資源簡介

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6.1平面向量的概念
題型匯總
題型1：平面向量概念的辨析 例1.給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質量；⑤功；⑥位移.正確的是( ) A．①②③是數量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數量，①③⑤是向量 C．①④是數量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】根據向量的定義即可判斷. 【詳解】密度、溫度、質量、功只有大小，沒有方向，是數量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故選：D．
【變式1-1】下列說法錯誤的是（ ） A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等 C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動 【答案】B 【分析】根據向量的相關概念直接判斷即可. 【詳解】因為，所以和互為相反向量，長度相等，方向相反，故A選項正確； 單位向量長度都為，但方向不確定，故B選項錯誤； 根據零向量的概念，易知C選項正確； 向量只與長度和方向有關，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，故D選項正確； 故選：B.
【變式1-2】有下列結論： ①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同； ②若，則，不是共線向量； ③若，則四邊形是平行四邊形； ④若，，則； ⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段. 其中，錯誤的個數是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定義、有關性質逐項判定可得答案. 【詳解】對于①，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，①正確； 對于②，若也有可能，長度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯誤； 對于③，若，則，不一定相等，所以四邊形不一定是平行四邊形，③錯誤； 對于④，若，，則，④正確； 對于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯誤. 綜上，錯誤的是②③⑤，共3個. 故選：B.
變式1-3 下面的命題正確的有（ ） A．方向相反的兩個非零向量一定共線 B．單位向量都相等 C．若，滿足且與同向，則 D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形” 【答案】AD 【分析】根據向量的定義和性質，逐項判斷正誤即可. 【詳解】對于A，由相反向量的概念可知A正確； 對于B，任意兩個單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯誤； 對于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯誤； 對于D，若A、B、C、D是不共線的四點，且， 可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形； 若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且， 此時A、B、C、D是不共線的四點，且，故D正確. 故選：AD.
題型2：向量的幾何表示 例2.已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向． 【分析】根據方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向． 【詳解】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系． 由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限， 向量如圖所示， 由已知可得， 為正三角形，所以． 又，， 所以為等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模為，方向為東南方向．
【變式2-1】某人從A點出發向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了 米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）見解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根據向量的定義作出向量. （2）根據（1）作出的平面圖形，利用平面幾何知識求解. 【詳解】（1）作出向量，，；如圖所示： （2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【點睛】本題主要考查平面向量的畫法和向量模的求法，還考查了方位問題和平面幾何知識，屬于基礎題.
變式2-2 在如圖所示的坐標紙（規定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規畫出下列向量： （1）,點A在點O正南方向； （2）,點B在點O北偏西方向； （3）,點C在點O南偏西方向. 【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析 【分析】（1）按照題意要求畫圖即可； （2）按照題意要求畫圖即可； （3）按照題意要求畫圖即可； 【詳解】解：如圖. 【點睛】本題考查了作圖能力，考查了方位角的定義，屬于基礎題.
變式2-2如圖，已知以O為圓心、1為半徑的圓上有8個等分點A，B，C，D，E，F，G，H，以圖中標出的9個點為起點和終點作向量， (1)與的夾角是多少？ (2)與垂直的向量有哪些？ 【答案】(1)45° (2). 【分析】(1)根據給定條件求出弧DE所對圓心角即可得解. (2)根據給定條件可得OD⊥BF，再探求圖中與BF平行的線段即可得解. 【詳解】（1）因以O為圓心、1為半徑的圓上的8個等分點分別為A，B，C，D，E，F，G，H， 則弧DE所對圓心角是45°，即有∠DOE=45°， 所以與的夾角為45°. （2）因以O為圓心、1為半徑的圓上的8個等分點分別為A，B，C，D，E，F，G，H， 顯然，BF是圓O的直徑，，，如圖： 所以與垂直的向量有：.
題型3：相等向量與共線向量 例3.如圖6.1-8，設O是正六邊形的中心. （1）寫出圖中的共線向量； （2）分別寫出圖中與，，相等的向量. 解：（1），，，是共線向量； ，，，是共線向量； ，，，是共線向量. （2）； ； .
【變式3-1】如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中， （1）與向量相等的向量； （2）與向量共線的向量； （3）與向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定義可得解； （2）利用共線向量定義可得解； （3）利用平行向量定義可得解. 【詳解】（1）與向量相等的向量，即與向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）與向量共線的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）與向量平行的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
【變式3-2】如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問： （1）與相等的向量共有幾個； （2）與方向相同且模為的向量共有幾個； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根據共線向量和相等向量的定義、以及模的計算和對正方形的對角線即可. 【詳解】解：由題可知，每個小方格都是單位正方形， 每個小正方形的對角線的長度為且都與平行， 則， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量， 則與相等的向量共有5個，如圖1； （2）與方向相同且模為的向量共有2個，如圖2. 【點睛】本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計算，考查理解能力和數形結合思想.
【變式3-3】如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中． （1）單位向量共有 個； （2）模為的向量有 ； （3）與相等的向量有 ； 【答案】 、、、、、、、; 、、 【分析】根據單位向量、模、相等向量的概念結合圖形進行分析求解. 【詳解】（1）、由題意可知，，所以單位向量有、、、、、、、共個； （2）、由圖可知，在長方體中，，，所以左右兩個側面的對角線長度均為，即，所以模為的向量有：、、、、、、、; （3）、由圖可知，與相等的向量除它本身外有、、共個. 故答案為： ；、、、、、、、；、、
變式3-3 如圖，在矩形ABCD中，，M，N分別為邊AB，CD的中點，在以A，B，C，D，M，N為起點和終點的所有有向線段表示的向量中，相等的向量共有多少對？ 【答案】24對 【解析】根據相等向量定義，分類討論進行求解即可. 【詳解】解：相等的非零向量共有24對. 易知，則模為1的相等向量有18對，其中與同向的共有6對；與反向的也有6對；與同向的共有3對；與反向的也有3對.模為2的相等向量共有2對.模為的相等向量有4對. 【點睛】本題考查了相等向量的定義，考查了分類討論思想，屬于中檔題.
變式3-4 如圖，點D，E，F分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF. 【答案】證明見解析 【分析】根據＝，可得且，從而可得DE∥AF，即可證得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得證. 【詳解】證明：因為＝，所以且，故四邊形AEDF是平行四邊形， 所以DE∥AF，則∠C＝∠BDE， 由DF∥EA，得∠FDC＝∠B， 故△BDE∽△DCF.
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6.1平面向量的概念
題型匯總
題型1：平面向量概念的辨析 例1.給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質量；⑤功；⑥位移.正確的是( ) A．①②③是數量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數量，①③⑤是向量 C．①④是數量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數量，③⑥是向量
【變式1-1】下列說法錯誤的是（ ） A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等 C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動
【變式1-2】有下列結論： ①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同； ②若，則，不是共線向量； ③若，則四邊形是平行四邊形； ④若，，則； ⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段. 其中，錯誤的個數是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
變式1-3 下面的命題正確的有（ ） A．方向相反的兩個非零向量一定共線 B．單位向量都相等 C．若，滿足且與同向，則 D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”
題型2：向量的幾何表示 例2.已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【變式2-1】某人從A點出發向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了 米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點． （1）作出向量，，； （2）求 的模．
變式2-2 在如圖所示的坐標紙（規定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規畫出下列向量： （1）,點A在點O正南方向； （2）,點B在點O北偏西方向； （3）,點C在點O南偏西方向.
變式2-2如圖，已知以O為圓心、1為半徑的圓上有8個等分點A，B，C，D，E，F，G，H，以圖中標出的9個點為起點和終點作向量， (1)與的夾角是多少？ (2)與垂直的向量有哪些？
題型3：相等向量與共線向量 例3.如圖6.1-8，設O是正六邊形的中心. （1）寫出圖中的共線向量； （2）分別寫出圖中與，，相等的向量.
【變式3-1】如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中， （1）與向量相等的向量； （2）與向量共線的向量； （3）與向量平行的向量.
【變式3-2】如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問： （1）與相等的向量共有幾個； （2）與方向相同且模為的向量共有幾個；
【變式3-3】如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中． （1）單位向量共有 個； （2）模為的向量有 ； （3）與相等的向量有 ；
變式3-3 如圖，在矩形ABCD中，，M，N分別為邊AB，CD的中點，在以A，B，C，D，M，N為起點和終點的所有有向線段表示的向量中，相等的向量共有多少對？
變式3-4 如圖，點D，E，F分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.
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