資源簡介

3.1.1 橢圓及其標準方程【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合.
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.橢圓的定義及其應用，培養直觀想象、邏輯推理和數學運算素養，如第1題、第2題、第5題、第7題、第9題；
2.橢圓的標準方程，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第4題、第6題、第8題、第10題、第11題、第13題、第15題；
3.與橢圓有關的軌跡問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第12題、第14題、第16題；
一、填空題
（2024·北京石景山·高二統考期末）
1．方程表示的曲線是 ，其標準方程是 .
（2024·吉林長春·高二期末）
2．若橢圓上一點到焦點的距離為6，則點到另一個焦點的距離 ．
（2024·河南開封·高二期末）
3．在平面直角坐標系中，點,點P到A與B的距離之和為8，則點P的軌跡為 .
（2023·浙江臺州·高二校聯考期中）
4．畫法幾何創始人蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則 .

（2024·四川廣安·高二四川省華鎣中學校考期末）
5．設橢圓C：的焦點分別為，，過的直線與橢圓相交于A，B兩點，則的周長為 ．
（2023·河南南陽·高二統考期中）
6．請寫出一個焦點在軸上，焦距為的橢圓的標準方程 ．
（2023·安徽霍邱高二期中）
7．橢圓上的一點到左焦點的距離為是的中點，則等于 .
（2023·上海奉賢·高二校考期中）
8．橢圓的一個焦點是，那么等于 ．
（2023·河北石家莊·高二石家莊市第四中學校考期中）
9．設點P為橢圓上一點，分別為C的左、右焦點，且，則的面積為 ．
（2023·浙江嘉興·高二平湖市當湖高級中學校期中）
10．設集合，則方程表示焦點位于x軸上的橢圓有 ．
（2024·江蘇連云港·高二統考期末）
11．經過兩點的橢圓的標準方程為 .
（2024·陜西安康高二期末）
12．設P是橢圓上的動點，是左焦點，聯結，則中點的軌跡方程是 ．
二、解答題
（2023·天津和平·高二天津市匯文中學校考期中）
13．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點的坐標分別是，，并且經過點；
(2)經過兩點，.
（2023·廣西河池高二期中）
14．用圓規畫一個圓O，然后在圓內標記點A，并把圓周上的點折疊到點A，連接，標記出與折痕的交點（如圖），若不斷在圓周上取新的點，，…進行折疊并得到標記點，，…，則點，，，…形成的軌跡是什么？并說明理由．
（2023·福建三明高二期中）
15．已知橢圓的左、右焦點分別為 ，點在橢圓上，，若的周長為6，面積為，求橢圓的標準方程
（2023上·內蒙古赤峰·高二校考期中）
16．己知圓，圓．若動圓與圓外切，且與圓內切．
(1)求圓和圓的圓心和半徑
(2)求動圓的圓心的軌跡方程．
【易錯題目】第10題、第11題、第13題
【復盤要點】忽視焦點的具體位置致誤
【典例】（2024·云南昭通·高二昭通市第一中學校聯考期末）已知橢圓.若橢圓的焦距為2，則實數k的值為（ ）
A.1或3 B.1 C. 3 D.6
【錯解】由題意可得，
在橢圓中，，，則，
∴，解得.
【正解】由題意可得.
①若焦點在y軸上，在橢圓中，，，則，
∴，解得；
②若焦點在x軸上，在橢圓中，，，則，∴，解得.綜上所述，實數k的值是1或3.故選A.
易錯警示 錯解中沒有注意到當時，方程或并不表示橢圓.（1）利用待定系數法求橢圓的標準方程的步驟：①先確定焦點位置；②設出方程；③尋找a，b，c的等量關系；④求a，b的值；⑤代入所設方程.
（2）當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為（，，）.
【復盤訓練】
（2024上·北京豐臺·高二統考期末）
17．已知橢圓的焦點在軸上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南南陽·高二期中）
18．橢圓的焦距是2，則實數的值是 .
（2023·福建莆田一中高二月考）
19．分別寫出滿足下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦距為4，且經過點；
(2)求經過點和點的橢圓方程.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1． 橢圓
【分析】根據橢圓的定義即可得解.
【詳解】方程，
表示點到兩點的距離之和等于，而，
所以方程表示的曲線是橢圓，
且長軸長，焦距，所以，
所以半短軸長，
所以其標準方程為.
故答案為：橢圓；.
2．14
【分析】借助橢圓定義即可得.
【詳解】由，則，由在橢圓上，故有,
又，所以.
故答案為：.
3．線段
【分析】根據題意可得，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得 ，則P點在線段上，
所以點P的軌跡為線段，
故答案為：線段
4．4
【分析】根據橢圓的標準方程求解.
【詳解】由題可知，，所以，
故答案為:4.
5．16
【分析】，利用橢圓定義可求出的周長．
【詳解】橢圓C：的長半軸長，
則的周長為．
故答案為：16.
6．（答案不唯一，只要焦點在軸上且）
【分析】由題得，所以，然后取一組a、b即可.
【詳解】由題得，所以，取，
又焦點在y軸上，所以方程為.
故答案為：.
7．3
【分析】設橢圓的右焦點，則根據橢圓有定義可求出，再利用三角形的中位線定理可求得答案.
【詳解】設橢圓的右焦點，連接，則由，知.
又點為的中點，點為的中點，所以.
故答案為：3
8．1
【分析】根據橢圓的方程可得，結合焦點和公式建立關于k的方程，解之即可求解.
【詳解】由，得，
又橢圓的一個焦點為，所以，且，
由，得，解得.
故答案為：1
9．##
【分析】根據橢圓的定義和余弦定理、三角形的面積公式求解.
【詳解】
設,
根據橢圓的定義可得，，
在中，設，
由余弦定理可得，
，
所以，
所以，所以，
所以，
故答案為: .
10．，，，，，
【分析】由題意可得，再寫出符合題意的橢圓即可.
【詳解】因為方程表示焦點位于x軸上的橢圓，
所以，
則符合題意的橢圓有，，，，，.
故答案為：，，，，，.
11．
【分析】由待定系數法求方程即可.
【詳解】設橢圓為，代入兩點得，解得.
故橢圓的標準方程為.
故答案為：.
12．
【分析】利用相關點代入法求得正確答案.
【詳解】設的中點為，
依題意，，所以，
由于在橢圓上，
所以，
所以中點的軌跡方程是.
故答案為：
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意求出即可；
（2）設橢圓的方程為，再利用待定系數法求解即可.
【詳解】（1）設橢圓的焦距為，長軸長為，短軸長為，
則，且焦點在軸上，
，
所以，
所以橢圓方程為；
（2）設橢圓的方程為，
則，解得，
所以橢圓方程為.
14．橢圓，理由見解析.
【分析】根據圓的性質，結合橢圓的定義進行求解即可.
【詳解】點，，，…形成的軌跡是橢圓，證明如下：
設是圓O上任意一點，設與折痕的交點，
所以有，而，
所以有，
因為O和A是定點，且點A在圓O內，
所以，為圓O的半徑，為定值，
因此點的軌跡是以O和A為焦點的橢圓，
所以點，，，…形成的軌跡是橢圓.
15．
【分析】根據焦點三角形的周長、面積及橢圓參數關系得到，再解方程組即可得到答案.
【詳解】
設橢圓C的焦距為2c，因為的周長為6，面積為，
所以，可得，
所以，所以或，
當時，，，不滿足題意；
當時，，，滿足題意．
所以橢圓C的方程為.
16．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）借助圓的標準方程即可得；
（2）借助圓與圓相切的性質，結合橢圓的定義即可得.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為；
圓的圓心為，半徑為.
（2）設動圓的半徑為R，
動圓與圓外切且與圓內切，
，，
而，由橢圓的定義可知，動點在以、為焦點，為長軸長的橢圓上，
設橢圓的方程為，半焦距為，
則，，，
又可知圓與圓內切，∴點C不能在切點處，即橢圓應去掉點，
曲線C的方程為．
17．C
【分析】根據橢圓的標準方程，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由橢圓的焦點在軸上，則滿足，解得.
故選：C.
18．10或8
【分析】分類討論焦點所在的位置，結合橢圓的性質分析求解.
【詳解】由題意可知：橢圓的半焦距長為，
若焦點在x軸上，則，解得；
若焦點在y軸上，則，解得；
綜上所述：實數的值是10或8.
故答案為：10或8.
19．(1)或
(2)
【分析】（1）討論焦點位置，求出，可得結果；
（2）方法一： 討論焦點位置，結合題中所給條件經過點和點，求出，可得結果；
方法二：設所求橢圓的方程為（，，），結合題中所給條件經過點和點，代入求解即可.
【詳解】（1）當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，
依題意得，，則，
故橢圓的標準方程為.
當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，
依題意得，，則，
故橢圓的標準方程為.
（2）方法一：①當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為（）.
依題意有，解得，故所求橢圓的標準方程為.
②當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為（）.
依題意有，解得
因為，所以無解.所以所求橢圓的標準方程為.
方法二：設所求橢圓的方程為（，，）.
依題意有解得所以所求橢圓的標準方程為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.1.1 橢圓及其標準方程【第一課】
[課標要求]
1. 掌握橢圓的定義，標準方程的兩種形式及推導過程.
2. 會根據條件確定橢圓的標準方程，能用待定系數法求橢圓的標準方程.
[明確任務]
1.橢圓定義的應用及求橢圓的標準方程. (數學運算)
2.橢圓標準方程的推導. (數學運算、數據分析)
1.圓的定義、曲線與方程
2.兩點間的距離公式、方程的化簡
核心知識點1 橢圓定義及其應用
平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.
溫馨提示（1）橢圓上的點到兩焦點距離之和為定值.且定值必須大于兩定點間的距離.
（2）當距離的和等于|F1F2|時，點的軌跡是線段.
（3）當距離的和小于|F1F2|時，點的軌跡不存在.
例1. (1)平面內到A(0，－3)和B(3，1)距離的和為6的動點軌跡為（ ）
A.橢圓 B.圓 C.線段 D.射線
【答案】A
【解析】設動點為M，則|MA|＋|MB|＝6，AB＝＝5，
∵6>5，∴動點M的軌跡為橢圓.
(2)到(0，－4)和(0，4)距離之和為8的點的軌跡為________.
【答案】線段
【解析】因為動點到兩定點距離的和為定值8，等于兩定點間的距離，故為線段.
(3)如圖所示，已知過橢圓＋＝1的右焦點F2的直線AB交橢圓于A，B兩點，F1是橢圓的左焦點.若|F1A|＋|F1B|＝14，則弦AB的長為________.
【答案】6　
【解析】由橢圓方程＋＝1可得a＝5，
故由橢圓定義有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以|AB|＝(|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
|BF2|)－(|F1A|＋|F1B|)＝20－14＝6.
歸納總結 橢圓定義及其應用
1.判定點的軌跡是否為橢圓，關鍵是看是否符合橢圓的定義；
2.作為性質運用.橢圓上所有的點一定滿足定義的條件(即到兩焦點的距離之和為常數).
3.橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化.
4.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解.
5.若橢圓中焦點三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點三角形的面積S＝b2tan.
【舉一反三】
1．設為定點，動點滿足，則動點的軌跡是
A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段
2．點為橢圓上一點，、分別是圓和上的動點，則的取值范圍是 ．
3．已知點是橢圓上的一點，分別是橢圓的兩個焦點，且，則的面積為 .
核心知識點2 橢圓標準方程
橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦點 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的關系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
提示：（1）橢圓的標準方程是指當橢圓在標準位置時的方程，所謂標準位置，就是指橢圓的中心在坐標原點，橢圓的對稱軸為坐標軸.
（2）兩種橢圓＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同點是：它們的形狀、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同點是：兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不同.
（3）x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上.
例3. 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）焦點在y軸上，且經過兩個點(0，2)和(1，0)；
（2）兩個焦點的坐標分別是(0，－2)，(0，2)，并且橢圓經過點.
【解析】　 （1）因為橢圓的焦點在y軸上，
所以設它的標準方程為＋＝1(a>b>0).
又橢圓經過點(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的橢圓的標準方程為＋x2＝1.
（2）因為橢圓的焦點在y軸上，
所以設它的標準方程為＋＝1(a>b>0)，
由橢圓的定義知，2a＝＋＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
歸納總結 求橢圓標準方程的方法
（1）定義法：根據橢圓定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置寫出橢圓方程.
（2）待定系數法：先判斷焦點位置，設出標準方程形式，最后由條件確定待定系數即可.即“先定位，后定量”.
當所求橢圓的焦點位置不能確定時，應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論，但要注意a>b>0這一條件.與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程一般設為＋＝1.
（3）當已知橢圓經過兩點，求橢圓的標準方程時，把橢圓的方程設成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有兩個優點：①列出的方程組中分母不含字母；②不用討論焦點所在的位置，從而簡化求解過程.
【舉一反三】
4．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)與橢圓有相同焦點，且過點；
(2)經過點P，Q.
核心知識點3 與橢圓有關的軌跡問題
例4. 一動圓過定點A(2，0)，且與定圓x2＋4x＋y2－32＝0內切，求動圓圓心M的軌跡方程.
【解析】將定圓的方程化為標準形式為(x＋2)2＋y2＝62，這時，已知圓的圓心坐標為B(－2，0)，
半徑為6，如圖，設動圓圓心M的坐標為(x，y)，
由于動圓與已知圓相內切，設切點為C.
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根據橢圓的定義知M的軌跡是以點B(－2，0)和點A(2，0)為焦點，線段AB的中點O(0，0)為中心的橢圓.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圓心的軌跡方程為＋＝1.
歸納總結：利用橢圓定義求標準方程本質上是求軌跡的問題，一般解題思路：
（1）直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0；
（2）定義法：用定義法求橢圓方程的思路：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義. 若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可；
（3）相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關點法.
【舉一反三】
5．已知P是橢圓＋＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程
6．已知圓，圓，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程．
7．已知為兩定點，，動點滿足，則動點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段
8．已知是橢圓的兩焦點，過點的直線交橢圓于點，若,則
A．9 B．10 C．11 D．12
9．已知橢圓的焦點為(-1，0)和(1，0)，點在橢圓上，則橢圓的方程為（ ）
A．=1 B．+y2=1 C．=1 D．+x2=1
10．若方程表示橢圓，則實數k的取值范圍為 .
11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則 ．
12．如圖，設是圓上的動點，點是在軸上的投影，是線段上一點，且.當點在圓上運動時，動點的軌跡方程是 ．
13．設是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則△的面積等于 .
14．如圖所示，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內有一點A(1,0)．Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，求點M的軌跡方程．

試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【詳解】因為為定點，動點滿足|，即動點到兩定點的距離之和等于兩定點連線的距離，所以動點的軌跡是線段（若不在上，必有|）,故選D.
2．
【分析】根據橢圓方程，得到焦點，，所以到兩圓的圓心距離之和為，從而得到，最小值為，最大值為.
【詳解】橢圓，焦點，，
而圓和的圓心為，
所以到兩圓圓心的距離之和為，
而、分別是圓和上的動點
所以
.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】本題考查橢圓的定義，點到圓的距離的范圍，屬于簡單題.
3．
【分析】根據條件得出，，在中，利用余弦定理及橢圓的定義得出，再由面積公式即可求出結果.
【詳解】由橢圓方程，可得，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
又，
所以，得到，
所以.
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）設所求橢圓的標準方程為，將點代入求解；
（2）法一：分焦點在x或y軸設橢圓方程求解；
法二：設橢圓的方程為進行求解.
【詳解】（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為.
又橢圓過點，將代入方程得，
解得或 (舍去).
故所求橢圓的標準方程為.
（2）法一：①當橢圓焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為.
依題意，有，解得
由知不符合題意，故舍去；
②當橢圓焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為.
依題意，有，解得，
所以所求橢圓的標準方程為.
法二：設橢圓的方程為.
則解得，
所以所求橢圓的方程為，
故橢圓的標準方程為.
5．x2＋＝1
【分析】設Q(x，y)，P(x0，y0)，進而可得x0＝2x，y0＝2y，代入橢圓方程即可求解.
【詳解】設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，
又＋1，
所以＋1，即x2＋＝1.
6．
【分析】由條件可得，由此可求曲線C的軌跡方程.
【詳解】由圓，圓得到，半徑，，半徑，
設動圓的半徑為，
∵ 在內，
∴ 動圓只能在內與圓內切，不能是在動圓內，
即：，
∵動圓與圓外切，
∴，
∵動圓與圓內切，
∴，
∴，
即到和到的距離之和為定值，
∴是以、為焦點的橢圓，且，，，
又動圓P只能在內，
∴動圓圓心的軌跡方程為
7．D
【分析】利用橢圓軌跡的相關定義即可得解.
【詳解】因為
所以為線段上的點.
故選：D.
8．C
【分析】根據橢圓定義，求得三角形的周長，結合的長度即可求得．
【詳解】根據橢圓定義，
所以三角形周長為
所以
所以選C
【點睛】本題考查了橢圓的定義及簡單應用，屬于基礎題．
9．A
【解析】根據題意可得c=1，，從而求出，代入即可得解.
【詳解】由焦點為(-1，0)和(1，0)，可得：c=1，
由點P(2，0)在橢圓上，可得為橢圓右頂點，故，
所以,
所以橢圓的方程為=1.
答案：A.
【點睛】本題考查了橢圓的基本量的運算，考查橢圓的性質，屬于基礎題.
10．(5，6)∪(6，7)
【分析】根據橢圓標準方程列式運算.
【詳解】根據題意得，解得且.
故答案為：.
11．
【分析】求出的值，利用橢圓的定義求出的值，利用余弦定理結合的取值范圍可求得的大小.
【詳解】在橢圓中，，，則，
由橢圓的定義可得，
在中，由余弦定理可得，
又因為，所以，.
故答案為：.
12．
【分析】設的坐標為，的坐標為，則由可得，代入，整理可得答案
【詳解】解：設的坐標為，的坐標為，
因為點是在軸上的投影，是線段上一點，且，
所以，
因為在圓上，
所以，化簡得，
故答案為：
13．4
【分析】由橢圓的定義有,結合可得,,又,則三角形面積可求.
【詳解】由橢圓有.
由橢圓的定義有，又
所以,,又.
在△中,
所以△為直角三角形, △的面積為
故答案為:4
【點睛】本題考查橢圓的定義和焦點三角形的面積,屬于中檔題.
14．
【分析】由題意，連接MA．由題意知點M在線段CQ上，由|CQ|＝|MQ|＋|MC|，根據橢圓的定義，求得|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5，得到的值，即可得到橢圓的方程.
【詳解】如圖，連接MA．由題意知點M在線段CQ上，從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又點M在AQ的垂直平分線上，
則|MA|＝|MQ|，
故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
又A(1,0)，C(－1,0)，故點M的軌跡是以(1,0)，(－1，0)為焦點的橢圓，且2a＝5，
故，c＝1，.
故點M的軌跡方程為.
【點睛】本題主要考查了橢圓的定義及其標準方程，以及垂直平分線的性質的應用，其中解答中合理應用線段的垂直平分線的性質，及橢圓的定義求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.
答案第1頁，共2頁
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