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第十八章 平行四邊形
18.2 特殊的平行四邊形
18.2.1 矩形
一、矩形的性質
1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
平行四邊形中，若，則四邊形是矩形.
2、矩形的性質：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有自身獨特的性質（見下表）.
性質 數學語言 圖形
角 矩形的四個角都是直角 四邊形是矩形， ∴
對角線 矩形的對角線相等 四邊形是矩形，
對稱性 矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸
3、直角三角形斜邊中線的性質
性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
幾何語言：∵ 在Rt△ABC中，點D是AB的中點，
∴ BD=AD=CD=AC.
【注意】
（1）直角三角形的這一性質常用來證明線段的倍分關系；
（2）運用此性質的前提是在直角三角形中，對一般三角形不可使用；
（3）直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形，這兩個等腰三角形的面積相等．
（4）直角三角形的這條性質與直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的中位線定理都是證明線段倍分關系的重要依據．“三角形的中位線定理”適用于任何三角形；“直角三角形斜邊上的中線性質適用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性質”僅適用于含30°角的特殊直角三角形.
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【題型一】利用矩形的性質求線段長
【例1.1】如圖，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，點R、P分別是DC，BC上的點，點E、F分別是AP，RP的中點，當點P在BC上從B向C移動，而點R不動時，若CR＝9，則EF＝(　　)
A．12 B．12.5 C．9 D．不能確定
解：如圖，連接AR，
∵CR＝9，CD＝16，∴DR＝7，
∵AD＝24，∠D＝90°，∴，
∵點E、F分別是AP，RP的中點，
∴EF＝AR＝12.5，
故選：B．
【例1.2】如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長為（　　）
A．22 B．1 C．1 D．2
解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE2，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝2，
∴AD＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝22，
故選：A．
【例1.3】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OF⊥AB，垂足為點F，BE⊥AC，垂足為點E，且E是OC的中點．若OF＝2，則BD的長為 　 　．
解：∵BE⊥AC，E點為CO的中點，∴BE垂直平分OC，
∴BC＝OB，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，
∴OC＝OB，
∴CB＝BO＝CO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠CBD＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∵OF⊥AB，OF＝2，
∴BO＝2OF＝4，
∵O點為BD中點，∴BD＝2BO＝8．
故答案為：8．
【例1.4】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為(　　)
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
解： 連接AP，
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四邊形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
過A作AP⊥BC于P，此時AP最小，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，
由三角形面積公式得：×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故選：C．
【題型二】利用矩形的性質求角度
【例2.1】如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，點E在線段OD上，且AE＝AB，若∠EAO＝15°，則∠AEO＝　 　．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠BAO，
∵∠EAO＝15°，
∴∠ABE+∠AEB+∠BAO+∠EAO＝3∠AEB+15°＝180°，
∴∠AEO＝55°，
故答案為：55°．
【例2.2】如圖，在矩形中，對角線與相交于點，過點作的垂線，垂足為，已知，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度數為，
故選：D．
【題型三】利用矩形的性質求周長或面積
【例2.1】如圖，△ABC中，AC的中垂線交AC、AB于點D、F，BE⊥DF交DF延長線于點E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
解： 連接CF，如圖所示：
∵DE是AC的中垂線，∴AF＝CF，∠CDE＝90°，
∴∠ACF＝∠A＝30°，
∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，
∵AF＝BF，∴CF＝BF，
∴△BCF是等邊三角形，
∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，
∴CD＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，
∵BE⊥DF，
∴∠E＝90°，
∴四邊形BCDE是矩形，
∴四邊形BCDE的面積＝BC CD＝2×＝2；
故選：A．
【例3.2】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC6，
∴矩形ABCD的面積＝AB BC＝6×636．
【題型四】直角三角形斜邊上中線的性質的運用
【例4.1】如圖，AD是△ABC的中線，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，則AD等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解：∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，
∵AD是△ABC的中線，∴AD＝BC＝5，
故選：B．
【例4.2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為BC上的一點，F為AD的中點，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，則EF的長為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵F是AD的中點，∠ADE＝30°，∴EF＝AD，AE＝AD，
∴EF＝AE＝3．
故選：B．
【例4.3】如圖，在四邊形中，，E為對角線的中點，連接，．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
解：連接，設的度數為，
∵，E為對角線的中點，
∴，
∴，
在中，，
同理可得到：，，
在等腰三角形中，；
解得，
∴，
故選：A．
【例4.4】如圖，在中，于D，于E，點M，N分別是的中點．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
（1）證明：∵于D，于E，點M是的中點，
∴，
∴點N是的中點，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
有（1）知，
∴，
∵N是的中點，
∴，
∴．
【題型五】矩形的折疊問題
【例5.1】如圖，長方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數為（　　）
A．57° B．58° C．59° D．60°
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，
∴∠AFB′＝∠DAF，
∵AB'∥BD，
∴∠B′AM＝∠1＝26°，
∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，
∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，
∴∠DAF＝32°，
∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，
故選：B．
【例5.2】如圖，在矩形中，，，E是上一點，將矩形沿折疊后，點B落在邊的F點，則的長為 ．
解：由題意得：，，
∵四邊形為矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
解得，
故答案為：5．
【例5.3】如圖，在平面直角坐標系中，矩形三個頂點A、B、C的坐標分別為，將沿翻折得交x軸于點D，則D的坐標是 ，E的坐標是 ．
解：作軸于點F，則，
∵矩形三個頂點A、B、C的坐標分別為，
∴，
∴，
由折疊得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
故答案為：；
1．如圖，在矩形OABC中，點B的坐標是(3，4)，則AC的長是(　　)
A．5 B． C． D．7
解：∵點B的坐標是(3，4)，∴OB＝，
∵四邊形OABC是矩形，∴AC＝OB，
∴AC＝5，
故選：A．
2．如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AB的長為(　　)
A．3 B．4 C． D．5
解： ∵四邊形ABCD是矩形，且BD＝8，∴，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，OA＝AB＝4，
故選：B．
3．如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為4.8 km，則M、C兩點間的距離為(　　)
A．2.4 km B．3.6 km C．4.2 km D．4.8 km
解：∵公路AC、BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，
∵M為AB的中點，∴，
∵AB＝4.8 km，
∴CM＝2.4( km)，即M，C兩點間的距離為2.4 km，
故選：A．
4．如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AE⊥BD于點E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，則AE的長為(　　)
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝OB＝OD＝2cm，
∵OE：OD＝1：2，∴OE＝1cm，
∴，
5．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為(　　)
A．17 B．18 C．19 D．20
解：∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，
∴∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12，OA＝OB，AM＝AD＝6，OM為△ACD的中位線，
∴OM＝CD＝2.5，，
∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故選：D．
6．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的內部，頂點A，B分別在射線OM，ON上，AB＝4，BC＝2，則點D到點O的最大距離是(　　)
A． B． C． D．
解：如圖，取AB中點E，連接OE、DE、OD，
∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2，
∵點E是AB的中點，∴AE＝AB＝2，
在Rt△DAE中，
在△ODE中，根據三角形三邊關系可知DE+OE＞OD，
∴當O、E、D三點共線時，OD最大為OE+DE＝2+2．
故選：A．
7．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F是AE的中點，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為 　　．
解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝DE＝10，
∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，
∴，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，
∴，
∵點F是AE的中點，
∴，
故答案為：．
8．如圖，在長方形ABCD中，點E在邊DC上，聯結AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點D落在邊BC上的D1處，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度．
解：由翻折不變性可知，
∠AED＝∠AED1＝76°，
∴∠DED1＝152°，
∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，
故答案為：28．
9．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，結果發現F點恰好是DC的中點，若BC＝2，則AB的長 .
解：連接EF，如圖所示：
由折疊性質得：AE＝EG，∠A＝∠EGB＝90°，BG＝AB，
∴∠EGF＝90°，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∴EG＝DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠C＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF與Rt△EDF中，，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD，
∵F點恰好是DC的中點，
∴CF＝DF＝FGCDAB，
∴BF＝BG+FG＝ABABAB，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
即：（2）2+（AB）2＝（AB）2，
解得：AB＝2．
故答案為：2．
10．在矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
證明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFA＝∠B，
又∵AD＝EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF＝AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∵DF＝AB，
∴AD＝2AB＝8．
11．如圖，在中，的延長線于E，的延長線于F，M為BC的中點，分別連接、、．
(1)若，，求的周長；
(2)若，，求的度數．
（1）解：∵
∴，
∵M為的中點，，
∴，，
∵，
∴的周長，
∴的周長為11；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，M為BC的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度數為．
二、矩形的判定
1、矩形的判定方法
判定方法 數學語言 圖形
角 有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義） 在中， ∴四邊形是矩形
有三個角是直角的四邊形是矩形 在四邊形中， 四邊形是矩形
對角線 對角線相等的平行四邊形是矩形 在中， ∴四邊形是矩形
【題型一】矩形的判定
【例1.1】如圖，延長 ABCD的邊AD到E，使DE＝AD，連接BE，DB，EC．再添加一個條件，不能使四邊形BCED成為矩形的是(　　)
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝AD，∴DE＝BC，
∴四邊形BCED是平行四邊形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴∠BDE＝90°，
∴平行四邊形BCED是矩形，故選項A不符合題意；
B、∵BE⊥DC，∴平行四邊形BCED是菱形，故選項B符合題意；
C、∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四邊形BCED是矩形，故選項C不符合題意；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，
∴平行四邊形BCED是矩形，故選項D不符合題意；
故選：B．
【例1.2】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
求證：四邊形ADCE為矩形；
證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四邊形ADCE為矩形．
【例1.3】如圖，在 ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．
(1)求證：四邊形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，若AD＝3，求DC的長度．
解：證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
又∵DE⊥AB，
∴四邊形DFBE是矩形；
(2)∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴，
∵四邊形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴，
∴CD＝.
【例1.4】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．
(1)求證：四邊形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED(ASA)，
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF＝90°．
∴四邊形ABDF是矩形；
(2)解：由(1)得四邊形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴，
∴S矩形ABDF＝DF AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD CD＝×4×3＝6，
∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四邊形ABCF的面積S為18．
【例1.5】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
(1)求證：四邊形AECF是矩形；
(2)若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的長．
答案 (1)略；(2) ．
解析 (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC＝EF，
∴平行四邊形AECF是矩形；
(2)解：∵四邊形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE，AB＝2，∴AE＝BE＝，
∴CE＝2BE＝2，
∴．
【例1.6】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
(1)求證：四邊形ADFE是矩形；
(2)連接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的長．
(1)證明：∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四邊形ADFE是矩形；
(2)解：由(1)知：四邊形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中
∵∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
【題型二】矩形的性質與判定綜合
【例2.1】如圖，在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，點E是CD的中點，連接BE交AC于點F，延長BE至G，使FG＝BF，連接DF，DG，CG．
(1)求證：DG∥AC；
(2)當AB＝BF時，求證四邊形DFCG是矩形．
(1)證明：∵矩形ABCD，∴OB＝OD，
又∵FG＝BF，∴OF是△BDG的中位線，
∴OF∥DG，即DG∥AC．
(2)∵AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA．
∵矩形ABCD，∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠FCE．
又∵∠EFC＝∠BFA，∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC，
由(1)可知DG∥AC，
∴∠EFC＝∠EGD，∠FCE＝∠EDG，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴ED＝EG，
又∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，
∴EF＝EG＝ED＝EC，
∴四邊形DFCG是矩形．
【例2.2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F．點O是EF中點，連接BO并延長到G，且GO＝BO，連接EG，FG．
（1）試判斷四邊形EBFG的形狀，說明理由；
（2）求證：BD⊥BG；
（3）當AB＝BE＝1時，求EF的長．
（1）解：四邊形EBFG是矩形，
理由如下：∵OE＝OF，OB＝OG，
∴四邊形EBFG是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC＝90°，
∴平行四邊形EBFG是矩形；
（2）證明：∵DF是AC的垂直平分線，
∴AD＝DC，
在Rt△ABC中，AD＝DC，
∴BDAC＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED+∠C＝90°，
∵四邊形EBFG是矩形，
∴OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠CED＝∠OEB，
∴∠DBE+∠OBE＝90°，即∠DBG＝90°，
∴BD⊥BG；
（3）解：連接AE，
∵DF是AC的垂直平分線，
∴EA＝EC，
在Rt△ABE中，AE，
∴BC＝BE+EC＝1，
∵∠CDE＝∠FBE＝90°，∠CED＝∠FEB，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（AAS）
∴BF＝BC＝1，
在Rt△EBF中，EF．
1．如圖，若要使 ABCD成為矩形，需添加的條件是(　　)
A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC C．AO＝BO D．AC⊥BD
解： A、根據AB＝BC和平行四邊形ABCD不能得出四邊形ABCD是矩形，故本選項錯誤；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD＝∠DBC，得出四邊形ABCD是菱形，不是矩形；故本選項錯誤；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，故本選項正確；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，不能推出四邊形ABCD是矩形，故本選項錯誤；
故選：C．
2．如圖，四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是(　　)
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
解：若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是AB⊥DC，理由如下：
∵E，G分別是AD，BD的中點，
∴EG是△DAB的中位線，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，GF∥DC，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∵AB⊥DC，GF∥DC，FH∥AB，
∴GF⊥FH，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四邊形EGFH是矩形，
故選：D．
3．如圖，在中，AE⊥BC于點E，點F在BC邊的延長線上，只需再添加一個條件即可證明四邊形AEFD是矩形，這個條件可以是 （寫出一個即可）．
解：∵AE⊥BC，
∴
，
∴
∴
補充：或或，
∴四邊形AEFD是矩形，
故答案為：或或（任寫一個即可）
4．如圖，在四邊形中，，，對角線、交于點，平分交于點，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求矩形的面積．
（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵四邊形是矩形，平分，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵矩形的對角線互相平分且相等，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的面積．
5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，對角線AC、BD交于點O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面積．
（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如圖所示．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面積＝ EC OF＝1．
1．如圖，矩形的對角線相交于點，下列結論一定正確的是（ ）
A．平分 B． C． D．
解：由矩形的對角線相交于點，
根據矩形的對角線相等，
可得．
故選：C．
2．如圖，△ABC中，中線AF與中位線DE相交于點O，AF=DE,則四邊形ADFE是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：∵的中線AF與中位線DE相交于點O，
∴E是AC的中點，D是AB的中點，
∴EF是的中位線，，
∴，，
∴，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
∵AF=DE,
∴四邊形ADFE是矩形．
故選：B．
3．如圖，矩形的對角線與相交于點，夾角，已知，則的面積是（ ）

A．1 B． C． D．
解：四邊形是矩形，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
在中，，
的面積為．
故選：C．
4．如圖，在矩形中，對角線相交于點于點E．若，則的長為（ ）
A．1 B． C． D．4
解：∵四邊形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
即
解得
故選：B
5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處，則EF的長是（　　）
A．3 B． C．5 D．
解：∵四邊形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝8，∠A＝90°
∵AB＝6，AD＝8
∴BD10
∵將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處
∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠A＝∠BFE＝90°
∴DF＝4
Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2
（8﹣AE）2＝AE2+16
∴AE＝3即EF＝3
故選：A．
6．如圖，E是矩形的邊上一點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
解：四邊形是矩形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴，
故選：C
7．如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D為邊AC上一動點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，則EF的最小值為(　　)
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
解：如圖，連接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，
∴四邊形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即4.8，
∴EF的最小值為4.8，
故選：C．
8．如圖，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，則矩形的對角線AC的長是 　 　．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝AO＝2，即AC＝2AO＝4，
故答案為：4．
9．已知，D是△ABC中BC邊上的一點，DE∥AC，交AB于點E，DF∥AB，交AC于點F，連接EF．請添加一個適當的條件 　 　，使四邊形AEDF是矩形．
解：添加：∠BAC＝90°，
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形．
故答案為：∠BAC＝90°．
10．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E在邊AB上，且BE＝4，BC＝6，將△CBE沿直線CE翻折，使點B落在點G，延長EG交CD于點F，則線段FG的長為 　 　．
解：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵將△CBE沿直線CE翻折，
∴BE＝GE＝4，∠CEB＝∠CEG，BC＝CG＝6，∠B＝∠CGE＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠CEG，
∴EF＝FC，
∵FC2＝FG2+CG2，
∴（FG+4）2＝FG2+36，
∴FG，
故答案為：．
11．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A出發沿AC方向運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度從點C出發沿CA方向運動，若AC＝12，BD＝8，則經過 秒后，四邊形BEDF是矩形．
解：設運動的時間為t秒，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝4，，
∵AE＝CF＝t，∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴當EF＝BD時，四邊形BEDF是矩形，
∴OE＝OD，
∴6﹣t＝4或t﹣6＝4，∴t＝2或t＝10，
∴經過2秒或10秒，四邊形BEDF是矩形，
故答案為：2或10．
12．如圖，在梯形中，，F為上一點，且，E為上一點，交于點G．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求證：．
（1）證明：∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是矩形．
（2）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
13．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于O，且OE＝OD，求AP的長．
解：設CD與BE交于點G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由翻折的性質得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝EP＝DG，
設AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
在Rt△BCG中，根據勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8．
14．如圖，在中，于點，于點．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若，，，求的長．
（1）證明：如圖3.

∵四邊形是平行四邊形，
∴.
∴，
∵于點，于點，
∴，.
∴.
∴.
∴四邊形是矩形．
（2）如圖4，作，交的延長線于點.

∵在中，，，，
∴，.
∵，
∴.
同理可得四邊形是矩形.
∴.
15．如圖1，在中，，于點C，點E是的中點，連接并延長，使，連接．
(1)求證：四邊形是矩形．
(2)如圖2，點H為的中點，連接，若，，求四邊形的面積．
（1）證明：∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行四邊形是矩形．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴
∵點E是的中點，點H為的中點，
∴，，
四邊形的面積等于．第十八章 平行四邊形
18.2 特殊的平行四邊形
18.2.1 矩形
一、矩形的性質
1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
平行四邊形中，若，則四邊形是矩形.
2、矩形的性質：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質外，還具有自身獨特的性質（見下表）.
性質 數學語言 圖形
角 矩形的四個角都是直角 四邊形是矩形， ∴
對角線 矩形的對角線相等 四邊形是矩形，
對稱性 矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸
3、直角三角形斜邊中線的性質
性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
幾何語言：∵ 在Rt△ABC中，點D是AB的中點，
∴ BD=AD=CD=AC.
【注意】
（1）直角三角形的這一性質常用來證明線段的倍分關系；
（2）運用此性質的前提是在直角三角形中，對一般三角形不可使用；
（3）直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形，這兩個等腰三角形的面積相等．
（4）直角三角形的這條性質與直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的中位線定理都是證明線段倍分關系的重要依據．“三角形的中位線定理”適用于任何三角形；“直角三角形斜邊上的中線性質適用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性質”僅適用于含30°角的特殊直角三角形.
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【題型一】利用矩形的性質求線段長
【例1.1】如圖，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，點R、P分別是DC，BC上的點，點E、F分別是AP，RP的中點，當點P在BC上從B向C移動，而點R不動時，若CR＝9，則EF＝(　　)
A．12 B．12.5 C．9 D．不能確定
【例1.2】如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長為（　　）
A．22 B．1 C．1 D．2
【例1.3】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OF⊥AB，垂足為點F，BE⊥AC，垂足為點E，且E是OC的中點．若OF＝2，則BD的長為 　 　．
【例1.4】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為(　　)
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【題型二】利用矩形的性質求角度
【例2.1】如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，點E在線段OD上，且AE＝AB，若∠EAO＝15°，則∠AEO＝　 　．
【例2.2】如圖，在矩形中，對角線與相交于點，過點作的垂線，垂足為，已知，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【題型三】利用矩形的性質求周長或面積
【例2.1】如圖，△ABC中，AC的中垂線交AC、AB于點D、F，BE⊥DF交DF延長線于點E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
【例3.2】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，BE＝DF．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．
【題型四】直角三角形斜邊上中線的性質的運用
【例4.1】如圖，AD是△ABC的中線，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，則AD等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【例4.2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為BC上的一點，F為AD的中點，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，則EF的長為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【例4.3】如圖，在四邊形中，，E為對角線的中點，連接，．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【例4.4】如圖，在中，于D，于E，點M，N分別是的中點．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
【題型五】矩形的折疊問題
【例5.1】如圖，長方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數為（　　）
A．57° B．58° C．59° D．60°
【例5.2】如圖，在矩形中，，，E是上一點，將矩形沿折疊后，點B落在邊的F點，則的長為 ．
【例5.3】如圖，在平面直角坐標系中，矩形三個頂點A、B、C的坐標分別為，將沿翻折得交x軸于點D，則D的坐標是 ，E的坐標是 ．
1．如圖，在矩形OABC中，點B的坐標是(3，4)，則AC的長是(　　)
A．5 B． C． D．7
2．如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠AOB＝60°，BD＝8，則AB的長為(　　)
A．3 B．4 C． D．5
3．如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AB的長為4.8 km，則M、C兩點間的距離為(　　)
A．2.4 km B．3.6 km C．4.2 km D．4.8 km
4．如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AE⊥BD于點E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，則AE的長為(　　)
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
5．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為(　　)
A．17 B．18 C．19 D．20
6．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的內部，頂點A，B分別在射線OM，ON上，AB＝4，BC＝2，則點D到點O的最大距離是(　　)
A． B． C． D．
7．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F是AE的中點，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為 　　．
8．如圖，在長方形ABCD中，點E在邊DC上，聯結AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點D落在邊BC上的D1處，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝　 　度．
9．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，結果發現F點恰好是DC的中點，若BC＝2，則AB的長 .
10．在矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．
11．如圖，在中，的延長線于E，的延長線于F，M為BC的中點，分別連接、、．
(1)若，，求的周長；
(2)若，，求的度數．
二、矩形的判定
1、矩形的判定方法
判定方法 數學語言 圖形
角 有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義） 在中， ∴四邊形是矩形
有三個角是直角的四邊形是矩形 在四邊形中， 四邊形是矩形
對角線 對角線相等的平行四邊形是矩形 在中， ∴四邊形是矩形
【題型一】矩形的判定
【例1.1】如圖，延長 ABCD的邊AD到E，使DE＝AD，連接BE，DB，EC．再添加一個條件，不能使四邊形BCED成為矩形的是(　　)
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【例1.2】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
求證：四邊形ADCE為矩形；
【例1.3】如圖，在 ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．
(1)求證：四邊形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，若AD＝3，求DC的長度．
【例1.4】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．
(1)求證：四邊形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．
【例1.5】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
(1)求證：四邊形AECF是矩形；
(2)若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的長．
【例1.6】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
(1)求證：四邊形ADFE是矩形；
(2)連接OF，若AD＝6，EC＝4，∠BAE＝30°，求OF的長．
【題型二】矩形的性質與判定綜合
【例2.1】如圖，在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，點E是CD的中點，連接BE交AC于點F，延長BE至G，使FG＝BF，連接DF，DG，CG．
(1)求證：DG∥AC；
(2)當AB＝BF時，求證四邊形DFCG是矩形．
【例2.2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F．點O是EF中點，連接BO并延長到G，且GO＝BO，連接EG，FG．
（1）試判斷四邊形EBFG的形狀，說明理由；
（2）求證：BD⊥BG；
（3）當AB＝BE＝1時，求EF的長．
1．如圖，若要使 ABCD成為矩形，需添加的條件是(　　)
A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC C．AO＝BO D．AC⊥BD
2．如圖，四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是(　　)
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
3．如圖，在中，AE⊥BC于點E，點F在BC邊的延長線上，只需再添加一個條件即可證明四邊形AEFD是矩形，這個條件可以是 （寫出一個即可）．
4．如圖，在四邊形中，，，對角線、交于點，平分交于點，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求矩形的面積．
5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，對角線AC、BD交于點O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面積．
1．如圖，矩形的對角線相交于點，下列結論一定正確的是（ ）
A．平分 B． C． D．
2．如圖，△ABC中，中線AF與中位線DE相交于點O，AF=DE,則四邊形ADFE是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．如圖，矩形的對角線與相交于點，夾角，已知，則的面積是（ ）

A．1 B． C． D．
4．如圖，在矩形中，對角線相交于點于點E．若，則的長為（ ）
A．1 B． C． D．4
5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處，則EF的長是（　　）
A．3 B． C．5 D．
6．如圖，E是矩形的邊上一點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D為邊AC上一動點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，則EF的最小值為(　　)
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
8．如圖，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，則矩形的對角線AC的長是 　 　．
9．已知，D是△ABC中BC邊上的一點，DE∥AC，交AB于點E，DF∥AB，交AC于點F，連接EF．請添加一個適當的條件 　 　，使四邊形AEDF是矩形．
10．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E在邊AB上，且BE＝4，BC＝6，將△CBE沿直線CE翻折，使點B落在點G，延長EG交CD于點F，則線段FG的長為 　 　．
11．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A出發沿AC方向運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度從點C出發沿CA方向運動，若AC＝12，BD＝8，則經過 秒后，四邊形BEDF是矩形．
12．如圖，在梯形中，，F為上一點，且，E為上一點，交于點G．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求證：．
13．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于O，且OE＝OD，求AP的長．
14．如圖，在中，于點，于點．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若，，，求的長．
15．如圖1，在中，，于點C，點E是的中點，連接并延長，使，連接．
(1)求證：四邊形是矩形．
(2)如圖2，點H為的中點，連接，若，，求四邊形的面積．

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