2 D．3
解：、為邊的三等分點，，
，，，
，是的中位線，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故選：C．
4．（2023 江西）《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點．測得，則樹高______m．

解：∵和均為直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案為：．
5．（2023 長春）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為__________．

解：，
，
設周長為，設周長為，
和是以點為位似中心的位似圖形，
．
．
和的周長之比為．
故答案為：．
6．（2023 成都）如圖，在中，是邊上一點，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交，于點，；②以點為圓心，以長為半徑作弧，交于點；③以點為圓心，以長為半徑作弧，在內部交前面的弧于點：④過點作射線交于點．若與四邊形的面積比為，則的值為___________．

解：根據作圖可得，
∴，
∴，
∵與四邊形的面積比為，
∴
∴
∴，
故答案為：．
7．（2023 東營）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（ ）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
解： 為正方形，
，，
，
，
.
,
,
，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
垂直平分，
故①正確.
由①可知，，，
，
，
，
由①可知，
.
故③正確.
為正方形，且邊長為4，
，
在中，.
由①可知，，
，
.
由圖可知，和等高，設高為，
，
，
，
.
故④不正確.
由①可知，，
，
關于線段的對稱點為，過點作，交于，交于，
最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，
.
故②不正確.
綜上所述，正確的是①③.
故選：D.
8．（2023 涼山）如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．

(1)求證：；
(2)若，，求的長．
（1）證明：，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
．
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
9．（2023 揚州）如圖，點E、F、G、H分別是各邊的中點，連接相交于點M，連接相交于點N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若的面積為4，求的面積．
（1）證明：∵，
∴，
∵點E、F、G、H分別是各邊的中點，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
同理可得：四邊形為平行四邊形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：連接，

∵為的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
10．（2023 江西）課本再現
思考 我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？ 可以發現并證明菱形的一個判定定理； 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
定理證明
（1）為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
已知：在 ABCD中，對角線BD⊥AC，垂足為O．
求證： ABCD是菱形．
知識應用
（2）如圖2，在 ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求證： ABCD是菱形；
②延長BC至點E，連接OE交CD于點F，若∠E＝∠ACD，求的值．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝DO，
又∵BD⊥AC，垂足為O，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形．
（2）①證明：∵ ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，
又∵AD＝5，
∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，
∴∠AOD＝90°，
即BD⊥AC，
∴ ABCD是菱形；
②解：如圖，設CD的中點為G，連接OG，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG＝AD＝，
由①知：四邊形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB，
又∵∠E＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴CE＝CO＝4，
∵OG是△ACD的中位線，
∴OG∥AD∥BE，
∴△OGF∽△ECF，
∴，
又∵OG＝，CE＝4，
∴．
1．（2023 北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，則的值為 　　．
解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴，
故答案為：．
2．（2023 東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴設DC＝x，
則BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故選：C．
3．（2023 鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是___________．

解∶設
∵與位似，原點是位似中心，且．若，
∴位似比為，
∴，
解得，，
∴
故答案為：.
4．（2022 遼寧）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．
解：∵四邊形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E為的中點，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案為3．
5．（2022 赤峰）如圖，為了測量校園內旗桿AB的高度，九年級數學應用實踐小組，根據光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_________m．（結果取整數，）
解：由題意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗桿AB的高度約為17m．
故答案為：17．
6．（2023 黑龍江）如圖，在正方形中，點分別是上的動點，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點，對角線交于點，連接，下列結論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當點運動到的中點，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正確，
將沿翻折，得到，
，
∵，
，故②正確，
當時，，
，
，即在同一直線上，
，
，
通過翻折的性質可得，，
∴，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形是菱形，故③正確，
當點運動到的中點，如圖，

設正方形的邊長為，則，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，故④錯誤，
，
，
，，
，
根據翻折的性質可得，
，
，
，故⑤正確；
綜上分析可知，正確的是①②③⑤．
故選：B．
7．（2023 大連）如圖，在正方形中，，延長至，使，連接，平分交于，連接，則的長為_______________．
解：如圖，過作于，于，則四邊形是矩形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
設，則，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
由勾股定理得，
故答案為：．
8．（2023 上海）如圖，在梯形中，點F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：
(2)若，求證：
（1）證明：，
，
在和中，，
，
．
（2）證明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已證：，
，
．
9．（2023 菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．
【問題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵點H在BC的延長線上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如圖3，延長BC至點G，使CG＝DE＝8，連接DG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等邊三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的長為3．2024年中考數學一輪復習精講精練
模塊四 三角形
專題4 相似三角形
相似 比例線段 比例線段 在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即a∶b＝c∶d，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
比例的基本性質 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
平行線分線段成比例和黃金分割 平行線分線段成比例 ①如圖1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推論：如圖2，∵EF∥BC，∴＝，或.
黃金分割 如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．其中＝≈0.618.
相似三角形 性質 (1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比等于相似比。 (2)相似三角形周長的比等于相似比。 (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比。
判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。 (2)三邊對應成比例，兩三角形相似。 (3)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。 (4)兩角對應相等，兩三角形相似。。
位似 定義 如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點A，A′的連線都經過同一個點O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心，k就是這兩個相似多邊形的相似比．
性質 ①位似多邊形一定相似，位似多邊形具有相似多邊形的一切性質； ②位似多邊形上任意一對對應點連線都經過位似中心，并且到位似中心的距離之比等于相似比.
找位似中心的方法 將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
相似 畫位似圖形的步驟 （1）確定位似中心； （2）確定原圖形的關鍵點； （3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數； （4）作出原圖形中各關鍵點的對應點； （5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．
相似模型 A字型 （1）如圖1，公共角所對的邊平行(DE∥BC)，則△ADE∽△ABC； （2）如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一組角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，則△AED∽△ABC.
8字型 （1）如圖1，對頂角的對邊平行(AB∥CD)，則△ABO∽△DCO； （2）如圖2，對頂角的對邊不平行，且有另一對角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，則△ABO∽△CDO.
母子型 已知：，結論：
一線三等角型（K型圖） 已知：∠B=∠ACE=∠D，結論：△ABC∽△CDE
雙垂型 已知：∠C=90°，CD為斜邊AB上的高 結論：△ABC∽△ACD∽△CBD
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【題型一】比例線段
【例1.1】（2022 麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（ ）
A． B．1 C． D．2
【例1.2】（2023 安徽）如圖，點在正方形的對角線上，于點，連接并延長，交邊于點，交邊的延長線于點．若，，則（ ）

A． B． C． D．
【題型二】相似三角形的性質與判定
【例2.1】（2023 重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應邊的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【例2.2】（2023 重慶）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
【例2.3】（2023 樂山）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．

【例2.4】（2023 黃岡）如圖，矩形中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧交于點P，作射線，過點C作的垂線分別交于點M，N，則的長為（ ）

A． B． C． D．4
【例2.5】（2023 赤峰）如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結論，①，②，③，④．正確的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【例2.6】（2023 湖南）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；
(2)若，求的長．
【例2.7】（2023 湖南）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

(1)證明：．
(2)求線段的長．
【例2.8】（2023 眉山）如圖，中，點E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：；
(2)點G是線段上一點，滿足，交于點H，若，求的長．
【例2.9】（2023 內蒙古）已知正方形ABCD，E是對角線AC上一點．
（1）如圖1，連接BE，DE．求證：△ABE≌△ADE；
（2）如圖2，F是DE延長線上一點，DF交AB于點G，BF⊥BE．判斷△FBG的形狀并說明理由；
（3）在第（2）題的條件下，BE＝BF＝2．求的值．
【例2.10】（2023 蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．
（1）求證：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的長．
【題型三】相似三角形的應用
【例3.1】（2023 南充）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（ ）

A． B． C． D．
【例3.2】（2023 攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區銀川市賀蘭縣拜寺口內，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數學興趣小組決定采用我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內．從標桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據以上測量數據，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
【題型四】位似變換
【例4.1】（2023 遂寧）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【例4.2】（2023 嘉興）如圖，在直角坐標系中，的三個頂點分別為，現以原點O為位似中心，在第一象限內作與的位似比為2的位似圖形，則頂點的坐標是（　　）

A． B． C． D．
【例4.3】（2023 盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為 　 　．
1．（2022 哈爾濱）如圖，相交于點E，，則的長為（ ）
A． B．4 C． D．6
2．（2023 朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A′的坐標是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
3．（2023 內江）如圖，在中，點D、E為邊的三等分點，點F、G在邊上，，點H為與的交點．若，則的長為（　　）

A．1 B． C．2 D．3
4．（2023 江西）《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點．測得，則樹高______m．

5．（2023 長春）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，點在線段上．若，則和的周長之比為__________．

6．（2023 成都）如圖，在中，是邊上一點，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交，于點，；②以點為圓心，以長為半徑作弧，交于點；③以點為圓心，以長為半徑作弧，在內部交前面的弧于點：④過點作射線交于點．若與四邊形的面積比為，則的值為___________．

7．（2023 東營）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（ ）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
8．（2023 涼山）如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．

(1)求證：；
(2)若，，求的長．
9．（2023 揚州）如圖，點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，連接相交于點M，連接相交于點N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若的面積為4，求平行四邊形ABCD的面積．
10．（2023 江西）課本再現
思考 我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？ 可以發現并證明菱形的一個判定定理； 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
定理證明
（1）為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
已知：在 ABCD中，對角線BD⊥AC，垂足為O．
求證： ABCD是菱形．
知識應用
（2）如圖2，在 ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求證： ABCD是菱形；
②延長BC至點E，連接OE交CD于點F，若∠E＝∠ACD，求的值．
1．（2023 北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，則的值為 　　．
2．（2023 東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
3．（2023 鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是___________．

4．（2022 遼寧）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．
5．（2022 赤峰）如圖，為了測量校園內旗桿AB的高度，九年級數學應用實踐小組，根據光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_________m．（結果取整數，）
6．（2023 黑龍江）如圖，在正方形中，點分別是上的動點，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點，對角線交于點，連接，下列結論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當點運動到的中點，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
7．（2023 大連）如圖，在正方形中，，延長至，使，連接，平分交于，連接，則的長為_______________．
8．（2023 上海）如圖，在梯形中，點F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：
(2)若，求證：
9．（2023 菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．
【問題解決】
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．

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