資源簡介

2.5.2 圓與圓的位置關系【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.圓與圓位置關系的判定及由位置關系求參數，培養直觀想象、邏輯推理和數學運算素養，如第6題、第9題、第11題、第15題；
2.圓與圓的公共弦及公切線問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第2題、第4題、第12題；
3.圓與圓的最值與范圍問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第5題、第7題、第8題、第10題、第13題、第14題、第16題；
一.單選題
（2024·廣東深圳·高二統考期末）
1．已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一條公切線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校期末）
2．古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數學的重要成果．其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓．已知點，，動點滿足，則點的軌跡與圓：的公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024·廣西北海·高二統考期末）
3．在平面直角坐標系中，已知圓，若圓上存在點，使得，則正數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中學?？计谥校?br/>4．已知圓，圓，則兩圓公共弦所在的直線過定點（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
5．已知圓與圓相外切，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．4
（2024·天津·高二天津市第一百中學校聯考期末）
6．已知圓：（）截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關系為（ ）
A．內切 B．外切 C．相交 D．外離
（2023·江蘇南京·高二期中）
7．已知圓和兩點、，若圓上存在一點，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學校期末）
8．已知圓O：和圓C：，圓心為點C，現給出如下結論，其中正確的個數是（ ）
①圓O與圓C有四條公切線
②過點C且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為或
③過點C且與圓O相切的直線方程為
④P Q分別為圓O和圓C上的動點，則的最大值為，最小值為
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多選題
（2024·廣東河源·高二統考期末）
9．若點為原點，且圓與圓沒有公共點，則圓的半徑可以是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．9
（2024·江西宜春高二期末）
10．已知是圓上一點，是圓上一點，則（ ）
A．的最小值為2
B．圓與圓有4條公切線
C．當取得最小值時，點的坐標為
D．當時，點到直線的距離小于2
三、填空題
（2023·河南鄭州·高二鄭州外國語學校期中）
11．設集合，，若中有且只有一個元素，則的取值集合為 ．
（2023·江蘇宿遷·高二統考期中）
12．已知圓：，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程是 ．
（2023·廣東東莞·高二校考期中）
13．在平面直角坐標系中，若圓：（）上任意一點關于直線的對稱點都不在圓：上，則的取值區間為 .
（2023·山東德州·高二統考期中）
14．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，則點坐標為 ；的最小值為 ．
四、解答題
（2024·廣西南寧·高二統考期末）．（2024·遼寧阜新高二期末聯考）
15．已知圓，圓.
(1)試判斷圓C與圓M的位置關系，并說明理由；
(2)若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.
（2024·黑龍江佳木斯·高二統考期末）
16．已知圓．
(1)證明：圓C過定點；
(2)當時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程．
【易錯題目】第3題、第10題、第16題
【復盤要點】 圓與圓中的最值問題，綜合性較強，既要有幾何視角（熟悉圓與圓中的幾何性質），又要具備函數與方程思想，內建立相應的目標函數分析解決.
典例（2023·湖北·高二鄖陽中學校聯考期中）
已知直線l：與x軸交于點M，圓O：，P為直線l上一動點，過P點引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，則點M到直線的距離最大值為 ．
【答案】
【分析】根據兩圓方程相減可得弦的直線方程為，即可根據判定弦AB的直線恒過定點，由兩點距離公式即可求解.
【解析】設，則過P點作圓的兩條切線，則在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的方程為，
又在圓O：，兩圓相減可得弦的直線方程為，
又因為：P在直線l上，故：，
故：切點弦的直線恒過定點，點到直線的最
大距離為．
故答案為：
易錯提示： 圓與圓有中的最值問題
1.利用圓的幾何性質求最值的問題：（1）求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線. （2）過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.
2.利用直線與圓的位置關系解決最值（取值范圍） 問題：解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標——函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值（取值范圍）.對于圓的最值問題；
3.利用圓的特殊幾何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.
①形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.
②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.
③形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.
【復盤訓練】
（2024·江蘇常州·高二統考期末）
17．已知兩條動直線和交于點，圓上兩點，間的距離為.若點是線段的中點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·寧夏·高二石嘴山市第三中學?？计谥校?br/>18．已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·陜西西安·高二交大附中校考期中）
19．已知點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為 .
（2023·湖北武漢·高二校聯考期中）
20．若直線：，：（）相交于點，過作圓的切線，切點為，則的最大值為 ．
（2023·浙江杭州·高二校聯考期中）
21．已知圓：與圓：相交于、兩點，則圓：的動點到直線距離的最大值為 .
（2023·天津·高二校聯考期中）
22．已知點（，）在圓：和圓：的公共弦上，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據公切線的條數確定兩圓的位置關系，進而求解即可.
【詳解】由題意知，，因為圓與圓有且僅有一條公切線，
所以兩圓內切，故，即，
解得.
故選：C.
2．C
【分析】先求得點的軌跡方程，然后根據圓與圓的位置關系確定公切線的條數.
【詳解】依題意動點滿足，
所以,，
整理得，所以點的軌跡是以為圓心，半徑的圓.
圓的圓心為，半徑，
，所以兩圓外切，則公切線有條.
故選：C

3．D
【分析】設，根據條件得到，從而將問題轉化成與圓有交點，再利用兩圓的位置關系即可求出結果.
【詳解】設，則由，得到，
整理得到，又點在圓上，所以與圓有交點，
又的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
所以，解得，
故選：D.
4．D
【分析】先由兩圓的方程相減求出公共弦所在的直線方程，然后即可求解.
【詳解】由題意知圓：，圓：，
將兩圓方程式相減得兩圓公共弦所在直線方程為，
變形得，由得，
即公共弦所在直線過定點，故D項正確.
故選：D.
5．A
【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由兩圓外切可得，要使取得最大值，則，同號，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
由圓與圓相外切，得，
即，
∴，
要使取得最大值，則，同號，不妨取，，
由基本不等式，得
，當且僅當時等號成立，
∴的最大值為2．
故選：A.
6．A
【分析】根據圓的弦長公式，結合點到直線的距離公式可得，即可根據圓心距與半徑的關系求解.
【詳解】圓：（）的圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
所以，解得，
故圓的圓心為，半徑為，
，故兩圓內切，
故選：A
7．C
【分析】取，則為等邊三角形，分析可知，滿足條件的點一定在的外接圓上，求出的外接圓的圓心以及圓的半徑，由圓與圓有公共點，可得出關于實數的不等式，結合可得出實數的取值范圍.
【詳解】取，則，同理可得，，
所以，，所以滿足條件的點一定在的外接圓上，
的外接圓半徑為，
所以，的外接圓圓心為，且，
要使得圓上存在一點，使得，所以圓與圓有公共點，
則，即，
又，解得．
故選：C．
8．C
【分析】根據兩圓的位置關系可判定①④，利用截距式可判定②，利用直線與圓的位置關系判定③.
【詳解】根據題意可知，兩圓半徑分別為，，
故兩圓相離，所以有四條公切線，①正確；
，④正確；
顯然過且在兩坐標軸的截距相等的直線有（此時截距為零），
當截距不為零時，可設，代入點得，故②錯誤；
易知是過與圓O相切的直線，此時斜率不存在，
若切線斜率存在，可設，
則O點到的距離為，
所以該切線方程為，
綜上過點C且與圓O相切的直線方程，，故③錯誤；
故選：C
9．AD
【分析】判斷點與圓的位置，再利用兩圓相離列出不等式求解即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，，顯然點在圓外，
由于圓與圓無公共點，則圓與圓可以外離，也可以內含，且圓在圓內，
設圓的半徑為，于是或，即或，解得或，
所以圓的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.
故選：AD
10．AB
【分析】求出兩圓的圓心距，判斷兩圓的位置關系，再逐項分析、計算即可判斷得解.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，圓與圓外離，
因此的最小值為，圓與圓有4條公切線，AB正確；
直線的方程為，代入，得，當取得最小值時，
為線段與圓的交點，因此點的坐標為，C錯誤；
過點作圓的切線，切點為，則，
當為線段的延長線與圓的交點，且點與重合時，，
此時點到直線的距離等于，D錯誤.
故選：AB
11．1或11
【分析】由題意可知兩圓只能相切，然后分別算出各圓的圓心坐標、半徑、圓心距，從而即可求解.
【詳解】由題意若中有且只有一個元素，
則當且僅當圓與圓相切，
圓的圓心坐標、半徑分別為，圓的圓心坐標、半徑分別為，
而兩圓的圓心距為，
因為，
所以兩圓不可能外切，只能內切，此時，
解得或.
故答案為：1或11.
12．
【分析】設，根據題意確定出四點共圓并求解出圓的方程，然后根據兩圓相交弦所在直線方程的求法求解出結果.
【詳解】設，如下圖，
因為為圓的切線，
所以，所以，
所以四點共圓，且為圓的直徑，記的中點為，
因為，所以，
所以經過四點的圓的方程為，
顯然與的相交弦為，
所以所在直線的方程為，
即為，
故答案為：.
13．
【分析】求出圓：（）關于對稱圓，轉換為與無公共點，求解即可.
【詳解】圓：（）關于直線的對稱圓為：（），
由已知可得，只需要與無公共點，
則或，
又，
所以或，
解得或，
又因為，
所以的取值區間為，
故答案為：.
14． ## ##
【分析】聯立圓的方程，可得公共弦方程及其恒過的定點，利用兩點間距離公式可得，再利用二次函數性質可得最值.
【詳解】由，，
可得，即，
所以，解得，
所以點，
又，，
則，
所以當時，取最小值為，
經檢驗，當時，兩個方程均表示圓，且兩圓相交，滿足題意.
故答案為：，.
15．(1)圓C與圓M相交，理由見解析
(2)或
【分析】（1）利用圓心距與半徑的關系即可判斷結果；
（2）討論，當直線l的斜率不存在時則方程為，當直線l的斜率存在時，設其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得出結果.
【詳解】（1）把圓M的方程化成標準方程，得，
圓心為，半徑.
圓C的圓心為，半徑，
因為，
所以圓C與圓M相交，
（2）①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；
②當直線l的斜率存在時，設其方程為，
由題意得，解得，
故直線l的方程為.
綜上，直線l的方程為或.
16．(1)證明見解析
(2)面積最小值為，
【分析】（1）依題意改寫圓的方程，令參數的系數為0即可；
（2）依題意表示出所求面積，再用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】（1）依題意，將圓的方程化為
，
令，即，則恒成立，
解得，即圓過定點；
（2）當時，圓，
直線，
設，依題意四邊形的面積，
當取得最小值時，四邊形的面積最小，
又，即當最小時，四邊形的面積最小，
圓心到直線的距離即為的最小值，
即
，即四邊形面積最小值為，
此時直線與直線垂直，
所以直線的方程為，與直線聯立，解得，
設以為直徑的圓上任意一點：，
故圓的方程為，
即，又圓，
兩式作差可得直線方程.
17．B
【分析】求出點P的軌跡方程，再結合題意求出點Q的軌跡方程，結合圖形以及圓與圓的位置關系，即可求得答案.
【詳解】由題意知兩條動直線和交于點，
聯立直線方程消去m可得，
由于，即，
該直線過定點，但不會過點，
故P點軌跡方程為（去掉點），
圓心為，半徑為；
上兩點，間的距離為，
Q為線段的中點，則圓C的圓心到Q的距離為，
則Q點軌跡方程為，圓心為，半徑為；
由于與圓的圓心距滿足，
故這兩圓外離，
則的最小值為，
故選：B
18．B
【分析】求出圓的標準方程，根據三條公切線，推出兩個圓外切，求出，利用基本不等式求解.
【詳解】根據題意可得，兩圓的標準方程為和，
圓心為和，半徑分別為2，1，
若兩圓恰有三條公切線，
則等價為兩圓外切，
則滿足圓心距，
即
則，
則
,
當且僅當，即，取等號.
故選：B
19．12
【分析】用數形結合可知的最大值為兩圓圓心距加兩個圓的半徑求解即可.
【詳解】設圓的圓心為，圓的圓心為，
所以，

如圖，可知，的最大值是圓心距加兩個圓的半徑，即.
故答案為：12
20．7
【分析】根據已知確定的軌跡為，再由圓切線性質將問題轉化為求的最大值，結合圓與圓的位置關系求其最大值，即可確定的最大值.
【詳解】由題設，，即，
又、分別恒過、，故交點在以線段為直徑的圓上，
圓心為，半徑為，故的軌跡為，
由到的距離為，即兩圓相離，如下圖，
由圓切線性質，，
要使的最大值，只需最大，且為，
所以.
故答案為：7
21．
【分析】借助數形結合思想，結合直線與圓的位置關系可得答案.
【詳解】圓：與圓：的方程相減，
可得，即直線的方程為.
圓：的圓心為，半徑，
點到直線的距離，
則圓上的動點到直線距離的最大值為，
故答案為：.
22．8
【分析】兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，代入已知點坐標得關系式，然后由基本不等式求得最小值，并驗證等號成立時，點在公共弦上．
【詳解】兩圓方程相減得，即，
所以，，
，當且僅當，即時等號成立，
點為，，，點在兩圓公共弦上，滿足題意，
故答案為：8.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.5.2 圓與圓的位置關系【第三課】
擴展1 圓系方程的應用
根據兩圓的交點、同心圓、過直線與圓的交點等條件求圓的方程，按照傳統方程運算常常較為復雜，而設圓系方程，能優化運算路徑，提升運算效率.體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.
例1（2023·湖南邵陽·高二期中）求經過直線與圓的交點，且經過點的圓的方程．
【答案】
【分析】法一：聯立直線與圓的方程求交點，根據三點在圓上，應用待定系數法求圓的方程；法二：設所求圓的方程為，由點在圓上求得，即可得方程.
【解析】法一：解方程組，得或，
∴直線與圓交于點．
設所求圓的方程為()，
將A，B，P的坐標代入，得，解得，滿足，
故所求圓的方程為．
法二：設所求圓的方程為，
又在圓上，則，解得，
故所求圓的方程為，即．
【方法總結】運用圓系方程解決問題基本策略：
1、同心圓圓系
（1）以為圓心的同心圓圓系方程:;
（2）與圓同心圓的圓系方程為:;
2、過線圓交點的圓系
過直線與圓交點的圓系方程為:;
3、過兩圓交點的圓系
過兩圓交點的圓系方程為.（，此圓系不含）
（1）特別地，當時，上述方程為一次方程，兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時,表示公切線方程.
（2）為了避免利用上述圓系方程時討論圓過，可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:
【舉一反三1-1】（2024·河北邯鄲·高二期末）
1．已知圓和圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．所有過點的圓系的方程可以記為（其中，）
B．直線的方程為
C．線段的長為
D．兩圓有兩條公切線與
【舉一反三1-2】（2024·江西宜春高二期末）
2．已知一個圓經過直線與圓的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為 .
【舉一反三1-3】（2024·福建三明一中高二期末）
3．求經過兩圓與的兩個交點且半徑最小的圓的方程.
擴展2 圓與圓的公切線問題
圓的公切線問題，綜合性較強，既要有幾何視角借助圓和切線的幾何性質、也要有方程思想，處理問題.體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.
例2（2023·山東菏澤高二期中）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由兩圓方程得：圓心，，半徑，
兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；
兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經過中點，兩條公切線與平行，
經過中點的公切線斜率顯然存在，可設為：，
，解得：或，即公切線方程為：或；
，與平行的公切線方程為，即，
，解得：，即公切線方程為或；
綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.
【方法總結】求兩個圓公切線常用方法：
1.外公切線求解：如果兩個圓有外公切線，那么過外公切線與連心線交點的直線就是兩個圓的公切線.
2.內公切線求解：如果兩個圓有內公切線，那么過內公切線與連心線交點的直線就是兩個圓的公切線.
3.利用公式求解：如果知道兩個圓的方程，那么可以通過求解方程組來求得公切線的方程.即可以將直線設為y=kx+b（若斜率存在），然后分別根據兩圓的圓心到直線的距離等于半徑，列出兩個方程，通過此方程組便可以求出公切線的方程.
【舉一反三2-1】（2024·貴州畢節高二期末）
4．已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【舉一反三2-2】
5．已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【舉一反三2-3】
6．已知圓心均在軸的兩圓外切，半徑分別為，則兩圓外公切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
（山東·高考真題）
7．圓與圓的位置關系為
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
（湖南·高考真題）
8．若圓與圓外切，則＝（ ）
A．21 B．19 C．9 D．
（全國·高考真題）
9．設兩圓、都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離=
A．4 B． C．8 D．
（北京·高考真題）
10．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為
A．7 B．6 C．5 D．4
（湖北·高考真題）
11．圓和圓的公切線的條數為（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
12．寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
（四川·高考真題）
13．若⊙與⊙相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是 ．
（天津·高考真題）
14．已知兩圓和相交于兩點，則直線的方程是 ．
（山東·高考真題）
15．與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是 .
（上?！じ呖颊骖}）
16．已知兩個圓：①；②，則由①式減去②式可得兩圓的對稱軸的方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，且已知命題應成為所推廣命題的一個特例，則推廣命題為 .
（江蘇·高考真題）
17．在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值為 ．
（江蘇·高考真題）
18．如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓:及其上一點A(2，4).
（1）設圓N與x軸相切，與圓外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓相交于B，C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；
（3）設點T（t，0）滿足：存在圓上的兩點P和Q，使得求實數t的取值范圍.

試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．CD
【分析】根據圓系方程的條件，可判定A錯誤；利用兩圓相減，求得公共弦的方程，可判定B錯誤；利用圓的弦長公式，求得弦長，可判定C正確；根據得到為兩圓的公切線，得到關于兩圓圓心所在直線對稱的直線得到另一條公切線，求得公切線的方程，可判定D正確.
【詳解】對于A中，圓系方程（其中，）此時不含圓M，所以A錯誤．
對于B選項，聯立方程組，
兩式相減得到直線AB的方程為，所以B錯誤．
對于C中，原點O到直線AB的距離為，
根據勾股定理得，所以C正確．
對于D中，由圓，可得，
可得圓的圓心坐標為，半徑為，
又由圓，可得圓心，半徑為，
可得直線與兩圓相切，即為兩圓的公切線，
則關于兩圓圓心所在直線對稱的直線即為另一條公切線，
由和，可得兩圓心所在直線為，即，
聯立方程組，解得，即交點坐標為，
在直線上任取一點，
設點關于直線對稱點為，可得，
解得，即對稱點的坐標為，
所求的另一條切線過點，，可得其方程為，
故所求切線方程為或，所以D正確.
故選：CD.

2．
【分析】設出所求圓的方程為，找出此時圓心坐標，當圓心在直線上時，圓的半徑最小，可得此時面積最小，把表示出的圓心坐標代入中，得到關于的方程，求出方程的解得到的值，進而確定出所求圓的方程.
【詳解】可設圓的方程為,
即,
此時圓心坐標為,
當圓心在直線上時，圓的半徑最小，從而面積最小，
,
解得,
則所求圓的方程為，
故答案為.
【點睛】本題主要考查圓的方程和性質，屬于難題.求圓的方程常見思路與方法有:①直接設出動點坐標 ，根據題意列出關于的方程即可；②根據幾何意義直接找到圓心坐標和半徑，寫出方程；③待定系數法，可以根據題意設出圓的標準方程或一般式方程，再根據所給條件求出參數即可.
3．
【分析】根據兩圓的方程求出兩圓相交弦所在的直線方程，結合待定系數法、圓的幾何性質進行求解即可.
【詳解】設圓和圓的兩個交點為，，則直線的方程為
，
即，設所求圓方程為.
化簡得：
則半徑最小時，圓心在直線上.
解得.
故所求圓的方程為.
【點睛】本題考查了過兩圓交點且半徑最小的圓的方程，考查了圓的幾何性質，考查了數學運算能力.
4．B
【分析】先根據題意求得，從而得到兩圓的圓心和半徑，進而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內切，即可知道公切線只有1條.
【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，
所以圓心到直線的距離為，解得或．
因為，所以.
所以圓：的圓心為，半徑為．
圓：的標準方程為，
圓心坐標為，半徑，
圓心距，所以兩圓相內切．
所以兩圓的公切線只有1條.
故選：B．
5．D
【分析】由已知可推得，直線是圓與圓的公切線.根據兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關系，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，圓心，半徑.
由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，
又直線是圓的切線，
所以，直線是圓與圓的公切線.
因為，
所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，
即滿足條件的直線有4條.
故選：D.
6．A
【分析】畫出兩圓公切線的交點，結合相似三角形的性質即可求解.
【詳解】圓心均在軸的兩圓外切，畫出兩圓公切線，有兩條分別為，
公切線與圓的切點分別為，公切線與軸的交點為A，
兩圓圓心分別為，圓與軸的上交點為，
則，
，則，
，
則，
同理可得，所以兩圓公切線的斜率為.
故選：A.
7．B
【分析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為 ，，所以兩圓相交 ．故選B．
考點：圓與圓的位置關系．
8．C
【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再利用圓與圓的位置關系即可求出結果.
【詳解】依題意可得圓與圓的圓心分別為，，則，
又，且兩圓外切，則，得到，解得．
故選：C.
9．C
【詳解】試題分析：依題意設兩圓方程分別為，分別將代入得，所以，圓心距.
考點：圓與圓的位置關系.
10．B
【詳解】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B.
考點：本小題主要考查兩圓的位置關系，考查數形結合思想，考查分析問題與解決問題的能力.
11．B
【分析】根據圓的一般式判斷圓心與半徑，利用幾何法判斷兩圓位置關系，進而確定公切線的數量.
【詳解】兩個圓與，
圓圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，
，
兩圓相交，有條公切線.
故選：B.
12．或或
【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.
【詳解】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過兩圓公共切點的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點為，
設過該點的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當切線為l時，因為，所以，設方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當切線為m時，設直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當切線為n時，易知切線方程為，
故答案為：或或.
13．4
【詳解】依題意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.
14．
【詳解】試題分析：兩圓為①，②，可得，所以公共弦所在直線的方程為．
考點：相交弦所在直線的方程
15．
【詳解】曲線化為，
其圓心到直線的距離為
所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標為
標準方程為．
16．已知兩個圓：①；②，則由①式減去②式可得兩圓的對稱軸方程為.
【分析】根據兩圓相交弦所在方程的求法來處理問題．
【詳解】兩方程，對應相減，得，
整理得：
【點睛】本題主要考查分析問題能力，用兩個半徑相同的圓的方程作差，得到一條直線的方程， 所以兩圓交點坐標都滿足這條直線的方程，則兩圓交點確定的直線方程就是該直線，兩個圓半徑相同則它們關于這條直線對稱．
17．
【詳解】∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx-2有公共點即可．設圓心C（4，0）到直線y=kx-2的距離為d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知參數k的最大值為.
18．(1)；(2)2x y+5=0或2x y 15=0.(3).
【詳解】試題分析：（1）根據直線與x軸相切確定圓心位置，再根據兩圓外切建立等量關系求半徑;（2）根據垂徑定理確定等量關系，求直線方程；（3）利用向量加法幾何意義建立等量關系，根據圓中弦長范圍建立不等式，求解即得參數取值范圍.
試題解析：解：圓M的標準方程為，所以圓心M（6，7），半徑為5，.
（1）由圓心N在直線x=6上，可設.因為N與x軸相切，與圓M外切，
所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.
因此，圓N的標準方程為.
（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為.
設直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，
則圓心M到直線l的距離
因為
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）設
因為，所以……①
因為點Q在圓M上，所以…….②
將①代入②，得.
于是點既在圓M上，又在圓上，
從而圓與圓有公共點，
所以解得.
因此，實數t的取值范圍是.
【考點】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系、平面向量的運算
【名師點睛】直線與圓中的三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉化到與圓心、半徑的關系上，這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題，也可先確定主元，如本題以為主元，揭示在兩個圓上運動，從而轉化為兩個圓有交點這一位置關系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即將問題轉化為直線與圓、圓與圓的位置關系問題.
答案第1頁，共2頁
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