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2.4.2 圓的一般方程【第一課】
[課標要求]
1. 理解二元二次方程表示圓的條件，會根據圓的一般方程求圓的圓心坐標和半徑.
2. 會根據所給條件求圓的一般方程.
3. 能解決簡單的軌跡問題.
[明確任務]
1.求圓的一般方程. （數學運算）
2.求動點的軌跡方程. （直觀想象、邏輯推理）
1.圓的標準方程、求軌跡方程的一般方法
2.二元二次方程、配方法、一元二次方程根的判別式
核心知識點1 圓的一般方程
1.圓的一般方程的概念：當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程.
2.圓的一般方程對應的圓心和半徑：圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圓的圓心為（－，－），半徑長為.
提示（1）當D2＋E2－4F＝0時，方程表示一個點；當D2＋E2－4F<0時，方程不表示任何圖形.
（2）二元二次方程要想表示圓，需x2和y2的系數相同且不為0，沒有xy這樣的二次項.
例1. 下列方程是否表示圓？若是，寫出圓心和半徑；若不是，說明理由.
（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
（3）x2＋y2－x＝0；
（4）x2＋y2＋2ax＋a2＝0（a≠0）.
【解析】（1）2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數不相同，故原方程不表示圓；
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy項，故原方程不表示圓.
（3）法一　因為D2＋E2－4F＝（－1）2＝1>0，
所以方程表示圓，圓心坐標為，即，半徑r＝＝.
法二　方程x2＋y2－x＝0可化為＋y2＝，
它表示以為圓心，為半徑的圓.
（4）因為D＝2a，E＝0，F＝a2，
所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程不表示圓.
歸納總結 判斷二元二次方程是否表示圓的思路
（1）判斷二元二次方程是否表示圓時，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓.
（2）此時有兩種途徑：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形為標準方程的形式，看方程等號右端是否為大于零的常數.
【舉一反三】
1．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為
A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1
C．a=–1 D．a=2
2．方程表示圓，則實數a的取值范圍是 .
3．若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓，求:
（1）實數m的取值范圍;
（2）圓心坐標和半徑.
核心知識點2 求圓的一般方程
例2. 已知A（2，2），B（5，3），C（3，－1）.
（1）求△ABC的外接圓的一般方程；
（2）若點M（a，2）在△ABC的外接圓上，求a的值.
【解析】 （1）設△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由題意，得
解得
即△ABC的外接圓的一般方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
（2）由（1）知，△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵點M（a，2）在△ABC的外接圓上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
歸納總結 待定系數法求圓的一般方程的步驟
（1）根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）.
（2）根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組.
（3）解此方程組，求出D，E，F的值.
（4）將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程.
【舉一反三】
4．過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．過點且圓心在直線上的圓的一般方程為 ．
6．已知圓經過點（4,2）和（－2，－6），該圓與兩坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的方程．
核心知識點3 軌跡問題
軌跡是指點在運動過程中形成的圖形，是幾何問題；軌跡方程是指點的坐標所滿足的關系式是代數問題，依賴坐標系的建立.有時候可以將二者一一對應起來.
例3.（1）若線段AB的端點分別在x軸、y軸上運動，且|AB|＝4，求線段AB中點M的軌跡方程.
（2）已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經過點A（1，2）的弦的中點P的軌跡方程.
（3）已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點C的軌跡方程.
【解析】（1）由題意，設原點為O（0，0），則|OM|＝|AB|＝2，
由圓的定義，M在以O（0，0）為圓心，2為半徑的圓上，
即x2＋y2＝4，即為M的軌跡方程.
角度2　直接法求軌跡方程
（2）法一：　設點P的坐標為（x，y）.
當AP垂直于x軸，即點P的坐標為（1，0）時符合題意；
當AP垂直于y軸，即點P的坐標為（0，2）時，符合題意；
當點P與點A或點O重合，即點P的坐標為（1，2）或（0，0）時，符合題意；
當x≠0，且x≠1時，根據題意可知AP⊥OP，
即kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，
∴·＝－1，
即＋（y－1）2＝（x≠0，且x≠1）.
經檢驗，點（1，0），（1，2），（0，0），（0，2）也適合上式.
即中點P的軌跡方程為＋（y－1）2＝.
法二：　設點P的坐標為（x，y），則A，P重合或OP⊥AP，總有·＝0，
即（x－1，y－2）·（x，y）＝0，x（x－1）＋y（y－2）＝0，
即x2＋y2－x－2y＝0，亦即＋（y－1）2＝.
（3）以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系（如圖），
則點A（－2，0），B（2，0），設C（x，y），BC中點D（x0，y0）.
∴①
∵|AD|＝3，∴（x0＋2）2＋y＝9.②
將①代入②，整理得（x＋6）2＋y2＝36.
∵點C不能在x軸上，
∴y≠0.
綜上，點C的軌跡是以（－6，0）為圓心，6為半徑的圓，去掉（－12，0）和（0，0）兩點.
軌跡方程為（x＋6）2＋y2＝36（y≠0）.
歸納總結 求軌跡方程的三種常用方法
（1）直接法：根據題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡、證明.
（2）定義法：當動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程.
（3）代入法：若動點P（x，y）依賴于某圓上的一個動點Q（x1，y1）而運動，把x1，y1用x，y表示，再將Q點的坐標代入到已知圓的方程中，得點P的軌跡方程.
【舉一反三】
7．已知直角的斜邊為，且，，求直角頂點C的軌跡方程.
8．圓的圓心和半徑長分別為（　　）
A．，16 B．，4
C．，4 D．，16
9．方程表示圓，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知點在圓C：的外部，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
11．若的斜邊的兩端點A,B的坐標分別為和，則直角頂點C的軌跡方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．圓（　　）
A．關于點對稱
B．關于直線對稱
C．關于直線對稱
D．關于直線對稱
13．過三點的圓的方程為 ．
14．到點O（0，0）的距離是到點A（3，0）的距離的的點M的軌跡方程為 .
15．若點，在圓上，且點，關于直線對稱，則該圓的面積為 ．
16．下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心和半徑.
(1).
(2).
(3).
17．已知線段AB的端點B的坐標為，端點A在圓C：上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】由題得，解之即得解.
【詳解】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，
則，解得a=–1．
故答案為C
【點睛】判斷二元二次方程與圓的關系時，先看項的系數是否均為1，有沒有項，當滿足項的系數均為1，且沒有項時，判斷是否成立，或直接配方變形，看方程等號右端是否為大于零的常數，從而作出判斷．
2．
【分析】配湊原方程，根據其表示圓，列出關于的不等關系式，即可求得參數范圍.
【詳解】方程，即，
若其表示圓，則，解得，即的取值范圍為：.
故答案為：.
3．（1）；（2）圓心坐標為，半徑.
【分析】（1）利用圓的一般方程可得，由此求得的取值范圍．
（2）將圓的方程寫成標準方程的形式，可得圓心坐標和半徑．
【詳解】解：（1）方程表示圓，
，
即，解得，
故的取值范圍為；
（2）將方程寫成標準方程為，
可得圓心坐標為，半徑．
4．A
【分析】利用待定系數法設出圓的一般方程，將三個點的坐標代入得到方程組，求出圓的方程.
【詳解】設圓的方程為，
由題意知,圓過點，和，
所以，解得，
所以所求圓的方程為.
故選：A
5．
【分析】設出圓的一般方程，根據已知條件列方程組，求得，從而求得正確答案.
【詳解】設圓的一般方程為，則圓心為，
依題意得，解得，
所以圓的一般方程為.
故答案為：
6．x2＋y2－2x＋4y－20＝0
【詳解】設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圓經過點（4,2）和（－2，－6），
∴
設圓在x軸上的截距為x1、x2，它們是方程x2＋Dx＋F＝0的兩個根，得x1＋x2＝－D．設圓在y軸上的截距為y1、y2，它們是方程y2＋Ey＋F＝0的兩個根，得y1＋y2＝－E.由已知，得
－D＋（－E）＝－2，即D＋E－2＝0. ③
由①②③聯立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
考點：圓的方程.
7．
【分析】由直角關系可知點軌跡是以中點為圓心，長為半徑的圓，且不包括兩點；利用中點坐標公式求得圓心坐標，直角三角形性質得到半徑，進而得到軌跡方程.
【詳解】， 中點為
為斜邊兩端點，則
點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，且與不重合
點軌跡方程為：
【點睛】本題考查軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠根據直角關系確定點的軌跡為圓；易錯點是忽略軌跡中不包括兩點的情況，從而造成范圍缺失.
8．C
【分析】將圓的一般方程轉化為標準方程，進而可得圓心和半徑.
【詳解】由得，
故圓心為，半徑長為4.
故選：C.
9．D
【分析】由圓的一般方程，表示出圓的半徑，然后通過半徑大于0，得到關于的方程，求出的范圍.
【詳解】因為方程表示圓，
則半徑
所以
即
解得
故選D項.
【點睛】本題考查圓的一般方程求圓的半徑，屬于簡單題.
10．A
【分析】由題意可得，解不等式組可得答案
【詳解】由題意，得，解得，或.
故選：A.
11．C
【分析】由直角關系可知點軌跡是以中點為圓心，長為半徑的圓，且不包括兩點；利用中點坐標公式求得圓心坐標，直角三角形性質得到半徑，進而得到軌跡方程.
【詳解】， 中點為
為斜邊兩端點，則
點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，且與不重合
點軌跡方程為：
故選：
【點睛】本題考查軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠根據直角關系確定點的軌跡為圓；易錯點是忽略軌跡中不包括兩點的情況，從而造成范圍缺失.
12．ABC
【分析】將圓的方程轉化為標準方程，可得圓心，進而判斷各選項.
【詳解】由圓的方程為，即，
即圓心的坐標為，
A選項，圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形，而點是圓心，A選項正確；
B選項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線過圓心，B選項正確；
C項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線過圓心，C選項正確；
D項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線不過圓心，D選項不正確；
故選：ABC.
13．
【分析】設出圓的方程，代入三點坐標，解方程組可得．
【詳解】設圓的方程是：，
因為圓過三點，
所以，解得，
所以圓方程為，即,
故答案為：．
14．（x＋1）2＋y2＝4
【分析】根據平面內兩點間的距離公式，列出方程化簡即可得出結論.
【詳解】設點M的坐標是（x，y），則＝.∴＝.化簡，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求軌跡方程為（x＋1）2＋y2＝4.
故答案為：（x＋1）2＋y2＝4.
15．
【解析】根據點，在圓上，且關于直線對稱可知，直線過圓心，則可解出，然后得出圓的半徑，得出圓的面積.
【詳解】因為點，在圓上，且點，關于直線對稱，
根據圓的性質可知：
過圓心，則，解得.
所以圓的方程為：，即，
則，面積為：.
故答案為：.
【點睛】本題考查圓的一般方程及相關計算，考查圓中的弦的對稱軸問題，較簡單，根據題目條件確定出圓的方程是關鍵.
16．(1)方程表示圓，圓心為，圓的半徑2
(2)方程表示一個點
(3)方程不表示任何圖形
【分析】根據二元二次方程表示圓的條件即可判斷.
【詳解】（1）由方程可知：，,
所以方程表示圓，又,
所以圓心為，圓的半徑為.
（2）由方程可知：，,
所以方程表示點，又，
所以方程表示的點的坐標是.
（3）原方程可化為
由方程可知：，，
所以該方程無實數解，方程不表示任何圖形.
17．，點P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓
【分析】設點P，點A，由中點坐標公式可得.代入圓的方程，整理即可得出，即可得出答案.
【詳解】設點P的坐標為，點A的坐標為，
又，且P為線段AB的中點，
所以，則.
因為點A在圓C：上運動，即有，
代入可得，，
整理可得，化為標準方程可得.
所以，中點P的軌跡方程為，
該軌跡為以為圓心，1為半徑的圓.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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