資源簡介

2.5.2 圓與圓的位置關系【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.圓與圓位置關系的判定及由位置關系求參數，培養直觀想象、邏輯推理和數學運算素養，如第1題、第2題、第3題、第4題、第9題；
2.圓與圓的公共弦及公切線問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第4題、第8題、第10題、第11題；
3.圓與圓的綜合問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第5題、第6題、第7題、第12題；
（2024上·廣西桂林·高二統考期末）
1．圓與圓的位置關系是（ ）
A．外切 B．內含 C．相交 D．外離
（2024·天津·高二天津市薊州區第一中學校聯考期末）
2．已知圓與圓相交，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2024·山西大同·高二統考期末）
3．設圓，圓，則是兩圓相切的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
（2024上·天津和平·高二統考期末）
4．已知圓：和圓：，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2024·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校聯考期末）
5．若，，則與公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024·吉林白山·高二統考期末）
6．已知圓與圓相交于兩點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·湖南郴州·高二統考期末）
7．已知圓，則下列命題正確的是（ ）
A．圓心坐標為
B．直線與圓相交所得的弦長為8
C．圓與圓有三條公切線.
D．圓上恰有三個點到直線的距離為，則或
8．已知圓：和圓：，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則圓和圓相離
B．若，則圓和圓的公共弦所在直線的方程是
C．若圓和圓外切，則
D．若圓和圓內切，則
（2023·江蘇泰州·高二江蘇省口岸中學校考期中）
9．已知圓：，圓：，如果這兩個圓有公共點，則實數a取值范圍是 .
（2024·北京昌平·高二統考期末）
10．已知圓，則圓的半徑為 ；與圓和圓都相切的直線的方程為 .（只需寫出一條直線的方程）
（2023·內蒙古鄂爾多斯·高一校聯考期中）
11．已知圓．
(1)求證：該圓恒過一定點；
(2)若該圓與圓相切，求的值．
（2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中）
12．已知圓，，為坐標原點.
(1)若為圓上的動點，當最大時，求直線的斜率；
(2)若圓過點及點，且與圓外切，求圓的方程.
【易錯題目】第3題、第8題、第11題
【復盤要點】圓與圓相切時，有兩種情況即內切和外切，但是在題設告知相切的情形下，我們往往會考慮其中一種情況，而忽視另外一種情況.
（2024·福建莆田高二期末）
例1.若圓C與直線相切，且與圓相切于點，寫出一個符合要求的圓C的標準方程: .
【答案】（或）
【分析】分兩圓是內切和外切兩種情況，結合點到直線的距離公式運算求解.
【解析】設圓C的半徑為，圓心C到直線的距離為，
由題知兩圓心連線過點，
圓，即，圓心為，半徑為1，
故圓C的圓心C在x軸上.
若兩圓內切，則，
由題意可得，解得，
所以圓C的標準方程為；
若兩圓外切，則，
由題意可得，解得，
所以圓C的標準方程為；
故答案為：（或）.
易錯警示： 考查圓與圓的位置關系時，相切有內切和外切兩種情況，相交也存在兩圓圓心在公共弦同側和異側兩種情況，易忽視其中的一種情況，需根據條件準確判斷.
【復盤訓練】
（2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考期中）
13．已知兩個圓，，若兩圓相切，則半徑為 ．
（2023·陜西榆林·高二校聯考期中）
14．若圓與圓相切，則實數
（2024·安徽·高三安徽省懷遠第一中學校聯考期末）
15．已知一組圓，，…，均與三個定圓，，相切，則圓，，…，的面積和為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】求出兩圓圓心距，結合圓與圓的位置關系可得出結論.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
則，則，故兩圓相交.
故選：C.
2．A
【分析】先分別求出兩圓得圓心的坐標及半徑，再根據兩圓相交可得，即可得解.
【詳解】圓化為標準方程得，
則其圓心，半徑，
圓化為標準方程得，
則其圓心，半徑，
因為兩圓相交，所以，
即，解得，
所以的取值范圍為.
故選：A.
3．B
【分析】先根據兩圓相切求出，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】由題可得圓的圓心坐標為，半徑為2，
圓的圓心坐標為，半徑為，
故圓心距，
因為兩圓相切可分為外切和內切，
當兩圓外切時，圓心距，解得；
當兩圓內切時，圓心距，解得，或（舍去），
所以是兩圓相切的充分不必要條件.
故選：B．
4．B
【分析】直接將兩圓方程作差即可得公共弦方程.
【詳解】由題意圓：和圓：，
將兩式作差得，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，整理得.
故選：B.
5．B
【分析】求出圓心和半徑，根據兩圓心的距離確定兩圓的位置關系，進而可得公切線的條數.
【詳解】，
即，圓心，
，
即，圓心，
則，
所以，
所以兩圓相交，有2條公切線.
故選：B.
6．A
【分析】求出公共弦所在的直線方程以及公共弦長，利用面積公式計算即可.
【詳解】聯立,相減可得直線：，
所以到直線的距離為，
利用圓與直線相交可得：，
所以.
故選：A.
7．ABD
【分析】根據題意，結合圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由圓，可化為，
可得圓心，半徑為，所以A正確；
對于B中，由圓心到直線的距離為，
則相交弦長為，所以B正確；
對于C中，由圓，可得圓心，半徑，
可得，且，則，
所以圓與圓相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯誤；
對于D中，由圓上恰有三個點到直線的距離為，
則滿足圓心到直線的距離為，即，
解得或，所以D正確.
故選：ABD.
8．BD
【分析】把圓的方程化成標準方程，明確圓心和半徑，借助兩圓的位置關系進行判斷.
【詳解】圓：，圓心，半徑；
圓：，圓心，半徑.
對A：當時，，因為故兩圓相交，故A錯誤；
對B：當時，兩圓相交，公共弦所在直線方程為：，即，故B正確；
對C：由兩圓外切，得，故C錯誤；
對D：由，故D正確.
故選：BD
9．
【分析】由題意確定兩圓的圓心和半徑，利用圓與圓的位置關系建立不等式組，解之即可.
【詳解】由題意知，，則，
因為圓與圓有公共點，所以，即，
解得，所以實數a取值范圍是.
故答案為：.
10． （答案不唯一，或亦可）
【分析】將圓的一般方程化為標準方程即可得圓心；設出兩圓的公切線方程，注意討論斜率是否存在，由切線的性質列式計算即可得公切線方程.
【詳解】由，即，
故圓的半徑為，圓心坐標為，
設直線與圓和圓都相切，
若直線斜率不存在，設直線為，
需有，解得，故符合要求；
若直線斜率存在，設直線為，即，
需有，兩式相除得，
故或，
化簡得或，
由可得，
故有或，
化簡得或，
即或，
則或，
故該直線為或，
即或，
綜上所述，與圓和圓都相切的直線的方程有：
、、.
故答案為：；（答案不唯一，或亦可）
11．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）將分離出來，得，對任意的成立，得，求解即可得出定點坐標；
（2）將圓的方程化為標準方程，由題意可將兩圓關系分為外切和內切，運用幾何法分別求出的值.
【詳解】（1）圓的方程可整理為，
此方程表示過圓和直線交點的圓系，
由，得，
所以已知圓恒過定點．
（2）圓的方程可化為，
①當兩圓外切時，，即，解得；
②當兩圓內切時，，即，解得；
綜上所述，．
【點睛】若經過參數分離后，能將曲線方程整理成（為參數），則這個曲線系就是過和交點的曲線系，解方程組，即可得定點坐標.
12．(1)
(2)
【分析】（1）求出點的位置，即可得出直線的斜率；
（2）設出點坐標，利用圓與圓外切和圓到原點的距離即可得出圓的方程.
【詳解】（1）在圓中，
，圓心，半徑，
當最大時，與圓相切，,
此時點為的中點，
點恰好是以為圓心，為直徑的圓與的交點，
此時,
∴,
（2）由題意及（1）得，
在圓中，
圓心，半徑，
圓過點及點，
∴圓的圓心在直線上，
設，半徑為，
因為圓與圓外切，
所以，即，
又，即，
∴聯立解得：或(舍)，
所以，
故所求圓的標準方程為：.
13．或
【分析】根據兩圓相內切、相外切的條件，分別求得r的值
【詳解】由題意知：兩圓圓心分別為：，，半徑分別為：，，
當兩圓外切時：，解得：；
當兩圓內切時：，解得：，負值舍去；
綜上：或.
故答案為：或.
14．或
【分析】求出兩圓的圓心坐標及半徑，利用兩圓相切列式計算即得.
【詳解】圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
當圓與圓外切時，，即，解得 ；
當圓與圓內切時，，即, 解得 ，
所以圓與圓相切時, 或.
故答案為：或
15．
【分析】根據圓與圓的位置關系即可情況求解.
【詳解】設：，：，：，
由于圓和均值圓的內部，所以所求圓一定與圓：內切，
所以，
若圓與，內切，與內切時，設圓心為，半徑為r，可得
，由可知，，
由于，，均關于軸對稱，所以根據對稱性可知有兩個；
同理，若圓與，外切，與內切時，可得，且有兩個；
若圓與內切，與外切，與內切時，可得，且有兩個；
若圓與內切，與外切，與內切時，可得，且有兩個；
綜上所述，共有8個圓滿足題意，面積和為．
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.5.2 圓與圓的位置關系【第二課】
題型一 判斷兩圓的位置關系
例1已知圓：，圓：，判斷兩圓的位置關系.
【解析】方法一（幾何法）：圓：化為標準方程，得.
圓：，化為標準方程得.
∴圓的圓心是點，半徑，
圓的圓心是點（2，2），半徑.
∴圓與圓的圓心距.
又∵圓與圓的半徑之和為，
半徑之差為.
∴，∴圓與圓相交.
方法二（代數法）：聯立圓與圓的方程，得到方程組
由①-②，得，③
由③得，代入①并整理得.④
又∵方程④的根的判別式，
∴方程④有兩個不等的實數根，∴圓與圓相交.
【方法技巧與總結】判斷圓與圓的位置關系的一般步驟
幾何法：（1）將兩圓的方程化為標準方程（若圓方程已是標準形式，此步驟不需要）；
（2）分別求出兩圓的圓心坐標和半徑，；
（3）求兩圓的圓心距d；
（4）比較d與，的大小關系；
（5）根據大小關系確定兩圓的位置關系.
代數法：將兩個圓的方程聯立成方程組，解方程組，根據方程組解的個數判斷兩圓的位置關系.
【變式訓練1-1】
（2023·福建三明·高二期中）
1．已知，圓，，則（ ）
A．兩圓可能外離 B．兩圓可能相交
C．兩圓可能內切 D．兩圓可能內含
【變式訓練1-2】
（2024·安徽霍邱·高二期末）
2．已知直線被圓：截得的弦長為，且圓的方程為，則圓與圓的位置關系為（ ）
A．相交 B．外切 C．相離 D．內切
【變式訓練1-3】
（2024·江西宜春·高二統考期末）
3．已知圓：和圓：.
(1)當時，判斷圓和圓的位置關系.
(2)是否存在實數m，使得圓和圓內含？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.
題型二 圓的相切問題
例2. （1）以為圓心，且與圓內切的圓的方程為______.
（2）圓：與圓：外切，則實數m的值為______.
【答案】（1）或；（2）2或
【思路分析】
【解析】（1）設所求圓的半徑為r，則，所以或，故所求圓的方程為或.
（2），，，，由題意得，
即，解得或.
【方法技巧與總結】處理兩圓相切問題的步驟
（1）定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則分兩圓內切還是外切兩種情況討論.
（2）轉化思想，即
1.求過圓上一點P(x0，y0)的切線方程的常用方法
【變式訓練2-1】
（2023·湖北黃石高二期中）
4．已知圓與圓外切，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練2-2】
（2024·福建莆田·高二統考期末）
5．與圓外切且與直線相切于點的圓的方程為 .
【變式訓練2-3】
（2024·陜西安康·高二校聯考期末）
6．已知圓O：，圓C過點且與圓O相切于點，求圓C的標準方程.
題型三 兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長
例3.已知圓：，圓：.
（1）求兩圓公共弦所在直線l的方程及公共弦長.
（2）求兩圓公共弦所在直線l被圓：所截得的弦長.
【解析】（1）設兩圓的交點坐標分別為，，
則點A，B的坐標是方程組的解，
兩式相減得.
因為A，B兩點的坐標滿足，
所以AB所在直線方程為，
即圓，的公共弦所在直線l的方程為.
圓的圓心為，半徑，到直線l的距離，
圓與圓的公共弦長為.
故圓與圓公共弦所在直線l的方程為，公共弦長為.
（2）圓的圓心為，半徑，其圓心到直線l的距離，
由條件知，
所以直線l被圓截得的弦長為.
【方法總結】兩圓公共弦長求解思路
1.兩圓相交時，公共弦所在的直線方程的求法：
將兩圓的方程作差即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.
2.公共弦長的求法：
（1）代數法：聯立兩圓的方程，解出交點坐標，進而求出弦長；
（2）幾何法：求出公共弦所在直線方程，利用一個圓的半徑，半弦長，弦心距構成直角三角形，根據勾股定理求解.
【變式訓練3-1】
（2023·遼寧鞍山高二期中）
7．圓和圓的交點為，，則有（ ）
A．公共弦所在直線方程為
B．線段中垂線方程為
C．公共弦的長為
D．為圓上一動點，則到直線距離的最大值為
【變式訓練3-2】
8．如圖，圓與圓 交于、兩點，則公共弦的長是 ．
【變式訓練3-3】
9．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為，則a＝ .
【變式訓練3-4】
（2024·湖北十堰高二期末）
10．圓和.
(1)取何值時與內切？
(2)求時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.
題型四 圓與圓的位置關系的應用
例4.（2024·河北保定·高二期末）若圓：與圓：恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（ ）
A. B.（3，5） C. D.
【答案】A
【解析】由得，
則，即，所以圓心，半后為.
由得，所以圓心，半徑為.
因為圓與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，
所以有
，解得，所以m的取值范圍為，故選A.
【方法總結】利用圓與圓的位置關系解題時可畫出簡圖，數形結合，利用其幾何性質簡化運算.
常用的性質有：（1）設兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，，
則
（2）兩圓相切時，兩圓圓心的連線所在直線過切點（若兩圓相交，則兩圓圓心的連線垂直平分公共弦）.
在解題過程中應用這些性質，有時能大大簡化運算.
【變式訓練4-1】
（2024·浙江湖州·高二期末）
11．已知兩圓為與，則（ ）
A．若兩圓外切，則
B．若兩圓有3條公切線，則
C．若兩圓公共弦所在直線方程為，則
D．為圓上任一點，為圓上任一點，若的最大值為，則
【變式訓練4-2】
（2023·重慶八中高二期中）
12．已知直線：和：相交于點，點是圓上的動點，則的最大值為 .
【變式訓練4-2】
（2023·河南南陽高二期中）
13．已知圓與圓相交于兩點，點位于軸上方，且兩圓在點處的切線相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直線與圓 圓分別切于兩點，求的最大值.
易錯點1 忽視圓與圓相切的兩種情況，造成錯解
【典例】（2023·遼寧省營口市高二期中）“”是“與相切”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分且必要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】分別計算兩圓外切和內切時的值，再按照充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【解析】易得，.當圓外切時：得：，
當圓內切時：得：.
所以是兩圓相切的充分不必要條件.故選：A.
易錯警示：圓與圓相切時，有兩種情況即內切和外切，但是在題設告知相切的情形下，我們往往會考慮其中一種情況，而忽視另外一種情況.
針對訓練1-1
（2024·江西贛州·高二統考期末）
14．集合，，其中，若中有且僅有一個元素，則的值是（ ）.
A．3 B．5 C．7 D．9
針對訓練1-2
（2024·福建三明·高二聯考期末）
15．已知圓與圓相切，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
針對訓練1-3
（2023·江蘇淮安高二期中）
16．與圓：外切于坐標原點，且被軸截得的弦長為4的圓的標準方程為 .
易錯點2 圓與圓位置關系判定不清，造成錯解
例2.（2024·廣西南寧高二期末）已知圓，圓，點M，N分別是圓C1、圓C2上的動點，點P為y＝﹣x上的動點，則|PM|+|PN|的最小值是（　　）
A.4 B. C. D.
【答案】B
【分析】先將P到圓上點的距離最小值轉化為P到圓心的距離，再利用對稱性求出直線同側的兩點到直線上點的距離之和的最小值，從而得問題的最小值.
【解析】如圖∵PM≥PC1﹣r1＝PC1﹣1，PN≥PC2﹣r2＝PC2﹣3，
∴PM+PN≥PC1+PC2﹣4，如圖作出C1（1，1）關于y＝﹣x的對稱點A，
則A為（﹣1，﹣1），又C2為（4，5），
∴，當且僅當A、P、C2三點共線時取得等號，
∴PM+PN≥PC1+PC2﹣4＝PA+PC2﹣4≥AC2﹣4，
|PM|+|PN|的最小值是.故選：B.
易錯警示：解決圓與圓位置關系中最值問題，首先判定圓與圓的位置關系，再結合圓的幾何性質或建立目標函數，求出最值.
針對訓練2-1
（2023·四川南充高二期中）
17．過圓：上的點作圓：的切線，切點為，則切線段長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
針對訓練2-2
（2024·山東泰安高二統考期末）
18．點在圓上，點在圓上，則（ ）
A．的最小值為3 B．的最大值為7
C．兩個圓心所在的直線斜率為 D．兩個圓相交弦所在直線的方程為
針對訓練2-3
（2024·遼寧盤錦·高二校聯考期末）
19．若點，分別圓：與圓：上一點，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABC
【分析】根據圓心距與半徑之和，半徑之差之間的關系，結合已知條件，即可分析判斷.
【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑；
則，，
當時，，兩圓外離；
當時，，兩圓相交；
當時，，兩圓內切；
當時，，兩圓外切；
綜上所述，兩圓可以外離，可以內切，可以相交，不能內含.
故選：ABC.
2．A
【分析】根據圓的弦長公式以及點到直線的距離公式得出的值，再由圓心距與兩圓半徑的關系確定兩圓的位置關系.
【詳解】圓：，可化為
可知圓的圓心的坐標為，半徑為
圓心到直線的距離為
由，得，解得（舍）
，
圓的方程可化為，則圓心，
，
則圓與圓相交
故選：A
【點睛】本題主要考查了已知圓的弦長求參數以及判斷兩圓的位置關系，屬于中檔題.
3．(1)相交
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據題意求兩圓圓心和半徑，結合兩圓的位置關系分析判斷；
（2）根據題意求兩圓圓心和半徑，假設存在，結合兩圓的位置關系分析運算即可.
【詳解】（1）當時，圓的標準方程為，則，半徑，
圓的標準方程為，則，半徑，
可得兩圓的圓心距，
且，，則，所以圓和圓相交.
（2）不存在，理由如下：
圓的方程可化為，則，半徑.
由（1）可知：，半徑.
假設存在實數m，使得圓和圓內含，
則圓心距，
整理得，此不等式無解.
故不存在實數m，使得圓和圓內含.
4．C
【分析】分別求出兩圓的圓心和半徑，然后可建立方程求解.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
所以由兩圓外切可得，解得，
故選：C
5．或
【分析】設所求圓的方程為，再根據兩圓外切以及直線與圓相切列方程，解方程，進而得解.
【詳解】將圓化為標準式為，即圓心為（1,0），半徑為1.
設所求圓的方程為.
則由題意知，①
，②
，③
由①②③得，，或，，，
即所求圓的方程為或.
【點睛】本題考查了圓的一般方程和標準方程，考查了兩圓的位置關系，考查了直線與圓的位置關系；當兩圓外切時，圓心距等于兩個圓的半徑之和，當圓與直線相切時，圓心到直線的距離等于這個圓的半徑，且圓心和切點連線與切線垂直.
6．
【分析】方法一：設圓C的圓心為，由可得，再由切點在直線OC上，可得，兩式解方程可得，即可求出圓C的圓心，再求出圓的半徑，即可求出圓C的標準方程.方法二：求出直線ON的方程和線段MN的垂直平分線的方程，兩式聯立可求出圓C的圓心，再求出圓的半徑，即可求出圓C的標準方程.
【詳解】方法一：設圓C的圓心為，則，
由題意得，化簡得.
因為圓C與圓O相切于點，所以切點在直線OC上，
直線OC的方程為.
將代入中，得.
聯立與可得，圓心C為，
故圓C的半徑為，
故圓C的標準方程為.
方法二：圓O和切點N連線所在的直線一定過圓C的圓心，直線ON的方程為.
，所以線段MN垂直平分線的斜率，線段MN的中點為（3，2），
則線段MN的垂直平分線的方程為.
聯立解得
故圓C的圓心為，半徑，
故圓C的標準方程為.
7．ABD
【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線的方程判斷B；利用垂徑定理計算弦長判斷C；求出圓到直線的距離的最大值判斷D．
【詳解】圓的圓心，半徑，
的圓心， 半徑，
顯然，即圓與圓相交，
對于A，將方程與相減，
得公共弦AB所在直線的方程為，即，A正確；
對于B，由選項A知，直線的斜率，則線段AB中垂線的斜率為，
而線段中垂線過點，于是線段AB中垂線方程為，即，B正確；
對于C，點到直線的距離為，
因此，C錯誤；
對于D，P為圓上一動點，圓心到直線的距離為，
因此點P到直線AB距離的最大值為，D正確．
故選：ABD
8．
【分析】由兩圓的方程相減求得公共弦的方程，在根據圓的弦長公式，即可求解.
【詳解】由圓與圓
可得公共弦AB的方程為，
整理得公共弦AB的方程為，
因為圓的圓心，半徑為，
圓心到直線AB的距離為，
所以公共弦AB的長為.
【點睛】本題主要考查了圓與圓的位置關系，以及直線與圓的位置關系及弦長的求法，其中解答中根據兩圓的方程相減，得到公共弦的方程，再由圓的弦長公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.
9．1
【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.
【詳解】將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為.
圓的圓心為，半徑為.
到直線的距離為：
，解得.
故答案為：
10．(1)
(2)公共弦所在直線的方程為，公共弦的長為
【分析】（1）先利用圓的一般式分別求出兩個圓的圓心和半徑，然后利用內切求出的值即可；（2）兩圓的方程相減可得到公共弦方程，然后利用垂徑定理，求出弦長即可.
【詳解】（1）因為兩圓的標準方程為：，
所以圓心分別為，半徑分別為和
當兩圓內切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離 ，
故有，解得.
（2）由題可得兩圓的公共弦所在直線方程為
整理得，
所以公共弦長為
11．BCD
【分析】對于AB，根據圓心距等于半徑之和即可判斷；對于C，兩圓方程相減求得公共弦所在直線方程，即可判斷；對于D，根據的最大值為圓心距加上半徑即可判斷.
【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
對于A，若兩圓外切，則圓心距，得，故A錯誤；
對于B，若兩圓有3條公切線，則兩圓外切，則，故B正確；
對于C，兩圓得方程相減得，
若兩圓公共弦所在直線方程為，
則，解得，故C正確；
對于D，圓心距，
則的最大值為，解得，故D正確.
故選：BCD.
12．##
【分析】求出直線恒過的定點，易得，垂足為M，所以點M在以AB為直徑的圓上，求出點M軌跡方程為圓P，又M，N分別在圓P，圓C上，即可求出的最大值.
【詳解】由題意知：恒過定點，
：恒過定點，又，
所以，垂足為M，所以點M在以AB為直徑的圓上，
圓心為，半徑為，
故點M軌跡方程為圓P：(除 外）.
又圓C：的圓心為，半徑為3，
所以，又M，N分別在圓P，圓C上，故的最大值為.
故答案為：.
13．(1)
(2)最大值為3
【分析】（1）根據切線的性質構造直角三角形，結合勾股定理求解；
（2）平移公切線構造直角三角形，由勾股定理結合基本不等式求解的最大值.
【詳解】（1）如圖，由題意可知與圓相切，與圓相切，
且，
故，
即.
（2）作于點H，連接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，當且僅當時取等號，
故，
即的最大值為3.
14．AC
【分析】題意說明兩個圓只有一個公共點，兩個圓相切（外切和內切）時，只有一個公共點．
【詳解】圓的圓心是，半徑為，
圓圓心是，半徑為，
，當，時，兩圓外切，當，時，兩圓內切，它們都只有一個公共點．
故選：AC．
【點睛】本題考查集合與集合的關系，解題關鍵是確定集合中的元素，本題實質是考查圓與圓的位置關系．
15．B
【分析】先寫出圓心半徑，分圓與圓外切以及圓與圓內切兩種情況，求出，結合基本不等式即可求解.
【詳解】由題，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1.
若圓與圓外切，則，即，則，即，當且僅當時等號成立.
若圓與圓內切，則，即，則，即，當且僅當時等號成立.
綜上，的最小值為2.
故選：B.
16．
【分析】根據題意分析可得所求圓的圓心在直線上，設為圓心為，半徑為，再根據垂徑定理得求解．
【詳解】圓：的圓心，半徑為
根據題意可知：所求圓的圓心在直線上，設為圓心為，半徑為，則可得：，解得
即所求圓的圓心為，半徑為，標準方程為
故答案為：．
17．C
【分析】根據切線的性質得到不等式，可得選項.
【詳解】解：因為，，
所以，即切線段長的最大值為．
故選：C．
18．ABC
【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標，以及半徑和，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關系是外離，又為圓上的點，為圓上的點，便可求出其最值，用斜率公式求出.
【詳解】圓的圓心坐標，半徑
圓 ，即的圓心坐標，半徑
∴圓心距
又在圓上，在圓上
則的最小值為，最大值為．
故A、B正確；
兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；
圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯誤.
故答案為：ABC
19．4
【分析】由幾何關系求解
【詳解】因為，所以兩圓相離，所以的最小值為
故答案為：4
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑